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第二十四章 图形的相似 第二十五章 解直角三角形基础知识点及典例分析：1、相似三角形的判定方法：①如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
②如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
④平行于三角形的一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2、相似三角形的性质： 、 、 和 等于相似比， 等于相似比的平方。
3、三角形中位线定理（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
4、三角形的重心：三角形三条边的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31。
5、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。
6、锐角三角函数的概念：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的函数记作A sin 、A cos 、A tan 、A cot 。
斜边的对边A sin ∠=A ，斜边的邻边A A ∠=cos ，的邻边的对边A A A ∠∠=tan ，的对边的邻边A A A ∠∠=tan 。
分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数。
8、已知特殊角的某一个三角函数值写出相应的角，并注意一些变化： 互余的两个锐角的三角函数关系：在直角三角形ABC 中，设∠C 为直角，则∠A+∠B=90°，得一组公式：B A ∠=∠-︒=∠cos )A 90cos(sin ；B A ∠=∠-︒=∠sin )A 90sin(cos ； B A ∠=∠-︒=∠cot )A 90cot(tan ；B A ∠=∠-︒=∠tan )A 90tan(cot 。
9、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角等于斜边的一半。
一、相似三角形判定考察判定定理： 两角相等，三边比例，两边及夹角。
二、位似图形1．位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A 、A ′的连线(或延长线)都经过同一个点O ，且有OA ′＝kOA(k ≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心，这时的相似比k 又称为位似比． 2．位似多边形的性质：(1)位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质；(2)位似多边形上任意一对对应点连线(或延长线)都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比．归纳结论：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，并且对应边平行(或在同一直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比．注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三个条件缺一不可：①两图形相似；②每组对应点所在直线都经过同一点；③对应边互相平行(或在同一直线上)．例1．把右面的四边形缩小到原来的12(相似比是12或位似比是12)．解：(位似中心在图形外，已知)作法略.，四边形A′B′C′D′即为所求．你有其他画法吗？请互相交流．归纳结论：画位似图形的方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论．例2．如图，已知四边形ABCD 和点O ，请以O 为位似中心，作出四边形ABCD 的位似图形，把四边形ABCD 放大为原来的2倍．答：连接OA ，OB ，OC ，OD 延长OA 到A′使OA′＝2OA ，延长OB 到B′使OB′＝2OB ，延长OC 到C′使OC′＝2OC ，延长OD 到D′使OD′＝2OD ，顺次连接A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形．三、位似变换中的坐标变化1．在平面直角坐标系中，一个多边形每一个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|．2.我们学习过的图形变换包括：平移、轴对称、旋转和位似．其中经过平移、轴对称、旋转变换前后的两个图形一定是全等的；而经过位似变换前后的两个图形是相似的．结论：[在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.]1．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A 的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( C )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)2．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A(－6，1)，B(－3，1)，C(－3，3)．若将它们的横纵坐标都乘以－3，得到新三角形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 是位似关系，位似中心是坐标原点，位似比等于3．3．如图，已知△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是(2，－2)；(2)以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且相似比为2∶1，点C 2的坐标是(1，0)；1、（2017）.若ABC ∆的每条边长增加各自的10%得'''A B C ∆，则'B ∠的度数与其对应角B ∠的度数相比( ) A ．增加了10% B ．减少了10% C ． 增加了(110%)+ D ．没有改变2、（2016）如图6，△ABC 中，∠A =78°，AB=4，AC=6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是( C )变相考察相似判定：注意原三角形BC 边长未知，C 不一定平行 3、（2014）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）图6A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对答案：解直角三角形——1、方位2、三角函数应用命题规律：近五年规律基本上是隔一年考一次，2013、15、17年均考了一次，14、16未涉及。
初三数学《相似三角形》知识提纲(何老师归纳)一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2.合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠04、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，=，nmb a =语言描述如下：=，=，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：图（2） 图（3） 图（4） 图（5）2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A 型 X 型由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若=.=，=，则AD ∥BE ∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. 二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
相似三角形的判定与性质的复习一、教材背景分析〔一〕、教材背景《相似三角形的判定与性质》是人教版九年级下册第二十七章学习内容。
它为后面研究三角函数和解直角三角形以及后面中考中与圆结合计算线段的长度做了铺垫，在学习平面几何中起着承上启下的作用。
因此必须熟练掌握三角形相似的判定和性质，并能灵活运用。
教材从三对边、两对角、一对角及两条夹边的顺序展开探究，符合学生认知规律。
〔二〕、学情背景：学生通过前面的学习已认识了相似图形的性质和判定，认识了相似三角形，这为探究三角形相似的判定和性质的综合运用做好了知识上的准备。
九年级学生动手操作能力逐渐成熟，能主动参与本节课的操作、探究，充分体验获得知识的快乐。
二、教学目标:1、复习相似三角形的概念。
2、复习相似三角形的判定。
3、复习相似三角形的性质。
重点难点重点：能运用相似三角形的判定定理分析两个三角形是否相似。
难点：正确灵活运用相似三角形的判定和性质解决一些数学问题三、复习过程〔一〕课前热身：1、如下图,D是AB边上一点，连接CD，要使得△ADC ∽△ACB．则应添加一个条件是________。
第1题第2题第3题2、如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，假设△AEF与△ABC 相似，则 AF =______________.3、如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△A E F：S四边形B D E F=______________〔二〕、要点梳理：1．相似三角形的定义：_________________________________________相似三角形的相似比的定义：_____________________________________2．判定两个三角形相似的常用方法〔1〕〔2〕〔3〕① __________于三角形一边的直线和其他两边相交〔或两边的延长线相交〕，所构成的三角形与原三角形相似；②三边___________________________的两个三角形相似；③两边____________________________的两个三角形相似；④两角分别________________________的两个三角形相似．你会用符号语言来表示吗？3．相似三角形的性质〔1〕相似三角形的对应边________，对应角________；〔2〕相似三角形___________，__________与____________都等于相似比；〔3〕相似三角形周长的比等于________，相似三角形面积的比等于___________．反之相似三角形的相似比应等于它们面积比的_________________.〔三〕、典型例题：例1. (教材P42页，第3题〕如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．判定△ABC与△DEF是否相似？变式1：如图，小正方形的边长均为1，则以下图中的三角形〔阴影局部〕与△ABC相似的是〔〕A． B． C． D．变式2：以下4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是：A． B． C． D．例题2：〔教材第42页第4题〕如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB，求证：△ADE∽△EFC变式：如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB，S△ADE=9，S△EFC=16，求S四边形DEFB=?FEAB CD例题3〔教材第44页第14题〕，如图△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝9，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿BA向点A运动，此时直线DE//BC，交AC于点E。
期末复习之相似三角形及解直角三角形一对一辅导讲义————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：教学目标 1、复习相似三角形的性质； 2、复习解直角三角形的性质。
重点、难点相似三角形及解直角三角形的几何证明考点及考试要求 1、相似三角形2、解直角三角形3、相似三角形及解直角三角形的几何证明教 学 内 容第一课时 相似三角形及解直角三角形知识梳理1.梯形的两腰AD ，BC 延长后相交于点M ， (1) 如果AD=3.3cm ，BC=2cm ，DM=2.1cm ，则MC= cm 。
(2) 如果95=AB CD ，AD=16cm ，则DM= cm 。
2.若b a b +＝53，那么ba＝ 3．在的长为，则，，中，BC AB B C ABC Rt 73590=︒=∠︒=∠∆ 。
4.计算：.60cos 43)258(sin )21()1(032010o o -+-+⨯--π5.如图，的长求线段的角平分线，若是，，中，AD AC ABC AD B C ABC .33090=∆︒=∠︒=∠∆。
DCAB课前检测一、相似三角形相关知识点1. 相似三角形的性质 （1）相似图形与相似变换相似图形的本质是形状相同，与图形的大小、位置没有关系。
如果两个三角形相同并且大小相同时，它们是全等图形，也就是全等是相似的一种特殊情况。
两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形按照一定的比例放大或缩小得到的。
（2）相似三角形定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作相似于。
（3）有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（4）相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。
注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序.全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1. 2.相似三角形的引理及判定 （1）相似三角形的引理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）相似三角形的判定① 两角对应相等的两个三角形相似；② 两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； ③ 三边对应成比例的两个三角形相似；④ 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
二、解直角三角形相关知识点1. 定义：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三边和两个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。
2. 理论依据（1） 三边关系：222c b a =+ （勾股定理） （2） 锐角关系：A+B= 90 （3） 边角关系：c b B =sin c a B =cos a b B =tan ba B =cot B A sin sin = sinB cosA = B A cot tan = B A tan cot =知识梳理1cos sin 22222=+=+ca b B B 3．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角。
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫俯角。
第二课时 相似三角形及解直角三角形考点题型一、相似三角形部分例1. 若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 。
变式1 ：两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是 ，周长是 。
例2. 如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求：（1）AGAF； （2）△ADE 与△ABC 的周长之比； （3）△ADE 与△ABC 的面积之比. （1）∵∠BAC=∠DAE ，∠ADE=∠B ， ∴△BAC ∽△DAE ，又∵AG 、AF 分别是△BAC 和△DAE 的高， ∴35==AD AB AF AG ． （2）∵△BAC ∽△DAE ， ∴△ADE 与△ABC 的周长之比=53=AG AF ． （3）∵△BAC ∽△DAE ，考点题型ABCDE FG∴925)35()(22===AD AB S S DAE BAC变式2：如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，21==AB AE AC AD 且∠AED=∠B ，则△AED 与△ABC 的面积比是（ ） A 、1：2 B 、1：3 C 、1：4 D 、4：9例3. 某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm ，面积为12cm 2，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？解：设绿化区的的实际周长与面积分别是C ，S ，∵城市规划图的比例尺为1：4000，图中一个绿化区的周长为15cm ， ∴ 14000= 15C ，解得C=60000cm=600m ； ∵图中一个绿化区的面积为12cm 2，∴（ 14000）2= 12S ，解得S=192000000cm2=19200m 2． 故答案为：600m 、19200m 2．例4. 小明想测量电线杆的高，发现电线杆影子长为14+2 米 ，且此时测得1米杆子的影子长为2米，那电线杆的高是多少？答案：h321412+=，37+=h 米。
例5. 如图，已知在△ABC 中，CD=CE ，∠A=∠ECB ，试说明CD 2=AD ·BE 。
证明：∵CD=CE∴∠CDE=∠CEDABCDE 3 CABDE∵∠CDE+∠CDA=1800 ,∠CED+∠CEB=1800 ∴∠CDA=∠CEB ∵∠A=∠ECB ， ∴△ADC ∽△CEB ∴EBDCCE AD =∵CD=CE ∴CD 2=AD ·BE变式4：已知，如图，在等边△CDE 中，A 、B 分别是ED 、DE 的延长线上的点，且DE 2=AD ·EB ，求∠ACB 的度数。
二、解直角三角形部分题型1 三角函数1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA 的值为_______．变1. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC=4，AC=3，则cosA 的值为______．变2．计算：12+8-+︒-︒cos60tan30（）题型2 解直角三角形1.如图，在矩形ABCD 中DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=a ，且cos α=35，AB=4，则AD的长为（ ）CABDEA．3 B.162016.. 335C D变3.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．•若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a+b的值为（）A．35 B．43 C．89 D．97题型3 解斜三角形1.如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，•求△ABC的面积（结果可保留根号）．变4.如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，•一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向，问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？题型4 应用举例1．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图），她测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮助她算出树高AB约为________米．（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）变5．如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D•点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为______米．变6.如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D•点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．•如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．第三课时 相似三角形及解直角三角形复习检测1、如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 在AC 边上，且AE ︰EC=1︰2，BE 交AD 于P ，则AP ︰PD 等于（ ）A ．1︰1B ．1︰2C ．2︰3D ．4︰3 2、如图，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB=6，BC=4，则AE ︰EF ︰FB 为（ ）A ．1︰2︰3B ．2︰1︰3C ．3︰2︰1D ．3︰1︰2 3、设a 、b 、c 分别是△ABC 的三边长，且，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）A ．∠B>2∠AB ．∠B=2∠AC ．∠B<2∠AD ．不确定 4、如图，D 、E 在BC 上，F 、G 分别在AC 、AB 上，且四边形DEFG 为正方形．如果S △CEF =S △AGF =1，S △BDG =3，那么S △ABC 等于（ ）（第4题） （第5题）A ．6B ．7C ．8D ．9 5、如图，△ABC 中，∠ABC=60°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA ，且PA=8，PC=6，复习检测则PB＝_____________．6、如图，梯形ABCD中，AD//BC，两条对角线AC、BD相交于O．若S△AOD ︰S△COB=1︰9，那么S△BOC︰S△DOC＝___________．（第6题）（第7题）7、如图，在△ABC中，DE//FG//BC，GI//EF//AB．若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则△ABC的面积为_____________．8、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，，则AB的长为_____________．（第8题）（第9题）9、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点．若，则AD的长为______．10、如图，在△ABC中，∠BAC︰∠ABC︰∠ACB=4︰2︰1，AD是∠BAC的平分线，有如下三个结论：①BC︰AC︰AB=4︰2︰1；②AC=AD＋AB；③△DAC∽△ABC．其中正确的结论是_____________．（填序号）10题图 11题图11、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD交BC于点E．求证：BE=2EC．12、如图，P、Q分别是正方形ABCD边AB、BC上的点，且BP=BQ．过B点作BH⊥PC，垂足为H．证明：DH⊥HQ．13、如图，O为△ABC内任一点．求证：．14、如图，M为△ABC的BC边中点，一截线交AB、AM、AC分别于P、N、Q．求证：．15、如图，已知直角梯形ABCD中，上底AD=a，下底BC=c，直角腰AB=b，E、F是AB上两点且AF=BE，DE⊥EC．求证：tan∠ADF和tan∠ADE是一元二次方程ax2－bx＋c=0的两个根．16、某森林管理处雇佣两架农用直升飞机向森林喷洒药物，两飞机在同一地点出发，甲机沿北偏东45°方向以20千米/时的速度飞行，乙机沿南偏东30°方向以千米/时的速度飞行．3小时后，乙机发现有部分药品误放在甲机上，而此时，乙机只能沿北偏东15°的方向追赶甲机，则乙机该以怎样的速度飞行才能正好赶着甲机？。
