离散型随机变量及其分布
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离散型随机变量及其分布律
解 由 0 p 1 ( k 0 , 1 , 2 , ), p 1 k k k 0 1 k ( ) a 得 k 1 即 a 3 1 ! k! k 03 k k0 1k 1 1 ( ) ae 3 3 e3 ! k 0 k
2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系 (1) 若已知 X 的分布律：
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
1 , 取得不合格品, X 0 , 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
p P { X x } k k
或
F ( x ) F ( x 0 ) k k k 1 , 2 , ) F ( x ) F ( x ) ( k k 1
( P { X x } P { x X x } ) k k 1 k 注 1º 离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶
梯函数，x1, x2,· · · ,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, · · ·）处的概率就是
F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P { a X b }
P { a X b } P { X a } P { X b }
[ F ( b ) F ( a )] [ F ( b ) F ( b 0 )] [ F ( a ) F ( a 0 )]
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
离散型随机变量及其分布列
p2
„
„
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
基础知识梳理
如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
基础知识梳理
2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
离散型随机变量及其分布规律
解:
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X =1)=P(A1)=p,
P(X 2)P(A1A2 ) (1 p)p
P(X 3)P(A1A2 A3)(1 p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列.
若随机变量X的分布律如上式， 则称X 服从
几何分布. 不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
几个重要的离散性随机变量模型
(0,1)分布 二项分布 波松分布
一、 (0-1)分布 （二点分布）
按Po
k
n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0. p=0.05 p=0.02 p=0.01
0 10.349 0.3585 0.369 0.366
0
1 0.305 0.377 0.372 0.370
0
2 0.194 0.189 0.186 0.185
0
3 0.057 0.060 0.060 0.061
•• • • • • • 56 7 8 9 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•20x
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
对于固定n 及 P， 当k 增加时 , 概率P (X = k ) 先是随之增加
Pk
直至达到最大值, 随后单调减少.
当 n 1p 不为整数时， n 1p 二项概率 PX k
离散型随机变量及其分布
离散型随机变量的概率分布的性质：
（1）pi≥0（i=1,2,3,…） （2）p1+p2+…+pi+…=1（i=1,2,3,…）
例1 从放有4个白球和3个黑球的口袋中， 同时取出2个球，写出其中所含白球个数ξ 的分布列.
解：ξ的可能的取值有0，1，2.
P(
0)
C32 C72
1; 7
P(
1)
P( 7) 0.11 0.27 0.29 0.21 0.88.
引例
某人射击一次，可能出现命中0环，1环， 2环，…，10环等结果，这些结果可以用0，1 2，…，10这11个数表示吗？
1.离散型随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来 表示，那么这样的变量叫做随机变量.
随机变量一般用大写英文字母X,Y,…, 或小写希腊字母ξ,η,…来表示.
如果变量ξ的所有可能取得的数值能够
一一列举出来，则称ξ为离散型随机变量.
2. 离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量ξ可能的取值为x1， x2，…xi，…，ξ取每个值xi（i=1，2…）的 概率为P(ξ=xi)=pi，则随机变量ξ的概率分布 （ξ的分布列）为
…
ξ
x1
x2
…
xi
…
…
P
p1
p2
pi
P(ξ=xi)=pi （i=1，2，…）
C14 C13 C72
4; 7
P(
2)
C42 C72
P
77 7
例2某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.03 0.07 0.11 0.27 0.29 0.21
求此射手“射击一次命中环数ξ≥7”的概率.
2.2离散型随机变量及其分布
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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离散型随机变量及其分布
定是一个离散型随机变量,其分布函数 F(x) 唯一确定.
例 2.6 设随机变量 X 的分布律为
X2
3
4
P 0.2
0.3 0.5
求 X 的分布函数,并求 P{X 2}, P{2.4 X 3.8}, P{3 X 4} .
解 当 x 2 时, F(x) P{X x} 0 ;
当 2
x 3 时,
元和 6 万元.设 X 为总公司应付出的奖金,求 X 的分布
律并计算 P{4 X 10} 和 P{X 6} .
解 X 的所有可能取值为 0,4,6,10 (单位:万元).设 Ai { 第 i 个 分 公 司 获 得 奖 金 }( i 1, 2 ), 则 P(A1) 0.8 , P(A2 ) 0.4 ,且 A1, A2 相互独立.因此
离散型随机变量 及其分布
1.1 离散型随机变量及其分布律
定义 2.3 若随机变量 X 的所有可能取值是有限个或可
列无限多个,则称此随机变量为离散型随机变量.
例如,掷骰子朝上一面的点数、一昼夜120接到的呼叫 次数等均为离散型随机变量,而某元件寿命的所有可能取 值充满一个区间,无法按一定次序一一列举出来,因而它是 一个非离散型随机变量.
显然
(1) P{X k} 0 ( k 0,1, 2, , n );
F ( x)
P{X
xi x
xi}
P{X
2}
0.2
;
当 3
x 4 时,
F ( x)
P{X
xi x
xi}
P{X
2}
P{X
3}
0.5 ;
当 x 4 时, F(x) P{X 2} P{X 3} P{X 4} 1 .
离散型随机变量及其分布
（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
2.2离散型随机变量及其分布律
当1≤x<2时, {X≤x}={X=0}∪{X=1} X 0 1x 2
又{X=0}与{X=1}互不相容 得: F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}
=0.6+0.3=0.9
当x≥2时, {X≤x}为必然事件
X
0 1 2x
8
得: F(x)=P{X≤x}=1
0, x 0
F
(
x)
0.6, 0.9,
P{X k} C5k pk (1 p)5k
k 0,1,..., 5 18
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有
两弹击中目标的概率.
解:.设X为击中目标的次数.
X : B6000,0.001
P X 2 1 P X 2 1 PX 0 PX 1
0 1
x x
1 2
1 0.9
1, x 2 0.6
注: 左闭右开
0 1 2x
9
0, x 0
F(x)
0.6, 0.9,
0 1
x1 x2
1, x 2
(3)
P(X
1 2
)
F
(
1 2
)
0.6
P
(
1 2
X
3 2
)
F
(
3 2
)
F
(
1 2
)
0.9
0.6
0.3
P(1≤X≤2)=P({X=1}∪{1<X≤2})
P
X k
Ck41 C150
(k 5, 6, 7, 8, 9,10)
具体写出,即可得 X 的分布律:
X 5 6 7 8 9 10
离散型随机变量及其分布函数
第2.2节 离散型随机变量 及其分布函数
一、离散型随机变量的分布函数 二、几种常见的离散型随机变量 三、小结
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ ().
P{X k} Cnk pnk (1 pn )nk 且满足
npn 0
则对任意非负整数k , 有
lim P{X k} k e
n
k!
证明
由
pn
,得
n
P{ X
k}
n! k!(n
( k)!
pn )k
(1
pn )nk
n(n 1) (n k 1（) ）（k 1 )nk
k!
n
n
k [1 (1 1 )(1 2) (1 k 1)](1 )n (1 )k
(k 1,2,)
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
5.超几何分布
设X的分布律为
P{X
m}
CMm
C nm NM
(m 0,1,2,, min{M , n})
一、离散型随机变量的分布函数 二、几种常见的离散型随机变量 三、小结
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ ().
P{X k} Cnk pnk (1 pn )nk 且满足
npn 0
则对任意非负整数k , 有
lim P{X k} k e
n
k!
证明
由
pn
,得
n
P{ X
k}
n! k!(n
( k)!
pn )k
(1
pn )nk
n(n 1) (n k 1（) ）（k 1 )nk
k!
n
n
k [1 (1 1 )(1 2) (1 k 1)](1 )n (1 )k
(k 1,2,)
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
5.超几何分布
设X的分布律为
P{X
m}
CMm
C nm NM
(m 0,1,2,, min{M , n})
第二节离散型随机变量及其分布
这时X的分布函数为：
F
(
x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
例3 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取
一件,那末,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
P( A1 )P( A2 )P( Ak1 )P( Ak )
55%k145%，k 1,2,
P{ X取偶数} P{ X 2k} 55%2k145%
k 1
k 1
11 31
)
21 36
1. 2
注：一般，设离散型随机变量X的分布律为：
P( X xi ) pi，i 1，2，
则X的分布函数为： F ( x) P( X x) P( X xi )，
即
F ( x) pi .
xi x
xi x
例2. 将3封信随机地投入3个信箱(每个信箱至少可容纳3 封信)，
设X表示装了信的信箱个数，求(1) X的分布律，(2) X的分布函数.
若用泊松定理作近似计算, 这时 np 6.
于是C610000.09.9090610000.96090!9e5996916e!e6
6
0.00248, 6e6 0.01487,
p 0.98269.
故 P( X 2) 1 0.00248 0.01487 0.98265.
离散型随机变量及其分布律
机变量.若以T记某元素的寿命,它所可能取的值充满
一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的，因而 它是一个非离散型的随机变量.本节只讨论离散型随 机变量.
概率论
容易知道,要掌握一个离散型随机变量X的统计规律, 必须且只需知道X的所有可能取的值以及取每一个可
能值的概率.
设离散型随机变量X的所有可能取的值为 xk k 1,2,L ,
特别,当n=1时二项分布化为
PX k pkqnk , k 0,1
这就是(0-1)分布.
概率论
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品.已知某一在批产品的一级品率 为0.2,现在从中随机地抽查20只.问20只元件中愉有
k只(k=0,1,…,20)为一级品的概率是多少？
1pg4p2gL43gpg114 p4g4142p4gL4g4143p pk 1 p nk
k个
nk个
这种指定的方式共有
n k
种，它们是两两互不相容的，故在n次
试验中A发生k次的概率为
n k
pk
1
p nk
，记q
1
p，即有
显然
PX
k
n k
pk
1
p nk
,k
0,1, 2,L
,n
概率论
修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为
P A1 U A2 U A3 U A4 P A1 PX 2
而X : b20,0.01，故有
概率论
1
PX 2 1 X k k 0
1
k
1 0
20 k
0.01k
0.99 20 k
0.0169.
即有P A1 U A2 U A3 U A4 0.0169
一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的，因而 它是一个非离散型的随机变量.本节只讨论离散型随 机变量.
概率论
容易知道,要掌握一个离散型随机变量X的统计规律, 必须且只需知道X的所有可能取的值以及取每一个可
能值的概率.
设离散型随机变量X的所有可能取的值为 xk k 1,2,L ,
特别,当n=1时二项分布化为
PX k pkqnk , k 0,1
这就是(0-1)分布.
概率论
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品.已知某一在批产品的一级品率 为0.2,现在从中随机地抽查20只.问20只元件中愉有
k只(k=0,1,…,20)为一级品的概率是多少？
1pg4p2gL43gpg114 p4g4142p4gL4g4143p pk 1 p nk
k个
nk个
这种指定的方式共有
n k
种，它们是两两互不相容的，故在n次
试验中A发生k次的概率为
n k
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1
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1
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显然
PX
k
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1
p nk
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0,1, 2,L
,n
概率论
修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为
P A1 U A2 U A3 U A4 P A1 PX 2
而X : b20,0.01，故有
概率论
1
PX 2 1 X k k 0
1
k
1 0
20 k
0.01k
0.99 20 k
0.0169.
即有P A1 U A2 U A3 U A4 0.0169
离散型随机变量与分布
离散型随机变量与分布一、离散型随机变量的概念离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可数个值的随机变量。
通常用字母X来表示离散型随机变量，例如X={x1, x2, x3, ...}。
每个xi表示X取某个值的情况，对应的概率为P(X=xi)，概率取值介于0和1之间，且所有xi对应的概率之和等于1。
二、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律描述了X取不同值的概率分布情况。
记为P(X=xi)或P(X)。
其中，xi表示随机变量X可能取到的某个值，P(X=xi)表示X取xi时的概率。
常见的离散型随机变量分布律包括：1. 伯努利分布：伯努利试验是一类只有两种结果的随机试验，例如抛硬币或投骰子。
若随机变量X表示试验成功的概率，则伯努利分布的分布律为：P(X=x) = p^x(1-p)^(1-x)，其中p表示试验成功的概率。
2. 二项分布：二项分布是n重伯努利试验的离散型随机变量分布。
它描述了进行n次独立的成功-失败试验（伯努利试验）中成功次数X的概率分布。
其分布律为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n次试验中选k次成功的组合数。
3. 泊松分布：泊松分布适用于描述一段时间或一定空间内随机事件发生的次数。
其分布律为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
4. 几何分布：几何分布适用于描述在n次独立的伯努利试验中，首次获得成功的次数。
其分布律为：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p，其中p表示每次试验成功的概率。
5. 二项负分布：二项负分布描述了在一系列独立的伯努利试验中，获得r次成功时需要进行的试验次数。
其分布律为：P(X=k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)，其中p表示每次试验成功的概率。
三、离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望和方差是对离散型随机变量分布的特征进行度量的指标。
高中数学选修2-3-离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列知识集结知识元离散型随机变量及其分布列知识讲解1．离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，x n；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，p n，则得下表：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①p i≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+p n＝1．例题精讲离散型随机变量及其分布列例1.'袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．'例2.'甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p，甲投篮3次均未命中的概率为，乙每次投篮命中的概率均为q，乙投篮2次恰好命中1次的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．（1）若乙投篮3次，求至少命中2次的概率；（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望．'例3.'抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x，y．记[]表示的整数部分，如：[]=1，设ξ为随机变量，ξ=[]．（Ⅰ）求概率P（ξ=1）；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．'当堂练习解答题练习1.'玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才能参加“三步上篮”测试．为了节约时间，每项测试只需且必须投中一次即为合格．小华同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为．假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立．（1）求小华同学两项测试均合格的概率；（2）设测试过程中小华投篮次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习2.'某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动，（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的需安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；（2）在（1）的条件下，记X为选出的2位老师中女老师的人数，写出X的分布列．'练习3.'装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．（1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；（2）求出赢钱（即X>0时）的概率．'练习4.'将10个白小球中的3个染成红色，3个染成黄色，试解决下列问题：（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列；（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．'练习5.'新高考改革后，假设某命题省份只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上下学期，其余六科政治，历史，地理，物理，化学，生物则以该省的省会考成绩为准．考生从中选择三科成绩，参加大学相关院校的录取．（Ⅰ）若英语等级考试有一次为优，即可达到某“双一流”院校的录取要求．假设某考生参加每次英语等级考试事件是相互独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率为，求该考生直到高二下期英语等级考试才为优的概率（Ⅱ）据预测，要想报考某“双一流”院校，省会考的六科成绩都在95分以上，才有可能被该校录取假设某考生在省会考六科的成绩都考到95分以上的概率都是，设该考生在省会考时考到95以上的科目数为X求X的分布列及数学期望．'练习6.'某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，这些人要参加社区服务工作．从这些人中随机抽取4人负责文明宣传工作，另外4人负责卫生服务工作．（Ⅰ）设M为事件；“负责文明宣传工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M发生的概率；（Ⅱ）设X表示参加文明宣传工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望．'练习7.'今年学雷锋日，乌鲁木齐市某中学计划从高中三个年级选派4名教师和若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高三年级学生的概率；（Ⅲ）若4名教师可去A、B、C三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传，其中每名教师去A、B、C三个文明交通宣传点是等可能的，且各位教师的选择相互独立．记到文明交通宣传点A的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望。
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m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
pn )nk
k e
k!
(k 0,1,).
24
例7 某种药品的过敏反应率为0.0001，
今有20000人使用此药品，求20000人中发生过 敏反应的人数不超过3的概率。
对应概率为 p1, p2 ,, pk ,, 即
P( X xk ) pk (k 1,2,)
则称上式为离散型随机变量X的概率分布，又
称分布律。
分布律也可以通过列表表示：
X
x1 x2 xk
P
p1 p2 pk
其中第一行表示随机变量所有可能的取
值，第二行表示这些取值所对应的概率。 2
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
••••••••• 012345678
x
10
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05
2
4
6
8
11
设 X ~ B(20,0.2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
19
图示概率分布
20
(3) Poisson 分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2,,而取各个 值的概率为
P{ X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ P().
P
(
X
0)CC5333
1 10
P(
X
1)CC32C53 21
6 10
P(
X
2)CC31C53 22
3 10
其分布律为
X 012
pk 0.1 0.6 0.3
4
例2 某射手连续向一目标射击，直到命中
为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射
击发数X的概率函数分布列. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
0.1756
16
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P(X 1) 1 P(X 1) 1 P(X 0)
1
C
0 5000
(0.001)0
(0.999)5000
0.9934.
※ 小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件.
17
例5 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只.问20只元件 中恰有 k 只(k 0,1,,20) 一级品的概率是多少?
15
例4 独立射击5000次, 每次命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
P5000(5) C55000(0.001)5 (0.999)4995
25
如果利用近似公式
Cnk p k (1
p)nk
k e
k!
( np)
计算，可以得到： 200000.0001 2，且
P(X 3) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3)
20 e2 21 e2 22 e2 23 e2
§2.2离散型随机变量及其分布律
如果随机变量的取值是有限个或可数个 (即能与自然数的集合一一对应），则称该变
量为离散型随机变量。
为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知 道随机变量X的所有可能取值，而且还应知道 X 取每个值的概率.为此我们有以下定义：
1
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, xk ,,并且取各个值的
称 X 服从参数为 p 的几何分布。
对于离散型随机变量，如果知道了它的 概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率 规律.下一节，我们将介绍连续型随机变量。
6
例3 进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试 验次数，求X的分布律。 解:m=1时, P{X k} (1 p)k1 p, k 1,2,...
21
例6 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分 布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求 任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解:由题意,
22
在某个时段内：
① 大卖场的顾客数；
应 用
② 市级医院急诊病人数； ③ 某地区拨错号的电话呼唤次数； ④ 某地区发生的交通事故的次数.
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B(n, p)
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
9
二项分布的取值情况 设
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k) C8k ( 13)k (1
)1 8k 3
,
k 0,1,,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
设 Ak = {第 k 发命中}，k 1,2, ，
于是
P(X 1)P(A1) p P(X 2)P(A1A2 ) (1 p) p P(X 3)P( A1A2 A3) (1 p)2 p
5
类似地，有
P(X k)(1 p)k1p, k 1,2,
这就是求所需射击发数X的分布列.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
P
由图表可见 , 当 k 4 时，
0.22 •
分布取得最大值
P20(4) 0.22
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20
12
0.2 0.15
0.1 0.05
5
10
15
20
13
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
注 其分布律可写成
P( X k) pk (1 p)1k , k 0,1
8
(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若
Pn (k) P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
若P(X k) P(X j), j X 可取的一切值
则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P(X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
pk (1 p)(k 1) 1 pk1 p(n k)
分布律的性质
pk 0, k 1,2,
pk 1
k 1
非负性 规范性
反过来，假如有一列数 pk 满足
pk 0 且 pk 1 k 1
则该数列可以定义为某离散型随机变量的分 布律。
3
例1 如右图所示，从中任取3个
球。取到的白球数X是一个随机变
量。X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
pn )nk
k e
k!
(k 0,1,).
24
例7 某种药品的过敏反应率为0.0001，
今有20000人使用此药品，求20000人中发生过 敏反应的人数不超过3的概率。
对应概率为 p1, p2 ,, pk ,, 即
P( X xk ) pk (k 1,2,)
则称上式为离散型随机变量X的概率分布，又
称分布律。
分布律也可以通过列表表示：
X
x1 x2 xk
P
p1 p2 pk
其中第一行表示随机变量所有可能的取
值，第二行表示这些取值所对应的概率。 2
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
••••••••• 012345678
x
10
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05
2
4
6
8
11
设 X ~ B(20,0.2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
19
图示概率分布
20
(3) Poisson 分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2,,而取各个 值的概率为
P{ X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ P().
P
(
X
0)CC5333
1 10
P(
X
1)CC32C53 21
6 10
P(
X
2)CC31C53 22
3 10
其分布律为
X 012
pk 0.1 0.6 0.3
4
例2 某射手连续向一目标射击，直到命中
为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射
击发数X的概率函数分布列. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
0.1756
16
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P(X 1) 1 P(X 1) 1 P(X 0)
1
C
0 5000
(0.001)0
(0.999)5000
0.9934.
※ 小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件.
17
例5 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只.问20只元件 中恰有 k 只(k 0,1,,20) 一级品的概率是多少?
15
例4 独立射击5000次, 每次命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
P5000(5) C55000(0.001)5 (0.999)4995
25
如果利用近似公式
Cnk p k (1
p)nk
k e
k!
( np)
计算，可以得到： 200000.0001 2，且
P(X 3) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3)
20 e2 21 e2 22 e2 23 e2
§2.2离散型随机变量及其分布律
如果随机变量的取值是有限个或可数个 (即能与自然数的集合一一对应），则称该变
量为离散型随机变量。
为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知 道随机变量X的所有可能取值，而且还应知道 X 取每个值的概率.为此我们有以下定义：
1
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, xk ,,并且取各个值的
称 X 服从参数为 p 的几何分布。
对于离散型随机变量，如果知道了它的 概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率 规律.下一节，我们将介绍连续型随机变量。
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例3 进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试 验次数，求X的分布律。 解:m=1时, P{X k} (1 p)k1 p, k 1,2,...
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例6 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分 布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求 任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解:由题意,
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在某个时段内：
① 大卖场的顾客数；
应 用
② 市级医院急诊病人数； ③ 某地区拨错号的电话呼唤次数； ④ 某地区发生的交通事故的次数.
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B(n, p)
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
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二项分布的取值情况 设
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k) C8k ( 13)k (1
)1 8k 3
,
k 0,1,,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
设 Ak = {第 k 发命中}，k 1,2, ，
于是
P(X 1)P(A1) p P(X 2)P(A1A2 ) (1 p) p P(X 3)P( A1A2 A3) (1 p)2 p
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类似地，有
P(X k)(1 p)k1p, k 1,2,
这就是求所需射击发数X的分布列.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
P
由图表可见 , 当 k 4 时，
0.22 •
分布取得最大值
P20(4) 0.22
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20
12
0.2 0.15
0.1 0.05
5
10
15
20
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二项分布中最可能出现次数的定义与推导
注 其分布律可写成
P( X k) pk (1 p)1k , k 0,1
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(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若
Pn (k) P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
若P(X k) P(X j), j X 可取的一切值
则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P(X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
pk (1 p)(k 1) 1 pk1 p(n k)
分布律的性质
pk 0, k 1,2,
pk 1
k 1
非负性 规范性
反过来，假如有一列数 pk 满足
pk 0 且 pk 1 k 1
则该数列可以定义为某离散型随机变量的分 布律。
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例1 如右图所示，从中任取3个
球。取到的白球数X是一个随机变
量。X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.