特殊的平行四边形专题(题型详细分类)55019精编版

18.2 特殊的平行四边形高频易错必刷题汇编【高频考点精讲】1、菱形的性质与判定（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形的面积计算：①利用平行四边形的面积公式；②菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）（4）菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形，即∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），即∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形。

2、矩形的性质与判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）矩形的性质：①所有平行四边形的性质；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（4）矩形的判定：①一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③三个角是直角的四边形；④任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形；⑤对角线相等且互相平分的四边形。

3、正方形的性质与判定（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（2）正方形的性质：①四条边都相等，四个角都是直角；②两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（3）正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；【热点题型精练】一、选择题1．（2021•兰州模拟）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AC与BD互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理成立的是（）A．①④⇒⑥B．②④⇒⑥C．①②⇒⑥D．①③⇒⑤解：A、对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误；B、对角线垂直的矩形是正方形，正确；C、对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误；D、对角线相等且平分的四边形是矩形，但不但能得到菱形，故错误．答案：B．2．（2021•成都模拟）如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则点C 的坐标为（）A．B．C．D．（2，2）解：过C作CD⊥OA于D，如图：则∠ODC＝90°，∵四边形OABC是菱形，∴OC＝OA＝4，∵∠AOC＝60°，∴∠CDO＝90°﹣∠AOC＝30°，∴DD＝OC＝2，∴CD＝＝＝2，∴点C的坐标为（2，2），答案：A．3．（2021•晋中模拟）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF，BA＝BE．若∠EBF ＝60°，则∠C的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴BC＝BF，∴∠C＝∠BFC，设∠ABE＝∠CBF＝α，∵∠EBF＝60°，∴∠ABC＝2α+60°，∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣60°＝120°﹣2α，∴∠BFC＝∠C＝120°﹣2α，∵∠C+∠BFC+∠CBF＝180°，∴120°﹣2α+120°﹣2α+α＝180°，∴α＝20°，∴∠C＝80°，答案：B．4．（2021•龙岩模拟）如图，正方形ABCD边长为4，连接AC，∠CAD的平分线AE交BC的延长线于点E，过A 作F A⊥AE交CB延长线于点F，则EF的长为（）A．8 B．C．D．解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，∴AC＝AB＝4，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE＝∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE＝∠E，∴∠CAE＝∠E，∴CE＝CA＝4，∵F A⊥AE，∴∠F AC+∠CAE＝90°，∠F+∠E＝90°，∴∠F AC＝∠F，∴CF＝AC＝4，∴EF＝CF+CE＝4+4＝8，答案：B．5．（2021•沈阳模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB ＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（）A．B．C．D．54解：过点F作直线MN，使MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠AMF＝∠ENP＝90°，AD＝BC＝6，∵点F是AE的中点，∴AF＝EF，∵∠AFM＝∠EFN，∴△AFM≌△EFN（AAS），∴MF＝FN＝AB＝4.5，∵点E是BC的中点，∴BE＝BC＝3，∴四边形CDFE的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△AFD＝9×6﹣×9×3﹣×4.5×6＝27，答案：C．6．（2021•大同模拟）平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变解：如图，连接AE，∵矩形DEGF的面积＝2△ADE的面积＝2×DE×FD＝DE×FD，∴矩形DEGF的面积保持不变．答案：D．7．（2021•揭阳模拟）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4 B．C．6 D．解：连接BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×6×PE+×6×PF＝12，∴PE+PF＝4，答案：A．8．（2021•宁波模拟）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．答案：B．9．（2021•成都模拟）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（）A．6 B．7 C．8 D．9解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，∴∠A'OB＝∠COC'．在△OBM与△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，∴S2＝25﹣16＝9，答案：D．10．（2021•南平模拟）已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．则（）A．BE＞AF+CEB．BE＝AF+CEC．BE＜AF+CED．BE与AF+CE的大小不确定证明：如图，延长DC到G，使CG＝AF，连接BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠BCG＝90°，在△ABF和△CBG中，，∴△ABF≌△CBG（SAS），∴∠AFB＝∠G，∠ABF＝∠CBG，∵∠ABF＝∠EBF，∴∠EBF＝∠CBG，∴∠EBF+∠CBE＝∠CBG+∠CBE，即∠FBC＝∠EBG，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC＝∠EBG，∴∠EBG＝∠G，∴BE＝EG＝CG+CE＝AF+CE．答案：B．11．（2021•湖州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为（）A．2 B．C．D．3解：过点C作CF⊥AB的延长线于点F，如图所示：∵AB∥CD，AB⊥BD，∴CD⊥BD，∵CF⊥AB，∴CF⊥CD，∴BD∥CF，∴四边形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝3，CF＝BD＝4，在Rt△BCF中，BC＝，在Rt△AFC中，AC＝＝，∴BC＝AB＝5，∴△ABC是等腰三角形，∵点E是AC的中点，∴BE⊥AC，∵，∴×5×4＝×BE，解得：BE＝．答案：C．12．（2021•齐齐哈尔模拟）如图，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（）A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，∵AB＝BC＝10厘米，AE＝4厘米，∴BE＝CP＝6厘米，∴BP＝10﹣6＝4厘米，∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B＝∠C＝90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．∴点P，Q运动的时间t＝＝（秒），答案：D．二、填空题13．（2021•沈阳模拟）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为20．解：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，又∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，∴四边形BEDF是菱形，∴BD＝AC＝10，∵AE＝CF＝3，∴EF＝4，∴四边形BFDE的面积为BD•EF＝×10×4＝20．答案：20．14．（2021•重庆模拟）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为1，斜边为3，把它们按图2，拼摆正方形，纸片在结合部分不重叠无缝隙，则图2的中间空白部分，即四边形ABCD的面积为．解：∵直角三角形纸片的一条直角边长为1，斜边为3，∴直角三角形的直角边＝，∴直角三角形的面积＝，∴四边形ABCD的面积＝，答案：．15．（2021•惠州模拟）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上（不与A，B重合），过P作PE ⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连接EF，M为EF的中点，则CM的最小值为 1.2．解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°，又∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，如图，连接CP，则CP＝EF，∵M为EF的中点，∠ECF＝90°，∴Rt△CEF中，CM＝EF，∴CM＝CP，如图，当CP⊥AB时，CP最短，此时，×AC×BC＝×AB×CP，∴CP＝＝，∴CM＝CP＝1.2，即CM的最小值为1.2．答案：1.2．16．（2021•洛阳模拟）如图，正方形ABCD中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝4，BE ＝DF＝3，则EF的平方为2．解：延长BE交CF于G，如图：∵AB＝5，AE＝4，BE＝3，∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△BCG是直角三角形，∴∠ABE+∠BAE＝∠GBC+∠ABE，∴∠GBC＝∠BAE，同理可得：∠BCG＝∠ABE，在△CBG和△BAE中，，∴△CBG≌△BAE（ASA），∴AE＝BG＝4，CG＝BE＝3，∴EG＝4﹣3＝1，同理可得：GF＝1，∴EF2＝EG2+GF2＝2，答案：2．17．（2021•威海中考）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF 交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为﹣1．解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EDA+∠DAF＝90°，∴∠AGD＝90°，∵DT＝AT，∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，∴BG≥BT﹣GT，∴BG≥﹣1，∴BG的最小值为﹣1．答案：﹣1．18．（2021•沈阳模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝18，AD＝6．点E从D向C以每秒2个单位的速度运动，以AE 为一边在AE的右上方作正方形AEFH，同时垂直于CD的直线PQ也从C向D以每秒4个单位的速度运动，当经过2秒时，直线PQ和正方形AEFH开始有公共点．解：如图，过点F作FN⊥CD于N，∵四边形AEFH是正方形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AED+∠FEN＝90°＝∠AED+∠DAE，∴∠DAE＝∠FEN，在△ADE和△ENF中，，∴△ADE≌△ENF（AAS），∴AD＝EN＝6，∵直线PQ和正方形AEFH开始有公共点，∴DE+EN+CQ≥DC，∴2t+6+4t≥18，∴t≥2，∴当t＝2时，直线PQ和正方形AEFH开始有公共点，答案：2．三、解答题19．（2021•白银模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF为菱形，∴BE＝DE，DB⊥EF，又∵AB＝8，BC＝4，设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△ADE中，42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5，∴，∴，∴，∴EF＝2OE＝．20．（2021•太原模拟）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF 的值．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，连接OP，∵AD＝12，AB＝5，∴BD＝＝＝13，∴BO＝OD＝AO＝CO＝，∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，∴S△AOP+S△POD＝15，∴××FP+××EP＝15，∴PE+PF＝．21．（2021•杭州模拟）如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM，DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．（1）证明：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，AD＝AB，∵EM⊥AC，∴ME∥BD，∵点E是AB的中点，∴点M是AD的中点，AE＝AB，∴AM＝AD，∴AM＝AE．（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，∴AM＝MD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，∴△MDF≌△MAE（AAS），∴AE＝DF，∵AB＝2AE，DF＝2，∴AB＝4，∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，∴DF＝DM，MF＝ME，∴∠DMF＝∠DFM，∴∠ADC＝2∠DFM，∵∠ADC＝2∠MCD，∴∠MCD＝∠DFM，∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，∵ME⊥AC，AM＝ME，∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，∴MC＝2MG，∴∠MGC＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠MCD＝30°，∴∠DMC＝90°，∴△DMC为直角三角形，∵DF＝2，∴DM＝2，CD＝4，∴CM＝＝2，∴ME＝2．22．（2021•珠江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形。

特殊平行四边形专题练习1、练习：①矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形对角线AC 长为______cm ．②．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（ ）A ．AO=CO ，BO=DOB ．AO=BO=CO=DOC ．AB=BC ，AO=COD ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD③．四边形ABCD 中，AD //BC ，则四边形ABCD 是 ___________，又对角线AC ，BD 交于点O ， 若∠1=∠2，则四边形ABCD 是_______________．2、练习：①．如图，BD 是菱形ABCD 的一条对角线，若∠ABD=65°，则∠A=_____．②． 一个菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则这个菱形的周长等于 cm,面积= cm 2③．若菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角的度数比为(三)正方形:3．练习：①正方形的面积为4，则它的边长为____，对角线长为_____．②已知正方形的对角线长是4，则它的边长是 ，面积是 。

③如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，连接DE ，EF ，要使四边形ADEF 是正方形，还需增加条件：_______．二、复习练习： （一）、选择题：1、矩形ABCD 的长AD=15cm ，宽AB=10cm ，∠ABC 的平分线分AD 边为AE 、ED两部分，这AE 、ED 的长分别为（ ）A ．11cm 和4cmB ．10cm 和5cmC ．9cm 和6cmD ．8cm 和7cm2、四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD B ．AD=BC C ．AB=BC D ．AC=BD3、如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则∠AEBO （ ） A. 10° B ．15° C ．20° D ．12.5°4、如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD 的周长是（ ） A. 4 B ．8 C ．12 D ．16ABDECABCDEEF（二）、填空题5、已知正方形ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O ，•且AC=•16cm ，•则DO=•_____cm ， •BO=____cm ，∠OCD=____度．6、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°， 且点A 的坐标为（0，2）,则点B 坐标（ ）， 点C 坐标为（ ），点D 坐标为（ ）。

特殊的平行四边形知识点一：矩形1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2、性质定理（1）矩形的四个角是直角（2）矩形的对角线相等且互相平分（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3、判定定理（1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形（2）对角线相等平行四边形为矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形归纳补充：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab知识点二：菱形1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、性质定理：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角（3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心2、判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四条边都相等的四边形是菱形※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形归纳补充:1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形2、性质定理（1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。

（2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角（3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形3、判定定理（1）有一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线相互垂直的矩形是正方形（3）对角线相等的菱形是正方形（4）有一个角是直角的菱形是正方形方法总结：（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

特殊的平行四边形1一．选择题（共19小题）1．（2015•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤2．（2015•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．143．（2015•铁岭）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC4．（2015•安顺）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：25．（2015•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE 平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm6．（2015•玉林）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2015•绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2015•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．109．（2015•本溪）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm10．（2015•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC11．（2015•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或812．（2015•营口）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61°B．63°C．65°D．67°13．（2015•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（）A．24 B．12 C．6 D．314．（2015•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB15．（2015•淄博）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC 沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个16．（2015•连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形17．（2015•台湾）坐标平面上，二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图形的顶点为A，且此函数图形与y轴交于B点．若在此函数图形上取一点C，在x轴上取一点D，使得四边形ABCD为平行四边形，则D点坐标为何？（）A．（6，0）B．（9，0）C．（﹣6，0）D．（﹣9，0）18．（2015•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．2419．（2014•泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10二．填空题（共11小题）20．（2015•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC 的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为．21．（2015•巴中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB 于点F，连结DH，则线段DH的长为．22．（2015•盐城）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为．23．（2015•无锡）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于．24．（2015•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为．25．（2015•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．26．（2015•云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为（n 为正整数）．27．（2015•珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为．28．（2015•衢州）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于米．29．（2015•昆明）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA 的中点，连接DE，则DE= ．30．（2015•陕西）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN 长的最大值是．18.2 特殊的平行四边形1参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2015•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解答：解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．2．（2015•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：三角形中位线定理．分析：首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．解答：解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选：C．点评：（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．3．（2015•铁岭）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形中位线定理逐项分析即可．解答：解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，∴DE=AC，DF=AB，∵AC≠AB，∴DE≠DF，故该选项错误；B、由A选项的思路可知，B选项错误、C、∵S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；D、∵BD=CD，AB≠AC，∴AD不平分∠BAC，故选C．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（2015•安顺）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．解答：解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．5．（2015•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE 平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC﹣BE=4cm；故答案为：C．点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6．（2015•玉林）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平行四边形的性质．分析：根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．解答：解：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD﹣MC=3，故选：C．点评：本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．7．（2015•绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE 是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．8．（2015•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．专题：计算题．分析：由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．解答：解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．9．（2015•本溪）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵▱ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．10．（2015•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，但是AC和BD不一定相等，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．11．（2015•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，解得x1=6，x2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．12．（2015•营口）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61°B．63°C．65°D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．13．（2015•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（）A．24 B．12 C．6 D．3考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．解答：解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF=BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．故选：B．点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．14．（2015•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．15．（2015•淄博）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC 沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：平行四边形的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解．解答：解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，∴∠E=∠B=60°，∴△BEC是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，∴∠B=∠EAF=60°，∴△EFA是等边三角形，∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，∴△DFC是等边三角形，∴图中等边三角形共有3个，故选B．点评：本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等边三角形的各种判定方法特别是经常用到的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形．16．（2015•连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．解答：解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．17．（2015•台湾）坐标平面上，二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图形的顶点为A，且此函数图形与y轴交于B点．若在此函数图形上取一点C，在x轴上取一点D，使得四边形ABCD为平行四边形，则D点坐标为何？（）A．（6，0）B．（9，0）C．（﹣6，0）D．（﹣9，0）考点：平行四边形的判定；二次函数的性质．分析：首先将二次函数配方求得顶点A的坐标，然后求得抛物线与y 轴的交点坐标，根据电C和点B的纵坐标相同求得点C的坐标，从而求得线段BC的长，根据平行四边形的性质求得AD的长即可求得点D 的坐标．解答：解：∵y=﹣x2+6x﹣9=﹣（x﹣3）2，∴顶点A的坐标为（3，0），令x=0得到y=﹣9，∴点B的坐标为（0，﹣9），令y=﹣x2+6x﹣9=﹣9，解得：x=0或x=6，∴点C的坐标为（6，﹣9），∴BC=AD=6，∴OD=OA+AD=3+6=9，∴点D的坐标为（9，0），故选B．点评：本题考查了平行四边形的判定、二次函数的性质等知识，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，综合题，但难度不大．18．（2015•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．24考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．解答：解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE===5．∵BE=DE=3，AE=CE=5，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，故选：D．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．19．（2014•泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．解答：解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=AB=3．又CE=CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF=2ED=8．故选：C．点评：本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．二．填空题（共11小题）20．（2015•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC 的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为20 ．考点：三角形中位线定理；勾股定理；矩形的性质．分析：根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形EN，FM的周长．解答：解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，故答案为20．点评：本题考查了三角形的中位线，勾股定理以及矩形的性质，是2015年中考常见的题型，难度不大，比较容易理解．21．（2015•巴中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB 于点F，连结DH，则线段DH的长为 1 ．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACF是等腰三角形，则AF=AC=3，HF=CH，则DH 是△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．解答：解：∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF=AC，∵AC=3，∴AF=AC=3，HF=CH，∵AD为△ABC的中线，∴DH是△BCF的中位线，∴DH=BF，∵AB=5，∴BF=AB﹣AF=5﹣3=2．∴DH=1，故答案为：1．点评：本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明HF=CH是关键．22．（2015•盐城）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为 5 ．考点：三角形中位线定理．分析：由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．解答：解：如上图所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．点评：本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．23．（2015•无锡）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：计算题．分析：延长AD至F，使DF=AD，过点F作平行BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在直角三角形AGF中，利用勾股定理求出AG的长，利用SAS证得△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠BFD，证得AG∥BF，从而证得四边形EBFG是平行四边形，得到FG=BE=6，利用AAS 得到三角形BOD与三角形CHD全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=DH=3，得出AH=9，然后根据△AHC∽△AFG，对应边成比例即可求得AC．解答：解：延长AD至F，使DF=AD，过点F作FG∥BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在Rt△AFG中，AF=2AD=12，FG=BE=6，根据勾股定理得：AG==6，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（SAS），∴∠ACD=∠BFD，∴AG∥BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∴FG=BE=6，在△BOD和△CHD中，，∴△BOD≌△CHD（AAS），∴OD=DH=3，∵CH∥FG，∴△AHC∽△AFG，∴=，即=，解得：AC=，故答案为：点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键．24．（2015•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为 5 ．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．解答：解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB=2CD=2×5=10cm，∴EF=×10=5cm．故答案为：5．点评：此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．25．（2015•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 3 ．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：动点型．分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．解答：解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．26．（2015•云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为（n为正整数）．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：根据中位线的定理得出规律解答即可．解答：解：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，可得：P1M1=，P2M2=，故P n M n=，故答案为：点评：此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．27．（2015•珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 1 ．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．解答：解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．28．（2015•衢州）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于 1.2 米．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：先求出F为AC的中点，根据三角形的中位线求出BC=2EF，代入求出即可．解答：解：∵EF⊥AC，BC⊥AC，∴EF∥BC，∵E是AB的中点，∴F为AC的中点，∴BC=2EF，∵EF=0.6米，∴BC=1.2米，故答案为：1.2．点评：本题考查了三角形的中位线性质，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BC=2EF，注意：垂直于同一直线的两直线平行．29．（2015•昆明）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA 的中点，连接DE，则DE= 4 ．考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出DE=AB=4．解答：解：∵在△ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点，AB=8，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=×8=4．故答案为4．点评：本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．。

专题06 特殊平行四边形的两种考法全攻略类型一、最值问题例1．（将军饮马）如图，在菱形ABCD 中，120ABC Ð=°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB PE +PE 的最小值为（ ）A ．2B C ．1D ．0.5由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、∴1602ABD ABC Ð=Ð=°，PE PB PE +=即DE 就是PB PE +的最小值，例2．（中点模型）如图，矩形,2,4ABCD AB BC ==，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为（ ）A ．2B ．2C 1D ．【答案】A 【详解】如图，取AD 的中点H ，连接CH ，OH ，Q 矩形ABCD ，2AB =，4BC =，2CD AB \==，4AD BC ==，例3．（截补模型）如图，在Rt ABC △中，90C =o ∠，2AC BC ==，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的动点．且BD CE =，连接AD 、BE ，则AD BE +的最小值为______．∵90ACB Ð=°，AC =∴90FBD ACB Ð=Ð=∵BD CE =，∴(SAS BDF CEB ≌△△AC=，以BC为对角线作正方形BDCE，连例4．（瓜豆模型）如图，平面内三点A，B，C，4AB=，3接AD，则AD的最大值是______．【变式训练1】如图，矩形ABCD 中，84AB AD ==，，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是___________．当点F 与点C 重合时，点P 在1P 当点F 与点E 重合时，点P 在2P ∴PP EC ∥且1PP CE =．【变式训练2】如图，已知线段12AB =，点C 在线段AB 上，且ACD V 是边长为4的等边三角形，以CD 为边的右侧作矩形CDEF ，连接DF ，点M 是DF 的中点，连接MB ，则线段MB 的最小值为_______________．【答案】6【详解】∵ACD V 为等边三角形，∴AC AD =，60DAC Ð=°，∵四边形DCFE 是矩形，点M 是DF 的中点，∴DM ＝CM ，【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，边长2AB =，点Q 是边CD 的中点，点P 是线段AC 上的动点，则DP PQ +的最小值为 _____．【变式训练4】如图，在菱形ABCD 中，10AB =，16AC =，点M ，N 在AC 上，且2MN =，连接BM ，DN ，则BM DN +的最小值为 ______【变式训练5】如图，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，且3BA =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ^于点M ，DN AC ^于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为_____．类型二、动点问题例1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立平－向点D运动，面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程28160-+=的根．点P从点B出发，沿BC CDx x-向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个同时点Q从点E出发，沿EB BC△的面积为单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，AQPS．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式；△是以AP为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．(3)当AQP由题意得：EQ t =，2BP t =，∴2AQ AE EQ t =+=+，2BQ t =-，2222222(2)44,(2)(2)AQ t t t PQ BP t t \=+=+++=-+2544t t =-+当AQ PQ =时，22AQ PQ =，∴2244544t t t t ++=-+，解得0=t (舍去)或2，∴4BP =，∴当0t 2££，AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，()44P ，；②24t <£时，如图：由题意得：EB BQ t +=，2BC CP t +=，∴2BQ t BE t =-=-，6CQ BC BE t t =+-=-，224CP t BC t =-=-，282PD BC CD t t =+-=-，22224(2)AQ AB BQ t \=+=+-2420t t =-+2222(6)PQ CQ CP t =+=-22(24)52852t t t +-=-+当AQ PQ =时，22AQ PQ =，∴2242052852t t t t -+=-+，解得2t =(舍去)或4，∴0DP =，∴()04P ，；∴当24t <£，AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，()04P ，，综上所述，当AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，点P 的坐标为()44，或()04，例2.如图，在长方形ABCD 中，4AB =，3BC =，点E 为AD 延长线上一点，且6AE =，点P 从点A 出发，沿A —B —C —D 向终点D 运动．同时点Q 从点B 出发，沿B —C —D —E 向终点E 运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．设APQ △的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒．(1)当2t =时，S = ；当72t =时，S = ．(2)当07t <£时，用含t 的代数式表示S ．直接写出结果并化简．(3)当点P 在CD 边上，且APQ △为等腰三角形时，直接写出t 的取值或者范围．【变式训练1】如图，在ABCD Y 中，ABC Ð为锐角，5AB =，9BC =，36ABCD S =Y ．动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A B C D A ®®®®运动．同时，动点Q 从点A 出发，以每秒3个单位的速度沿A D C B A ®®®®运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．(1)点P 在BC 上运动时，CP =_____________；点P 在CD 上运动时，CP =_____________．（用含t 的代数式表示）(2)点P 在CD 上，PQ BC ∥时，求t 的值．(3)当直线PQ 平分ABCD Y 的面积时，求t 的值．(4)若点Q 的运动速度改变为每秒a 个单位．当972t << ，ABCD Y 的某两个顶点与P 、Q 所围成的四边形为菱形时，直接写出a 的值．【变式训练2】如图，长方形ABCD 中，AD BC ∥，90B Ð=°，104AD BC cm AB cm ===，，动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿B A D ®®的方向，向终点D 运动；动点Q 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿B C ®的方向向终点C 运动．以PQ 为边向右上方作正方形PQMN ，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P Q 、同时出发，运动时间为t 秒0t （＞）．(1)当04t ＜＜时，AP ＝______（用含t 的代数式表示）；(2)当点N 落在AD 边上时，求t 的值；(3)当正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S （用含t 的代数式表示）；(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形．如图3，当M 点运动到D 点处时，∵10214CQ t CQ PM PM t ===-﹣，，，∴2014t t -=-（1），解得6t =，∴当6t =时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形，∴46t ££时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形；如图4，当Q 点运动与C 点时，10t =，此时正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形；∴610t ＜＜时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为四边形，如图5，【变式训练3】已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点M在AD上，且AM＝4，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，沿B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，运动时间为t秒．(1)当点P在BC边上时，BP＝，CP＝．（用含t的代数式表示）(2)点P在运动过程中，△ABP是直角三角形时，t的取值范围为．(3)点P在运动过程中，△DMP是等腰三角形时，t的值为．(4)连接CM，当点P在线段CM的垂直平分线上时，t的值为．【答案】(1)t，9﹣t(2)0＜t≤9或13≤t＜22(3)1或7或6.5当点P 在线段BC 上时，CP =MP =9-t ，PH =t -4，MH =4，∵△MPH 是直角三角形，∴2222MH PH PM CP +=＝即()()222449t t -=+-，∴t ＝4.9，当点P 在线段AD 上时，同法可得PM ＝CPCP =MP =18-t ，DP =t -13，CD =4∵△CDP 是直角三角形，∴2222CD DP PM CP +=＝即()()22241318t t =+--，∴t ＝13.9．综上所述，满足条件的t 的值为4.9或13.9．故答案为：4.9或13.9．。

特殊平行四边形专题总结一、菱形（一）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（二）菱形的性质：1、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，每条对角线所在的直线都是菱形的对称轴，两条对角线的交点是菱形的对称中心；2、菱形的四条边相等3、菱形的对角线相互垂直（三）菱形的判定：1、对角线相互垂直的平行四边形是菱形2、四条边相等的四边形是菱形注意：1、菱形是特殊的平行四边形，因此菱形具有平行四边形的所有性质2、菱形的两个判定定理有着不同的适用范围，在应用是应要注意区分题型一：求与菱形有关的图形面积例1：已知BD是ABC∆的角平分线，DE//BC，交AB于点E.（1）如图一，求证：BED∆是等腰三角形；（2）如图二，在线段BC上取一点F，使四边形BFDE是菱形，连结EF交BD于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请写出与BEF∆面积一定相等的所有三角形（不包括BEF∆本身）。

1、如图，四边形ABCD 是菱形，AB DH DB AC ⊥==，，68与点H ，则=DH （ ） 524.A 512.B 12.C 24.D题型二：综合运用菱形的性质与判定解题例2：如图，F E ,为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形。

（1）试判断四边形ABCD 的形状，并加以证明；（2）若菱形AECF 的周长为20，BD 的长为24，试求四边形ABCD 的面积。

2、如图，已知F E ,分别是平行四边形ABCD 的边AD BC ,的中点，且︒=∠90BAC（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若1035==BC AB ，,求菱形AECF 的面积。

题型三：与菱形有关的图形变换问题例3：如图，在ABC ∆和EDC ∆中，︒=∠=∠===09,DCE ACB CD CB CE AC ,AB 与CE 交于点F ，BC AB ED 、与分别交于H M 、.（1）求证：CH CF =；（2）如图2，ABC ∆不动，将EDC ∆绕点C 旋转到︒=∠45BCE 时，试判断四边形ACDM 是什么四边形，并证明你的结论。

特殊的平行四边形专题一、特殊四边形之间的关系矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间既有区别又有联系。

平行四边形+—组邻边相等二菱形平行四边形+—个直角=矩形菱形+—个直角=正方形菱形+对角线相等二正方形矩形+一组邻边相等=正方形矩形+对角线互相垂直二正方形因此在判定的过程中要选择适当的判定方法，灵活的解决问题。

例题1.如图似△A3。

的三边为边，在BC边的同侧作等边APB.4 , AEBC , AF.4C.(1)试说明四边形AFED是平行四边形；⑵当A/1BC满足什么条件时四边形AFED是矩形，说明理由；⑶当MIBC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？⑷当况满足什么条件时,四边形AFED不存在?二、特殊平行四边形中的折叠问题折叠问题是轴对称与等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形等图形的性质的综合应用，折痕所在直线为折叠前后图形的对称轴。

在解决此类问题时应注意:1.充分利用轴对称的性质；2.折叠前后图形对应角、对应边相等；3.计算时常用勾股定理建立方程或由面积解决。

如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点3落在边.1D上的点&处，点」落在点.T处。

(1)求证：B f E = DF o设AE = a AB = 6»0F = c.试猜想"，加c之间的一种关系，并给予证明。

例题3.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠.得到菱形AECF.若,12/= 3，则BC的长为三、四边形中的中点问题类型L特殊四边形与中位线的结合在一个四边形中有四条边,两条对角线,所以一共可产生6个中点,已知两个中点会有四种情况：1.一组邻边的中点；2.—边与对角线的中点；3.两对角线的中点；4.一组对边的中点3.4两种情况常需要找出第三个中点作为桥梁解决问题。

例题4.如图在四边形ABCD中m = DCE、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的培论类型2.特殊四边形与直角三角形斜边上的中线结合如图,已知在^ABC 中,AC = 3 ,BC=4MB = 5 •点P 是AB 上（不与A 、B 重合），过P 作PE1AC , PF1BC ，垂是分别是E 、F,连结EF,M 为EF 的中点.⑴请判断四边形PECF 的形状，并说明理由⑵随着P 点在边AB 上位置的改变,CM 的长度是否也会改变？若不变，请你求CM 的长度;若有变化,请你求CM 的变化范围一 四、动点问题类型L 动点问题动点几何特点 -------- 问题背景是特殊图形，需要把握一般与特殊的关系。

特殊的平行四边形（含答案）一、选择题（本大题共49小题，共147.0分）1.一个菱形的周长是20cm，两条对角线长的比是4︰3，则这个菱形的面积是()A. 12cm2B. 96cm2C. 48cm2D. 24cm22.若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数之比是()A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:13.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点，且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点，且∠AOG=30°.①DC=3OG；②OG=12BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE=16S矩形ABCD.则结论正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 14.如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为()A. 仅甲正确B. 仅乙正确C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误5.如图，在菱形ABCD中，∠A=130°，连接BD，∠DBC等于()A. 25°B. 35°C. 50°D. 65°6.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为()A. 5cmB. 4.8cmC. 4.6cmD. 4cm7.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为()A. 36°B. 27°C. 18°D. 9°8.如图，四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，AH⊥BC于H，则AH等于()A. 4B. 5C. 245D. 4859.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 两组对边分别相等B. 两条对角线相等C. 四个内角都是直角D. 每一条对角线平分一组对角10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于()A. 60°B. 50°C. 30°D. 20°11.如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD=30°，∠BEC=90°，EF=4cm，则矩形的面积为()．A. 16cm2B. 8√3cm2C. 16√3cm2D. 32cm212.如图，正方形ABCD中，BE=FC，CF=2FD，AE，BF交于点G，连接AF，给出下列结论：①AE⊥BF;②AE=BF;③BG=43GE;④S四边形CEGF=S▵ABG．其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E、F两点，下列说法错误的是()A. 四边形AEDF是平行四边形B. 若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD=CD，则四边形AEDF是正方形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形14.如图，在矩形ABCD中，AB>BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中的矩形共有()A. 5个B. 8个C. 9个D. 11个15.如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是()A. 邻边相等的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两个全等的直角三角形构成正方形D. 轴对称图形是正方形16.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等17.如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四条边的中点，连结EG与FH，交点为O，则图中的菱形共有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个18.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60∘，则花坛对角线AC的长等于()A. 6√3米B. 6米C. 3√3米D. 3米19.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF=CF；④∠EFC=2∠CFD.其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个20.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的12，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的()A. 12B. 14C. 16D. 1821.如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是()A. 甲正确，乙错误B. 甲、乙均正确C. 乙正确，甲错误D. 甲、乙均错误22.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB︰AD的比为()时，四边形MENF是正方形．A. 1︰1B. 1︰2C. 2︰3D. 1︰423.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72∘，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是()A. 108∘B. 72∘C. 90∘D. 100∘24.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是()A. 小青B. 小何C. 小夏D. 小雨25.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为()A. (√3,−1)B. (2,−1)C. (1,−√3)D. (−1,√3)26.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是()A. 1和1B. 1和2C. 2和1D. 2和227.四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD，则正确的选法是()A. ①②B. ①③C. ②③D. 以上都可以28.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是()A. 2.5B. 3C. 4D. 529.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=2，EC=4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG.现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC//AG；④S△GFC=3.6.其中结论正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 430.在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是()A. 12B. 16C. 24D. 3231.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是()A. 1B. 12C. √22D. √3232.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为()A. 8B. 12C. 16D. 3233.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2√3,2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D.下列结论：①OA=BC=2√3；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(2√33,0)．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个34.如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于F，若EF=CE=1，AB=3，则线段AF的长为()A. 2√5B. 4C. √10D. 3√235.如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为()A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√336.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=()A. 13B. 10C. 12D. 537.下列说法正确的是()A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形38.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是()A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°39.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为()A. 4：1B. 5：1C. 6：1D. 7：140.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是()A. OA=OC，OB=ODB. 当AB=CD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形41.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是()A. 由②推出③，由③推出①B. 由①推出②，由②推出③C. 由③推出①，由①推出②D. 由①推出③，由③推出②42.菱形不具备的性质是()A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形C. 对角线互相垂直D. 对角线一定相等43.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为()A. 485B. 325C. 245D. 12544.下列说法正确的有几个()①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个45.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为()A. 4B. 6C. 8D. 1046.如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为()A. 2√2−2B. √3−1C. 2−√2D. √2−147.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC=6，BD=8.则线段OH的长为()A. 125B. 52C. 3D. 548.如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为()A. 4B. 5C. √342D. √3449.菱形的对角线不一定具有的性质是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 每一条对角线平分一组对角D. 相等二、填空题（本大题共21小题，共63.0分）50.如图，将两条宽度都为6的纸片重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．51.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为边AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于________．52.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是______．53.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．54.菱形的面积是24，一条对角线长是6，则菱形的边长是______．55.如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为(0,0)，(2,0)，(0,1)，则点E的坐标为______．56.如图，在菱形ABCD中，AB=18cm，∠A=60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF为等边三角形时，t的值为______．57.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点)，若GF=4，EG=6，则DG的长为______．58.已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE=1，连接AE，∠AOB=60°，AB=2，则AE的长为______．59.菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=3√3，则AP的长为______．60.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是(0,4)，则直线AC的表达式是______．61.如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D=70°，则∠AEF=______．62.如图，已知点P(2,0)，Q(8,0)，A是x轴正半轴上一动点，以OA为一边在第一象限内作正方形OABC，当PB+BQ取最小值时，点B的坐标是______．63.已知正方形ABCD，以∠BAE为顶角，边AB为腰作等腰△ABE，连接DE，则∠DEB=______．64.一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为______ cm2．65.菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为______．66.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD=2BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，则线段AE的长为______．67.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为______．68.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是______．69.如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为______．70.若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为______．三、解答题（本大题共19小题，共152.0分）71.如图，在▵ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．72.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长DE至点F，使EF=DE，连接CF．(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；(2)探究：当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由．73.如图1，直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ.设运动时间为t秒．(1)AM=______，AP=______.(用含t的代数式表示)(2)当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值；(3)如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC=______．74.如图，在长方形纸片ABCD中，AD//BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．(1)求证：BE=BF．(2)若∠ABE=18°，求∠BFE的度数．(3)若AB=4，AD=8，求AE的长．75.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．(1)四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由．(2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论．(3)四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？76.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF=3，CE=4，求AP的长．77.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交cm，求AD．DC于点F，AF=25478.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，且BE=DF．求证：▱ABCD是菱形．CE．79.如图，AE=AC，点B是CE的中点，且AD//CE，AD=12(1)若AE=25，CE=14，求△ACE的面积；(2)求证：四边形ABCD是矩形．80.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)在点M移动过程中：①当四边形AMDN成矩形时，求此时AM的长；②当四边形AMDN成菱形时，求此时AM的长．81.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．(1)如图1，求证：△BCP≌△DCQ；(2)如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．82.如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：(1)∠BOD=∠C；(2)四边形OBCD是菱形．83.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．84.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．85.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，OA=2，OC=4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．(1)若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；(2)若点D在OA的延长线上，且EA=EB，求点E的坐标；(3)若OE=2√17，求点E的坐标．86.如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF为菱形；(2)如果∠A=90°，∠C=30°，BD=6，求菱形BEDF的面积．87.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，OC=3．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；QC是否存在最小值？若存在，求岀(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12这个最小值；若不存在，请说明理由．88.如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．89.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，AE//BD．(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若AB=2，DE=1，求四边形AODE的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求解．【解答】解：设菱形的对角线长分别为8x cm和6x cm，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知(4x)2+(3x)2=25，解得x=1，故菱形的对角线长分别为8cm和6cm，×8×6=24(cm2).所以菱形的面积为122.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，∵AE=1，AE⊥BC，∴AE=1AB，2∴∠B=30°，∴∠DAB=150°，∴∠DAB：∠B=5：1；故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG= AG=GE=12AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出③正确；设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG=AG=GE=12AE，∵∠AOG=30°，∴∠OAG=∠AOG=30°，∠GOE=90°−∠AOG=90°−30°=60°，∴△OGE是等边三角形，故③正确；设AE=2a，则OE=OG=a，由勾股定理得，AO=√AE2−OE2=√(2a)2−a2=√3a，∵O为AC中点，∴AC=2AO=2√3a，∴BC=12AC=12×2√3a=√3a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=√(2√3a)2−(√3a)2=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3a，∴DC=3OG，故①正确；∵OG=a,12BC=√32a，∴OG≠12BC，故②错误；∵S△AOE=12a⋅√3a=√32a2，S ABCD=3a⋅√3a=3√3a2，∴S△AOE=16S ABCD，故④正确；综上所述，结论正确是①③④共3个．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形)；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)．【解答】解：甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，{∠EAO =∠FCO AO =CO ∠AOE =∠COF, ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE =CF ，又∵AE//CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形；乙的作法正确；∵AD//BC ，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF 平分∠ABC ，AE 平分∠BAD ，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB =AF ，AB =BE ，∴AF =BE∵AF//BE ，且AF =BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB =AF ，∴平行四边形ABEF 是菱形；故选C ．5.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．直接利用菱形的性质得出∠ABC 的度数，进而得出∠DBC 的度数．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A=130°，∴∠ABC=180°−130°=50°，∴∠DBC=12∠ABC=25°．故选：A．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR= AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD//BC，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR=AS．∵AR⋅BC=AS⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA=12AC=3cm，OB=12BD=4cm，∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5cm．故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角的互余关系，熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键，解答此题由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD，求出∠EDC=36°，再由角的互余关系求出∠ODC，即可得出∠BDE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=12AC，OD=12BD，AC=BD，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ADE：∠EDC=3：2，∴∠EDC=25×90°=36°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODC=∠OCD=90°−36°=54°，∴∠BDE=∠ODC−∠EDC=54°−36°=18°．故选C．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，∴CO=12AC=6，BO=12BD=8，CO⊥BO，∴BC=√BO2+CO2=√62+82=10，∴S菱形ABCD =12AC⋅BD=12×16×12=96，∵S菱形ABCD=BC×AH，∴BC×AH=96，∴AH=9610=485．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质和平行四边形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．【解答】解：A.两组对角分别相等，两者均有此性质，故此选项不正确；B.两条对角线相等，两者均没有此性质，故此选项不正确；C.四个内角都是直角，两者均不具有此性质，故此选项不正确；D.每一条对角线平分一组对角，菱形具有而一般平行四边形不具有此性质，故此选项正确．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形性质和判定，线段垂直平分线性质，菱形的性质的应用，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角．连接BF，根据菱形性质得出AD=AB，∠DCB=100°，∠DCA= 50°，∠DAC=∠BAC=50°，根据线段垂直平分线得出AF=BF，求出∠FAB=∠FBA= 50°，求出∠AFB=80°，证△DAF≌△BAF，求出∠DFA=∠BFA=80°，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：如图，连接BF．∵在菱形ABCD中，∠BAD=100°，∴∠DAC=∠BAC=50°，∠ADC=∠ABC=180°−100°=80°．∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF．∴∠ABF=∠CAB=50°．在△ADF与△ABF中，∵{AD=AB,∠DAF=∠BAF, AF=AF,∴△ADF≌△ABF(SAS)，∴∠ADF=∠ABF=50°，∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=80°−50°=30°．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定及性质，求出矩形的宽是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，然后判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质及勾股定理求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：作EG⊥BC于G．∵F是BC中点，∠BEC=90°，∴EF=BF=FC，BC=2EF=2×4=8(cm)，∵∠ECD=30°，∴∠BCE=60°，∴△CEF是等边三角形，∴CE=EF=4cm，∠CEG=30°，∴CG=12CE=2cm，则EG=√CE2−CG2=2√3(cm)，∴矩形的面积=8×2√3=16√3(cm2).故选C．12.【答案】C【解析】【分析】此题考查三角形全等的判定和性质、正方形的性质和勾股定理。

特殊平行四边形知识归纳和常见题型精讲矩形菱形正方形的性质和判定总表矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角判定•有三个角是直角；•是平行四边形且有一个角是直角；•是平行四边形且两条对角线相等••四边相等的四边形；•是平行四边形且有一组邻边相等；•是平行四边形且两条对角线互相垂直。

•是矩形，且有一组邻边相等；•是菱形，且有一个角是直角。

对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形.矩形矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形或正方形）.矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:（具有平行四边形的一切特征）性质1:矩形的四个角都是直角. 性质2:矩形的对角线相等且互相平分.如图，在矩形ABCD中，可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形的判定方法.方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形.角的四边形是矩形. 方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形. 互相平分的四边形是矩形.例1已知：如图，矩形ABCD , AB长8 cm ,对角线比AD 边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.方法2:有三个角是直方法4:对角线相等且例3.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点, DE=4cm ,矩形ABCD的周长为32cm ,求AE的长.例4、如图，在-ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.⑴求证：AB=CF ;.菱形麦形疋义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，且每条对角线平分一组对角;菱形的判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 方法2:四边都相等的四边形是菱形.例1已知：如图，四边形求证：∠ AFD= ∠ CBE .例2已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点,=EF .DF丄AE于F,若AE=BC . 求证：CEF是AB上的一点，EF丄EC，且EF = EC,(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E.CBE例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ,若AB=AE, ∠ EAD=2 ∠ BAE 。

考点梳理：特殊的平行四边形16个必考点全梳理(精编Word)一、菱形的性质(求角的度数)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．1.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=33°，则∠OBC的度数为()A.33°B.57°C.59°D.66°2.在菱形ABCD中，若∠B=60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE=AF，则∠AEC+∠AFC度数等于3.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，若∠CDF=27°，则∠DAB的度数为．4.如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF=120°，则∠C的度数为．二、菱形的性质(等面积法)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．5.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ⊥AB 于点E ，若AC =8cm ，BD =6cm ，则DE =()A.53 cmB.25 cmC.245 cmD.485cm 6.如图，在菱形ABCD 中，AB =5，对角线BD =8，过BD 的中点O 作AD 的垂线，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，则DF 的长度为()A.125B.245C.85 5D.813 57.如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ．PF ⊥AB 于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE +PF 的值为()A.4B.245C.6D.4858.如图，菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 的长为8，延长AB 至E ，BF 平分∠CBE ，点G 是BF 上任意一点，则△ACG 的面积为()A.63B.12C.20D.24三、菱形的性质(求点的坐标)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．9.如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(8，2)，点D 的坐标为(0，2)，则点C 的坐标为()A.(2，2)B.(2，4)C.(4，2)D.(4，4)10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的顶点A (3，3)，C (-1，-1)，对角线BD 交AC 于点M ，交x 轴于点N ，若BN =2ND ，则点B 的坐标是()A.(-32 ，72 )B.(-2 ，22 )C.(4，-2)D.(-2，4)11.如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为(2，23 )，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为() A.(-2，-23 )或(23 ，-2) B.(2，23 ) C.(-2，23 )D.(-2，-23 )或(2，23 )12.如图，在菱形OABC 中，点A 的坐标是(2，1)，点B 的横坐标是3，则点C 的坐标是．四、菱形的性质(最值问题)13.如图，菱形ABCD 的的边长为6，∠ABC =60°，对角线BD 上有两个动点E 、F (点E 在点F 的左侧)，若EF =2，则AE +CF 的最小值为()A.210B.42C.6D.814.如图，菱形ABCD 的边长为23 ，∠ABC=60°，点E 、F 在对角线BD 上运动，且EF =2，连接AE 、AF ，则△AEF 周长的最小值是() A.4 B.4+3 C.2+23 D.615.如图，菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =2，E 、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE =DF ，则AE +AF 的最小值为．16.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠B =60°，点G 是边CD 边的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF +ED 的最小值是．五、菱形的判定与性质(计算与证明)17.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若∠DAC=60°，AC=2，求四边形AFCE的面积．18.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长．19.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若∠BDE=15°，∠C=45°，DE=2，求CF的长．20.如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．(1)求证：△ABN≌△CDM；(2)求证：四边形CDMN为菱形；(3)过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求NC的长．六、矩形的性质掌握矩形的性质是解决此类问题的关键，矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.21.如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，连结BM 、DN ．若AB =4，AD =8，则MD 的长为()A.3B.4C.5D.622.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ．若BE =EO ，则AD 的长是()A.62B.23C.32D.2523.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若DF ⊥AC ，∠ADF ：∠FDC =3：2，则∠BDF =()A.18°B.36°C.27°D.54°24.如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，∠ACB =52°，AM 平分∠BAC ，交BC 于点M ，过点B 作BF ⊥AM ．垂足为点F ，则∠DBF 的度数为()A.43°B.34°C.33°D.19°七、矩形的性质(最值问题)25.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是()A.2B.4C.2D.22 26.如图，在矩形ABCD 中，AD =2AB =4，点E 是AD 的中点，点M 是BE 上一动点，取CM 的中点为N ，则AN 的最小值是．27.学习新知：如图1、图2，P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP 2+CP 2=BP 2+DP 2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC 中，CA =4，CB =6，D 是△ABC 内一点，且CD =2，∠ADB =90°，则AB 的最小值为．28.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A '处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA '，CA ’，则△CGA '的周长的最小值为．八、矩形的判定与性质(计算与证明)矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.29.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AD=5，BE=3，求线段OE的长．30.如图，在△ABC中，点O是AC边的中点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．(1)求证：四边形CEAF是矩形；(2)若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，求四边形ABCF的面积．31.如图，已知△OAB中，OA=OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC=AO，OD=BO，连接AD、DC、CB．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．32.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO=BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB=1，求△OEC的面积．九、直角三角形斜边上的中线应用掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．33.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠DAC=45°，∠BAC=30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为()A.10°B.12°C.15°D.18°34.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，D为AC边上一动点，O为BD中点，DE⊥AB，垂足为E，连结OE，CO，延长CO交AB于F，设∠BAC=α，则()A.∠EOF=32 αB.∠EOF=2αC.∠EOF=180°-αD.∠EOF=180°-2α35.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为()A.19°B.33°C.34°D.43°36.如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF=6，BC=10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为．十、正方形的性质掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．37.如图，正方形ABCD 中，AB =2 ，点E 是对角线AC 上一点，EF ⊥AB 于点F ，连结DE ，当∠ADE =22.5°时，EF 的长是()A.1B.22 -2C.2 -1D.1438.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE =DF =1，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为()A.2B.2.5C.3D.3.539.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE ⊥CF 于点G ．若BC =4，AF =1，则CE 的长为()A.3B.125C.195D.16540.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AB ，AD 上，若CE =25 ，且∠ECF =45°，则CF 的长为()A.4103 B.5103 C.210 D.7103 十一、正方形的性质(最值问题)41.如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上一动点，ME ⊥BC 于E ，MF ⊥CD 于F ，则EF 的最小值为()A.32B.62C.3D.242.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE =CF ，连接BF 、DE ，则BF +DE 的最小值为()A.12B.20C.48D.8043.如图，平面内三点A 、B 、C ，AB =4，AC =3，以BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是()A.5B.7C.72D.722 44.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 是边AB 上的动点，且AM =BN ，连接MD 交对角线AC 于点E ，连接BE 交CN 于点F ，若AB =3，则AF 长度的最小值为．十二、正方形的判定与性质(计算与证明)45.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)求AG+AE的值；(3)若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．46.已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．(1)求证：四边形ABCD是正方形．(2)E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．47.如图，已知四边形ABCD 为正方形，AB =42 ，点E 为对角线AC 上一动点，连接DE 、过点E 作EF ⊥DE ．交BC 点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．(1)求证：矩形DEFG 是正方形；(2)探究：CE +CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．48.四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG(1)如图，求证：矩形DEFG 是正方形；(2)若AB =22 ，CE =2，求CG 的长；(3)当线段DE 与正方形ABCD 的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC 的度数．十三、中点四边形49.如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是()A.当∠ABC=90°时，四边形MNPQ为正方形B.当AC=BD时，四边形MNPQ为菱形C.当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形D.四边形MNPQ一定为平行四边形50.已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)①当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是菱形；②当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是矩形．51.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是线段BC、AD、OB、OD的中点，连接EH、HF、FG、GE．(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)当EF和BD满足条件时，四边形GEHF是矩形；(3)当EF和BD满足条件时，四边形GEHF是菱形．52.如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．十四、四边形的判定(动点问题)53.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②若AM=6，求证：四边形AMDN是菱形．54.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．(1)试说明EO=FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．55.如图，▱ABCD 中，AB =2cm ，AC =5cm ，S ▱ABCD =8cm 2，E 点从B 点出发，以1cm 每秒的速度，在AB 延长线上向右运动，同时，点F 从D 点出发，以同样的速度在CD 延长线上向左运动，运动时间为t 秒．(1)在运动过程中，四边形AECF 的形状是；(2)t =时，四边形AECF 是矩形；(3)求当t 等于多少时，四边形AECF 是菱形．56.如图，平行四边形ABCD 中，AD =9cm ，CD =32 cm ，∠B =45°，点M 、N 分别以A 、C 为起点，1cm /秒的速度沿AD 、CB 边运动，设点M 、N 运动的时间为t 秒(0≤t ≤6)(1)求BC 边上高AE 的长度；(2)连接AN 、CM ，当t 为何值时，四边形AMCN 为菱形；(3)作MP ⊥BC 于P ，NQ ⊥AD 于Q ，当t 为何值时，四边形MPNQ 为正方形．十五、四边形综合(多结论选择题)57.如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论，其中，所有正确的结论是()①△FPD是等腰直角三角形；②AP=EF=PC；③AD=PD；④∠PFE=∠BAP．A.①②B.①④C.①②④D.①③④58.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD =3；其中正确的结论个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个59.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN=BM；②EM∥FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个60.如图，正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF=FH；②∠HAE=45°；③BD=2FG；④△CEH 的周长为8．其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个十六、边形综合(旋转问题)61.在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，DE=EF，过D作DG⊥EF于点H，交AB边于点G．(1)如图1，求证：DE=DG；(2)如图2，将EF绕点E逆时针旋转90°得到EK，点F对应点K，连接KG，EG，若H为DG中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG长度相等的线段(不包括EG)．62.如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF=m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG=DF．(1)求证：△ABG≌△ADF；(2)求证：AG⊥AF；(3)当EF=BE+DF时：①求m的值；②若F是CD的中点，求BE的长．63.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AH⊥MN于点H．(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3)如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．(可利用(2)得到的结论)64.如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．的值(写出结论，不需要证明)；(1)探究PG与PC的位置关系及PGPC(2)如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且的值，写出你的猜想并加以证明；∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及PGPC(3)如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题(2)中的其他条件不变．你在(2)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．考点梳理：特殊的平行四边形16个必考点全梳理(精编Word )一、菱形的性质(求角的度数)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．1.如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM =CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠DAC =33°，则∠OBC 的度数为()A.33°B.57°C.59°D.66°【分析】根据菱形的性质以及AM =CN ，利用ASA 可得△AMO ≌△CNO ，可得AO =CO ，然后可得BO ⊥AC ，继而可求得∠OBC 的度数．【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =BC ，∴∠MAO =∠NCO ，∠AMO =∠CNO ，在△AMO 和△CNO 中，∠MAO =∠NCO AM =CN ∠AMO =CNO，∴△AMO ≌△CNO (ASA )，∴AO =CO ，∵AB =BC ，∴BO ⊥AC ，∴∠BOC =90°，∵∠DAC =33°，∴∠BCA =∠DAC =33°，∴∠OBC =90°-33°=57°，选B ．【小结】考查菱形性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．2.在菱形ABCD 中，若∠B =60°，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且BE =AF ，则∠AEC +∠AFC 度数等于【分析】菱形的四边相等，对角线平分每一组对角，因为∠B =60°，连接AC ，AC 和菱形的边长相等，可证明△ACE ≌△CDF ，可得到一个角为60°的等腰三角形从而可证明EFC 是等边三角形，进而利用四边形的内角和为360°即可得出答案．【解析】连接AC ，∵在菱形ABCD 中，∠B =60°，∴AC =AB =BC =CD =AD ，∵BE =AF ，∴AE =DF ，∵∠B =60°，AC 是对角线，∴∠BAC =60°，∴∠BAC =∠D =60°，∴△ACE ≌△CDF ，∴EC =FC ．∠ACE =∠DCF ，∵∠DCF +∠ACF =60°，∴∠ACE +∠ACF =60°，∴△ECF 是等边三角形．故可得出∠ECF =60°，又∠EAF=120°，∴∠AEC +∠AFC =360°-(60°+120°)=180°【小结】本题考查了菱形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及等边三角形的判定，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，难度一般．3.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，若∠CDF=27°，则∠DAB的度数为．【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．【解析】连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FAD+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°【小结】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．4.如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF= 120°，则∠C的度数为．【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD=∠CBD，进而利用三角形的内角和解答即可．【解析】设∠CBD=x，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD=x，∴∠ADB=∠CBD=x，∵AH⊥BC，AD∥BC，∴∠DAH=∠AHB=90°，∵F为ED的中点．∴AF=FD，∴∠FAD=∠ADB=x，∵∠BAF=120°，∴∠BAD=120°+x，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，可得：2x+120°+x=180°，解得：x=20°，∴∠BAD=120°+x=140°∵四边形ABCD为菱形，∴∠C=∠BAD=140°．【小结】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD=∠CBD解答．二、菱形的性质(等面积法)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．5.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ⊥AB 于点E ，若AC =8cm ，BD =6cm ，则DE =()A.53 cmB.25 cmC.245 cmD.485cm 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，AC =8cm ，BD =6cm ，∴S 菱形ABCD =12 AC •BD =12×6×8=24，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA =OC =12 AC =4cm ，OB =OD =3cm ，∴在直角三角形AOB 中，AB =OB 2+OA 2 =32+42 =5cm ，∴DH =S 菱形ABCD AB=245 cm ．选C ．【小结】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．6.如图，在菱形ABCD 中，AB =5，对角线BD =8，过BD 的中点O 作AD 的垂线，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，则DF 的长度为()A.125B.245C.85 5D.813 5【解析】连接AC ，如图：∵四边形ABCD 是菱形，O 是BD 的中点，∴OD =OB =12BD =4，AD =AB =5，AC ⊥BD ，∴OA =52-42 =3，∵OE ⊥AD ，∴△AOD 的面积=12 AD ×OE =12OA ×OD ，∴OE =OA ×OD AD=3×45 =125 ，同理：OF =125 ，∴EF =OE +OF =245 ，∵DE =OD 2-OE 2 =42-(125 )2 =165 ，EF ⊥AD ，∴DF =DE 2+EF 2 =(165 )2+(245)2 =813 5 ；选D7.如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ．PF ⊥AB 于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE +PF 的值为()A.4B.245C.6D.485【分析】连结BP ，如图，根据菱形的性质得BA =BC =5，S △ABC =12S 菱形ABCD =12，然后利用三角形面积公式，由S △ABC =S △PAB +S △PBC ，得到12 ×5×PE +12×5×PF =12，再整理即可得到PE +PF 的值．【解析】连结BP ，如图，∵四边形ABCD 为菱形，菱形ABCD 的周长为20，∴BA =BC =5，S △ABC =12 S 菱形ABCD=12，∵S △ABC =S △PAB +S △PBC ，∴12 ×5×PE +12×5×PF =12，∴PE +PF =245，选B ．【小结】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．8.如图，菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 的长为8，延长AB 至E ，BF 平分∠CBE ，点G 是BF 上任意一点，则△ACG 的面积为()A.63B.12C.20D.24【分析】连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质和勾股定理求出OB =3，得出△ABC 的面积=12，依据∠ACB =∠CBF ，得出AC ∥BF ，进而得出△ACG 的面积=△ABC 的面积=12．【解析】如图所示，连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACB =12 ∠BCD ，AB =5，OA =12AC =4，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴∠BCD =∠CBE ，OB =AB 2-OA 2 =52-42 =3，∴△ABC 的面积=12 AC ×OB =12×8×3=12，∵BF 平分∠CBE ，∴∠CBF =12∠CBE ，∴∠ACB =∠CBF ，∴AC ∥BF ，∴△ACG 面积=△ABC 面积=12，三、菱形的性质(求点的坐标)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．9.如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(8，2)，点D 的坐标为(0，2)，则点C 的坐标为()A.(2，2)B.(2，4)C.(4，2)D.(4，4)【分析】连接AC 、BD 交于点E ，由菱形的性质得出AC ⊥BD ，AE =CE =12 AC ，BE =DE =12BD ，由点B 的坐标和点D 的坐标得出OD =2，求出DE =4，AC =4，即可得出点C 的坐标．【解析】连接AC 、BD 交于点E ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AE =CE =12AC ，BE =DE =12BD ，∵点B 的坐标为(8，2)，点D 的坐标为(0，2)，∴OD =2，BD =8，∴AE =OD =2，DE =4，∴AC =4，∴点C 的坐标为：(4，4)；选D ．【小结】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的顶点A (3，3)，C (-1，-1)，对角线BD 交AC 于点M ，交x 轴于点N ，若BN =2ND ，则点B 的坐标是()A.(-32 ，72 )B.(-2 ，22 )C.(4，-2)D.(-2，4)【分析】先求出BD 的解析式，设点B (a ，-a +2)，则点D (2-a ，a )，由等腰直角三角形的性质和BN =2ND ，可得2 (-a +2)=2×2 ×(-a )，即可求解．【解析】∵点A (3，3)，C (-1，-1)，∴直线AC 为y =x ，M (1，1)，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴设直线BD 为y =-x +b ，∵点M 在直线BD 上，∴1=-1+b ，∴b =2，∴直线BD 为y =-x +2，设点B (a ，-a +2)，则点D (2-a ，a )，∵BN =2ND ，∴2 (-a +2)=2×2 ×(-a )，∴a =-2，∴点B (-2，4)，选D ．11.如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为(2，23)，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为()A.(-2，-23 )或(23 ，-2)B.(2，23 )C.(-2，23 )D.(-2，-23 )或(2，23 )【解析】∵菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为(2，23 )，∴AO =22+(23 )2 =4，OB =4，∴菱形的边长为4，△AOB 是等边三角形，分两种情况讨论：如图所示，当点A 在x 轴正半轴上时，过C 作CD ⊥AO 于D ，则OD =12 CO =2，CD =23 ，∴点C 的坐标为(-2，-23 )；如图所示，当点A 在x 轴负半轴上时，过C 作CD ⊥AO 于D ，则OD =12 CO =2，CD =23 ，∴点C 的坐标为(2，23 )；综上所述，点C 的对应点的坐标为(-2，-23 )或(2，23 )，选D ．12.如图，在菱形OABC 中，点A 的坐标是(2，1)，点B 的横坐标是3，则点C 的坐标是．【解析】作AD ⊥x 轴于D ，BF ⊥x 轴于F ，AE ⊥BF 于E ，BG ⊥y 轴于H ，CG ⊥BH 于G ，CM ⊥Y 轴于M ，如图所示：四边形BHOF 是矩形，四边形ADFE 是矩形，四边形GHMC 是矩形，∠ADO =∠AEB =∠C GB =∠CMO =90°，∵点A 的坐标是(2，1)，点B 的横坐标是3，∴OD =2，EF =AD =1，BH=3，∴AE =1，∴AE =AD ，∵四边形OABC 是菱形，∴OA =AB =BC =OC ，在Rt △ABE 和Rt △AOD 中，AB =OA AE =AD ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOD (HL )，∴BE =OD =2，∴BF =3=BH ，同理可证：△CBG ≌△AOD ，∴CG =AD =1，BG =OD =2，∴HM =1，OM =3-1=2，∴C (1，2)；四、菱形的性质(最值问题)13.如图，菱形ABCD 的的边长为6，∠ABC =60°，对角线BD 上有两个动点E 、F (点E 在点F 的左侧)，若EF =2，则AE +CF 的最小值为()A.210B.42C.6D.8【解析】如图，连接AC ，作AM ⊥AC ，使得AM =EF =2，连接CM 交BD于F ，∵AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，∴BD ⊥AC ，∵AM ⊥AC ，∴AM ∥BD ，∴AM ∥EF ，∵AM =EF ，AM ∥EF ，∴四边形AEFM 是平行四边形，∴AE =FM ，∴AE +CF =FM +FC =CM ，根据两点之间线段最短可知，此时AE +FC 最短，∵四边形ABCD 是菱形，AB =6，∠ABC =60°，∴BC =AB ，∴△ABC 是等边三角形，∴AC =AB =6，在Rt △CAM 中，CM =AM 2+AC 2 =22+62 =210 ，∴AE +CF 的最小值为210 ．选A ．14.如图，菱形ABCD 的边长为23 ，∠ABC =60°，点E 、F 在对角线BD 上运动，且EF =2，连接AE 、AF ，则△AEF 周长的最小值是()A.4B.4+3C.2+23D.6【解析】作AH ∥BD ，使得AH =EF =2，连接CH 交BD 于F ，则AE +AF的值最小，即△AEF 的周长最小．∵AH =EF ，AH ∥EF ，∴四边形EFHA 是平行四边形，∴EA =FH ，∵FA =FC ，∴AE +AF =FH +CF =CH ，∵菱形ABCD 的边长为23 ，∠ABC =60°，∴AC =AB =23 ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵AH ∥DB ，∴AC ⊥AH ，∴∠CAH =90°，在Rt △CAH 中，CH =AC 2+AH 2 =(23 )2+22 =4，∴AE +AF 的最小值4，∴△AEF 的周长的最小值=4+2=6，选D ．15.如图，菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =2，E 、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE =DF ，则AE +AF 的最小值为．【解析】如图，BC 的下方作∠CBT =30°，在BT 上截取BT ，使得BT =AD ，连接ET ，AT ．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴∠ADC =∠ABC =60°，∠ADF =12∠ADC =30°，∵AD =BT ，∠ADF =∠TB E =30°，DF =BE ，∴△ADF ≌△TB E (SAS )，∴AF =ET ，∵∠ABT =∠ABC +∠CBT =60°+30°=90°，AB =AD =BT =2，∴AT =AB 2+BT 2 =22+22 =22 ，∴AE +AF =AE +ET ，∵AE +ET ≥AT ，∴AE +AF ≥22 ，∴AE +AF 的最小值为22，【小结】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．16.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠B =60°，点G 是边CD 边的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF +ED 的最小值是．【分析】作DH ⊥AC 垂足为H 与AG 交于点E ，点H 关于AG 的对称点为F ，此时EF +ED 最小=DH ，先证明△ADC 是等边三角形，在RT △DCH 中利用勾股定理即可解决问题．【解析】如图作DH ⊥AC 垂足为H 与AG 交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD =CD =BC =6，∵∠B =60°，∴∠ADC =∠B =60°，∴△ADC 是等边三角形，∵AG 是中线，∴∠GAD =∠GAC∴点F 关于AG 的对称点H 在AC 上，此时EF +ED 最小=DH ．在RT △DHC 中，∵∠DHC =90°，DC =6，∠CDH =12 ∠ADC =30°，∴CH =12 DC =3，DH =CD 2-CH 2 =62-32 =33 ，∴EF +DE 的最小值=DH =33 ，故答案为33 ．五、菱形的判定与性质(计算与证明)17.如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是AD 上一点，连接EO 并延长，交BC 于点F ．连接AF ，CE ，EF 平分∠AEC ．(1)求证：四边形AFCE 是菱形；(2)若∠DAC =60°，AC =2，求四边形AFCE的面积．【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AO =CO ，∴∠AEF =∠CFE ，在△AOE 和△COF 中，∠AEF =∠CFE ∠AOE =∠COF AO =CO，∴△AOE ≌△COF (AAS )，∴OF =OE ，∵AO =CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形；∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF =∠CEF ，∴∠CFE =∠CEF ，∴CE =CF ，∴四边形AFCE 是菱形；(2)由(1)得：四边形AFCE 是菱形，∴AC ⊥EF ，AO =CO =12 AC =1，∴∠AOE =90°，∵∠DAC =60°，∴∠AEO =30°，∴OE =3 AO =3 ，∴EF =2OE =23 ，∴四边形AFCE 的面积=12 AC ×EF =12×2×23 =23 ．18.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点M 、N ．(1)求证：四边形BNDM 是菱形；(2)若BD =24，MN =10，求菱形BNDM的周长．(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DMO =∠BNO ，∵MN 是对角线BD 的垂直平分线，∴OB =OD ，MN ⊥BD ，在△MOD 和△NOB 中，∠DMO =∠BNO ∠MOD =∠NOB OD =OB，∴△MOD ≌△NOB (AAS )，∴OM =ON ，∵OB =OD ，∴四边形BNDM 是平行四边形，∵MN ⊥BD ，∴四边形BNDM 是菱形；(2)∵四边形BNDM 是菱形，BD =24，MN =10，∴BM =BN =DM =DN ，OB =12 BD =12，OM =12 MN =5，在Rt △BOM 中，由勾股定理得：BM =OM 2+OB 2 =52+122 =13，∴菱形BNDM 的周长=4BM =4×13=52．19.如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于E ，F ，G ，连接DE ，DF ．(1)求证：四边形BEDF 是菱形；(2)若∠BDE =15°，∠C =45°，DE =2，求CF的长．【解析】(1)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∵EF 垂直平分BD ，∴BE =DE ，BF =DF ，∵∠EBD =∠EDB ，∠FBD =∠FDB ，∴∠EBD =∠BDF ，∠EDB =∠DBF ，∴BE ∥DF ，DE ∥BF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，且BE =DE ，∴四边形BEDF 是菱形；(2)过点D 作DH ⊥BC 于点H ，∵四边形BEDF 是菱形，∴BF =DF =DE =2，∴∠FBD =∠FDB =∠BDE =15°，∴∠DFH =30°，且DH ⊥BC ，∴DH =12 DF =1，FH =3 DH 3 ，∵∠C =45°，DH ⊥BC ，∴∠C =∠CDH =45°，∴DH =CH =1，∴FC =FH +CH =3 +1．20.如图，在▱ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∠AND =90°，连接CM 交DN 于点O ．(1)求证：△ABN ≌△CDM ；(2)求证：四边形CDMN 为菱形；(3)过点C 作CE ⊥MN 于点E ，交DN 于点P ，若PE =1，∠1=∠2，求NC 的长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠B =∠CDM ，∵M 、N 分别是AD ，BC 的中点，∴BN =DM ，∵在△ABN 和△CDM 中，AB =CD ∠B =∠CDM BN =DM，∴△ABN ≌△CDM (SAS )；(2)证明：∵M 是AD 的中点，∠AND =90°，∴NM =AM =MD ，∵BN =NC =AM =DM ，∴NC =MN =DM ，∵NC ∥DM ，NC =DM ，∴四边形CDMN 是平行四边形，又∵MN =DM ，∴四边形CDMN 是菱形．(3)∵M 是AD 的中点，∠AND =90°，∴MN =MD =12AD ，∴∠1=∠MND ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠CND ，∵∠1=∠2，∴∠MND =∠CND =∠2，∴PN =PC ，∵CE ⊥MN ，∴∠CEN =90°，∠END +∠CNP +∠2=180°-∠CEN =90°，又∵∠END =∠CNP =∠2，∴∠2=∠PNE =30°，∵PE =1，∴PN =2PE =2，∴CE =PC +PE =3，∴NC =23．六、矩形的性质掌握矩形的性质是解决此类问题的关键，矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.21.如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，连结BM 、DN ．若AB =4，AD =8，则MD 的长为()A.3B.4C.5D.6【分析】根据线段垂直平分线的的性质，求出DM =BM ，在Rt △A MB 中，根据勾股定理得出BM 2=AM 2+AB 2，即可列方程求解．【解析】∵对角线BD 的垂直平分线MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，∴MB =MD ，设MD 长为x ，则MB =DM =x ，在Rt △A MB 中，BM 2=AM 2+AB 2,即x 2=(8-x )2+42，解得：x =5，∴MD 长为5．选C ．【小结】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．22.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ．若BE =EO ，则AD 的长是()A.62B.23C.32D.25【分析】由矩形的性质可得OB =OD =OA =OC ，AC =BD ，由线段垂直平分线的性质可得OA =AB =OB ，可证△OAB 是等边三角形，可得∠ABD =60°，由直角三角形的性质可求解．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，OA =OC ，AC =BD ，∴OA =OB ，∵BE =EO ，AE ⊥BD ，∴AB =AO ，∴OA =AB =OB ，即△OAB 是等边三角形，∴∠ABD =60°，∴∠ADE =90°-∠ABD =30°，∴AD =3 AB =23 ，选B ．【小结】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=()A.18°B.36°C.27°D.54°【分析】根据∠ADC=90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD=OC，推出∠BDC=∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．【解析】设∠ADF=3x，∠FDC=2x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴2x+3x=90°，∴x=18°，即∠FDC=2x=36°，∵DF⊥AC，∴∠DMC=90°，∴∠DCO=90°-36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，∴OD=OC，∴∠BDC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠BDC-∠FDC=54°-36°=18°，选A．【小结】本题考查了矩形性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质等知识；求出∠BDC和∠CDF的度数是解题的关键．24.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB=52°，AM平分∠BAC，交BC于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为()A.43°B.34°C.33°D.19°【分析】由矩形的性质得∠ABC=90°，AE=BE，求出∠ABD=∠BAC=38°，由角平分线定义得出∠BAM=∠CAM=12 ∠BAC=19°，则∠ABF=90°-∠BAM=71°，由∠DBF=∠ABF-∠ABD即可得出结果．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AE=BE，∴∠BAC=90°-∠ACB=90°-52°=38°，∴∠ABD=∠BAC=38°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM=∠CAM=12 ∠BAC=12 ×38°=19°，∵BF⊥AM，∴∠ABF=90°-∠BAM=90°-19°=71°，∴∠DBF=∠ABF-∠ABD=71°-38°=33°，选C．【小结】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的性质和角平分线定义是解题的关键．。