实数一对一辅导讲义

学海教育一对一个性化辅导讲义学员姓名 朱文洁 学校 十五中 年级及科目七年级数学教师Wang longbiao课 题 实数授课时间：18:30----20:30教学目标教学内容【基础知识梳理】 1、无理数（1）概念：无限不循环小数的小数叫做无理数它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例1.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。

（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个A 2B 3C 4D 5例2.下列说法中，正确的是（ ） A ．数轴上的点都表示有理数 B ．用根号表示的数不一定都是无理数C ．1/27 的立方根是±1/3D ．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数变式训练1、下列说法正确的是（ ） A ．4的平方根是2B ．38是无理数C ．实数和数轴上的点一一对应D ．无限小数都是无理数2、若|a |=2．那么实数a 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．0【实数】（1）有理数与无理数统称为实数。

龙文教育一对一讲义教师: 学生: 日期: 星期: 时段:课 题实数（一）学习目标与分析1. 公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba ba =（a ≥0，b ＞0）从右往左的运用．2. 了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算．3. 灵活运用两个法则进行有关实数的四则运算．学习重点1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题。

学习方法 讲练结合法学 习 内 容 与 过 程教 师 分 析 与 批 改1．计算23475482131-+的结果是 ( )A. 2B. 0C. -3D. 3 2．化简：①1132328-+； ②125205-；③22)77()77(--+。

3．已知,32,32-=+=y x 22y xy x+-求。

学习内容与过程教师分析与批改二．选择题：11．计算：= （）（A）（B）（C）或（D）12．9的平方根是（）（A）. 3 （B）. －3 （C）. 3 （D）. 8113．用科学记数法表示0.00032，正确的是（）（A）.（B）. （C）.（D）.14．在实数π，2，，，tan45°中，有理数的个数是（）（A） 2个（B） 3个（C） 4个（D） 5个15．0.00898用科学记数法表示为（）（A） 8.98×10-3（B） 0.898×10-3（C） 8.98×10-4（D） 0.898×10-416．观察下列各题的运算①，②·，③(sin225°+sin265°－t（A）n225°·)0=1，④，⑤(－7)2=14，⑥|4－7|=7－4其中算对的有（）（A）③⑤（B）②⑥（C）③④⑤⑥（D）⑤⑥。

师航教育一对一个性化辅导讲义第2讲 实数【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.重难点；数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题的形式出现，实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算，常以计算或化简题型出现．另外，命题者也会利用分析归纳总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力第2讲实数考点一 实数的分类 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分： 按与0的大小关系分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数 实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即0a ≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：(1)运算法则、运算律有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．(2)运算顺序在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 考点二 平方根、算术平方根、立方根 1、平方根、立方根类型项目平方根 立方根被开方数 非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==2．算术平方根(1)如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作a .零的算术平方根是零，即0＝0.(2)算术平方根都是非负数，即a ≥0(a ≥0)． (3)(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |.(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)；a b ＝ab(a ≥0，b ＞0)．【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。

《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。

简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。

有理数，大家应该都比较熟悉，像整数（包括正整数、零、负整数）和分数（包括有限小数和无限循环小数），都属于有理数。

比如5、0、－3 、1/2 、0333 等等。

而无理数，则是那些无限不循环小数。

比较典型的无理数有圆周率π（约等于 31415926）、根号 2（约等于 14142135）等等。

二、实数的性质1、实数的有序性实数是可以按照大小顺序排列的。

对于任意两个实数 a 和 b，要么a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种情况必有且仅有一种成立。

2、实数的稠密性在任意两个不同的实数之间，总是存在着无数个其他的实数。

这意味着实数在数轴上是密密麻麻分布的，没有任何空隙。

3、实数的运算性质实数具有加、减、乘、除（除数不为 0）四则运算的封闭性。

也就是说，两个实数进行四则运算，其结果仍然是实数。

例如：3 ＋ 5 ＝ 8，5 2 ＝ 3，3 × 4 ＝ 12，6 ÷ 2 ＝ 3 。

而且，实数的运算还满足交换律、结合律和分配律。

交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a ，a × b ＝ b × a 。

结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c) ，（a × b) × c ＝ a ×（b ×c) 。

分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c 。

三、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都对应着一个实数。

例如，实数 5 可以用数轴上距离原点 5 个单位长度且在正方向上的点来表示；实数－3 则可以用数轴上距离原点 3 个单位长度且在负方向上的点来表示。

四、实数的分类1、按符号分类实数可以分为正实数、零和负实数。

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。

即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。

（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5a ≥0。

（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。

即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。

数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。

（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。

《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中的一个基本概念。

简单来说，实数就是有理数和无理数的总称。

有理数，大家应该比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）以及分数（正分数、负分数），都属于有理数。

例如3、－5、0、1/2 等等。

而无理数呢，则是无限不循环小数。

比如大家熟知的圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 ，约等于 141421356 这些数都是无理数。

二、实数的分类实数可以按照不同的标准进行分类。

如果按照符号来分，可以分为正实数、零、负实数。

正实数，就是大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。

负实数，是小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。

零，既不是正实数，也不是负实数。

从另一个角度，如果按照是否为有理数来分，实数就分为有理数和无理数。

有理数又可以进一步细分为整数和分数。

整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。

三、实数的性质1、实数的有序性对于任意两个实数 a 和 b，在三种关系中，有且仅有一种成立：a ＜ b，a ＝ b，a ＞ b。

2、实数的稠密性实数在数轴上的分布是稠密的，也就是说，在任意两个不同的实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。

3、实数的四则运算实数的加法、减法、乘法和除法运算（除数不为 0），其结果仍然是实数。

加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：a × b ＝ b × a乘法结合律：（a × b) × c ＝ a ×（b × c)乘法分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c4、实数的绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，其定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。

绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。

四、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。