【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.1 2.1.3 推理

第2章推理与证明§2.1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理(1)定义：从__________中推演出__________的结论，这样的推理称为归纳推理．(2)思维过程→→2．类比推理(1)定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的________或________，推演出它们在其他方面也__________或________，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)思维过程观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论3．合情推理的含义合情推理是根据已有的事实和正确的结论，___________________________________等推测出某些结果的推理过程．____________和____________是数学活动中常用的合情推理．一、填空题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为________．2．如图由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有______根；第n 个图形中，火柴杆有________根．3．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，通过计算a 2，a 3的值，猜想a n ＝________.4．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n<19，n ∈N *)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________________________________________成立．5．当a ，b ，c ∈(0，＋∞)时，由a ＋b 2≥ab ，a ＋b ＋c 3≥3abc ，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是____________________．6．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n 个等式为______________________________________．7．设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝______________. 8．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_______________________________________________”；这个类比命题的真假性是__________．二、解答题9．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f (n )表示这n 个圆把平面分割的区域数，试求f (n )．10.观察①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1.②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．能力提升11．观察下列等式：①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.12．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线交点的个数．(1)求f (4)；(2)当n >4时，用n 表示出f (n )．1．归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．3．合情推理获得的结论未必可靠，但能帮助我们猜测，发现结论．答案知识梳理1．(1)个别事实一般性(2)实验、观察概括、推广猜测一般性结论2．(1)相似相同相似相同3．实验和实践的结果以及个人的经验和直觉归纳推理类比推理作业设计1．32解析∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，∴x－20＝12，∴x＝32.2．133n＋13．n2解析计算得a2＝4，a3＝9.∴猜想a n＝n2.4．b1b2…b n＝b1b2…b17－n (n<17，n∈N*)解析在等差数列{a n}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n＝a n＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－a n＋1，∴a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a17－n.相应地，类比此性质在等比数列{b n}中，可得b1b2…b n＝b1b2…b17－n (n<17，n∈N*)．5.a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n ) 解析 a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n )是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．6．12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n )7.⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为偶数)12n －13n (n 为奇数) 解析 观察T n 表达式的特点可以看出T 2＝0，T 4＝0，……，∴当n 为偶数时，T n ＝0；又∵T 3＝123－133，T 5＝125－135，……，∴当n 为奇数时，T n ＝12n －13n . 8．夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题9．解 ∵f (n )表示n 个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n 个圆相交，则增加2n 个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n 段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n 个，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n ，亦即f (n ＋1)－f (n )＝2n ，又f (1)＝2，由递推公式得f (2)－f (1)＝2×1，f (3)－f (2)＝2×2，f (4)－f (3)＝2×3，……，f (n )－f (n －1)＝2(n －1)．将以上n －1个等式累加得f (n )＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n 2－n ＋2.10．解 观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝π2且α，β，γ都不为k π＋π2(k ∈Z )，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1. 证明：①γ＝0时，等式显然成立．②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝π2， 得α＋β＝π2－γ， 所以tan(α＋β)＝1tan γ. 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， 所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan α·tan β)＝1tan γ(1－tan α·tan β)， 所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan αtan β＋tan γ(tan α＋tan β)＝tan αtan β＋tan γ·1 tan γ(1－tan αtan β)＝1. 综上所述，等式成立．11．962解析 观察得：式子中所有项的系数和为1，∴m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，∴m ＋n ＋p ＝162，又p ＝10×5＝50，m ＝29＝512，∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.12．解(1)如图所示，可得f(4)＝5.(2)∵f(3)＝2；f(4)＝5＝f(3)＋3；f(5)＝9＝f(4)＋4；f(6)＝14＝f(5)＋5；……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝12(n＋1)(n－2)．。

函数的和、差、积、商的导数教学目的：知识与技能：掌握四个公式，理解公式的证明过程.过程与方法：理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数。

情感、态度与价值观：理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．教学重点：用定义推导函数的和、差、积的求导法则教学难点：函数的积的求导法则的推导．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

教学过程：学生探究过程： 一、复习引入：1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m )(0000/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim 7. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=二、讲解新课：法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 '')'(v u v u ±=±证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴ x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆， x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 '')'(uv v u uv +=证明：令)()()(x v x u x f y ==，则=∆y )(x x u ∆+)(x x v ∆+-)()(x v x u)(x x u ∆+=)(x x v ∆+-)(x u )(x x v ∆++)(x u )(x x v ∆+-)()(x v x u ， =∆∆x y x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u xx v x x v ∆-∆+)()( 因为)(x v 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，)()(x v x x v →∆+，从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u 0lim →∆x xx v x x v ∆-∆+)()( )(')()()('x v x u x v x u +=，即 ='y '')'(uv v u uv +=．说明：⑴'')'(v u uv ≠，'')'(v u uv +≠； ⑵∵ ''0'')'(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=∴ 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．⑶两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导．三、讲解范例：例1 求y =x 3+sin x 的导数.解：y ′=(x 3+sin x )′=(x 3)′+(sin x )′=3x 2+cos x例2 求y =x 4－x 2－x +3的导数.解：y ′=(x 4－x 2－x +3)′=(x 4)′－(x 2)′－x ′+3′=4x 3－2x －1，例3求453223-+-=x x x y 的导数．解： 563'2+-=x x y例4求2(23)(32)y x x =+-的导数．解： )'23)(32()23()'32('22-++-+=x x x x y3)32()23(42⋅+++=x x x 98182+-=x x例5 y =3x 2+x cos x ，求导数y ′.解：y ′=(3x 2+x cos x )′=(3x 2)′+(x cos x )′=3·2x +x ′cos x +x (cos x )′=6x +cos x +x sin x例6 y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′.解：y ′=(5x 10sin x －2x cos x －9)′=(5x 10sin x )′－(2x cos x )′－9′=5(x 10)′sin x +5x 10(sin x )′－［2(x )′·cos x +2x (cos x )′］－0=5·10x 9sin x +5x 10cos x －(121212 x ·cos x －2x sin x ) =50x 9sin x +5x 10cos x －x1cos x +2x sin x =(50x 9+2x )sin x +(5x 10－x 1)cos x 四、巩固练习：1.求函数的导数. (1)y=2x 3+3x 2－5x +4解：(2x 3+3x 2-5x +4)′=(2x 3)′+(3x 2)′-(5x )′+4′=2·3x 2+3·2x -5=6x 2+6x -5(2)y =sin x －x +1解：y ′=(sin x －x +1)′=(sin x )′－x ′+1′=cos x －1(3)y =(3x 2+1)(2－x )解：y ′=［(3x 2+1)(2－x )］′=(3x 2+1)′(2－x )+(3x 2+1)(2－x )′=3·2x (2－x )+(3x 2+1)(－1)=－9x 2+12x －1(4)y =(1+x 2)cos x解：y ′=［(1+x 2)cos x ］′=(1+x 2)′cos x +(1+x 2)(cos x )′=2x cos x +(1+x 2)(－sin x )=2x cos x －(1+x 2)sin x2.填空： (1)［(3x 2+1)(4x 2－3)］′=( )(4x 2－3)+(3x 2+1)( )解：［(3x 2+1)(4x 2－3)］′=(3x 2+1)′(4x 2－3)+(3x 2+1)(4x 2－3)′=3·2x (4x 2－3)+(3x 2+1)(4·2x )=(6x )(4x 2－3)+(3x 2+1)(8x )(2)(x 3sin x )′=( )x 2sin x +x 3( )解：(x 3sin x )′=(x 3)′sin x +x 3(sin x )′=(3)x 2sin x +x 2(cos x )3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.［(3+x 2)(2－x 3)］′=2x (2－x 3)+3x 2·(3+x 2)解：不正确.［(3+x )2(2－x 3)］′=(3+x 2)′(2－x 3)＋(3＋x 2)(2－x 3)′=2x (2－x 3)+(3+x 2)(－3x 2)=2x (2－x 3)－3x 2(3+x 2)五、教学反思 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数。

[对应学生用书P31]一、导数的概念1．导数函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f′(x)在各点的导数中随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．记作f′(x)．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义．2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数(1)f(x)＝C，则f′(x)＝0(C为常数)；(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1(α为常数)；(3)f(x)＝a x(a>0且a≠1)，则f′(x)＝a x ln a；(4)f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)，则f′(x)＝1x ln a；(5)f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； (6)f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x . 2．导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 四、导数与函数的单调性 利用导数求函数单调区间的步骤： (1)求导数f ′(x )；(2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0； (3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 五、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧的f ′(x )的符号，若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值．若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值，否则此根不是f (x )的极值点． 六、求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以判断f (x )在该点处取得最大(或最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．七、导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f ′(x )＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．八．定积分(1)定积分是一个数值．定积分的定义体现的基本思想是：先分后合、化曲为直(以不变代变)．定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的面积．要注意区分⎠⎛a bf (x )d x ，⎠⎛ab|f (x )|d x 及||⎠⎛a bf (x )d x 三者的不同．(2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷 一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为________． 解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ， 又∵f ′(1)＝2，∴a ＝1. 答案：12．曲线y ＝x 3－4x 在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________． 解析：∵y ′＝3x 2－4，∴当x ＝1时，y ′＝－1，即tan α＝－1. 又∵α∈(0，π)，∴α＝34π.答案：34π3．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x ＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]4．y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a ＝________. 解析：y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)， 令y ′＝0，则x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝a ，当x ＝1时，y ＝a －1. 由题意知a ＝6. 答案：65．函数y ＝sin xx 的导数为________． 解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′ ＝x ·(sin x )′－(x )′·sin x x 2＝x cos x －sin x x 2.答案：x cos x －sin xx 26．若⎠⎛01(x －k )d x ＝32，则实数k 的值为________． 解析：⎠⎛01(x －k )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－kx |10＝12－k ＝32， 解得k ＝－1. 答案：－17．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是________．解析：∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x.令f ′(x )<0，因为x ∈(0，＋∞)， ∴2x 2－1<0，即0<x <22， ∴函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，22 8．函数f (x )＝3x －4x 3在[0,1]上的最大值为________． 解析：f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1 ∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.答案：19．(山东高考改编)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________．解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.答案：410．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3(x ≥0)，－x (x<0)，则⎠⎛1－1f(x)d x ＝________. 解析：因为⎠⎛1－1f(x)d x ＝⎠⎛0－1(－x)d x ＋⎠⎛10(x 2＋3)d x. 因为⎝⎛⎭⎫－12x 2′＝－x ，⎝⎛⎭⎫13x 3＋3x ′＝x 2＋3， 所以⎠⎛1－1f(x)d x ＝－12x 2|0－1＋⎝⎛⎭⎫13x 3＋3x |10＝236. 答案：23611．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.解析：由于y ′| x ＝1＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝x n ＝n n ＋1，∴a n ＝lg n n ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝⎛⎭⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2. 答案：－212．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，x >0，∴当0<x <12时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x >12时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，依题意得⎩⎨⎧0≤k －1<12，12<k ＋1，k －1<k ＋1.∴1≤k <32.答案：⎣⎡⎭⎫1，32 13．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________． 解析：设矩形一边长为x cm ，则邻边长为(10－x )cm ； 体积V ＝πx 2(10－x )＝π(10x 2－x 3)， 由V ′＝π(20x －3x 2)＝0得x ＝0(舍去)， x ＝203可以判断x ＝203时，V max ＝4 00027π(cm 3)．答案：4 00027π cm 3 14．已知f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是________．解析：令g (x )＝x ·f (x ) 则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0. ∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数． 又∵f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)， ∴(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x 2－1＞0，x ＋1＜x 2－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜－1或x ＞1，x ＜－1或x ＞2.∴x ＞2. 答案：{x |x ＞2}二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程． 解：(1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎨⎧f ′(1)＝2a －43a ＝1，f (1)＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.16．(本小题满分14分)求下列定积分．(1)⎠⎛1－2(1－t 3)d t ； (2)⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x ； (3)⎠⎛42x 3－3x 2＋5x2d x . 解：(1)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎠⎛1－2(1－t 3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t －14t 4|1－2＝⎝⎛⎭⎫1－14－(－2－4)＝34. (2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x ，∴⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )|0－π ＝1－e －π＝1－1e π.(3)⎠⎛42x 3－3x 2＋5x2d x ＝⎠⎛42⎝⎛⎭⎫x －3＋5x 2d x取F (x )＝12x 2－3x －5x ，则F ′(x )＝x －3＋5x2，⎠⎛42x3－3x 2＋5x 2d x ＝F (4)－F (2) ＝⎝⎛⎭⎫12×42－3×4－54－⎝⎛⎭⎫12×22－3×2－52 ＝54. 17．(本小题满分14分)已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围． 解：(1)依题意f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1， 由f ′(1)＝0得a ＝1，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点， 即13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝0有三个实数根， 令g (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m ，则g (x )有三个零点．由g ′(x )＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x )>0得x <0或x >3；令g ′(x )<0得0<x <3.∴函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数． ∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值．要使g (x )有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (3)<0，解得12<m <5.∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，5.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e ≈2.71，a ∈R)． (1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以斜率k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2y ＝x －1⇒x 2＋(1－a )x ＋1＝0. 由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3可知：当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点； 当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点； 当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点． (2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ， 由y ＝0得a ＝x ＋2x ＋ln x . 令h (x )＝x ＋2x ＋ln x ，则h ′(x )＝(x －1)(x ＋2)x 2.当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，由h ′(x )＝0得x ＝1.所以h (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增， 故h min (x )＝h (1)＝3.由h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋2e －1，h (e)＝e ＋2e ＋1， 比较可知h ⎝⎛⎭⎫1e ＞h (e)．所以，当3＜a ≤e ＋2e＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点．19．(本题满分16分)某公司将进货单价为a 元(a 为常数，3≤a ≤6)一件的商品按x 元(7≤x ≤10)一件销售，一个月的销售量为(12－x )2万件．(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L (x )(万元)与每件商品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时，L (x )取得最大值？并求L (x )的最大值． 解：(1)L (x )＝(x －a )(12－x )2(7≤x ≤10)． (2)L ′(x )＝(12－x )2＋(x －a )(2x －24) ＝(12－x )(12＋2a －3x )．令L ′(x )＝0得x ＝2a ＋123或x ＝12.由a ∈[3,6]得2a ＋123∈[6,8]．当2a ＋123∈[6,7]，即3≤a ≤92时，L (x )在[7,10]上是减函数， L (x )的最大值为L (7)＝25(7－a )； 当2a ＋123∈(7,8]，即92<a ≤6时，L (x )在⎝⎛⎭⎪⎫7，2a ＋123上是增函数，在[2a ＋123，10]上是减函数．L (x )的最大值为L ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋123＝4(12－a )327综上可知，若3≤a ≤92，则当x ＝7时，L (x )取得最大值，最大值是25(7－a )；若92<a ≤6，则当x ＝2a ＋123时，L (x )取得最大值，最大值是4(12－a )327. 20．(本小题满分16分)(山东高考)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若 a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)． 此时f ′(x )＝2(x ＋1)2. 可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)， ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，中小学资料学习永无止境 f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0，Δ＞0. 设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a . 由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．。

归纳推理一、教学目标知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。

（2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。

过程与方法：（1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极性；（2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性；（3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。

情感态度与价值观：正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。

三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。

四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。

五、教学过程：情景一：歌德巴赫猜想问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？____________________________________________问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗？____________________________________________问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？1742年，歌德巴赫在教学中发现：4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，18=5+13=7+11，20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，……由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。

于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。

欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.2.2 间接证明课时目标 1.结合已学过的数学实例了解间接证明的一种基本方法——反证法.2.了解反证法的思考过程、特点．1．间接证明________________的方法通常称为间接证明．常用的一种间接证明方法：反证法．2．反证法的证题步骤(1)反设——假设命题的________不成立，即假设原结论的________为真；(2)归谬——从__________________出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出________结果；常见的归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形．(3)存真——由________结果，断定反设________，从而________原结论成立．一、填空题1．用反证法证明结论“a，b，c中至少有一个大于0”，应假设的内容是_____________．2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设为______________．3．用反证法证明命题“如果a，b∈N，a·b可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，应假设的内容是__________________．4．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为____________．5．用反证法证明“形如4k＋3(k∈N*)的数不能化为两个整数的平方和”时，应假设____________________________________________．6．用反证法证明：“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．7．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为“__________________________________”．8．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______________．二、解答题9．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．10．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.能力提升11．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立．12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．2．反证法中引出的矛盾结论，不是推理本身的错误，而是假定“结论的反面是正确的”引起的，从而否定了假设，原命题成立．3．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明时只要研究一种或很少的几种情形．答 案知识梳理1．不是直接证明2．(1)结论 反面 (2)反设和已知条件 矛盾(3)矛盾 不真 肯定作业设计1．a 、b 、c 都不大于02．三内角都大于60°3．a 、b 都不能被5整除4．x ＝a 或x ＝b5．形如4k ＋3(k ∈N *)的数能化为两个整数的平方和6．a ≤b7．函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上恒小于等于08．a ≤－2或a ≥－1解析 若方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0有实根，则(a －1)2－4a 2≥0，∴－1≤a ≤13. 若方程x 2＋2ax －2a ＝0有实根．则4a 2＋8a ≥0，∴a ≤－2或a ≥0，∴当两个方程至少有一个实根时，－1≤a ≤13或a ≤－2或a ≥0. 即a ≤－2或a ≥－1.9．证明 假设a 不是偶数，则a 为奇数．设a ＝2m ＋1(m 为整数)，则a 2＝4m 2＋4m ＋1.因为4(m 2＋m )是偶数，所以4m 2＋4m ＋1为奇数，所以a 2为奇数，与已知矛盾，所以假设错误，所以原命题成立，即a 是偶数．10．证明 设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0， ∴a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.11．证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立． 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2>0. 又(x ＋y 2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2>0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．12．(1)解 设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明 由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾． 所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。

k f(k) k 2 k 2k2k 22k (k 1)2 (k 1) 2(1)n 24f(2) 4 22.2(2) n k f(k) kn k 1k 1kf(k 1) k 2 k (k 1) k 2 2k 1 (k 1)2. 由(1), (2)可知命题得证.Exa|利用数学归纳法证明整除问题［例2］ 用数—f(n) = 3X 52" 1 + 2汁1对任意正整数 n ,都能被17整除.［思路点拨］证明整除性问题的关键是在命题 f(k + 1)中拼凑出f(k)的表达式，分析其余项能被17整除就可以了.［精解详析］(1)当n = 1时，f(1) = 3X 53+ 24= 17X 23,能被17整除，命题成立.P50]|高频考点题组化.名师一点就通[1]n(n N )nf( n) n i 2 n 2[ ] n kk 1 [ ](1) n 1 2f(1)112 2“0n k 1 (1) (2)(k 1)⑵n k(k N *)n k 1 k 1 k1 2k2kf(k 1) f(k) 2k k 2k 2(2)假设当n= k(k> 1, k€ N*)时，f(k)= 3 X 52k+1+ 23k+1能被17 整除.则当n= k+ 1时，f(k+ 1) = 3 X 52k+ 3+ 23k+4=52X 3X 52k+ 1+ 23X 23k+ 1=25 X 3 X 52k+1+ 8 X 23k+1=17X 3X 52k+1+ 8X (3X 52k+ 1+ 23k+1)=17X 3X 52k+1+ 8X f(k).由归纳假设，f(k)能被17整除，17X 3X 52k+1也能被17整除，所以f(k+ 1)能被17整除. 由(1)和(2)可知，对任意n€ N*, f(n)都能被17整除.［一点通］证明整除性问题的关键是“凑项”即f(k+ 1)的式子中“凑”出f(k)的形式,常采用拆项、增项、减项和因式分解等手段，凑完项后式子总会含有两部分，一部分是归纳假设，即f(k) •另一部分是一定能被题中的数(或式)整除的量.2. 求证：a^1+ (a+ 1)2n T 能被a2+ a + 1 整除，n€ N*.证明：(1)当n= 1 时，a1 +1+ (a + 1)2X 1_ 1= a2+ a +1,命题显然成立.⑵假设n= k时，a k+1+ (a+ 1)2k_1能被a2+ a + 1整除，则当n= k+ 1时，a + (a + 1) = a a + (a+ 1)(a+1)k +1 2k—1 2 2k— 1 2k—1=a［a + (a + 1) ］+ (a + 1) (a+ 1) —a(a +1)k + 1 2k —1 2 2k—1=a［a + (a + 1) ］+ (a + a + 1)(a+ 1).由归纳假设知，上式中的两部分均能被a2+ a +1整除，故n = k+ 1时命题成立.根据(1)(2)知，对任意n€ N*，命题成立.3. 用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)= 32n+ 2—8n—9能被64整除.证明：⑴当n= 1时，f(1) = 34—8—9 = 64,命题显然成立.(2)假设当n= k(k> 1, k€ N*)时，f(k)= 32k+ 2—8k —9 能被64 整除.1k8(9)9)k k881/_k64sSS$2)1an1a43aN12)2kaaX)^1n卩s8-516-493214-3sn1k7X2ak(kknak2X)aka k iak2 n (n + 1 j［一点通］(1)数列是定义在 N *上的特殊函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的, 并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中不少问题常用数学归纳法解决.(2)数学归纳法证明数列问题的一般思路：归纳 一一猜想一一证明.必力龜値弟制心々4. 数列｛a n ｝满足a n > 0(n € N ), S n 为数列｛a“的前n 项和，并且满足S n =1 a n +土 ,求 S i , S>, S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明.解：由 a n >0,得 S >0,由 a i = S i = 1 a i + ai ，整理得 a i = 1, 取正根得a i = 1,所以S i = 1.得 S 2= 1 ◎— 1 + 右,整理得S 2= 2,取正根得S 2=・.2. 同理可求得S 3 = '<3. 由此猜想S n = ,n. 用数学归纳法证明如下：① 当n = 1时，上面已求出 S 1= 1,结论成立. ② 假设当n = k(k € N *)时，结论成立，即 S k = ,k. 那么，当n = k + 1时，1(丄丄、盼1= 2 a k+ i+ak +i=2 跖i —Sk+Sk^=1 跖1— k+Sk + i —. k.整理得S k +1 = k + 1，取正根得S k +1 =7 k + 1. 故当n = k + 1时，结论也成立.由①②可知，对一切 n € N *, S n = .n 都成立.5. 是否存在常数 a , b ,使得等式(n 2— 12) + 2(n 2— 22)+ 3(n 2 — 32)+^+ n(n 2— n 2) = an 4 + bn 2对一切正整数n 都成立？荐存在，求出 a , b 值；若不存在说明理由.解：存在a , b ,使得所给等式成立.由 S 2=1 a 2+a;及a 2= S 2 — S 1 = S 2 — 1,下面用数学归纳法证明等式 (n 2— 12)+ 2( n 2 — 22)+ 3(n 2 — 32)+…+ n(n 2 — n 2) = 4『一扌n 2对一切正整数n 都成立.① 当n = 1时，由以上可知等式成立； ② 假设当n = k(k € N *)时，等式成立，2.2222.21412即(k — 1 ) + 2(k — 2 )+••• + k(k — k )= 4k — 4k ,则当 n = k + 1 时，[(k + 1)2— 12] + 2[(k + 1)2— 22] + …+ k[(k + 1)2— k 2] + (k + 1)[(k + 1)2— (k + 1)2]=(k 2— 1)2 + 2(k 2 — 22)+ …+ k(k 2— k 2) + (2k + 1)+ 2(2k + 1) + …+ k(2k + 1) =* Jk 2+ (2k + 1)于 1 4 1 2 =4(k + 1) — Qk + 1).1 1由①②知，存在a = 1, b =— 1使得等式对一切正整数n 都成立.4 4[方法*规律■小结] ------------------------------ '1•在证明整除问题时，有些命题可能仅当 n 是偶数(或奇数)时成立，证明时可适当地 转化k ,使k 成为全体自然数的形式•如：证明 x n + y n , n 为正奇数，能被x + y 整除，证明时需将问题转化为证明x 2^1 + y 21^1, k € N *，能被x + y 整除.2•几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜 想出一般结论.3•利用“归纳 一一猜想一一证明”来研究探索性问题，一般从最特殊的情况入手，通 过分析、归纳、猜想，从而达到探索一般规律的目的.课下训练经典化，贵在触类旁通【对应课时跟踪训练(十九)]1. ____________________________________________________________________ 设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k + 1边形的内角和f(k + 1) = f(k) + ____________________________答案：na +b = 0,将n = 1,2代入等式得＜16a + 4b = 3,解得1 4.1一、填空题2. 用数学归纳法证明n(n + 1)(2n + 1)能被6整除时，由归纳假设推证n= k+ 1时命题成立，需将n= k+ 1时的原式表示成__________f(k) k(k 1)(2 k 1) f(k 2f(k 1) f(k) 6(k1)22k 1(k N )(2k 11)1) (k2k(2k 21)(k 2)(2 k 3) k(k 1)(2 k 1) 6(k 1)2.x n y n x y2k 1(k N )x n y n1) 2k 11 n 1 2>2n(n Nn 1) n k(k 1)_____ 1k 2 k 1 2 k 2 2 1 k 312 k 3.>1 7 (n N ) (1)n 1 a 1 81 1 7a 17⑵ n k a k7a k 7S* S N8k 7S 1.n k 1 a k 1 8k118 8k 1 8(7S 1) 156S 7.a k 1 7(1) ⑵a n 77 {a n }a 1 5S n 1 a n (n 2(1) a 2 a 3a 4a n⑵{a n }(1)a 2 S 1 a 15 a 3S 2 a 1 a 210a 4 S 3 a 1 a 2 a 3 5 5 10 1 20a n 5 2门2(n 2 n*N )6 n N )a na n 8n 1⑵证明：①当n = 2时，a2= 5X 22 2= 5,猜想成立.②假设n = k 时成立，即a k = 5 x 2k 2(k> 2, k € N ), 当n = k+ 1时，由已知条件和假设有k—2a k+1= S k= a〔+ a2 + …+ a k= 5 + 5+ 10+ ••• + 5x 2k—1=5+ 5_— -------- = 5X 2k—1,1 —2故n = k+ 1时猜想也成立.由①②可知，对n》2, n€ N*有a n = 5x 2n—25 (n= 1 ,所以数列｛a n｝的通项a n= n-25x 2 (n》2)& 设函数y= f(x)，对任意实数x, y 都有f(x+ y) = f(x)+ f(y)+ 2xy. (1)求f(0)的值；⑵若f(1) = 1，求f(2), f(3), f(4)的值；⑶在⑵的条件下，猜想f(n)(n€ N*)的表达式并用数学归纳法证明.解：(1)令x= y= 0，得f(0 + 0)= f(0) + f(0) + 2X 0x 0 , 得f(0) = 0.⑵由f(1) = 1,得f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) + 2X 1X 1 = 4;f(3) = f(2 + 1) = f(2) + f(1) + 2X 2 x 1 = 9;f(4) = f(3 + 1) = f(3) + f(1) + 2X 3 x 1 = 16.2(3) 由(2)可猜想f(n) = n .用数学归纳法证明如下：①当n= 1时，f(1) = 12= 1显然成立.②假设当n = k(k € N)时，命题成立，即f(k)= k2,则当n= k+ 1时，2 2f(k+1) = f(k) + f(1) + 2x k x 1 = k + 1+ 2k= (k+ 1), 故当n= k+ 1时命题也成立，由①②可得，对一切n € N*都有f(n)= n2成立.。

要求层次 重难点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念 A 了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义．导数的几何意义C导数的运算根据导数定义求函数y c =，y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y x =的导数 C能根据导数定义，求函数23y c y x y x y x ====，，，，1y y x x==，（c 为常数）的导数．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数． 导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数） B 导数公式表C 导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题 B板块一：导数的概念与几何意义知识内容1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．高考要求例题精讲导数的概念与应用2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．典例分析： 极限与导数【题1】 设()f x 在0x 可导，则()()0003limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x 'B ．()0f x 'C ．()03f x 'D ．()04f x '【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 ()()0003lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆()()00000()()3limx f x x f x f x f x x x∆→+∆-+--∆∆= ()()000000()()3=lim lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→+∆---∆+⋅∆∆ ()()000000()3()=lim 3lim3x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-+⋅∆-∆000()3()4()f x f x f x '''=+=．【答案】D【题2】 设(3)4f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h →--=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1【考点】极限与导数 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 00(3)(3)(3)(3)11limlim (3)2222h h f h f f h f f h h →→----⎛⎫'=⋅-=-=- ⎪-⎝⎭． 【答案】B【题3】 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）r OA ．22πrB ．28π3r C ．24πr D ．26πr【考点】极限与导数 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2010，湖北，高考7【解析】 设第n 个圆的面积为n a ，则21πa r =，134n n a a -=，于是23π14314n n r S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，从而2lim 4πnn S r →∞= 【答案】C【题4】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【考点】极限与导数【难度】1星【题型】填空【关键词】2008，北京，高考【解析】 ((0))(4)2f f f ==；04(1)220f -'==--． 【答案】22-，【题5】 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 22(1)(1)(2)11xf x f x x ∆-+∆--=--=-+∆∆-， 00(1)(1)2lim lim 21x x f x f x x ∆→∆→-+∆--==-∆∆-． 【答案】D【题6】 已知物体的运动方程是23s t t=+，则物体在时刻4t =时的速度v =____，加速度a = ．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无【解析】 232v s t t '==-，362a v t '==+，4t =时，312581616v =-=，66726432a =+=． 【答案】12567,1632．【题7】 一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为43214164s t t t =-+，则速度为零的时刻是（ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ，4s ，8s 末【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 321232v s t t t '==-+，令0v =得0t =，4或8． 【答案】D导数的几何意义【题8】 已知曲线1y x x =+上一点522A ⎛⎫⎪⎝⎭，，用斜率定义求： ⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 分析：求曲线在A 处的斜率A k ，即求0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-∆，其中1()f x x x=+．⑴ 记1()f x x x=+，(2)(2)y f x f ∆=+∆-1122222(2)x x x x x -∆⎛⎫=+∆+-+=+∆ ⎪+∆+∆⎝⎭， 00(1)lim lim 2(2)x x y x x f x x x x ∆→∆→⎡⎤∆-∆∆'==+⎢⎥∆∆+∆∆⎣⎦013lim 12(2)4x x ∆→⎡⎤-=+=⎢⎥+∆⎣⎦；⑵ 切线方程为53(2)24y x -=-，即3440x y -+=．注：也可先求1y x x=+的导函数，200()()11limlim 11(0)()x x f x x f x y x x x x x x ∆→∆→⎛⎫+∆--'==+=-≠ ⎪∆+∆⎝⎭， 再计算13(2)144y '=-=．【答案】⑴34，⑵3440x y -+=【题9】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 设23x x ==，时曲线上的点为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，∵(3)(2)f f -(3)(2)32AB f f k -==-，∵(3)BQ f k '=，(2)AT f k '=，如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角BQ AB AT k k k <<． 【答案】B【题10】 曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（ ）A ．1y x =-B ．2y x =-C ．y x =D ．1y x =+ 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 232y x x '=+，(1)1y '-=，P 在曲线上，故切线方程为11y x y x +=+⇒=． 【答案】C【题11】 若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）AB． C ．23 D ．23或0【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 曲线21y x =-在0x x =处的切线斜率为00()2y x x '=；曲线31y x =-在0x x =处的切线的斜率为200()3y x x '=-，由题意有：2002(3)1x x ⋅-=-，解得0x =． 【答案】A【题12】 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2008，辽宁，高考【解析】 设00()P x y ，，22y x '=+，点P 处的切线的斜率的取值范围为πtan 0tan [01]4⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，， 故00221x +≤≤，解得0112x --≤≤．【答案】A【题13】 已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．π3π24⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【考点】导数的几何意义 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2010，辽宁，高考10【解析】 2441(1)2x x x x e y e e e--'==+++，124x x e e ++≥，故[1,0)y '∈-，从而tan [1,0)α∈-,3ππ4α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 【答案】D【题14】 若存在过点(10)，的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ）A ．1-或2564-B ．1-或214C ．74-或2564-D ．74-或7【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，江西，高考【解析】 设过(10)，的直线与3y x =相切于点300()x x ，，所以切线方程为320003()y x x x x -=-，即230032y x x x =-，又(10)，在切线上，则00x =或032x =，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-，当032x =时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-．【答案】A【题15】 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】 ⑴2()344y x x x '=--，(1)5y '=-，故所求的切线方程为35(1)y x +=--．⑵点(13)-，在曲线上，若切点为(13)-，，则切线方程为520x y +-=；若切点不是(13)-，，设切点为00()x y ，，则有2000033441y x x x +=---，又320000242y x x x =--+，解得01x =或012x =． 当012x =时，斜率为21121344224⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭，故直线方程为21490x y +-=．故过点(13)-，的切线方程为520x y +-=或21490x y +-=．注意过一点的切线与在一点的切线的区别．【答案】⑴520x y +-=；⑵520x y +-=或21490x y +-=．【题16】 已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，安徽，高考 【解析】 由()()22288f x f x x x =--+-，得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =，()2f x x '=，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，选A ．【答案】A【题17】 设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =． ⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008，海南宁夏，高考【解析】 ⑴21()()f x a x b '=-+，由题设知(2)0(2)3f f '=⎧⎨=⎩， 于是2123210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或9483a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因a b ∈Z ，，故1()1f x x x =+-． ⑵证明：已知函数1y x =，21y x=都是奇函数．所以函数1()g x x x =+也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而1()111f x x x =-++-．可知，函数()g x 的图象按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的图象是以点(11)，为中心的中心对称图形．（可以直接验证：若(,)x y 在()y f x =的图象上，则(2,2)x y --也在函数()y f x =的图象上）⑶证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦． 令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．直线1x =与直线y x =的交点为(11)，． 从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--．所以，所围三角形的面积为定值2．【答案】⑴1()1f x x x =+-；⑵(11)，；⑶2【题18】 已知曲线1C ：2y x =与2C ：2(2)y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 分别对两条曲线的方程求导得：2y x '=与2(2)y x '=--，设直线l 与曲线1C 相切于点200()x x ，，则直线l 的方程为20002()y x x x x -=-，令02(2)2x x --=解得02x x =-，代入直线l 的方程得20043y x x =-，故直线l 与曲线2C 交于点2000(243)x x x --，，由此点在曲线2C 上得2200043(22)x x x -=---， 解得00x =或02x =，于是直线l 的方程为0y =或44y x =-．【答案】0y =或44y x =-．板块二：导数的运算知识内容1注：ln e a =．注意()x x e e '=．2．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦． 特别是当()1f x ≡时，有21()()()g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．典例分析：【题1】 已知函数()ln f x x =，则()ef e '的值等于（ ）A ．1B ．eC ．1eD ．2e【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】【解析】 1()f x x '=，()1eef e e'==．【答案】A【题2】 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3(1)3(1)x x -+-B ．22(1)x -C ．2(1)x -D ．1x -【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】 【解析】 【答案】A【题3】 已知函数2()f x ax c =+，且(1)2f '=，则a 的值为（ ） A ．1 BC ．1-D ．0【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】 ()2f x ax '=，于是221a a =⇒=．【答案】A【题4】 已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----，则(1)f '=（ ）A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．0【考点】导数的运算 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 设()(2)(3)(4)(100)g x x x x x =----，则()(1)()f x x g x =-，且()g x 可导，有()()(1)()f x g x x g x ''=+-，令1x =得，99(1)(1)0(0)(1)(1)99!99!f g g g ''=+⨯==-=-．【题5】 已知函数2()(1)f x x x =-，若00()f x x '=，则0x =_______．【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】 【解析】 2()32f x x x '=-，从而20032x x x -=⇒00x =或01x =． 【答案】0或1【题6】 已知函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值．【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】解答【关键词】【解析】 由于x e y x =，所以000()x e f x x =，又2(1)x e x y x ⋅-'=，00020(1)()x e x f x x -'∴=依题意得00()()0f x f x '+=，即000200(1)0x x e x e x x -+=，0210x ∴-=，得012x =． 【答案】12【题7】 设()ln x f x a e b x =⋅+，且1(1),(1)f e f e ''=-=，求实数,a b 的值． 【考点】导数的运算 【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】 ()x b f x ae x '=+，(1)f ae b e '=+=，1(1)a f b e e'-=-=，解得1,0a b ==． 【答案】1,0a b ==．板块三：导数的应用知识内容1．利用导数判断函数的单调性的方法：如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数． 2．利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点． 如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 3．求函数()y f x =的极值的方法： 第1步 求导数()f x '；第2步 求方程()0f x '=的所有实数根；第3步 考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．4．函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． 求函数最大（小）值的方法：第1步 求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点；第2步 计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．典例分析：原函数与导函数的图象【题1】 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 函数()f x 的顶点为2424b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，故有204b b c <<，，()2f x x b '=+，斜率为正，排除B ，D ；纵截距为负，排除C ．（即图象不过第四象限）【答案】A【题2】 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A.【考点】原函数与导函数的图象 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 由导函数的图象知()y f x =在(0)-∞，与(2)+∞，上单调递增，在(02)，上单调递减． 【答案】B【题3】 已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2005，江西，高考【解析】由图象知，(1)(1)0f f''=-=，结合图象知1x=±是函数()f x的极值点，又因为在(10)-，上，()0f x'<，在(01)，上，()0f x'<，因此在(11)-，上，()f x单调递减，故选C．要注意，若00()P x y，是函数()y f x=的极值点，则有()0f x'=，但是若()0f x'=，则是00()P x y，不一定是函数()y f x=极值点，所以要判断一个点是否为极值点，还要检验点P的两侧的单调性是否不同．【答案】C【题4】设()f x'是函数()f x的导函数，将()y f x=和()y f x'=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2007，浙江，高考【解析】选项A中的直线为导函数图象；B中递减的曲线为导函数图象；C中上面的曲线为导函数图象，都没有矛盾．D中不论哪条曲线是导函数的图象，原函数都为单调的函数，故不可能．【答案】D函数的单调性【题5】函数214y xx=+的单调增区间为（）A．(0)+∞，B．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，C．(1)-∞-，D．12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】令2221(21)(421)80x x xy xx x-++'=-=>，得12x>．【答案】B【题6】三次函数3()1y f x ax==-在()-∞+∞，内是减函数，则（）A．1a=B．2a=C．0a≤D．0a<【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 23y ax '=，要()f x 在R 上为减函数，当且仅当0a <． 【答案】D【题7】 若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[1)-+∞，B ．(1)-+∞，C ．(1]-∞-，D ．(1)-∞-，【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008，湖北，高考，题7【解析】 22()22b x x bf x x x x --+'=-+=++，当1x >-时，有()0f x ≤，又此时20x +>， 故220x x b --+≤，故222(1)1b x x x +=+-≤对一切(1)x ∈-+∞，成立，故1b -≤．【答案】C【题8】 若函数()221xf x x =-+，则()f x （ ） A ．在()-∞+∞，单调增加 B ．在()-∞+∞，单调减少C ．在(11)-，单调减少，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调增加D ．在(11)-，单调增加，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调减少【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 222222(1)222(1)(1)()(1)(1)x x x x x f x x x +-⋅+-'=-=++． 【答案】C【题9】 已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】 函数在[1)+∞，上是单调增函数[){}1()0x f x '⇔+∞⊆，≥ ()*， 2()244f x x x a a '=++∆=-，，分类讨论：①当0∆≤，即440a -≤，即1a ≥时，()*条件成立；②当011130(1)0a a f ∆>⎧<⎧⎪-<⇔⎨⎨+⎩⎪'⎩≥≥，即31a -<≤时，()*条件成立；综上，当3a -≥时，()*条件成立，3a -≥为所求．【答案】[3)-+∞，【题10】 )(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()af a bf b ≤B ．()()bf b af a ≤C ．()()af b bf a ≤D ．()()bf a af b ≤【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 (())()()0xf x xf x f x ''=+≤，故函数()xf x 在区间(,)a b 上是非增函数，有()()af a bf b ≥【答案】B【题11】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 在区间(11)-，上不单调．．．，求a 的取值范围． 【考点】函数的单调性【难度】2星 【题型】解答【关键词】2009，浙江，高考【解析】 由()0f x '=，得1x a =，223a x +=-． 函数()f x 在区间(11)-，不单调，等价于()0f x '=在区间(11)-，上有实数解，且无重根．即1123a a a -<<⎧⎪+⎨-⎪⎩≠或211323a a a +⎧-<-<⎪⎪⎨+⎪-⎪⎩≠，解得1112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠或5112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠．所以a 的取值范围是115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．【答案】115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【题12】 已知函数()ln xf x x=． ⑴判断函数()f x 的单调性；⑵若()1y xf x x=+的图像总在直线y a =的上方，求实数a 的取值范围； ⑶若函数()f x 与()1263m g x x x =-+的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值．【考点】函数的单调性 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，宣武，二模，理，题19【解析】 ⑴可得21ln ()xf x x-'=． 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数．⑵依题意，转化为不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x=+，则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是()1.+∞上的增函数，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 是()0,1上的减函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是(),1-∞．⑶转化为212ln 63x x x m =+-，ln y x =与21263y x x m =+-在公共点()00,x y 处的切线相同由题意知20000012ln 6311233x x x m x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴解得：01x =，或03x =-（舍去），代入第一式，即有56m =．【答案】⑴()f x 的单调增区间为(0,)e ，单调减区间为(,)e +∞；⑵(),1a ∈-∞；⑶56m =．【题13】 设a ∈R ，函数()()()()2121ln 1f x x a x =--+-+．⑴若函数()f x 在点()()00f ，处的切线方程为41y x =-，求a 的值； ⑵当1a <时，讨论函数()f x 的单调性．【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2009，西城，一模，题18【解析】 ⑴函数()f x 的定义域为()1-+∞，，()22221a f x x x -'=-+++2221x ax -+=+．因为()04f '=，所以2a =． ⑵当0a <时，因为10x +>，2220x a -+<，所以()0f x '<，故()f x 在()1-+∞，上是减函数；当0a =时，当()10x ∈-，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()10-，上是减函数，当()0x ∈+∞，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()0+∞，上是减函数，因为函数()f x 在()1-+∞，上连续，所以()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，由()22201x af x x -+'==+，得x =x =x 变化时，()f x '，()f x 的变化如情况下表：所以()f x 在1-，上为减函数、在+∞上为减函数；()f x 在上为增函数．综上，当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．【答案】⑴2a =；⑵当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．函数的极值【题14】 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【考点】函数的极值 【难度】2星【题型】填空【关键词】2005，全国，高考【解析】 2()323f x x ax '=++，又()f x 在3x =-取得极值，∴(3)0f '-=，即23(3)6305a a ⨯--+=⇒=．【答案】D【题15】 设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-<【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2008，广东，高考，题9【解析】 x y e a '=+，由题意知0y '=有正根，故0a <，且ln()01a a ->⇒<-．【答案】A【题16】 函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】 2()3f x ax b '=+，(2)(2)120f f a b ''-==+=，又28(2)8243f a b -=--+=，4(2)8243f a b =++=-．解得13a =，4b =-． 【答案】13a =，4b =-．【题17】 求函数22()(0100)1a b f x x a b x x=+<<>>-，，的单调区间与极小值．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 2222222222(1)()(1)(1)a b b x a x f x x x x x --'=-+=--22()[()](1)a a b x b a x a a b x x ⎛⎫+--+ ⎪+⎝⎭=-． 当0x =时，()0b a x a a -+=>；当1x =时，()0b a x a b -+=>，∴01x <<时，恒有()0b a x a -+>，令()0f x '=，解得ax a b=+(01)∈，．当0a x a b <<+时，()0f x '<，当1ax a b<<+时，()0f x '>．∴函数()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增，故()f x 在a x a b =+处取得极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【答案】()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增； 极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【题18】 已知函数()()2223x f x x ax a a e =+-+（x ∈R ），其中a ∈R ．⑴当0a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率；⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 当0a =时，()2x f x x e =，()()22x f x x x e '=+，故()13f e '=．所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为3e ．⑵ ()()22224xf x x a x a a e '⎡⎤=++-+⋅⎣⎦．令()0f x '=，解得2x a =-，或2x a =-．由23a ≠知，22a a -≠-． 以下分两种情况讨论．① 若23a >，则22a a -<-．当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()223a f a ae --=．函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()()2243a f a a a --=-． ② 若2a >，则22a a ->-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数． 函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()()2243a f a a e --=-． 函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()223a f a ae --=．【答案】⑴3e ；⑵见解析．【题19】 已知函数()6ln (0)f x x x =>和2()8g x ax x =+（a 为常数）的图象在3x =处有平行切线．⑴求a 的值；⑵求函数()()()F x f x g x =-的极大值和极小值．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 6()f x x'=，()28g x ax '=+，根据题意，得(3)(3)f g ''=，解得1a =-．⑵ 2()()()6ln 8F x f x g x x x x =-=+-，令6()280F x x x'=+-=，得13x =，∵01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；13x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；3x >时，()0F x '>，()F x 单调递增．∴()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【答案】⑴1a =-；⑵()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【题20】 设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；⑵若函数()f x 在x a =处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【考点】函数的极值 【难度】2星【题型】解答【关键词】2010，丰台，一模，题18【解析】 ()()()()2331331f x x a x a x x a '=--+=--⑴∵函数()f x 在区间()1,4内单调递减， ∵(4)0f '≤，∴[)4,a ∈+∞．⑵∵函数()f x 在x a =处有极值是1，∴()1f a =．即()3223231313111222a a a a a a -+++=++=． ∴2(3)0a a -=，解得0a =或3． 当0a =时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()0f 为极大值， 这与函数()f x 在x a =处取得极小值是1矛盾，所以0a ≠．当3a =时，()f x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，所以()3f 为极小值， 所以3a =满足．故3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【答案】⑴[)4,a ∈+∞；⑵3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【题21】 设函数322()31(,)f x ax bx a x a b =+-+∈R 在1x x =，2x x =处取得极值，且122x x -=．⑴若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间；⑵若0a >，求b 的取值范围．【考点】函数的极值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2008，辽宁，高考，题22【解析】 22()323f x ax bx a '=+-．①⑴当1a =时，2()323f x x bx '=+-；由题意知12x x ，为方程23230x bx +-=的两根，所以12x x -=．由122x x -=，得0b =．从而2()31f x x x =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-．当()11x ∈-，时，()0f x '<；当()()11x ∈-∞-+∞，，时，()0f x '>．故()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增．⑵由①式及题意知12x x ，为方程223230x bx a +-=的两根，所以12x x -=．从而221229(1)x x b a a -=⇔=-， 由上式及题设知01a <≤．考虑23()99g a a a =-，22()1827273g a a a a a ⎛⎫'=-=-- ⎪⎝⎭．故()g a 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在213⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，从而()g a 在(]01，的极大值为2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又()g a 在(]01，上只有一个极值，所以2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()g a 在(]01，上的最大值，且最小值为(1)0g =．所以2403b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，即b的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 【答案】⑴0b =，()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增． ⑵b的取值范围为⎡⎢⎣⎦．【题22】 设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．⑴求证：当0ab >时，函数()f x 没有极值点； ⑵当12a b ==-，时，求()f x 的极值．⑶求证：当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．【考点】函数的极值 【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，．22222()2b a x b ax b a f x ax x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'=+==． 当0ab >时，02b a>，202bx a +>，()0f x '=无解， 所以当0ab >时，函数()f x 没有极值点．⑵2()2ln f x x x =-，22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-=， 又函数()f x 的定义域为(0)+∞，，故()f x '在(01)，上为负，在(1)+∞，上为正，故()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当0ab <时，2()a x x f x x⎛- ⎝⎭⎝⎭'=， 令()0f x '=，得1(0)x =+∞，（舍去），2(0)x +∞，，当00a b ><，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 当00a b <>，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 综上所述，当0ab <时，当00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．当00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】⑴见解析；⑵()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当00a b ><，时，()f x 有极小值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当00a b <>，时，()f x 有极大值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．函数的最值【题23】 已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37- 【考点】函数的最值 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 2()6126(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '>，解得2x >或0x <；当02x <<时，()0f x '<；于是()f x 在(20)-，上单调增，在(02)，上单调减；于是()f x 在[22]-，上的最大值为(0)3f a ==．故32(2)2(2)6(2)337f -=⨯--⨯-+=-；32(2)226235f =⨯-⨯+=-，故()f x 在[22]-，的最小值为37-．【答案】D【题24】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值．【考点】函数的最值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008，全国Ⅱ，高考，题21 【解析】 ⑴2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．⑵由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤．反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，，26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶∵(0)01g =<，故()g x 不在0x =时取到最大值，故65a >． 此时，2()36(1)60g x ax a x '=+--=有两个相异的实根，记为12x x ，（120x x <<）， ∵0a >，故()g x 在2(0)x ，（12()x x ⊆，）上单调递减，在2()x +∞，上单调递增． 又()g x 在[02]，上的最大值不在0x =时取到，故必有22x <，且()g x 在最大值在2x =时取到，即5(2)1812(1)124g a a a ==+--⇒=．【答案】⑴1a =；⑵a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶54a =．【题25】 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性； ⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，时，求函数()f x 的最小值．【考点】函数的最值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 当1a =时，2()|ln 1|f x x x =+-．令1x =，易得(1)2f =，(1)1f '=，所以切点为(12)，，切线的斜率为1，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：10x y -+=．⑵ 当3a =时，223ln 3(0)()3ln 3()x x x e f x x x x e ⎧-+<⎪=⎨+-⎪⎩≤≥．当0x e <≤时，2323()2x f x x x x-'=-=，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，]e ⎝内单调递增； 当x e ≥时，3()20f x x x'=+>恒成立，故()f x 在[)e +∞，内单调递增；综上，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增． ⑶ ①当x e ≥时，2()4ln 4f x x x =+-，4()2f x x x'=+∴()0f x '>恒成立，()f x 在[)e +∞，上为增函数．故当x e =时，2min y e =．②当1x e <≤时，2()4ln 1f x x x =-+，42()2(f x x x x x x'=-=()f x 在[1上为减函数，在]e 上为增函数，因此当x min 242ln 22y =+=-．【答案】⑴10x y -+=；⑵()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增．⑶min 2ln 22y =-．【题26】 已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【考点】函数的最值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2010，山东，高考22【解析】 ⑴ 因为()1ln 1af x x ax x-=-+-，所以()()222111'0a ax x af x a x x x x --+-=-+=-∈+∞，，令()21h x ax x a =-+-，()0x ∈+∞，，（ⅰ）当0a =时，()1h x x =-+，()0x ∈+∞，，所以当()01x ∈，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递； 当()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增． （ⅱ）当0a ≠时，()0f x '=， 即210ax x a -+-=，解得11x =，211x a=-． ①当12a =时，12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()'0f x ≤，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当102a <<时，1110a->>，()01x ∈，时，()0h x >此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； 111x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增； 11x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； ③当0a <时，由于110a-<，()01x ∈，时，()0h x >，此时()'0f x <，函数()f x 单调递减； ()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增．综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵因为102a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，由⑴知，11x =，()2302x =∉，，当()01x ∈，时，()0f x '<．函数()f x 单调递减；当()12x ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在单调递增，所以()f x 在()02，上的最小值为()112f =-．由于“对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥”等价于“()g x 在[]12，上的最小值不大于()f x 在()02，上的最小值12-”．又()()224g x x b b =-+-，[]12x ∈，，所以①当1b <时，因为()()min 1520g x g b ==->⎡⎤⎣⎦，此时与()*矛盾；②当[]12b ∈，时，因为()2min 40g x b =-⎡⎤⎣⎦≥，同样与()*矛盾；③当()2b ∈+∞，时，()()min 284g x g b ==-⎡⎤⎣⎦．解不等式1842b --≤，可得178b ≥．综上，b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【答案】⑴当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．【题27】 已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，西城，一模，题19 【解析】 ⑴令()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -．⑵函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()e xx ax a f x x +-'=⋅，令()0f x '=得12x x ==， 因为0a >，所以120,0x x <>，当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：所以()f x 在区间,⎛-∞ ⎝⎭上是增函数，在区间0⎫⎪⎪⎝⎭上是减函数． ⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上()f x 存在最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：由⑴知a -是函数()f x 的零点，因为10a x a --=-=>， 所以10x a <-<．由()1e x a f x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知，当x a <-时，()0f x >．又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<．所以函数在区间1,2a x ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且02a f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭．所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 计算得2e 2aa f -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．。

1．5.3 微积分基本定理[对应学生用书P28]已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x . 问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛20(2x ＋1)d x 的值． 提示：⎠⎛20(2x ＋1)d x ＝6.问题3：求F (2)－F (0)的值． 提示：F (2)－F (0)＝4＋2＝6. 问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛20f (x )d x ＝F (2)－F (0)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：已知f (x )＝x 3，F (x )＝14x 4，试探究⎠⎛10f (x )d x 与F (1)－F (0)的关系． 提示：因⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10x 3d x ＝14.F (1)－F (0)＝14，有⎠⎛10f (x )＝F (1)－F (0)且F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，即⎠⎛b aF ′(x )d x ＝F (b )－F (a )．1．微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．[对应学生用书P29][例1] (1)⎠⎛21(x 2＋2x ＋3)d x ； (2)⎠⎛π0(sin x －cos x )d x ； (3)⎠⎛0－π(cos x －e x )d x . [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)取F (x )＝x 33＋x 2＋3x ，则F ′(x )＝x 2＋2x ＋3，从而⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12F ′(x )d x ＝F (2)－F (1)＝253. (2)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x ，从而⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πF ′(x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(3)取F (x )＝sin x －e x ，则F ′(x )＝cos x －e x ，从而⎠⎛0－π(cos x －e x )d x ＝⎠⎛0－πF ′(x )d x ＝F (0)－F (－π)＝1e π－1. [一点通] 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(江西高考改编)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝____________.解析：∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x .∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 答案：＝－132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.解析：∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛π0(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )|π0＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 答案：π3．求下列定积分：(1)∫π20sin 2x 2d x ；(2)⎠⎛23(2－x 2)(3－x )d x .解：(1)sin 2x 2＝12－cos x2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， 所以∫π20sin 2x2d x ＝∫π20⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛32(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32 ＝⎝⎛⎭⎫6×3－32－33＋14×34－⎝⎛⎭⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.[例2] (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，cos x －1，x >0.求⎠⎛1－1f (x )d x ； (2)求⎠⎛a －a x 2d x (a >0)． [思路点拨] 按照函数f (x )的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和． [精解详析] (1)⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. (2)由x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，得⎠⎛a －a x 2d x ＝⎠⎛a 0x d x ＋⎠⎛0－a (－x )d x ＝12x 2|a 0－12x 2|0－a ＝a 2. [一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式．(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．4.⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝________. 解析：∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(－2<x ≤3)－x －2，(－4≤x ≤－2)∴⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝⎠⎛3－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－4－2(－x －2)d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |3－2＋⎝⎛⎭⎫－12x 2－2x |－2－4＝292. 答案：2925．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋∫a 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________. 解析：显然f (1)＝lg 1＝0，故f (0)＝0＋∫a 0 3t 2d t ＝t 3|a0＝1，得a ＝1. 答案：1[例3] 求由曲线 [思路点拨]在坐标系中作出图象→求曲线与直线的交点→利用定积分求面积.[精解详析] 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3， 得A (0,3)，B (3,6)．所以S ＝⎠⎛30(x ＋3)d x －⎠⎛30(x 2－2x ＋3)d x ，取F (x )＝12x 2＋3x ，则F ′(x )＝x ＋3，取H (x )＝13x 3－x 2＋3x ，则H ′(x )＝x 2－2x ＋3，从而S ＝F (3)－F (0)－[H (3)－H (0)] ＝⎝⎛⎭⎫12×32＋3×3－0－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13×33－32＋3×3－0 ＝92. [一点通] 利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，定出积分上、下限； (3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差； (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．6．曲线y ＝ x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________． 解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点A (0，－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以B (4,2)，因此所围成的图形的面积为∫40()x －x ＋2d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x 40＝163. 答案：1637．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：491．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分． 2．利用定积分求曲边梯形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f (x )≤0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来．[对应课时跟踪训练(十一)]一、填空题 1.⎠⎛1e1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln x |e 1＝ln e －ln 1＝1. 答案：12.⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)d x ＝________.解析：⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)d x ＝(－2cos x －3e x ＋2x )|π0＝7＋2π－3e π.答案：7＋2π－3e π3．(江西高考改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：S 1＝13x 3⎪⎪⎪ 21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪ 21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S3.答案：S 2<S 1<S 34．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝56.答案：565．(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x 与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x 与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e ×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2.答案：2e 2二、解答题6．f (x )是一次函数，且∫ 10f (x )d x ＝5，∫ 10xf (x )d x ＝176， 求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5. ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2|10＝13a ＋12b ＝176，所以由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.7．求由曲线y ＝x 2与直线x ＋y ＝2围成的面积．解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝4，即两个交点为(1,1)，(－2,4)．直线为y ＝2－x ，则所求面积S 为：S ＝⎠⎛1－2[(2－x )－x 2]d x ＝⎝⎛⎭⎫2x －x 22－x 33|1－2＝92. 8．设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0.(1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝1，f ′(－2)＝－2. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·(－2)2＋b ·(－2)＋1＝1，2a ·(－2)＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S ＝∫0－1(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x 0－1＝13. (3)依题意，有12S＝∫0－t(x2＋2x＋1)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x3＋x2＋x0－t＝16，即13t3－t2＋t＝16，∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－1 32.。

2．1.3推理案例赏析2．1.4[对应学生用书P23]归纳推理的应用[例1]　观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．[思路点拨]　(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．[精解详析]　(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．[答案]　6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.[一点通]　对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．51．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N*)．　123我的发现：[]＋[]＋[]＝3；45678[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10；9101112131415[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21；…通过归纳推理，写出一般性结论_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)．n2n2＋1n2＋2解析：第n行右边第一个数是[]，往后是[]，[]，…，最后一个是[ n2＋2n]．等号右边是n(2n＋1)．　n2n2＋1n2＋2n2＋2n答案：[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？顶点数边数区域数(a)(b)(c)(d)(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为顶点数边数区域数(a)332(b)8126(c)695(d)10157(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个平面图形有1 996条边．类比推理的应用[例2]　通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)．16类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值．[思路点拨]　类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24,44－34，…(n ＋1)4－n 4，然后将各式相加求解．[精解详析]　∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…(n ＋1)4－n 4＝4×n 3＋6×n 2＋4×n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ∴13＋23＋…＋n 3＝Error!·Error!＝n 2(n ＋1)2.1414[一点通]　(1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．(2)类比推理的步骤与方法第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，观察发现V ′＝S .则四43维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：(2πr 4)′＝8πr 3.答案：2πr 44．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面的面积，S 4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S ＝24S ＋S ＋S .21223答案：S ＝S ＋S ＋S 2421223演绎推理的应用 [例3]　已知{a n }为等差数列，首项a 1>1，公差d >0，n >1且n ∈N *.求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.[思路点拨]　对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算．[精解详析]　∵{a n }为等差数列，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n .∵d >0，∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a －d 2<a .2n 2n ∵a 1>1，d >0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1.∴lg a n >0.∴lg a n ＋1·lg a n －1≤2(lg a n ＋1＋lg a n －12)＝2<2＝(lg a n )2，[12lg (a n －1a n ＋1)][12lg a 2n ]即lg a n ＋1·lg a n －1<(lg a n )2.[一点通]　三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .5．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .　(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，侧面BCC 1B 1是菱形(小前提)，所以B 1C ⊥BC 1(结论)．又线面垂直的判定定理(大前提)，B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B (小前提)，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．又面面垂直的判定定理(大前提)，B 1C ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊥平面A 1BC (小前提)，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A 1B ∥平面B 1CD (小前提)，所以A 1B ∥DE (结论)．又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1∶1.6．求证：函数y ＝是奇函数，且在定义域上是增函数．2x －12x ＋1证明：y ＝f (x )＝＝1－，(2x ＋1)－22x ＋122x ＋1所以f (x )的定义域为x ∈R .f (－x )＋f (x )＝＋(1－22－x ＋1)(1－22x ＋1)＝2－(22x ＋1＋22－x ＋1)＝2－(22x＋1＋2·2x2x＋1)＝2－2(2x ＋1)2x＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－(1－22x 1＋1)(1－22x 2＋1)＝2(12x 2＋1－12x 1＋1)＝2·.2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)．故f (x )为增函数．1．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．[对应学生用书P25]一、填空题1．设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________.解析：k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1.答案：k －12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝______；f (n )＝______.(答案用数字或含n 的式子表示)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n ＋n ＋＝.n (n －3)2n 2＋n2f (4)＝4×2＋×2＝12，4×12f (n )＝n (n －2)＋×(n －2)＝.n (n －3)2n (n －1)(n －2)2答案：　12　n 2＋n 2n (n －1)(n －2)23．(陕西高考)已知f (x )＝，x ≥0，若 f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *, 则f 2 x1＋x014(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝⇒f 2(x )＝f ＝＝；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋x (x 1＋x )x 1＋x 1＋x 1＋x x1＋2x x 1＋2x1＋x1＋2x ＝，故可猜想f 2 014(x )＝.x 1＋3x x1＋2 014x 答案：x1＋2 014x4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝Error!　33＝Error!　43＝Error!　….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________.解析：根据分裂特点，设最小数为a 1，则ma 1＋×2＝m 3，m (m －1)2∴a 1＝m 2－m ＋1.∵a 1为奇数，又452＝2 025，∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝.(1 979＋2 071)×452答案：455．观察以下等式sin 230°＋cos 290°＋sin 30°·cos 90°＝；314sin 225°＋cos 285°＋sin 25°·cos 85°＝；314sin 210°＋cos 270°＋sin 10°·cos 70°＝.314推测出反映一般规律的等式：____________________.解析：∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°，∴其一般规律为sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝.314答案：sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝314二、解答题6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y ＝2x －1是一次函数，所以y ＝2x －1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，数列1,2,3…，n 是等差数列，所以数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)海王星是太阳系中的大行星，(小前提)海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)(2)所有导体通电时发热，(大前提)铁是导体，(小前提)铁通电时发热．(结论)(3)一次函数都是单调函数，(大前提)函数y ＝2x －1是一次函数，(小前提)y ＝2x －1是单调函数．(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，(大前提)数列1,2,3，…，n 是等差数列，(小前提)数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．(结论)7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)写出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求＋＋＋…＋的值．1f (1)1f (2)－11f (3)－11f (n )－1解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以当n ≥2时，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.f (1)＝1也适合上式，故f (u )＝2n 2－2n ＋1(n ∈N *)．(3)当n ≥2时，＝＝，1f (n )－112n (n －1)12(1n －1－1n )所以＋＋＋…＋1f (1)1f (2)－11f (3)－11f (n )－1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋＝－.12(1－1n )3212n。

[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷 一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大． 答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝⎝⎛⎭⎫S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶86．(陕西高考)观察分析下表中的数据：解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x1－y2＋y1－x2＝1.解析：要使x1－y2＋y1－x2＝1，只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y1－x2，即2y1－x2＝1－x2＋y2.只需使(1－x2－y)2＝0，即1－x2＝y，∴x2＋y2＝1.答案：19．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1；③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误． 答案：③10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP＝m OA ＋n OB 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎫226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n n x n ≥n ＋1，故a ＝n n .答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6. 答案：n 2＋5n ＋614．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立， 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4. ⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫15n (n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5n a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，① 所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n ，② 由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n ＝1＋15×5＋⎝⎛⎭⎫152×52＋…＋⎝⎛⎭⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n ＝n ＋a n ·5n ， 所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n . 17．(本小题满分14分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos (60°＋2α)2＋34sin 2α＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α＝34. 18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1， 则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1①而(2－a )a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1， 即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1， 显然与①矛盾， 所以原结论成立．19．(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1. S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74.S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， 则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立， 即a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)． (2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1，∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立， 即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。