【高中数学】离散型随机变量及其分布列+练习题

离散型变量强化1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A.2258 B.21 C.83 D.43 5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ） A.2101012)85()83(⋅C B.83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C 7．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D. 1038．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率（ ） A 52 B.51 C.92 D. 73 9．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 7310.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ ）A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 11.若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）3212.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ） B. 21 C. 31 D.32 解答题13．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率14．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．15.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． 试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）求按比赛规则甲获胜的概率．16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列.。

【高中数学】离散型随机变量及分布列【知识总结】1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做__ ______. 常用希腊字母ξ、η等表示. 说明：(1)随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数表示，如掷一枚硬币，“正面向上”用数字“1”表示，即X =1； (2)这个数在随机试验前是无法预先确定的，在不同的随机试验中，结果可能有变化，说明随机试验的结果可以用一个变量来表示。

如某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…命中10环等结果，即可能结果用0，1，2，…，10这11个数表示；(3)所谓随机变量不过是建立起基本事件空间与实数的一个对应关系。

如设随机变量X 为骰子掷出的点数，于是X =1，2，3，4，5，6，或者说X 的值域为{}1,2,3,4,5,6；(4)随机变量是把随机试验的结果映射为实数，函数是把实数映射为实数，与函数概念本质上是相同的。

在函数的概念中，函数()f x 的自变量是实数x ，随机变量的概念中，随机变量X 的自变量是随机试验的结果。

2. 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做_____________. 说明：随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量，我们只研究离散型随机变量。

3. 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做_____________.4. 分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξx 1 x 2 … x i … PP 1 P 2 … P i …为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.5. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。

由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) .(2)________ _____.特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ注意：(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上(2)若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量6．求离散型随机变量X 的分布列的步骤： (1)确定X 的可能取值i x （i =1，2，…，n ）； (2)求出相应的概率()i i P X x p ==； (3)列成表格的形式.7．如果随机变量X 的分布列为：X 01P1-pp称为两点分布。

23离散型随机变量及其分布列课后练习题一、选择题1.下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( )A.X －2 0 2 4 P0.50.20.3B.X 0 1 2 P0.70.150.15C.X 1 2 3 P1 －31 22 3D.X 1 2 3 Plg 1lg 2lg 52.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3，…，n ，如果 P (X ＜4)＝0.3，那么( )A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．n ＝9a 3.若随机变量 X 的概率分布列为：P (X ＝n )＝n n ＋ (n ＝1,2,3,4)，其中 a 是常数，则⎛1 5⎫ P ＜X ＜ ⎪的值为( )⎝22⎭2 3 4 5 A. B. C. D. 4564.设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －1 0 1P0.51－2qq 2则 q ＝()1 1 A.B.C.224D. 1-2285.若随机变量 X 的分布列如下表所示，则 a 2＋b 2的最小值为()1 A.24B. C. D.二、填空题6.由于电脑故障，使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知 取奇数值时的概率是 ．7.从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有 X 个红球，则随机变量 X 的分布列为． 8.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这⎛15⎫ 批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量 ξ ，则 P ≤ξ ≤ ⎪＝ .⎝33⎭三、解答题k9.设随机变量 X 的分布列为 P (X ＝ )＝ a k ，(k ＝1,2,3,4,5)．5 31 7 (1)求常数 a 的值；(2)求 P (X ≥ )；(3)P ( <X < )．5 10 1010.一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字 2,3,4,5；另一个盒子里也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字 3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 x ，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 y ，记随机变量η ＝x ＋y ，求 η 的分布列．164。

离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A.X 取每一个可能值的概率都是非负数；B.X 取所有可能值的概率之和为1；C.X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）X1 2 3 4P16 13 16aA ．12 B ．16 C ．13 D ．144、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1；B ．12； C ．13； D ．145．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是（ D ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6C. 10D. 无法确定7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题)如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3B.5C.6D.1010.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C.127 D.65 11.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一行，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有A ．1440种 B.960种 C ．720种 D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种 二、填空题：13、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（把全部正确的答案序号填上）()2,1,2,3,,21n P X k k n ===-14、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10，则X 的取值为15、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为16.(2007年重庆卷第4题)若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____三、解答题：17、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量 (1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?18、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率． 19.(2007年重庆卷第6题)从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率20.(2007年辽宁卷)一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；X -1 0 1 p0.3 0.4 0.4X 1 2 3 p0.4 0.7 -0.1X 5 0 -5 p0.3 0.6 0.1②()1,2,3,4,5,P X k k k===④ ⑤(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B 10、C 11、B 12、B 二、填空题： 13、 ③④14、13579,1,,2,,3,,4,,52222215、 3,4,5 16、 20三、解答题：17、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 18、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X2 4 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 41 81 161 ．．． n21 ．．．∴(10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22.[解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为：。

`课题：离散型随机变量及其分布列考纲要求：① 理解取有限个的离散型随机量及其分布列的概念，了解分布列于刻画随机象的重要性；②理解超几何分布及其推程，并能行的用.教材复习1.随机量：如果随机的果可以用一个量来表示，那么的量叫做随机量随机量常用希腊字母、等表示2.离散型随机量 : 于随机量可能取的，可以按一定次序一一列出，的随机量叫做离散型随机量若是随机量，a b ，其中 a 、b是常数，也是随机量3.型随机量:于随机量可能取的，可以取某一区的一切，的量就叫做型随机量4. 离散型随机量与型随机量的区与系: 离散型随机量与型随机量都是用量表示随机的果；但是离散型随机量的果可以按一定次序一一列出，而性随机量的果不可以一一列出5.离散型随机量的分布列:离散型随机量可能取的x1、 x2、⋯、 x i、⋯取每一个x i i 1,2,的概率P(x i ) p i，称表x1x2⋯x i⋯P p1p2⋯p i⋯随机量的概率分布，称的分布列6.离散型随机量分布列的两个性：任何随机事件生的概率都足: 0≤P( A)≤1，并且不可能事件的概率0 ，必然事件的概率 1．由此你可以得出离散型随机量的分布列都具有下面两个性：1p i≥0， i 1,2, ⋯；2 p1p2⋯1于离散型随机量在某一取的概率等于它取个各个的概率的和. 即P( ≥ x k ) P(x k ) P(x k 1 )7.两点分布：若随机量服从两点分布，即其分布列：X01其中 P P( X1) 称成功概率(表中 0 p 1 ).P 1 p p 8.几何分布：在独立重复中，某事件第一次生，所作的次数也是一个正整数的离散型随机量．“k”表示在第 k 次独立重复事件第一次生. 如果把k次事件 A 生A k、事件 A 不生A k，p( A k)p ，p( A k) q( q 1 p) ，那么P(k ) P( A1 A2 A3 L A k 1A k )P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) L P( A k 1 )P(A k ) q k 1 p(k0,1,2, ⋯， q1p )于是得到随机量的概率分布如下：13k2⋯⋯`Ppqq 2 p q k 1 pp⋯⋯称 的随机 量服从几何分布，作 g( k, p)q k 1 p ，其中 k0,1,2, ⋯， q 1 p9.超几何分布： 一般地， 有 N 件 品， 其中有 M （ M ≤ N ）件次品， 从中任取 n （ n≤ N ）件 品，用 X 表示取出的 n 件 品中次品的件数，那么 P Xk（其中 k 非 整数）. 如果一个随机 量的分布列由上式确定，那么称X 服从参数N , M , n 的超几何分布 .m12⋯C M 0 C N n 0MC M 1 C N n 1MC M 2 C N n 2MC M m C N n m MC N n C N nC N n ⋯C N n10. 求离散型随机变量分布列的步骤： 1 要确定随机 量 的可能取 有哪些 . 明确取每个 所表示的意 ； 2 分清概率 型， 算 取得每一个 的概率（取球、抽取品等 要注意是放回抽 是不放回抽 ； 3 列表 ， 出分布列，并用分布列的性.11.几种常见的分布列的求法：1 取球、投骰子、抽取 品等 的概率分布，关是概率的 算 . 所用方法主要有化 法、数形 合法、 法等， 于取球、抽取 品等， 要注意是放回抽 是不放回抽.2 射 ：若是一人 射 ，且限制在n次射 中 生k 次， 往往与二 分布 系起来；若是首次命中所需射 的次数， 它服从几何分布，若是多人射 ，一般利用相互独立事件同 生的概率 行 算.3 于有些 ，它的随机 量的 取与所 的关系不是很清楚，此 要仔 ，明确 中的含 ，恰当地 取随机 量，构造模型， 行求解.典例分析：考点一 由古典概型求离散型随机变量的分布列问题 1．（ 2013天津）一个盒子里装有 7 卡片 , 其中有 色卡片 4 , 号分1,2,3,4 ；白色卡片 3 ,号分 2,3, 4 . 从盒子中任取 4 卡片 ( 假 取到任何一卡片的可能性相同 ). (Ⅰ ) 求取出的 4 卡片中 ,含有 号3 的卡片的概率 . ( Ⅱ ) 在取出的 4 卡片中 , 色卡片 号的最大X , 求随机 量 X 的分布列和数学期望 .`考点二由统计数据求离散型随机变量的分布列问题 2．2010（）某食品厂了一条自包装流水的生情况，随机抽取流水上的40 件品作本称出它的重量（位：克），重量的分区490,495 ，495,500 ，⋯，510,515 ，由此得到本的率分布直方，如所示.1根据率分布直方，求重量超505 克的品数量.2 在上述抽取的40 件品中任取2 件， Y 重量超 505 克的品数量，求 Y 的分布列.3 从流水上任取 5 件品，求恰有 2 件品合格的重量超 505克的概率.考点二两点分布问题 3．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6红色玻璃球，从中摸出两球. 当两球全为红色玻璃球时，记X 0 ；当两球不全为红色玻璃球时，记为X 1 .试求 X 的分布列.考点三超几何分布452问题 4．2012（）已知箱中装有个白球和个黑球，且规定：取出一个白球的分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取( 无放回，且每球取到的机会均等) 3个球，记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和．1求 X 的分布列； 2 求 X 的数学期望 EX ．走向高考：1.（ 2012 ）设为随机变量，从棱长为 1的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，0 ；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1．1 求概率P(0) ；2 求的分布列，并求其数学期望E( ) ．2.（ 2013）设袋子中装有a个红球， b 个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得 1分，取出一个黄球 2 分，取出蓝球得 3 分.1 当a3, b 2, c 1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量为取出此 2 球所得分数之和，. 求分布列； 2 略3.（ 2011）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别. 公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对，则月工资定为 3500元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元；否则月工资定为2100 元.令 X`1 求 B 的分布列；2 求此员工月工资的期望.4.（ 2011）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和 5 件，测量产品中微量元素x, y 的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081`12已知甲厂生产的产品共 98 件，求乙厂生产的产品数量；当产品中的微量元素 x, y 满足 x ≥ 175 且 y ≥ 75时，该产品为优等品， 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；3 从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随即抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.5.（ 2013）某商 场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1个球，根据摸出4 个球中红球与蓝球的个数，设一．二．三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖 3红1200元蓝二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖2 红 1蓝10 元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 .`1 求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；2 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望 E X.。

离离离离离离离离离离离离一、单选题1. 随机变量X的分布列如下表所示：则P(X≤2)=( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.42. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)=3−4P(X=1)=a，则a=( )A. 23B. 12C. 13D. 14二、解答题3. 一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X表示样本中一等品的个数．(1)若有放回地抽取，求X的分布列；(2)若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例．①求误差不超过0.2的X的值；②求误差不超过0.2的概率(结果不用计算，用式子表示即可)．4. 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有2的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前3三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p n，易知p1=1，p2=0．}为等比数列；①试证明：{p n−13②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q n，比较p10与q10的大小．5. 五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率;(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金;若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金;若中三次奖，则共获得数额为6n元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利⋅的概率都是146. 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．答案和解析1.解：由分布列的性质可得，0.1+m+0.3+2m=1，可得m=0.2，所以P(X ≤2)=P(X =1)+P(X =2)=0.1+0.2=0.3．故选：C ．2.解：因为X 的分布列服从两点分布，所以，因为所以，，故选C ．3.解：(1)依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为p =13×13=19，门将在前三次扑到点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，易知X∽B(3,19)，所以P(X =k)=C 3k×(19)k ×(89)3−k ，k =0，1，2，3，故X 的分布列为： X 0123P512729 6424382431729所以X 的期望E(X)=3×19=13．(2) ①第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，则当n ≥2时，第n −1次传球之前球在甲脚下的概率为p n−1， 第n −1次传球之前球不在甲脚下的概率为1−p n−1， 则p n =p n−1×0+(1−p n−1)×12=−12p n−1+12， 即p n −13=−12(p n−1−13)，又p 1−13=23， 所以{p n −13}是以23为首项，公比为−12的等比数列． ②由 ①可知p n =23(−12)n−1+13，所以p 10=23(−12)9+13<13， 所以q 10=12(1−p 10)=12[23−23(−12)9]>13，故p 10<q 10．4.解：(1)解：设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有C 93种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 63种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P(A)=1−C 63C 93=1−521=1621;(2)解：设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能取值为0，n ，3n ，6n;(单元：元)ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=C 30(14)0(1−14)3=2764， 同理P(ξ=n)=C 31(141(1−14)2=2764,P(ξ=3n)=C 32(14)2(1−14)=964,P(ξ=6n)=C 33(14)3(1−14)0=164;顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E(ξ)=0×2764+n ×2764+3n ×964+6n ×164=15n16， 由15n16≤60，解得n ≤64，所以n 最高定为64元，才能使促销方案对商场有利．5.解：(1)P =1−C 62C 102=1−1545=23，即该顾客中奖的概率为23．(2)X 的所有可能值为：0，10，20，50，60． 且P(X =0)=C 62C 102=13，P(X =10)=C 31C 61C 102=25， P(X =20)=C 32C 102=115，P(X =50)=C 11C 61C 102=215，P(X =60)=C 11C 31C 102=115． 故X 的概率分布列为：6.解：(1)一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X 表示样本中一等品的个数．若有放回地抽取，X ～B(4,25)，∴P(X =0)=C 40(35)4=81625， P(X =1)=C 41(25)(35)3=216625，P(X =2)=C 42(25)2(35)2=216625， P(X =3)=C 43(25)3(35)=96625，P(X =4)=C 44(25)4=16625，∴X 的分布列为：(2)对于不放回抽取，各次试验结果不独立，X 服从超几何分布，样本中一等品的比例为X4，而总体中一等品的比例为40100=0.4，①|X4−0.4|≤0.2，解得0.8≤X≤2.4，所以X=1或X=2，②P(|X4−0.4|≤0.2)=P(X=1)+P(X=2)=C401C603+C402C602C1004．。

高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列一、单选题1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数a 等于（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.1D ．0.42．已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=（ ） A ．23B ．32C ．1D ．343．随机变量X 的分布列为()15kP X k ==，1k =，2，3，4，5，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．13C ．12D ．234．随机变量X 的分布列如下表所示：则()2P X ≤=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．若随机变量η的分布列如表：则()1P η≤=（ ） A ．0.5B ．0.2C ．0.4D ．0.36．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ） A ．至多取到1个黑球 B ．至少取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数7．已知离散型随机变量X 的分布列如表：则实数c 等于（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.78．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.49．设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ，其中k 为常数，则()2log 3log P X 3<<80的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．5610．随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-，且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====，则()14P X -<<的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．若随机变量X 的分布列如下表，则(3)P X ≥=（ ）A ．14B ．13C ．34D ．11212．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用X 表示取出球的最小号码，则X 的取值为（ ） A ．1B ．1，2C ．1，2，3D ．1，2，3，4二、填空题13．若随机变量ξ的分布列为则a =__________．14．设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+，1,2,3k =，其中C 为常数，则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________．15．设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，C 为常数，则()3P X <=____．16．一串5把外形相似的钥匙，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率.18．某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为23，乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过，则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. （1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为X ，求X 的分布列； （3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19．在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．20．某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成，比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白球与黄球各3个，红球与绿球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：（1）只能一个人摸球；（2）摸出的球不放回；（3）摸球的人先从袋中摸出1球：①若摸出的是绿球，则再从袋子里摸出2个球；②若摸出的不是绿球，则再从袋子里摸出3个球．他的得分为两次摸出的球的记分之和；（4）剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（Ⅰ）若甲第一次摸出了绿球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，求乙得分X的分布列．22．袋中有4个红球，()14,n n n N ≤≤∈个黑球，若从袋中任取3个球，恰好取出3个红球的概率为435． （1）求n 的值．（2）若从袋中任取3个球，取出一个红球得1分，取出一个黑球得3分，记取出的3个球的总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．参考答案1．D 【分析】利用分布列的性质，求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=，所以0.4a =． 故选：D 2．A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案． 【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=，所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=，故选：A. 3．A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算． 【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==， 故选：A ． 4．C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=． 故选：C ． 5．C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选：C. 6．C 【分析】根据随机变量的定义，判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C ，取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C 7．B 【分析】根据概率之和等于1，得0.10.240.361c +++=，解方程即可求出结果. 【详解】据题意，得0.10.240.361c +++=，解得0.3c =. 故选：B. 8．B 【分析】由概率和为1可得a 值． 【详解】由题意0.231a a ++=，解得0.2a =． 故选：B ． 9．D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值，再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知：()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==， 即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯，解得：54k =，所以()5228k P X ===，()53624k P X ===， ()541248k P X ===，()152016k P X ===， 所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=， 故选：D. 10．C 【分析】 先求得1(0)6P X ==，再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=，所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选：C. 11．A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值，再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知：3621x x x x +++=，可得：112x =， 所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选：A. 12．C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 13．0.25 【分析】根据概率之和等于1，即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =． 故答案为：0.25. 14．89【分析】根据分布列的性质求出C ，即可解出． 【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭．故43C =，所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：89．15．89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值，再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，∴ 16122c c c ++=，即62 112c c c ++=，解得43c =， ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：89.16．4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知，前4次都打不开锁，最后一把钥匙一定能打开锁， 故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为：4.17．（1）分布列见解析；（2）1745【分析】（1）记取到的次品数为X ，则X 的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得X 的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=； 【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共21045C =种情况；记取到的次品数为X ，取到的次品数X 值可能为0，1，2，其中282102(0845)C P X C ===；121821016(1)45C C P X C ===；222101)5(24C P X C ===；∴取到的次品数X 的分布列为：（2）由（1）得：至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==． 18．（1）1124；（2）答案见解析；（3）甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和，再利用概率加法公式计算而得；(2)写出X 的可能值，计算出对应的概率即可得解； (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】（1）若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个，则被淘汰，于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率：1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4，()3110()327P X ===，()1232121()339P X C ==⋅⋅=，()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=，()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=，()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为：（3）甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=， 乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率22411113(1)496P =-⋅=， 显然有12P P >，所以甲更有可能闯关成功. 19．（1）716；（2）分布列见解析；期望为72．【分析】（1）甲获得游戏奖品有3种情况：①共取球2次，即第1次和第2次甲都取到白球，从而甲获奖的概为1122⨯；②共取球4次，即第4次取到白球，第3次取到白球，第1次和第2次有一次取到白球，从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；③共取球6次，即第6次为白球，第5次取白球，若第4次取白球，则第3次取黑球，第1，2次中有1次取白球；若第4次取黑球，则第3次白球，第1，2次有一次取白球，从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再由互斥事件的概率公式可得答案；（2）由（1）的求解中可知，X 可能取2，4，6，用（1）的方法先分别求出X 等于2，4的概率，从而可得X 为6的概率，然后列出分布列即可，然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A ，()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲获得游戏奖品的概率为716（2）X 的可能取值为2,4,6， ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==． X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20．（1）13；（2）分布列见解析；期望为409．【分析】（1）小组投中两次分为两种情况，两次都是女生投中，和一次男生一次女生投中，从而求得概率；（2）根据题意，X 的可能取值为－60，10，20，30，分别求得各取值对应的概率，列出分布列，求得期望. 【详解】解：（1）一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为－60，10，20，30， 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（Ⅰ）37，（Ⅱ）分布列见解析．【分析】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，由此可求得概率．（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，得3分，则还可以从袋子中摸3个球，那么得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．分别计算概率后可得分布列． 【详解】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，所以112163273()7C C C P A C +==； （Ⅱ）如果乙先摸出了红球，则还可以从袋子中摸3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．33371(6)35C P C ξ===，2133379(7)35C C P C ξ===；1233379(8)35C C P C ξ===；213313374(9)35C C C P C ξ+===；111331379(10)35C C C P C ξ===； 2131373(11)35C C P C ξ===．ξ的分布列如下：22．（1）3；（2）详见解析. 【分析】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，解方程可得结果；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，求出相应的概率可得结果. 【详解】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，又14n ≤≤，所以3n =；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，3X =即取出的3个球都是红球，则()3437C 43C 35P X ===； 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球，则()214337C C 185C 35P X ===； 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球，则()124337C C 127C 35P X ===；9X =即取出的3个球都是黑球，则()3337C 19C 35P X ===. 所以，随机变量X 的分布列为。

高中数学选修2-3离散型随机变量的分布列精选题目（附答案）(1)离散型随机变量的分布列的定义及性质①一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格形式表示为：表示为P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，离散型随机变量分布列还可以用图象表示．(2)特殊分布①两点分布X的分布列为两点分布，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．②超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，即其中m＝如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．一、离散型随机变量的分布列1．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．解：(1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6，P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为(2)X的取值不小于P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝320＋310＋12＝1920.注：求离散型随机变量分布列的一般步骤：(1)确定X的所有可能取值x i(i＝1,2，…)以及每个取值所表示的意义；(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)；(3)写出分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验．2．一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．解：随机变量X的可能取值为1,2,3.当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P(X＝1)＝C24C35＝610＝35；当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P(X＝2)＝C23C35＝310；当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P (X ＝3)＝C 22C 35＝110.因此，X 的分布列为3．若随机变量X则当P (X <a ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)解析：选C 随机变量X 的分布列，知P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．故选C.4．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 2＋b 2的最小值为( )A.124B.116C.18D.14解析：选C 由分布列性质可知a ＋b ＝12，而a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝18.故选C. 5．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a (11－2k )，k ＝1,2,3,4,5，其中a 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<ξ<235＝( )A.35B.1325C.45D.825解析：选D 由a (9＋7＋5＋3＋1)＝1可得a ＝125，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<ξ<235＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝525＋325＝825，故选D.6．已知随机变量X 所有可能取值的集合为{－2,0,3,5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X ＝5)＝112，则P (X ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18解析：选C 由分布列的性质可知，P (X ＝0)＝1－P (X ＝－2)－P (X ＝3)－P (X ＝5)＝16. 7．已知随机变量ξ的分布列为设η＝ξ2－2ξ解析：由题意，可知P (η＝3)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝3)＝14＋112＝13. 答案：13二、离散型随机变量分布列的性质1．设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710.解： 题目所给随机变量X 的分布列为(1)由a ＋2a ＋3a 得a ＝115.(2)法一：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝15＋415＋13＝45.法二：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110＜X ＜710，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋15＝25.注：(1)利用离散型随机变量的分布列的两个性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：(1)求q 的值；(2)求P (X ＜0)，P (X ≤0)的值． 解：(1)由分布列的性质得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋(1－2q )＋q 2＝1，解得q ＝1－22.(2)P (X ＜0)＝P (X ＝－1)＝12；P (X ≤0)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＝12＋1－2⎝⎛⎭⎪⎫1－22＝2－12.三、两点分布及超几何分布1．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．解： (1)从10张奖券中任意抽取1张，只有中奖与不中奖两种情况，X 的取值只有1和0，故属于两点分布．(2)从10张奖券中任意抽取2张，属于超几何分布．(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35. 因此X 的分布列为(2)2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115，因此随机变量Y 的分布列为注：(1)由于在两点分布中，只有两个对立结果，求出其中的一个概率，便可求出另一个概率．(2)可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，往往由差异明显的两部分组成．2．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B中学抽取的概率为C33C34C36C36＝1100，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P(X＝3)＝C33C13C46＝15.所以X的分布列为3ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0 B.12 C.13 D.23解析：选C设失败率为p，则成功率为2p，ξ的分布列为即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝1 3，所以P (ξ＝0)＝13.故选C.4．已知10名同学中有a 名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是1645，则a ＝( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8解析：选B 设抽取的女生人数为X ，则X 服从超几何分布，P (X ＝1)＝C 1a C 110－aC 210＝a (10－a )45＝1645，解得a ＝2或a ＝8，故选B.5．生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率为________．解析：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布，这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格的，所以被接收的概率为P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245.故该批产品被接收的概率是243245.答案：2432456．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X 的分布列．解：X 的可能取值是1,2,3，P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为7.老师要从102篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．解：(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.巩固练习：1．设随机变量X 等可能地取值为1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y ＜10)的值为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.2解析：选B Y ＜10，即2X －1＜10，解得X ＜5.5，即X ＝1,2,3,4,5，所以P (Y ＜10)＝0.5.2．离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x ”“y ”(x ，y ∈N )代替，其表如下：则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜X ＜113等于( )A ．0.25B ．0.35C ．0.45D ．0.55解析：选B 根据分布列的性质可知，随机变量的所有取值的概率和为1，得x ＝2，y ＝5.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜X ＜113＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.35.3．一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝2)D ．P (X ＝1)解析：选B 由已知，得X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 222C 226，P (X ＝1)＝C 122C 14C 226，P (X ＝2)＝C 24C 226，∴P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 122C 14＋C 222C 226.4．设随机变量X 的分布如下表，则P (|X －3|＝1)＝( )A.712B.512C.14D.16解析：选B 因为|X －3|＝1，所以X ＝2或X ＝4，所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝1－13－14＝512.5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝________.解析：由离散型随机变量分布列的性质，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋(1－2q )＋q 2＝1，0≤1－2q ≤1，0≤q 2≤1，故q＝1－22.答案：1－226．袋中有4个红球3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________.解析：取出的4个球红球个数可能为4,3,2,1，黑球相应个数为0,1,2,3，其分值为ξ＝4,6,8,10分．P (ξ≤6)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝6)＝C 44C 03C 47＋C 34C 13C 47＝1335.答案：13 357．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，解得x＝0.018.(2)分数在[80,90)，[90,100]的人数分别是50×0.018×10＝9(人)，50×0.006×10＝3(人)．所以ξ的可能取值为0,1,2，其服从参数为N＝12，M＝3，n＝2的超几何分布．则P(ξ＝0)＝C03C29C212＝3666＝611，P(ξ＝1)＝C13C19C212＝2766＝922，P(ξ＝2)＝C23C09C212＝366＝122.所以随机变量ξ的分布列为ξ01 2P 6119221228．某班50名同学参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目的个数及对应的人数如下表：答对题目的个数012 3人数5102015(1)从50名同学中任取2名，求答对题目的个数之和为4或5的概率；(2)从50名同学中任选2名，设随机变量ξ为这2名同学答对题目的个数之差的绝对值，求ξ的分布列．解：(1)记“从50名同学中任选2名，答对题目的个数之和为4或5”为事件A，从50名同学中任选2名，基本事件总数为C250，事件A所包含的基本事件分为三类：第一类，从答对1个问题及答对3个问题的同学中各选1人，共有C110C115种选法；第二类，从答对2个问题及答对3个问题的同学中各选1人，共有C120C115种选法；第三类，从答对2个问题的同学中选2人，共有C220种选法．由古典概型的概率计算公式，可得P(A)＝C110C115＋C120C115＋C220C250＝128245.(2)ξ的所有可能取值0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C25＋C210＋C220＋C215C250＝27，P(ξ＝1)＝C15C110＋C110C120＋C120C115C250＝2249，P(ξ＝2)＝C15C120＋C110C115C250＝1049，P(ξ＝3)＝C15C115C250＝349.所以ξ的分布列为。

专题11.5 离散型随机变量的分布列1．（2021·全国·高二课时练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．【答案】答案见解析． 【分析】根据已知数据列表格． 【详解】用X 表示获利，则X 的取值分别是1000，500，－500，分布列如下表：的分布列如下表所示，求a 的值． 【答案】0.2 【分析】由分布列中所有概率和为1计算． 【详解】由题意0.30.51a ++=，解得0.2a =3．（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设1,,0,,X ⎧=⎨⎩出现正面出现反面写出X 的分布列． 【答案】答案见解析． 【分析】X 的值分别为0，1，求出概率后得分布列．【详解】抛一枚均匀的硬币，有两种可能，正面向上或反面向上，两种情况的可能性相同，X 0=或1，1(0)(1)2P X P X ====， 分布列如下：练基础ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列. 【答案】答案见解析 【分析】根据概率之和为1可求出. 【详解】由题意及分布列满足的条件知P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝3P (ξ＝1)＋P (ξ＝1)＝1， 所以()114P ξ==，故()314P ξ==. 所以ξ的分布列为ξ的分布列如下，求k 的值．【答案】121nk =- 【分析】根据离散型随机变量ξ的概率性质即可求解参数． 【详解】因为1＝k ＋2k ＋…＋2n －1k ＝k (1＋2＋…＋2n －1)＝k ·1212n--＝(2n －1)k ，所以121n k =-．6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示．（1）求常数a 的值； （2）求(6)P ξ>．【答案】 （1）0.28 （2）0.85 【分析】（1）由分布列中所有概率和为1计算；（2）计算(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=即可 ． （1）由题意0.030.050.070.080.260.231a ++++++=，解得0.28a =； （2）(6)P ξ>=(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=＝0.080.260.280.230.85+++=．7．（2021·全国·高二课时练习）从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X 表示取得的白球数，求X 的分布列． 【答案】答案见解析． 【分析】确定X 的可能值，计算出概率后得分布列． 【详解】X 的所有可能值是0，1．42(0)105P X ===，63(1)105P X ===， 所以X 的分布列如下：X 服从参数为0.3的两点分布． （1）求()0P X =；（2）若21Y X =+，写出Y 的分布列． 【答案】 （1）0.7（2）答案见解析． 【分析】（1）根据二项分布的概念求解； （2）求出Y 的可能值，写出分布列即可． （1）(0)10.30.7P X ==-=．（2）X 0=时，1Y =，1X =时，3Y =，所以Y 的分布列为：X 的分布列，并说明理由： （1）（2）【答案】（1）不是，理由见解析． （2）不是，理由见解析． 【分析】（1）根据分布列中所有概率和为1说明； （2）由概率的范围说明． （1）由于0.20.20.20.20.3 1.11++++=>，因此此表格不是随机变量X 的分布列 （2）表格中事件1X =的概率是0.2-，这是不可能的，概率在[0,1]范围内．因此此表格不是随机变量的分布列．10．（2021·全国·高二单元测试）设离散型随机变量X 的分布列为（2）()39P Y <≤的值．【答案】（1）分布列见解析；（2）0.7.【分析】(1)先由分布列的性质解出m ，然后按步骤写出分布列即可； （2）根据（1）中的分布列可计算出答案. 【详解】由分布列的性质知，0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m =．（1）由题意可知，()()21100.2P X P X +====，()()21310.1P X P X +====，()()21520.1P X P X +====，()()21730.3P X P X +====，()()21940.3P X P X +====， 所以21Y X =+的分布列为：（2）395790.10.30.30.7P Y P Y P Y P Y <≤==+=+==++=.1．（2022·江苏·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（ ）． A ．P (ξ＝0)＝411 B ．P (ξ＝111C ．P (ξ＝1)＝611D ．P (ξ＝122【答案】ABC 【分析】根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ. 【详解】由题设，ξ的可能取值为0，1．若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P (ξ＝0)＝232128C C ＝411， 若两条棱平行，它们的距离为16对，∴P (ξ＝2126C ＝111，故P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ)＝1－411－111＝611，练提升ξ分布列如下：故选：ABC2．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：．【答案】1 8【分析】首先根据分布列的性质得到12a b+=，再利用基本不等式的性质求解即可.【详解】由分布列的性质，知11144a b+++=，即12a b+=.因为()222128a ba b++≥=，当且仅当14a b==时取等号.所以22a b+的最小值为1 8 .故答案为：1 83．（2021·全国·高二课时练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.【答案】将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．由题意知X 的可能取值为1，2，3()3433=148A P X ==； ()223439=2416C A P X ==；()1431=3416A P X ==故答案为：相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列； 【答案】(1)见解析. 【解析】（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为5.（2021·X ． （1）说明1X =表示的是什么事件，并求出(1)P X =； （2）求X 的分布列． 【答案】（1）事件见解析，1(1)2P X ==； （2）分布列见解析．（1）根据X表示的意义确定事件，并计算概率．（2）X的可能值为0，1，2，求出各概率后得分布列．（1）1X=表示正面向上的次数为1的事件，1221 (1)22CP X===．（2）X的可能值为0，1，2，则221(0)24CP X===，2221(2)24CP X===，X的分布列如下：5发子弹，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽．若已知每次射击命中的概率均为0.9，求该运动员这次训练耗用的子弹数X的分布列．【答案】答案见详解.【分析】X的可能取值为1,2,3,4,5，分别求出相应的概率，由此能求出耗用的子弹数X的分布列.【详解】根据题意1,2,3,4,5X=，()10.9P X==，()20.10.90.09P X==⨯=，()30.10.10.90.009P X==⨯⨯=，()40.10.10.10.90.0009P X==⨯⨯⨯=，()50.10.10.10.10.10.10.10.10.10.90.0001P X==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.∴X的分布列为：)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.【答案】（1）310；（2）答案见解析.【分析】（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解【详解】（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则()()()153 202010P C P A P B=+=+=；（2）由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝51 204；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝1953 2020204++=，故X的分布列为：8．（2021·全国·高二课时练习）从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集中，随机地取出一个.（1）求所取出的非空子集中所有元素之和为10的概率；（2）记所取出的非空子集中的元素个数为X，求X的分布列.【答案】（1）331；（2）答案见解析.【分析】（1）计算基本事件总数和满足条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式即得解；（2）X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，计算对应的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）记“所取出的非空子集中所有元素之和为10”为事件A .基本事件总数1234555555C C C C C 31n =++++=，事件A 包含的基本事件有{}1,4,5，{}2,3,5，{}1,2,3,4，共3个，故()331P A =. （2）依题意，X 的所有可能取值为1，2，3，4，5.()151131C 53P X ===，()2510231C 13P X ===，()3510331C 13P X ===，()454131C 53P X ===，()555131C 13P X ===.故X 的分布列为X ． （1）写出X 的分布列； （2）求(5)P X <；（3）求“点数和大于9”的概率． 【答案】 （1）答案见解析 （2）16（3）16．【分析】（1）X 的可能值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，分别计算出概率后可得分布列； （2）由(2)(3)(4)P X P X P X =+=+=可得； （3）由(10)(11)(12)P X P X P X =+=+=可得． （1）由题意X 的可能值依次为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，两枚骰子的点数和列表如下（第一行是一个骰子的点数，第一列是另一个骰子的点数，其他格子中为两个骰子点数和，共36个：1(2)(12)36P X P X ====，21(3)(11)3618P X P X =====， 31(4)(10)3612P X P X =====，41(5)(9)369P X P X =====， 5(6)(8)36P X P X ====，61(7)366P X ===， X 的分布列如下：（2）(5)(2)(3)(4)361812366P X P X P X P X <==+=+==++==； （3）1111(9)(10)(11)(12)1218366P X P X P X P X >==+=+==++=． 10.（2021·全国·高二单元测试）某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评+仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率； （2）求该同学这个题目得分X 的分布列．【答案】（1）18；（2）分布列见解析.【分析】（1）记A 表示事件：" 该同学这个解答题需要仲裁 " ，设—评、二评所打分数分别为 , ,x y 由题设知事件A 的所有可能情况有： 119x y =⎧⎨=⎩ 或 911x y =⎧⎨=⎩由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率； （2）随机事件X 的可能取值为 9 , 9 . 5 , 10 , 10 . 5 , 11 , 分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列. 【详解】（1）设事件A 表示“该同学这个题目需要仲裁”，一评、二评所打分数分别为x ，y ，由题意知事件A 的所有可能情况有119x y =⎧⎨=⎩或911x y =⎧⎨=⎩，∴()1191111191144448x x P A P P y y ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧=+=⨯+⨯= ⎨⎪ ⎨⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭． （2）随机事件X 的取值范围为{}9,9.5,10,10.5,11，设仲裁所打分数为z ，则 ()911911111111391199444444443299x x x P X P P y P y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫=⎧ ⎪ ⎪⎪⎪==+=+==⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪=⎩⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭， ()910111119.510942244x x P X P P y y ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧==+=⨯+⨯= ⎨⎪ ⎨⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，()101111010224x P X P y ⎛⎫=⎧===⨯= ⎨⎪=⎩⎝⎭，()911101110.511911101010x x x x P X P P P y P y y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫⎛⎫==⎧⎧ ⎪ ⎪⎪⎪==++=+= ⎨⎪ ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭11111111115244244244216=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=， ()11911111111113119111144444444321111x x x P X P P P y y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫=⎧ ⎪⎪ ⎪⎪==++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=== ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪=⎩⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. （1）用ξ表示取到的豆沙粽的个数，求ξ的分布列； （2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 【答案】（1）分布列见解析；（2）45. 【分析】（1）首先求随机变量0,1,2ξ=，再利用古典概型求概率； （2）根据（1）的结果求概率. 【详解】（1）由条件可知0,1,2ξ=，()2326105C P C ξ===，()113326315C C P C ξ===，()2326125C P C ξ===，所以ξ的分布列，如下表，则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率14155P . 2.（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=． （2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”． 由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====． 所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD == ()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为（3）记事件E 为“2000元”． 假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化， 则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==． 答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．3.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）67． 【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=C 4k ⋅C 33−k C 73（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)， 故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)=67．所以，事件A 发生的概率为67．4.（2017山东，理18选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的频率. （II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列. 【答案】（I ）(II)X 的分布列为因此X 的分布列为 5．（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.5.18（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率； （Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列.【答案】（Ⅰ）0.3. （Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，指标y 的值小于60的有15人，所以从概率为150.350=. （Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6P P P ξξξ=========.所以ξ的分布列为6．（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和均值． （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】(1)见解析；（2）11()()48P A P B +=. 【解析】（Ⅰ）解：随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111323424P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()1111113012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）解：设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为()()()()()()()10,11,00110P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.。

第二章 §1一、选择题1．若随机变量X 的分布列如下表所示，则表中a ＝( )A.12 B.16 C.56 D ．0[答案] B[解析] 根据随机变量的分布列的性质可得a ＝1－12－16－16＝16.2．离散型随机变量ξ所有可能值的集合为{－2,0,3,5}，且P (ξ＝－2)＝14，P (ξ＝3)＝12，P (ξ＝5)＝112，则P (ξ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18 [答案] C[解析] 根据离散型随机变量分布列的性质有P (ξ＝－2)＋P (ξ＝0)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝1，所以14＋P (ξ＝0)＋12＋112＝1.解得P (ξ＝0)＝16.3．随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<ξ<52)的值为( )A.23B.34C.45D.56 [答案] D[解析] 因为P (ξ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54，因为P (12<ξ<52)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54×12＋54×16＝56.故选D.4．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ>8)＝________，P (6<ξ≤14)＝________.[答案] 23 23[解析] 因为P (ξ＝5)＋P (ξ＝6)＋…＋P (ξ＝16)＝1，且P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)，所以P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)＝112，则P (ξ>8)＝P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＋…＋P (ξ＝16)＝112×8＝23.P (6<ξ≤14)＝p (ξ＝7)＋P (ξ＝8)＋…＋P (ξ＝14)＝112×8＝23.5．设随机变量ξ的分布列为则m ＝________，η＝ξ[答案] 14[解析] 首先由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝1，得m ＝14.再由随机变量ξ和η＝ξ－3表示的试验结果是相同的，可以求出η＝ξ－3对应的概率，列出分布列．三、解答题6．旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条线路． (1)求3个旅游团选择3个不同线路的概率； (2)求选择甲线路的旅游团数的分布列．[解析] (1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为A 3443＝38.(2)设选择甲线路的旅游团数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P (ξ＝0)＝3343＝2764，P (ξ＝1)＝C 13·3243＝2764，P (ξ＝2)＝C 23·343＝964，P (ξ＝3)＝C 3343＝164.所以ξ的分布列为1．已知离散型随机变量X 的分布列为则k 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由分布列的性质可知nkn＝1，∴k ＝1.2．设离散型随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝k 15，k ＝1,2,3,4,5，则P (12<X <52)等于( )A.12 B.19 C.16 D.15[答案] D[解析] P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15.3．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，射击次数为X ，则“X ＝5”表示的试验结果为( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．前5次均未击中目标[答案] C[解析] 本题易错选为A ，其实“X ＝5”只能说明前4次均未击中目标，而第5次射击有可能击中目标，也有可能子弹打完而未击中目标．4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23[答案] C[解析] 设ξ的分布列为则“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p ，则成功率为2p . ∴由p ＋2p ＝1得p ＝13.应选C.5．设X 是一个离散型随机变量，则下列不能够成为X 的概率分布列的一组数是( ) A ．0,0,0,1,0 B ．0.1,0.2,0.3,0.4 C ．p,1－p (p 为实数)D.11×2，12×3，…，1(n －1)·n ，1n (n ∈N ＋) [答案] C[解析] 随机变量的分布列具有两个性质：①非负性；②概率之和为1.可以根据这两个性质解决．A 、B 显然满足性质，适合．C 中，设p ＝3，显然1－p ＝－2<0不满足非负性．D 中有11×2＋12×3＋…＋1(n －1)·n ＋1n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n ＝1，故选C.[点评] 在处理随机变量分布列的有关问题时，应充分利用分布列的性质求解． 二、填空题6．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则m 的值为________[答案] 0.1[解析] 由分布列的性质(2)，可得m ＋0.3＋32m ＋0.45＝1，解得m ＝0.1.[点评] 根据概率分布求参数的值(范围)，是离散型随机变量的分布列的性质的重要应用之一，主要是根据分布列的性质列出方程，通过解方程求出参数即可．7．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck (k ＋1)(c 为常数)，k ＝1,2,3，则P (0.5<ξ<2.5)＝________.[答案] 89[解析] 由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1，得c ＝43，P (0.5<ξ<2.5)＝1－P (ξ＝3)＝1－433×4＝89. 三、解答题8．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k5)＝ak ，(k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)P (110<X <710)．[分析] 分布列有两条重要的性质：P i ≥0，i ＝1,2，…；P 1＋P 2＋…＋P n ＝1利用这两条性质可求a 的值．(2)(3)由于X 的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X ≥35或110<X <710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次实验中没有联系，只要求得满足条件各概率之和即可．[解析] (1)由a ·1＋a ·2＋a ·3＋a ·4＋a ·5＝1得a ＝115.(2)因为分布列为P (X ＝k 5)＝115k (k ＝1、2、3、4、5)解法一：P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45.解法二：P (X ≥35)＝1－[P (X ＝15)＋P (X ＝25)]＝1－[115＋215]＝45.(3)因为110<X <710，只有X ＝15、25、35时满足，故P (110<X <710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25. [点评] 随机变量并不一定要取整数值．它的取值一般来源于实际问题，且有其特定的含义，因此，可以是R 中的任意值．但这并不意味着可以取任何值．它只能取分布列中的值．而随机变量取某值时，其所表示的某一实验发生的概率值，必须符合性质．9．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0的实根的个数(重根按一个计)，求X 的分布列．[分析] 用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0的实根的个数，易知X 有0,1,2三个可能取值，随机变量对应的随机事件可用Δ＝b 2－4c 与0的大小表示．[解析] 由题意，X 的可能取值为0,1,2.随机试验的所有可能结果构成的集合为{(b ，c )|b ，c ＝1,2，…，6}，元素总个数为36.X ＝0对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c <0，b ，c ＝1,2，…，6}，元素个数为17； X ＝1对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c ＝0，b ，c ＝1,2，…，6}，元素个数为2； X ＝2对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c >0，b ，c ＝1,2，…，6}，元素个数为17. 由此可知，P (X ＝0)＝1736，P (X ＝1)＝118，P (X ＝2)＝1736，故X 的分布列为[点评] 验的所有基本事件数以及随机事件所包含的基本事件数．比如方程实根个数为1，则Δ＝0，利用它找到骰子之间的关系．10．(2014·福州模拟)某学院为了调查本校学生2014年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列．[解析] (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2)随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2.P (Y ＝0)＝C 230C 240＝2952；P (Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513；P (Y ＝2)＝C 210C 240＝352.所以Y 的分布列为：。

课时规范练61离散型随机变量及其分布列课时规范练第93页一、选择题1.设随机变量X的概率分布列如下表所示:X012P aF(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)=( )A. B. C. D.答案:D解析:∵a+=1,∴a=.∵x∈[1,2),∴F(x)=P(X≤x)=.2.设X是一个离散型随机变量,其分布列为X -101P 1-2qq2则q等于( )A.1B.1±C.1-D.1+答案:C解析:由+1-2q+q2=1,得q2-2q+=0,q=,∴q=1+>1(舍去)或q=1-.3.羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草,则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )A. B. C. D.答案:C解析:从5只羊中选两只羊,有=10种选法,喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的结果有·=6种选法,喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为.4.设随机变量ξ的分布列由P(ξ=i)=C·确定,i=1,2,3,则C的值为( )A. B. C. D.答案:B解析:∵P(ξ=i)=C·,∴P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=C·=C·=1,∴C=.5.若P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中m<n,则P(m≤ξ≤n)等于( )A.(1-a)(1-b)B.1-a(1-b)C.1-(a+b)D.1-b(1-a)答案:C解析:由分布列的性质得P(m≤ξ≤n)=P(ξ≥m)+P(ξ≤n)-1=(1-a)+(1-b)-1=1-(a+b),故选C.6.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于的是( )A.P(X=2)B.P(X≤2)C.P(X=4)D.P(X≤4)答案:C解析:X服从超几何分布P(X=k)=,故k=4.二、填空题7.设随机变量X的概率分布列为X1234P m则P(|X-3|=1)=.答案:解析:由+m+=1,得m=.∴P(|X-3|=1)=P(X=4)+P(X=2)=.8.对于下列分布列有P(|ξ|=2)=.ξ-202P a c答案:解析:P(|ξ|=2)=P(ξ=2)+P(ξ=-2)=a+c=1-.9.某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的总人数为;若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告,则其中恰好有1人来自公务员的概率为.相关人员数抽取人数公务员32x教师48y自由职业者644答案:9解析:由自由职业者64人抽取4人可得,每一个个体被抽入样的概率为,则公务员应当抽取32×=2人,教师应当抽取48×=3人,由此可得调查小组共有2+3+4=9人.从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告,则其中恰好有1人来自公务员的概率为P=.三、解答题10.若随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,求P的值.解:P=P(X=1)+P(X=2)=.而P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=a=1,∴a=.∴P=a.11.某中学动员学生在春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.(1)求合唱团学生参加活动的人均次数;(2)从合唱团中任选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率;(3)从合唱团中任选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列.解:根据统计图知参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10,50,40.(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为=2.3.(2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率P0=.(3)随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为12.为迎接6月6日的“全国爱眼日”,某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶),如图,若视力测试结果不低于5.0,则称为“好视力”.(1)写出这组数据的众数和中位数;(2)从这16人中随机选取3人,求至少有2人是“好视力”的概率;(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人,记X表示抽到“好视力”学生的人数,求X的分布列及数学期望.解:(1)由题意知众数为4.6和4.7,中位数为4.75.(2)设A i(i=0,1,2,3)表示所选3人中有i个人是“好视力”,至少有2人是“好视力”记为事件A,则P(A)=P(A2)+P(A3)=.(3)X的可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多,故X近似服从二项分布B.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X的分布列为X0123P故X的数学期望E(X)=3×.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

数学选修2-3离散型随机变量及其分布列练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 已知离散型随机变量X的分布列如右表，则常数q的值为（）A.−1B.1C.13D.122. (1)某机场候机室中一天的游客数量为ξ；(2)某寻呼台一天内收到的寻呼次数为ξ；(3)某水文站观察到一天中长江水位为ξ；(4)某立交桥一天经过的车辆数为ξ，则（）不是离散型随机变量．A.(1)中的ξB.(2)中的ξC.(3)中的ξD.(4)中的ξ3.设随机变量X的概率分布列如下：则P(X<4)=( )A.0.15B.0.3C.0.65D.0.54. 已知随机变量X的分布列如图，则p的值为（）A.1 4B.12C.34D.15. 随机变量X的分布列如下，则m等于（）A.1 3B.12C.16D.146. 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=m(23)k，k=1，2，3，则m的值是（）A.17 36B.2738C.1719D.27197. 随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ck(1+k)，k=1，2，3，其中c为常数，则P(ξ≥2)等于（）A.89B.23C.13D.298. 一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为．A.B.C.9. 已知随机变量X的概率分布列如表所示：且X的数学期望EX=6，则（）A.a=0.3，b=0.2B.a=0.2，b=0.3C.a=0.4，b=0.1D.a=0.1，b=0.410. 已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(x)=()A.3 2B.2C.52D.311. 设随机变量X的概率分布列为则P(|X−3|=1)=()A.7 12B.512C.14D.1612. 备注：试题题型错误。

A.PB.13C.aD.b若E(X)=1，则E(aX+b)=13. 已知离散型随机变量X的分布列为14. 已知随机变量ξ的分布列为：则m=________．15.设离散型随机变量X的概率分布如下：则a的值为________．16. 已知随机变量X的分布列为：．17. 某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：（1）试估计该市小微企业资金缺额的平均值；（2）某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A行业4家小微企业和B行业的3家小微企业中随机选取4家小微企业，进行跟踪调研．设选取的4家小微企业中是B行业的小微企业的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列．18. 某射手每次射击击中目标的概率是2，且各次射击的结果互不影响．3假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．19. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）(1)求在1次游戏中：①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列．20. 某市9月份空气质量为：9天良、12天轻度污染、6天中度污染、3天重度污染．若9月份的重度污染都发生在一个星期内，且这个星期只有一天是轻度污染，其余三天空气质量好坏是随机的，求评级为良的天数X的分布列．21. 将4封不同的信随机地投入到3个信箱里，记有信的信箱个数为ξ，试求ξ的分布列．22. 某校对数学、物理两科进行学业水平考前辅导，辅导后进行测试，按照成绩（满分均为100分）划分为合格（成绩大于或等于70分）和不合格（成绩小于70分）．现随机抽取两科各100名学生的成绩统计如下：（1）试分别估计该校学生数学、物理合格的概率；（2）设数学合格一人可以赢得4小时机器人操作时间，不合格一人则减少1小时机器人操作时间；物理合格一人可以赢得5小时机器人操作时间，不合格一人则减少2小时机器人操作时间．在（1）的前提下，(I)记X为数学一人和物理一人共同赢得的机器人操作时间（单位：小时）总和，求随机变量X的分布列和数学期望；(II)随机抽取4名学生，求这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率．参考答案与试题解析数学选修2-3离散型随机变量及其分布列练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率的基本性质即可得出．【解答】解：由概率的规范性可得：12+q2+q2=1，化为2q2+q−1=0，又q≥0，解得q=12．故选D．2.【答案】C【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，分析题干的四个变量可得，(1)(2)(4)中的ξ，都可以一一列举，是离散型随机变量；(3)中的ξ，水文站观察到一天中长江水位即ξ的值是连续的，无法按一定次序一一列出，不符合定义，不是离散型随机变量；即可得答案．【解答】解：根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出；分析题干的四个变量可得(1)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；(2)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；(3)中的ξ，水文站观察到一天中长江水位即ξ的值是连续的，无法按一定次序一一列出，不符合定义，不是离散型随机变量；(4)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；故选C．3.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知：P(X<4)=0.3+0.2=0.5.4.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率的性质，建立方程，即可求得p的值．【解答】解：由题意，14+p+14=1∴p=12故选B．5.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】由概率和为1，求解得m=14．6.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】先根据所给的随机变量ξ的分布列，写出各个变量对应的概率，然后根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于m的方程，解方程求得m 的值．【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=m(23)k，k=1，2，3∴P(ξ=1)=2m3，P(ξ=2)=4m9，P(ξ=3)=8m27，∵2m3+4m9+8m27=1，∴m=2738，故选B．7.【答案】C离散型随机变量及其分布列 【解析】先根据分布列中所有的概率和为1求出参数c ，再判断出满足 条件的ξ≥2的值，代入分布列求出值． 【解答】解：根据分布列中所有的概率和为1，得c1×2+c2×3+c3×4=1， 解得c =43∴ P(ξ=k)=431k(1+k)∴ P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=43(12×3+13×4)=13故选C ． 8.【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】先计算P(x =0)，即从7个球中任意摸出两个球，取到两个白球的概率，利用古典概型概率的计算方法，先求总的基本事件数，再求所研究事件包含的基本事件数，即可得其概率，最后利用排除法即可得正确选项 【解答】解：从7个球中任意摸出两个球，共有c 72=21种取法摸出的俩个球都是白球，共有c 32=3种取法 故P(x =0)=321=17故选A 9. 【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】利用概率的和为1，以及期望求出a 、b ，即可． 【解答】解：由表格可知：0.4+a +b +0.1=1， 又EX =6，可得：2+6a +7b +0.8=6， 解得b =0.2，a =0.3， 故选：A ． 10.【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】在离散型随机变量X的分布列中，随机变量各个取值的概率和等于1，本题可利用该性质求a，再利用期望计算公式求期望．【解答】解：因为a=1−35−110=310，所以E(x)=1×35+2×310+3×110=32，故选：A．11.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率分布的定义得出：13+m+14+16=1，求出m，得出分布列，判断P(|X−3|=1)=P(4)+P(2)，求解即可．【解答】解：根据概率分布的定义得出：13+m+14+16=1．得m=14，随机变量X的概率分布列为∴P(|X−3|=1)=P(4)+P(2)=512故选：B．12.【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】本题考查期望的算法和超几何分布等．【解答】解：由题可得：E(x)=a+2b=1a+b=2 3∴ a=13b=13E(ax+b)=aE(x)+b=13×1+13=23故答案为23．故选A．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）13.【答案】1−√2 2【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】由分布列的性质可得0.5+1−2q+q2=1，解得q的值．【解答】解：由分布列的性质可得0.5+1−2q+q2=1，解得q=1+√22（舍去），或q=1−√22.故答案为：1−√22．14.【答案】13【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】欲求出m值，只要利用分布列的性质：概率之和为1，列式14+13+m+112=1，即可求得．【解答】解：由分布列性质得：1 4+13+m+112=1，∴m=13．故答案为：13．15.【答案】13【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用离散型随机变量的分布列的性质求解．【解答】解：由离散型随机变量ξ的分布列，知：1 6+13+16+a=1，解得a=13．故答案为：13．16.【答案】512【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】根据随机变量取各个值的概率之和等于1，求得m的值，再根据本题即求X=3和X=4的概率之和，利用X的分布列求得X=3和X=4的概率之和．【解答】解：根据概率分布列的性质可得13+m+14+16=1，解得m=14．故有P(|X−3|=1)=P(X=2，或X=4)=14+16=512，故答案为512．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分）17.【答案】（1）解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值x¯=10×0.05+30×0.1+50×0.35+70×0.3+90×0.2=60（万元）．−−−−−4分（2）由题设ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C44C74=135，P(ξ=1)=C43C31C74=1235，P(ξ=2)=C42C32C74=1835，P(ξ=3)=C41C33C74=435，所以ξ的分布列为−−−−−−13分．【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】（1）利用统计表中的数据，结合平均数计算公式能求了该市小微企业资金缺额的平均值．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3)，由此能求出ξ的分布列．【解答】（1）解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值x ¯=10×0.05+30×0.1+50×0.35+70×0.3+90×0.2=60（万元）．−−−−−4分（2）由题设ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P(ξ=0)=C 44C 74=135，P(ξ=1)=C 43C 31C 74=1235，P(ξ=2)=C 42C 32C 74=1835， P(ξ=3)=C 41C 33C 74=435，所以ξ的分布列为−−−−−−13分．18. 【答案】解 设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ∼B (5,23)．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X =2)=C 52×(23)2×(1−23)3=40243． 设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i =1,2,3)． 由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6. P (ξ=0)=P (A 1¯A 2¯A 3¯)=(13)3=127；P(ξ=1)=P(A 1A 2¯A 3¯)+P(A 1¯A 2A 3¯)+P(A 1¯A 2¯A 3)=23×(13)2+13×23×13+(13)2×23=29；P (ξ=2)=P (A 1A 2¯A 3)=23×13×23=427；P(ξ=3)=P(A 1A 2A 3¯)+P(A 1¯A 2A 3)=(23)2×13+13×(23)2=827； P (ξ=6)=P (A 1A 2A 3)=(23)3=827． 所以ξ的分布列是注意：解本题第（2）问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n 次独立重复试验，可导致求得P =C 53(23)3×(13)2=80243这一错误结果．【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 略 19.【答案】解：(1)①设“在1次游戏中摸到i 个白球”为事件A i (i =0, 1, 2, 3)， 则P(A 3)=C 32⋅C 21C 52⋅C 32=15；②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2∪A 3，又P(A 2)=C 32C 52⋅C 22C 32+C 31⋅C 21C 52⋅C 21C 32=12，且A 2、A 3互斥，所以P(B)=P(A 2)+P(A 3)=12+15=710. (2)由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2． P(X =0)=(1−710)2=9100，P(X =1)=C 21710(1−710)=2150， P(X =2)=(710)2=49100，所以X 的分布列是:离散型随机变量及其分布列 【解析】（2）确定在3次游戏中获奖次数X 的取值是0、1、2、3，求出相应的概率，即可写出分布列． 【解答】解：(1)①设“在1次游戏中摸到i 个白球”为事件A i (i =0, 1, 2, 3)，则P(A 3)=C 32⋅C 21C 52⋅C 32=15；②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2∪A 3， 又P(A 2)=C 32C 52⋅C 22C 32+C 31⋅C 21C 52⋅C 21C 32=12，且A 2、A 3互斥，所以P(B)=P(A 2)+P(A 3)=12+15=710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2．P(X =0)=(1−710)2=9100，P(X =1)=C 21710(1−710)=2150，P(X =2)=(710)2=49100，所以X 的分布列是:【答案】解：把30天的天气看成是30个可能事件，由题意已经去掉了15个可能事件（3天重度可能，12天轻度污染可能）所以要解决原题，即从剩下的15种天气可能中（包含9个“良”的可能以及其余6个“非良”的可能）随机取出3个，求为“良”的个数X 的分布列问题． 易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3， 则P(X =0)=C 63C 153=491；P(X =1)=C 62C 91C 153=2791； P(X =2)=C 61C 92C 153=216455；P(x =3)=C 93C 153=84455．故X 的分布列为：．【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】虽然是一共有30个各种天气可能结果，但由题意已经先把3种重度污染结果去掉，再去掉12种轻度污染结果，然后从剩下的15种天气结果随机选出三种，求选到的为“良”的可能数X 的分布列的问题，此时就剩15种天气结果，由研究的问题可以看成两种情况：9个“良”的可能，6个“非良”的可能，则借助于组合数公式，容易算出当良的个数分别为0，1，2，3时的概率，则分布列迎刃而解． 【解答】解：把30天的天气看成是30个可能事件，由题意已经去掉了15个可能事件（3天重度可能，12天轻度污染可能）所以要解决原题，即从剩下的15种天气可能中（包含9个“良”的可能以及其余6个“非良”的可能）随机取出3个，求为“良”的个数X 的分布列问题． 易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3， 则P(X =0)=C 63C 153=491；P(X =1)=C 62C 91C 153=2791； P(X =2)=C 61C 92C 153=216455；P(x =3)=C 93C 153=84455．故X 的分布列为：．21.【答案】解：由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3， P(ξ=1)=C 3134=127， P(ξ=2)=C 32(2C 41+C 42)34=1427，P(ξ=3)=C 42A 3334=1227，∴ ξ的分布列是【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】根据题意得到变量的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件根据等可能事件的概率公式写出变量对应的概率，写出分布列． 【解答】解：由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，P(ξ=1)=C 3134=127， P(ξ=2)=C 32(2C 41+C 42)34=1427，P(ξ=3)=C 42A 3334=1227，∴ ξ的分布列是22. 【答案】解：（1）数学合格率p 1=40+32+8100=45， (1)物理合格率p 2=40+29+6100=34． (2)(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3， P(X =9)=45×34=35，….3 P(X =4)=(1−45)×34=320，…4 P(X =2)=45×(1−34)=15，…5 P(X =−3)=(1−45)×(1−34)=120， (6)X 的分布列：EX =9×35+4×320+2×15+(−3)×120=254． (8)(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，解得n ≥3，故n =3或n =4， (10)∴ 这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率：p =C 43(34)3(1−34)+C 44(34)4=189256． (12)【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）由等可能事件概率计算公式能求出数学合格率和物理合格率．(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX ．(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，由此能求出这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率． 【解答】解：（1）数学合格率p 1=40+32+8100=45， (1)物理合格率p 2=40+29+6100=34． (2)(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3， P(X =9)=45×34=35， (3)P(X =4)=(1−45)×34=320，…4 P(X =2)=45×(1−34)=15， (5)P(X =−3)=(1−45)×(1−34)=120，…6 X 的分布列：EX =9×35+4×320+2×15+(−3)×120=254． (8)(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，解得n ≥3，故n =3或n =4， (10)∴ 这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率：p =C 43(34)3(1−34)+C 44(34)4=189256． (12)。

离散型随机变量及其分布列（选择题：一般）1、随机变量的分布列为，．为常数，则的值为（）A． B． C． D．2、若P(ξ≤n)＝1－a，P(ξ≥m)＝1－b，其中m<n，则P(m≤ξ≤n)等于 ()A．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)3、如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中为假命题的是 ()A．X取一个可能值的概率是非负实数B．X取所有可能值的概率之和为1C．X取某两个可能值的概率等于分别取其中两个值的概率之和D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和4、设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝,k＝1,2,3，则m的值为 ()A． B． C． D．5、若随机变量X的概率分布如下表所示，则表中的a的值为 ()X1234aPA. 1B.C.D.6、抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于 ( )A ．B ．C ．D ．7、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 （ ）A ．10B ．9C ．11D ．88、已知随机变量满足，，.若，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，9、随机变量的分布列如下：-1 0 1若，则的值是（ ）A. B. C. D.10、已知随机变量的分布列为，则等于( )A． B． C． D．11、袋中有大小相同的3只钢球，分别标有1、2、3三个号码，有放回的依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能值的个数是( )A．9 B．8 C．6 D．512、设随机变量的分布列为，则 ( )A． B． C． D．13、随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为( )A． B． C． D．14、已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为()A．10% B．20% C．30% D．40%15、设随机变量～B（2，p），η～B（3，p），若，则P（η≥2）的值为（）A． B． C． D．16、某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数，则A． B． C．3 D．17、已知的分布列如表：且，，则（）A. B. C. D.18、若某一射手射击所得环数的分布列为456789100.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数”的概率是（）A. 0.88B. 0.12C. 0.79D. 0.0919、抛掷一枚硬币，记，则（）A．0 B． C．1 D．-120、设离散型随机变量的分布列为：则（）A． B． C． D． b21、袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X=3)等于 ( )A． B． C． D．22、设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于 () A．0 B． C． D．23、口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则（）A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.624、一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）A． B． C． D．25、设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：X－11P1－2qq2则q等于( )A．1 B．1± C．1－ D．1＋26、设随机变量～B（2，p），η～B（3，p），若，则P（η≥2）的值为（）A． B． C． D．27、设随机变量~，又，则和的值分别是（）A．和 B．和 C．和 D．和28、设随机变量X的分布列如下表，且，则（）1230．10．1A．0．2 B．0．1 C． D．29、已知，，则等于（）A． B． C． D．30、随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为()A． B． C． D．31、[2014·四川模拟]在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()A． B． C． D．32、设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于() A．0 B． C． D．33、计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格“并颁发”合格证书“.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格相互之间没有影响。

高中数学人教版选修2-3同步练习：2.1.1《离散型随机变量及其分布列》第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量课时训练6 离散型随机变量一、选择题1.抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为().A.掷硬币的次数B.出现正面向上的次数C.出现正面向上或反面向上的次数D.出现正面向上与反面向上的次数之和答案:B解析:出现正面向上的次数为0或1,是随机变量.2.下列随机变量是离散型随机变量的是().①抛5颗骰子得到的点数和;②某人一天内接收到的电话次数;③某地一年内下雨的天数;④某机器生产零件的误差数.A.①②③B.④C.①④D.②③答案:A解析:由离散型随机变量的定义知①②③均是离散型随机变量,而④不是,由于这个误差数几乎都是在0附近的实数,无法一一列出.3.已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X;④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是().A.①②③B.②③④C.①②④D.③④答案:C解析:③中X的值可在某一区间内取值,不能一一列出,故不是离散型随机变量.4.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取得黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为().A.X=4B.X=5C.X=6D.X≤4答案:C解析:第一次取到黑球,则放回1个球,第二次取到黑球,则放回2个球……共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.5.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为().A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品答案:D6.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为().A.20B.24C.4D.18答案:B解析:由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24(种).二、填空题7.在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是.答案:-300,-100,100,300解析:若答对0个问题得分-300;若答对1个问题得分-100;若答对2个问题得分100;若问题全答对得分300.8.一袋中装有5个同样的球,编号依次为1,2,3,4,5,从该袋中随机取出3个球.记三个球中最小编号为ξ,则“ξ=3”表示的试验结果是.答案:取出编号为3,4,5的三个球9.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取一件,取到次品就停止,取后不放回,抽取次数为X,则“X=3”表示的试验结果是.答案:前两次均取到正品,第三次取到次品三、解答题10.写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果:(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数ξ;(2)从4张已编号(1~4号)的卡片中任意取出2张,被取出的卡片号数之和ξ.解:(1)ξ可取0,1,2,3.ξ=i表示取出i支白粉笔,3-i支红粉笔,其中i=0,1,2,3.(2)ξ可取3,4,5,6,7.其中ξ=3表示取出编号为1,2的两张卡片.ξ=4表示取出编号为1,3的两张卡片.ξ=5表示取出编号为2,3或1,4的两张卡片.ξ=6表示取出编号为2,4的两张卡片.ξ=7表示取出编号为3,4的两张卡片.11.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判定η的随机变量类型.解:(1)ξ0 1 2 3结果取得3个黑球取得1个白球2个黑球取得2个白球1个黑球取得3个白球(2)由题意可得η=5ξ+6,而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3},则η对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6,故η的可能取值为{6,11,16,21},显然η为离散型随机变量.12.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)离开天安门的距离η;(2)袋中有大小完全相同的红球5个,白球4个,从袋中任意取出一球,若取出的球是白球,则过程结束;若取出的球是红球,则将此红球放回袋中,然后重新从袋中任意取出一球,直至取出的球是白球,此规定下的取球次数ξ.解:(1)η可取[0,+∞)中的数.η=k表示离开天安门的距离为k(km).不是离散型随机变量.(2)ξ可取所有的正整数.{ξ=i}表示前i-1次取出红球,而第i次取出白球,这里i∈N*.。