什么叫等腰三角形

第1讲等腰三角形知识点1．等腰三角形⑴定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

⑵性质：①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

③等腰三角形是轴对称图形。

⑶判定方法：①等腰三角形的定义；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

2．等边三角形（也叫正三角形）⑴定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

⑵性质：①等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°；②等边三角形是轴对称图形。

⑶判定方法：①等边三角形的定义；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

3．等腰直角三角形⑴定义：顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。

⑵性质：等腰直角三角形的两个锐角都等于45°。

知识点2.线段的垂直平分线：⑴定义：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线或中垂线。

⑵性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

⑶判定方法：线段的垂直平分线的定义；⑷重要规律：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心，它到三角形的三个顶点的距离相等。

知识点3.角的平分线⑴性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

⑵判定方法：角平分线的定义；⑶重要规律：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，，它到三角形的三边的距离相等。

专题1—等腰三角形例1.等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为度．变式练习1：（2012广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）A．45°B．75°C．45°或75°D．60°变式练习2：等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，则这个等腰三角形的顶角等于．变式练习3：已知等腰三角形的一个外角等于140°，那么这个等腰三角形的顶角等于．变式练习4：（2012广元）已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是:例2.下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形变式练习1：性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（）A．等腰三角形底角的平分线B．等腰三角形腰上的高C．等腰三角形腰上的中线D．等腰三角形顶角的平分线变式练习2：等腰三角形的对称轴是．例3.（2012铜仁）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6B．7C．8D．9变式练习1：（2012孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A．512-B．512+C．51-D．51+变式练习2：（2012黄冈）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC 的度数为________°.:例4.（2012攀枝花）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对变式练习1：（2012随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_________。

等腰三角形【要点梳理】要点一：等腰三角形★等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.等腰三角形“三线合一”的三个结论语言描述书写格式图示等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边∵ACAB=，AD平分∠BAC∴CDBD=，BCAD⊥等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角∵ACAB=，CDBD=∴BCAD⊥，AD平分∠BAC等腰三角形底边上的高平分底边且平分顶角∵ACAB=，BCAD⊥∴CDBD=，AD平分∠BAC要点二：等腰三角形的判定（等角对等边）★定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形.★判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.要点诠释：（1）在等腰三角形中顶角可为锐角或直角或钝角，但底角只能是锐角.（2）若等腰三角形的顶角为α，则底角为)180(21α-︒.【例1】如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，△1＝30°，求△2的度数.【变式1.1】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求△B的度数．【变式1.2】在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．【变式1.3】已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组⎩⎨⎧=+=-1321134baba．（1）求a 、b 的值．（2）求这个等腰三角形的周长．【变式1.4】若x ，y 满足0)6(32=-+-y x ，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长为（ ）A ． 12B ． 14C ． 15D ．12或15【变式】如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 边上，且BE =CF ，BD =CE ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形；（2）当△A =40 °时，求△DEF 的度数．【练2.1】如图，DB =DC ，△ABD =△ACD ，试说明：AB =AC .【练2.1】Rt△ABC 中，△ACB =90 °，CD △AB ，垂足为D ．AF 平分△CAB ，交CD 于点E ，CB 于点F ，求证：CE =CF .【练2.1】如图，△ ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边的中点，F 为CA 的延长线上一点，过点F 作FG △BC 于G 点，并交AB 于E 点，试说明下列结论成立的理由：（1）AD △FG ；（2）△AEF是等腰三角形．要点三：等腰直角三角形及其性质★定义：顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.★性质：等腰直角三角形是特殊的等腰三角形.等腰直角三角形的每一个底角都是45°.要点四：等边三角形的定义及其性质★定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形，也叫做正三角形.★性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.要点五：等边三角形的判定★定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.★判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.★含30°的直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【例2】如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分△ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．【变式2.1】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，△ABC＝60°，AD＝CE，求△BPD的度数.【变式2.2】△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，△AQN等于多少度？【变式2.3】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求△AFB的度数.典型例题题型一：等腰三角形的性质【练习1.1】如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【练习1.2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．70°【练习1.3】如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°【练习1.4】已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A ．50°B ．80°C ．50°或80°D ．40°或65°【练习1.5】如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n ﹣1为顶点的底角度数是（ ）A ．（12）n •75°B ．（12）n ﹣1•65°C ．（12）n ﹣1•75°D ．（12）n •85° 【练习1.6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点，△BAD ＝35°，则△C 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°【练习1.7】如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB ＝AC ，△CAD ＝20°，则△ACE 的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．70°【练习1.8】如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°【练习1.9】如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°【练习1.10】已知实数x，y满足|x−4|+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【练习1.11】一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17B．15C．13D．13或17【练习1.12】如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD【练习1.13】如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为（度）．【练习1.14】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为．【练习1.15】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为．【练习1.16】如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是．【练习1.17】一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为cm．【练习1.18】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．【练习1.19】已知实数x，y满足|x−4|+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．【练习1.20】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝cm．【练习1.21】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．【练习1.22】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为．【练习1.13】如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D，连结BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为度．【练习1.24】已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．【练习1.25】等腰△ABC纸片（AB＝AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B 重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B＝度．【练习1.26】如图，△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE ＝16°，则∠B为度．【练习1.27】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD 为直角三角形，则∠ADC的度数为．【练习1.28】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．【练习1.29】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．【练习1.30】如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB＝OC；（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．【练习1.31】如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【练习1.32】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．【练习1.33】操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB 于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．题型二：等腰三角形的判定【练习2.1】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A＝40°，∠B＝60°C．∠A＝20°，∠B＝80°D．∠A＝40°，∠B＝80°【练习2.2】已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③【练习2.3】如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【练习2.4】在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（）A．1个B．4个C．7个D．10个【练习2.5】如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个【练习2.6】已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6【练习2.7】如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．2B．3C．4D．5【练习2.8】如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条【练习2.9】已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【练习2.10】已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条【练习2.11】在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△P AB、△PBC、△P AC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）A．1个B．4个C．7个D．10个【练习2.12】如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【练习2.13】在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【练习2.14】如图，在6×6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C一共有（）A．7个B．8个C．10个D．12个【练习2.15】如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．【练习2.16】如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．【练习2.17】如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有个，写出其中一个点P的坐标是．【练习2.18】已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条．【练习2.19】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中等腰三角形共有个．【练习2.20】在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为时，△ABC是等腰三角形．【练习2.21】如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝s时，△POQ是等腰三角形．【练习2.22】在△ABC中，∠A＝40°，当∠B＝时，△ABC是等腰三角形．【练习2.23】用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，则底边长为cm．【练习2.24】在△ABC中，∠A＝50°，当∠B的度数＝时，△ABC是等腰三角形．【练习2.25】如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM ＝60°，当∠OAP＝时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．【练习2.26】如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若AD 为4cm，△ABC的周长为26cm，则△BCE的周长为cm．【练习2.27】如图，已知平面直角坐标系中有点A（3，0）和点B（0，﹣4），在x轴上存在一点C，使得△ABC为等腰三角形，则C坐标为．【练习2.28】如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有个．【练习2.29】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的点P有个．【练习2.30】在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则满足条件的点P坐标是．【练习2.31】在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有个．【练习2.32】如图，平面直角坐标系内有一点A（2，﹣2），O是原点，P是x轴上一动点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么点P的坐标为．【练习2.33】如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）【练习2.34】已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．【练习2.35】已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA 的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．【练习2.36】如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．【练习2.37】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB 于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．【练习2.38】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD 交AC于点E．（1）求证：CB＝CE；（2）若∠CEB＝80°，求∠DBC的大小．【练习2.39】如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．【练习2.40】如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：△ABC为等腰三角形．【练习2.41】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线，求证：△BCD是等腰三角形．题型三：等腰三角形的性质与判定【练习3.1】如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【练习3.2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4B．5C．6D．7【练习3.3】已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（）A．5B．6C．7D．8【练习3.4】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED 的周长为（）A．2B．3C．4D．5【练习3.5】如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC 的面积是（）A ．10B ．8C ．6D ．4【练习3.6】如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM +CN ＝9，则线段MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【练习3.7】如图，△ABC 中，AB +BC ＝10，AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 和E ，则△BCD 的周长是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．无法确定【练习3.8】如图，AD ⊥BC ，D 为BC 的中点，以下结论正确的有几个？（ ） ①△ABD ≌△ACD ；②AB ＝AC ；③∠B ＝∠C ；④AD 是△ABC 的角平分线．A ．1B ．2C ．3D ．4【练习3.9】如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 分别交AB 、AC 于M 、N ，则△AMN 的周长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．不确定【练习3.10】如图，AE 垂直于∠ABC 的平分线交于点D ，交BC 于点E ，BC CE 31 ，若△ABC 的面积为2，则△CDE 的面积为（ ）A ．31B ．61C ．81D ．101 【练习3.11】如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE ，AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【练习3.12】如图，BP 是∠ABC 的平分线，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，若△ABC 的面积为1cm 2，则△PBC 的面积为（ ）A ．0.4cm 2B ．0.5cm 2C ．0.6cm 2D ．不能确定 【练习3.13】如图，△ABC 的面积为8cm 2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（ ）A ．2cm 2B ．3cm 2C ．4cm 2D ．5cm 2【练习3.14】如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为（ ）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【练习3.15】已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【练习3.16】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（）A．3B．4C．3.5D．2【练习3.17】如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（）个A．1B．2C．3D．4【练习3.18】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB 于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为．【练习3.19】如图，已知S△ABC＝8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC＝m2．【练习3.20】如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm．【练习3.21】如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是．【练习3.22】如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝．【练习3.23】如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若△ABC的周长为15，BC＝6，则△AMN的周长为．【练习3.24】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+12∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论是．（填序号）【练习3.25】如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是．【练习3.26】如图，CE平分∠ACB．且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝9，△CBD的周长为14，则DB的长为．【练习3.27】如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，若∠AOB＝60°，OC＝4，则PD＝．【练习3.28】如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，BC＝6，AC＝4，△ABC的面积是9，则△AEC的面积是．【练习3.29】如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF．其中正确的是（填序号）．【练习3.30】已知：在△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，则∠BAC＝°．【练习3.31】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是．【练习3.32】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【练习3.33】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．【练习3.34】如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．【练习3.35】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【练习3.36】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，题型四：等边三角形的性质【练习4.1】如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC ＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【练习4.2】如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．32D．64【练习4.3】如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【练习 4.4】如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B．220°C．240°D．300°【练习4.5】如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（）A．8B．16C．24D．32【练习4.6】如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为（ ）A ．2B ．2√3C ．√3D ．3【练习4.7】如图，P 为边长为2的等边三角形ABC 内任意一点，连接P A 、PB 、PC ，过P 点分别作BC 、AC 、AB 边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PD +PE +PF 等于（ ）A ．√32B ．√3C ．2D ．2√3【练习4.8】等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）A ．4√3B ．2√3C ．√3D ．3【练习4.9】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝60°，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．1.5【练习4.10】如图，AE ∥BD ，△ABC 为等边三角形，若∠CBD ＝15°，则∠EAC 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．55°D ．75°【练习4.11】如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则a n ＝ （用含n 的代数式表示）．所剪次数1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … a n【练习4.12】如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD ＝BE ；②PQ ∥AE ；③AP ＝BQ ；④DE ＝DP ；⑤∠AOB ＝60°． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）【练习4.13】如图，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S 1；再以正△AB 1C 1边B 1C 1上的高AB 2为边作正△AB 2C 2，△AB 1C 1与△AB 2C 2公共部分的面积记为S 2；…，以此类推，则S n ＝ ．（用含n 的式子表示）【练习4.14】三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝ °．【练习4.15】如图所示，已知：点A（0，0），B（√3，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于．【练习4.16】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE ＝1，∠E＝30°，则BC＝．【练习4.17】如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝．【练习4.18】如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；……．记△B1CB2面积为S1，△B2C1B3面积为S2，△B3C2B4面积为S3，则S n ＝．【练习4.19】如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝°．【练习4.20】如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，则OD+OE+OF＝．【练习4.21】如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n﹣1BA n，记△OO1A的面积为S1，△O1O2A1的面积为S2，△O2O3A2的面积为S3，…，△O n﹣1O n A n﹣1的面积为S n，则S n＝．（n≥2，且n为整数）【练习4.22】如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为 ．【练习4.23】在平面直角坐标系中，A （0，3）、B （√3，0）、Q （0，72），C 是x 轴上一点，以AC 为边向右侧作正△ACD ，P 为AD 的中点．当C 从O 运动到B 点时，PQ 的最小值为 ．【练习4.24】如图，AD 是等边△ABC 的中线，E 是AC 上一点，且AD ＝AE ，则∠EDC ＝ °．【练习4.25】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝ ．【练习4.26】一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝ ．【练习4.27】如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线OM上，点B1、B2、B3、…在射线ON上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为．【练习4.28】如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【练习4.29】已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．(1)如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；(2)如图2，若点D在AC的延长线上,(1)中的结论是否成立，请说明理由．【练习4.30】如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？【练习4.31】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC 为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？【练习4.32】如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．（1）求BD的长；（2）求证：BF＝EF；（3）求△BDE的面积．【练习4.33】在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC 上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．【练习4.34】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．题型五：等边三角形的性质与判定【练习5.1】在△ABC中，AB＝AC，若∠B＝60°，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不等边三角形【练习5.2】已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④【练习5.3】如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝a，则△MGQ周长是（）A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a【练习5.4】下列说法：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【练习5.5】将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝（）。

基础一般学生知识点一、等腰三角形1、等腰三角形的定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ 3、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。

等腰三角形的性质与判定知识梳理:1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。

(2) 三线合一: 即．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。

(3)等腰三角形是图形．除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。

①等腰三角形两腰上的中线相等②等腰三角形两腰上的高相等③等腰三角形两底角的平分线相等3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．4、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。

最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。

当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。

若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。

另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。

【例题讲解】例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。

例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。

例3：如图，点D ，E 在AC 上，∠ABD ＝∠CBE ，∠A ＝∠C ，求证：BD ＝BE 。

等腰三角形知识要点1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，又叫正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

2、等腰三角形的性质：（1）、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

（2）、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。

（3）、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

（4）、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

（5）、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

（6）、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

（7）、等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

3、等腰三角形的判定：（1）、在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。

（2）、在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。

4、等边三角形的性质：⑴、等边三角形的三边都相等，内角都相等、且均为60度。

⑵、等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

⑶、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

5、等边三角形的判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形(有两个角等于60度的三角形是等边三角形)。

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

6、含30°角的直角三角形的重要结论：30°角所对的直角边是斜边的一半。

7、常做辅助线的方法：“遇到等腰常做高.角平分线，中线。

或者或者构造等腰三角形。

”遇到中线常延长中线，构造全等三角形。

遇到线段和差，常截取线段等于已知线段。

构造等腰三角形例题：1.（1）已知等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为9cm，求它的周长；（2）在等腰三角形中，一条边长为4cm，另一条边长为5cm，求它的周长。

B A等腰三角形与等边三角形一、等腰三角形的性质与判定1、概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、性质：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。

推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

3、等腰三角形的判定：（1）定义；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。

注意：等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴。

例题讲解例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则它的底角的度数为 ； 例2 等腰三角形的周长为10cm ，一边长为3cm ，则其他两边长分别为_____ ． 例3 已知：如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，D 、E 在BC 边上，且AD ＝AE ．求证：BD ＝CE ．例4 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ；④OB=OC 。

（1）上述四个条件中，由哪两个可以判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有的情形）； （2）选出上述条件中的任何一种情形，证明△ABC 是等腰三角形。

例5已知：如图，Rt ΔABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ＝BF ．求证：（1）DE ＝DF ；（2）ΔDEF 为等腰直角三角形．随堂练习一1、如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由．（1）∵ΔABC中，AB＝AC，∴∠B＝______．（）（2）∵ΔABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD垂直平分______．（）（3）∵ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝______．（）（4）∵ΔABC中，AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥______．（）2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的底角等于_____．3、如图1，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______．4、如图2，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______．5、如图3，ΔABC中，AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，则∠BAC＝______．图1 图2 图36、已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．7、已知：如图，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．二、等边三角形的性质与判定1、概念：三条边都相等是三角形叫做等边三角形（又称为正三角形）。

初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。

一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。

2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。

（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。

3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。

3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。

三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。

（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。

（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。

什么是等腰三角形？等腰三角形是我们数学中最基本的几何图形之一。

它是指具有两条边长度相等的三角形。

等腰三角形的特点是独特而明显的，简单直观又充满美感。

下面，让我们来详细了解一下等腰三角形的定义、性质及应用。

一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边的边长相等，另一条边的边长则可以与前两边不相等的三角形。

通常我们将两个边长相等的边称为等腰边，将另外一条边称为底边。

等腰三角形还有一个比较特殊的性质，即等腰三角形的两个底角（底边两边所夹角）相等。

等腰三角形的顶角（位于底边的上方、两边不属于底边的那个角）可以与底角相等，也可以不相等。

二、等腰三角形的性质1. 底角相等：等腰三角形的两个底角相等，这是等腰三角形最重要的性质之一。

这个性质在解题过程中经常被应用，可以帮助我们得出更多关于等腰三角形的结论。

2. 顶角特殊性质：等腰三角形的顶角有时与底角相等，有时则不相等。

这与等腰三角形的构造方式有关。

当等腰三角形的顶角与底角相等时，就是等腰顶角等于底角的等腰三角形。

3. 对称性：等腰三角形具有对称性，也就是说，等腰三角形可以通过一个中心线，将其分为两个完全相同的部分。

这个中心线称为等腰三角形的对称轴，它通过等腰三角形的顶点和底边的中点。

4. 面积计算：对于已知等腰三角形的底边和高的情况，可以通过公式求出其面积。

等腰三角形的面积公式为：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2。

三、等腰三角形的应用1. 圆锥的底面：在立体几何中，等腰三角形经常被用作圆锥的底面。

例如，在实际生活中，火锅底部常采用等腰三角形的形状，使得火锅能够均匀地受热。

2. 建筑设计：等腰三角形的对称性和美感使其在建筑设计中得到广泛应用。

例如，建筑物的立面设计中常常运用等腰三角形的形状，以增加建筑物的稳定性和美观性。

3. 数学题解：等腰三角形在数学题解中经常出现，它可以作为一个重要的解题方法。

通过利用等腰三角形的性质，我们可以更加简洁地解决一些几何问题，从而提高解题效率。

等腰三角形概念等腰三角形是指有两条边相等的三角形。

它的特点是两条边相等，而第三条边叫做底边。

等腰三角形的顶角两个相等，也叫做顶角。

在数学中，等腰三角形的性质和应用具有重要意义。

本文将从等腰三角形的定义、性质以及实际应用几个方面来进行论述，帮助读者全面理解等腰三角形。

一、等腰三角形的定义等腰三角形是指有两条边相等的三角形。

等腰三角形的定义是根据边长来确定的，只要两条边的长度相等，即可成为等腰三角形。

这两边称为等腰三角形的腰，另一条边称为底边。

二、等腰三角形的性质1. 顶角性质：等腰三角形的两个顶角相等。

这是等腰三角形最基本的性质，因为两条边相等，所以根据三角形内角和定理可知，两个顶角的度数相等。

2. 底角性质：等腰三角形的底角是顶角的补角。

由于三角形内角和定理可知，三角形的内角之和为180度，所以底角等于180度减去两个顶角的度数之和。

3. 对称性质：等腰三角形的两条腰关于底边对称。

这是等腰三角形的一个重要性质，可以方便地进行证明计算。

4. 高度性质：等腰三角形的高度是腰上任意一点到底边的距离。

等腰三角形的高度可以通过画两条高线相交于顶点，得到高度，高线与底边垂直。

三、等腰三角形的实际应用1. 建筑工程：在建筑工程中，等腰三角形经常被应用于设计，如屋顶的结构设计、立柱的加固等。

等腰三角形的稳定性能和富有美感，使它成为建筑设计中常用的图形。

2. 地理测量：在地理测量中，等腰三角形常被用作测量地面的距离、高度和角度。

通过测量等腰三角形的两条边的长度和角度，可以计算出目标物体的实际尺寸和位置。

3. 统计学：在统计学中，等腰三角形可以用来表示数据分布的均衡性。

通过绘制等腰三角形的底边和两条腰，可以直观地了解数据的分布情况。

4. 航天工程：在航天工程中，等腰三角形被广泛应用于推进剂的流动分析、空气动力学等领域。

等腰三角形具有流线型的特性，能够减少阻力和摩擦，提高飞行速度和效率。

综上所述，等腰三角形是指有两条边相等的三角形。