常见离散型随机变量的分布
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第二节常见离散型随机变量的概率分布
例2.20 某种玻璃器皿在汽车运输中的破损率为2%，现 在一次运送1200件，试求，(1) 破损件数X的概率分布； (2) 最多破损30件的概率α．
解 (1) 为求破损件数X的概率分布，考虑n=1200次伯努 利试验，每次试验成功的概率为p=0.02，可见X的概率 分布是参数为的二项分布．由于n=1200和p=0.02显然满 足泊松定理的条件，可见近似服从参数为np=24的泊松 分布．
第二节、常见离散型随机变 量的概率分布
一、两点分布（0－1分布）
只有两个可能值的随机变量X的概率分布称做两点分布：
X
~
x1 q
x2 p
(q
1
p,
0
p
1)
特别，若x1 =0 , x2 =1,则称X服从参数为p的0-1分布，亦称伯
努利分布．只计“成功”和“失败”两种结局的试验称做伯
努利
试验．设X是试验成1功 , 的若次试数验：成功 ， X ~ 0 , 若试验失败 ,
n})
；
四、泊松分布、泊松定理和泊松流
称随机变量X服从参数为 0 的泊松分布，如果
PX k λ k eλ (k 0,1,2,)
k!
1、泊松定理 假设X服从二项分布，参数年n充分大，而 p充分小，且 n p 适中，则可以利用泊松分布概率近似计 算二项分布概率．
Ckn
pk (1
p)nk
(np)k k!
因此，至少需要安排3个人值班．
例2.15 假设一部设备在一个工作日因故停用的概率为0.2．一
周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7
万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3个及多于3个工
作日亏损2万元．求所创利润的概率分布．
概率论与数理统计2.2.2 (0-1)分布
P{ X xk } pk , k 1, 2,
（2）列表法
X
x1 x2
xk
pk
p1 p2
pk
二、（0－1）分布：（也称两点分布）
引例1
射手每次射击的成绩在9.5环以上时被认为射击成功.
如果每次射击成功的概率为0.45，令
1, 当射击成功,
X 0,
当射击失败.
分布律为
X
0
1
P 0.55 0.45
则称X 服从（0-1）分布，
引例2
商店里有10张同类CD片，其中6张为一级品，3张为二级品， 1张为不合格品.顾客购买时任取其中一张，求取得合格品的概 率.
解
1, 取得合格品,
X 0, 否则.
分布律为X01 NhomakorabeaPk
0.1 0.6+0.3
则称X 服从（0-1）分布，取得合格品的概率为 PX 1 0.9.
的随机变量．
0,
X X () 1,
当 1, 当 2.
来描述这个随机试验的结果。
检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记， 检验种子是否发芽以及“抛硬币”试验都可以用（0-1）
分布的随机变量来描述．
例1 在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取
一件,假如取到每件产品的机会都相等.
若定义随机变量X为
0, X 1,
当取到次品时 当取到正品时
则有 P{X=0}=0.05, P{X=1}=0.95
若定义随机变量Y为
1, Y 0,
当取到次品时 当取到正品时
则有 P{Y=0}=0.95, P{Y=1}=0.05
从中看到X,Y都服从(0-1)分布.
离散型随机变量及其分布律
取值为0,1,…, n,且其分布律为
其中0<p<1,则称随机变量X服从以n, p为参数的
二项分布
记为X~B(n, p)
事件A发生 的概率
试验进行 的次数
p
事件A发生 的次数
X
n
X~B(n, p)
事件A的概率在 各次试验中相同
各次试验独立
中奖率为0.01
1
…
100
每张彩券的购买是独立的
p =0.01
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3,.
设 Ai 表示“抽到的第 i 个产品是正品”,
P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
所以 X 服从几何分布.
n=100
X: 中奖的彩券数 X~B(100, 0.01 )
P(X
k)
Ck 100
0.01k
0.99100k
k= 0,1,…, 100
X: 中奖的彩券数 X~B(100, 0.01 )
P(X
k)
Ck 100
0.01k
0.99100k
P( X 0) 0.99100=P (没有彩券中奖）
P (有彩券中奖)=1-P (没有彩券中奖）
C2 1000
0.00022
0.9998998
n:购买的彩票数，n=?
购
A:事件——彩票中奖
买
彩 票
p:中奖率，p=0.01
X:随机变量——中奖的彩票数
P( X 1) 99%
n λ
p
P( X 1)
p
其中0<p<1,则称随机变量X服从以n, p为参数的
二项分布
记为X~B(n, p)
事件A发生 的概率
试验进行 的次数
p
事件A发生 的次数
X
n
X~B(n, p)
事件A的概率在 各次试验中相同
各次试验独立
中奖率为0.01
1
…
100
每张彩券的购买是独立的
p =0.01
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3,.
设 Ai 表示“抽到的第 i 个产品是正品”,
P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
所以 X 服从几何分布.
n=100
X: 中奖的彩券数 X~B(100, 0.01 )
P(X
k)
Ck 100
0.01k
0.99100k
k= 0,1,…, 100
X: 中奖的彩券数 X~B(100, 0.01 )
P(X
k)
Ck 100
0.01k
0.99100k
P( X 0) 0.99100=P (没有彩券中奖）
P (有彩券中奖)=1-P (没有彩券中奖）
C2 1000
0.00022
0.9998998
n:购买的彩票数，n=?
购
A:事件——彩票中奖
买
彩 票
p:中奖率，p=0.01
X:随机变量——中奖的彩票数
P( X 1) 99%
n λ
p
P( X 1)
p
离散型随机变量及其分布函数_图文
5.超几何分布
设X的分布律为
说明 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.
三、内容小结
1.常见离散型随机变量的分布 两点分布 二项分布 泊松分布
几何分布 超几何分布
两点分布
二项分布
泊松分布
则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
定义 说明
离散型随机变量的分布律也可表示为 或
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号
灯.每盏灯以
的概率禁止汽车通过.以
表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信
号灯的工作是相互独立的），求 的分布律.
Байду номын сангаас
离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系 ：
也就是： 分布律
分布函数
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.两点分布
设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布律为
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
离散型随机变量及其分布函数_图文.ppt
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.
常见离散型随机变量的分布
P(X=2) =0.2304 P(X=4) =0.2592
P(X=3) =0.3456 P(X=5) =0.07776
若A和A是n重伯努利实验的两个对立结果,“成功”
可以指二者中任意一个, p 是“成功”的概率.
例如: 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取 4次, 每次一件, 取得合格品件数X, 以及取得不合 格品件数Y均服从分布为二项分布. “成功”即取得合格品的概率为p=0.8,
X对应的实验次数为n=4, 所以, X~B(4,0.8)
类似,Y~B(4,0.2)
二项分布的期望与方差 X ~ b(n, p)
1 如第i 次试验成功 X i 0 如第i 次试验失败
i 1,2,, n.
则 X X1 X2 Xn Xi ~ (0 1)分布 EX i p, DX i p(1 p)
两点分布的期望与方差
设X服从参数为p的0-1分布，则有
E(X ) p
E(X 2) p
X
0
1
pk 1 p
p
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p)
二、二项分布
若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率 为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的 次数（事件A发生的次数）X的分布列为:
E(X ) 1 p
D(X )
q p2
EX 2 k 2 pqk1 p[ k(k 1)qk1 kqk1]
k 1
k 1
k 1
qp(
qk ) EX
qp( q ) 1 q
1 p
k 1
qp
2 (1 q)3
1 p
2q 1 p2 p
2
离散型随机变量及其分布列
p2
„
„
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
基础知识梳理
如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
基础知识梳理
2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
概率论-2-3 常见离散型随机变量的分布
回顾： 随机变量的分类 随机变量
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk
Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk
Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X
2-2离散型随机变量及其分布律
解: 如果新药无效, 则任一病人自动痊愈的概率为p=0.3 设X表示10名病人中自动痊愈的人数 则 X ~ b (10, 0.3)
9 P ( X 9 ) C10 (0.3)9 (0.7)109 0.00138
P ( X 9) P ( X 9 ) P ( X 10 )
（3）二项分布的图形特点：X∽b(n,p)
Pk Pk
0
...
n=10, p=0.7
n
0
..
n=20, p=0.5
.. n
说明:
a. 对于固定n及p，随着k的增加 ,概率P(X=k) 先是随之增加， 并在(n+1)p或者[(n+1)p] 达到最大值，随后单调减少。 b. 如果p>0.5，图形高峰右偏；如果p<0.5，图形高峰左偏。
说明：
k P ( X k ) C n p k (1 p )n k 0 a. 可验证二项分布满足概率充分条件 n k k C n p (1 p )n k ( p+1-p )n 1 k 0
k b. 式Cn pk (1 p)nk 为二项式( p 1 p)n 一般项,故二项分布.
c. n 1, B(n, p)即为0 1分布, P( X k ) pk qnk (k 0,1)
k d . n次试验中至多出现m次( m n): P (0 X m ) C n p k q n k k 0 m
np p或np p 1 np p N e. 事件A最可能发生次数k 其它 [np p] k (即使概率P ( X k ) C n p k (1 p)n k 达到最大值的k .
启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生
9 P ( X 9 ) C10 (0.3)9 (0.7)109 0.00138
P ( X 9) P ( X 9 ) P ( X 10 )
（3）二项分布的图形特点：X∽b(n,p)
Pk Pk
0
...
n=10, p=0.7
n
0
..
n=20, p=0.5
.. n
说明:
a. 对于固定n及p，随着k的增加 ,概率P(X=k) 先是随之增加， 并在(n+1)p或者[(n+1)p] 达到最大值，随后单调减少。 b. 如果p>0.5，图形高峰右偏；如果p<0.5，图形高峰左偏。
说明：
k P ( X k ) C n p k (1 p )n k 0 a. 可验证二项分布满足概率充分条件 n k k C n p (1 p )n k ( p+1-p )n 1 k 0
k b. 式Cn pk (1 p)nk 为二项式( p 1 p)n 一般项,故二项分布.
c. n 1, B(n, p)即为0 1分布, P( X k ) pk qnk (k 0,1)
k d . n次试验中至多出现m次( m n): P (0 X m ) C n p k q n k k 0 m
np p或np p 1 np p N e. 事件A最可能发生次数k 其它 [np p] k (即使概率P ( X k ) C n p k (1 p)n k 达到最大值的k .
启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生
常见的离散型随机变量的分布
30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则
P( Ai )
P(Y
2)
k 2
e0.3 0.3k k!
0.0369 i 1,2,3
三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时
维修为事件 A1 A2 A3 3
PA1 A2 A3 1 P( Ai )
i1
1 (1 0.0369)3 0.1067 0.013459
例1 独立射击5000次，每次的命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；
(2) 命中次数不少于2 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] = 5
P5000(5) C55000(0.001)5 (0.999)4995 0.1756
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
•••••••••
012345678
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负 责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台
设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90, 0.01)
90
P( X N ) C9k0 (0.01)k (0.99)Nk
k N 1
令 90 0.01 0.9
2-1离散型随机变量及其分布律(2)
X 的分布律为
k P { X = k } = C 400 ( 0.02)k (0.98)400 k , k = 0,1,,400.
因此 P { X ≥ 2} = 1 P{ X = 0} P { X = 1}
= 1 (0.98)
400
400( 0.02)(0.98)
399
= 0.9972.
5. 泊松分布
n→∞
∴lim (λn )k = λk
n→ ∞
1 又∵ lim = lim λn = λ 0 = 0 n→∞ n n→∞ n
λn
∴由重要极限,得 由重要极限,
n→∞
lim(1
λn
n
)
nk
= lim[(1
n→∞
λn
n
n
)
λn
]
λn
n
(nk)
= lim[(1
n→∞
λn
n
)
λn (λn+ n k)
方法1. P {0 < X ≤ 2} 方法
= P{ X = 1} + P{ X = 2} 0 .3 .1 P 0.1, 0.6 ≤0x < 1 0 F( x) = = 0.6 + 0.3 = 0.9 P { 0 ≤ X < 2} = P{ X = 0} + P { X = 1} = 0.1 + 0.6 = 0.7
λk
k!
eλ
其中 λ ≈ npn.
(k = 0,1,, n)
有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过 每天有大量汽车通过,设 例4 有一繁忙的汽车站 每天有大量汽车通过 设 每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为 每辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为 0.0001,在每天的该段时间内有 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过 辆汽车通过, 在每天的该段时间内有 问出事故的次数不小于2的概率是多少 的概率是多少? 问出事故的次数不小于 的概率是多少 解 设 1000 辆车通过 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ B ( 1000 , 0 . 0001 ), 故所求概率为 P { X ≥ 2} = 1 P { X = 0} P { X = 1}
k P { X = k } = C 400 ( 0.02)k (0.98)400 k , k = 0,1,,400.
因此 P { X ≥ 2} = 1 P{ X = 0} P { X = 1}
= 1 (0.98)
400
400( 0.02)(0.98)
399
= 0.9972.
5. 泊松分布
n→∞
∴lim (λn )k = λk
n→ ∞
1 又∵ lim = lim λn = λ 0 = 0 n→∞ n n→∞ n
λn
∴由重要极限,得 由重要极限,
n→∞
lim(1
λn
n
)
nk
= lim[(1
n→∞
λn
n
n
)
λn
]
λn
n
(nk)
= lim[(1
n→∞
λn
n
)
λn (λn+ n k)
方法1. P {0 < X ≤ 2} 方法
= P{ X = 1} + P{ X = 2} 0 .3 .1 P 0.1, 0.6 ≤0x < 1 0 F( x) = = 0.6 + 0.3 = 0.9 P { 0 ≤ X < 2} = P{ X = 0} + P { X = 1} = 0.1 + 0.6 = 0.7
λk
k!
eλ
其中 λ ≈ npn.
(k = 0,1,, n)
有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过 每天有大量汽车通过,设 例4 有一繁忙的汽车站 每天有大量汽车通过 设 每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为 每辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为 0.0001,在每天的该段时间内有 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过 辆汽车通过, 在每天的该段时间内有 问出事故的次数不小于2的概率是多少 的概率是多少? 问出事故的次数不小于 的概率是多少 解 设 1000 辆车通过 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ B ( 1000 , 0 . 0001 ), 故所求概率为 P { X ≥ 2} = 1 P { X = 0} P { X = 1}
常见离散型随机变量
松分布 P( ), 即
C pq
其中 np.
x n
x n x
x
x!
e ,
上面我们提到 二项分布
np ( n )
泊松分布
例5 计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯 片, 次品率达0.1%, 各芯片成为次品相互独立. 求 在1000只产品中至少有2只次品的概率. 以X记产 品中的次品数, X ~ b(1000 , 0.001).
个产品，检查其质量后仍放回去，如此连续抽取 n 次，
则在被抽查的 n 个产品中的次品数 X 服从二项分布：
X ~ B(n, p).
4.泊松(Poisson) 分布
下面的概率分布称为泊松分布：
0 随机变量 X 的可能值： , 1, 2, , n, ● 概率函数： x p( x) e , x 0,1, 2,, n, ( 0). x! n n x 显然 p( x ) e e e 1 . x 0 x 0 x!
几个重要分布的渐近关系其中上面我们提到二项分布计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯次品率达01各芯片成为次品相互独立
第二章 随机变量及其分布
§2.3 超几何分布· 二项分布· 泊松分布
1.“0-1”分布
下面的概率分布称为“0-1”分布(或两点分布)：
● 随机变量 X ●
的可能值：0, 1.
概率函数： p( x) p x q1 x , x 0, 1 (0 p 1, p q 1).
应用背景 无放回抽样
例如,设一批产品共 N 个,其中有 M 个次品.从这批产 品中任意取出 n 个产品,则取出的 n 个产品中的次品数 X 服从超几何分布 H (n, M , N ) .
常见离散型随机变量
(1) 芯片中有次品的概率；
(2) 至多有一只芯片是次品的概率.
二项分布的最可能值
定义 设 X ~ B(n, p), 使得 P{X k} 达到最大值的
k 记为 k0 , 称 k0 为二项分布的最可能值。
性质2.2.1
X ~B(n, p),则二项分布的最可能值k0
为区间(n 1) p 1, (n 1) p上的整数.
分
布 泊松分布
两点分布
n1
二项分布
n非 常 大
泊松分布
2.3 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结
一、分布函数的概念
1. 概念的引入 非离散型随机变量X不能一一列出，不能用分布
律去描述它的概率分布规律，并且可能研究它在某 一区间的概率，即
P{x1 X x2}.
X
0
1
P 1 p
p
实例
“抛硬币”试验, 观察正、反两面情况.
X
X ()
0,
1,
当 正面 , 当 反面 .
随机变量X服从(0―1)分布.
其分布律为
X
0 1
1
1
P2
2
n重伯努利试验
设试验 E只有两个可能结果 : A及A ,则称 E为 伯努利(Bernoulli)实验. 将E独立重复进行n次 , 则称这一系列试验为n重伯努利试验 .
lim
n
Cnk
pnk
(1
pn )nk
ke .
k!
注： 上述定理表明当 n很大 , p很 小(np )
时有以下近似式
Cnk
pk (1
p)nk
ke
k!
(其中 np) .
(2) 至多有一只芯片是次品的概率.
二项分布的最可能值
定义 设 X ~ B(n, p), 使得 P{X k} 达到最大值的
k 记为 k0 , 称 k0 为二项分布的最可能值。
性质2.2.1
X ~B(n, p),则二项分布的最可能值k0
为区间(n 1) p 1, (n 1) p上的整数.
分
布 泊松分布
两点分布
n1
二项分布
n非 常 大
泊松分布
2.3 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结
一、分布函数的概念
1. 概念的引入 非离散型随机变量X不能一一列出，不能用分布
律去描述它的概率分布规律，并且可能研究它在某 一区间的概率，即
P{x1 X x2}.
X
0
1
P 1 p
p
实例
“抛硬币”试验, 观察正、反两面情况.
X
X ()
0,
1,
当 正面 , 当 反面 .
随机变量X服从(0―1)分布.
其分布律为
X
0 1
1
1
P2
2
n重伯努利试验
设试验 E只有两个可能结果 : A及A ,则称 E为 伯努利(Bernoulli)实验. 将E独立重复进行n次 , 则称这一系列试验为n重伯努利试验 .
lim
n
Cnk
pnk
(1
pn )nk
ke .
k!
注： 上述定理表明当 n很大 , p很 小(np )
时有以下近似式
Cnk
pk (1
p)nk
ke
k!
(其中 np) .
常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差(学生)
常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差【知识要点】一、离散型随机变量及其分布列 1、随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。
长用希腊字母ηξ，来表示。
若ξ是随机变量，b a +=ξη，其中b a ，是常数，则η也是随机变量。
2、离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值，可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
3、离散型随机变量的分布列（1）若离散型随机变量X 可能取的不同值为n i x x x x ，，，，，⋅⋅⋅⋅⋅⋅21，X 取每一个值)21(n i x i ，，，⋅⋅⋅=的概率i i p x X P ==)(，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的分布列，简称X 的分布列。
有时为了表达简单，也用等式i i p xX P ==)(，n i ，，，⋅⋅⋅=21，表示X 的分布列。
（2）性质：①n i p i ，，，，⋅⋅⋅=≥210；②11=∑=ni i p ；③在某个范围内取值的概率等于这个范围内每个随机变量值的概率的总和。
4、常见离散型随机变量 （1）两点分布若随机变量X 的分布列是则这样的分布列称为两点分布列。
如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布（也称伯努利分布），而称)1(==x P p 为成功概率。
其EX=p ，DX=p(1-p). （2）超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k}发生的概率为m k C C C X P nNkn MN k M ，，，，，⋅⋅⋅=⋅==--210)k (，其中}min{n M m ，=，且*∈≤≤N N M n N M N n 、、，，，称分布列为超几何分布列。
如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。
记作：1)1()(---•==N nN N M N nM DX N nM EX n M N H X ，，其，，—。
3.3常用离散型随机变量分布
定理：在n重伯努利试验中，设 X={n重伯努利试验中事件A发生的次数} 事件A恰好发生k次的概率为
P {X k } C p q
k n k
nk
k 1, 2, 3..., n; p( A ) p q 1 p
医药数理统计方法
例3-15.某药治某病的治愈率为80%，今用该药治病20 例。试求(1)有人未治愈的概率；(2)恰有2例未治愈 的概率；(3)未治愈的不超过2例的概率。
* *
1 D( X )
E ( X ) E ( X ) 0
X E(X ) 1 D( X ) D( X ) D D X E ( X ) 1. D( X ) D( X ) D( X )
医药数理统计方法
第三章 随机变量及其分布
第三节 常用离散型随机变 量的分布
X 99 100 101
P Y
P
0.2 98
0.15
0.6 99
0.2
0.2 101
0.2
100
0.3
102
0.15
问哪台自动装瓶机性能更好？ E(X)=E(Y)=100
E(X)=E(Y)=100
X P Y P 98 0.15 99 0.2 99 0.2 100 0.6 100 0.3 101 0.2
即方差： D ( X ) E [( X E ( X )) 2 ] 标准差： ( X )
DX
方差刻画了X的取值偏离其均值的分散程度。
医药数理统计方法
例、有甲、乙两台药品自动装瓶机，每瓶标准重量为 100g。 若以X、Y表示这两台药品自动装瓶机所装的 每瓶重量，由以往装瓶结果可知，X、Y的分布列为
—— n重伯努利试验
常用离散型随机变量的概率分布
常用离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量简介离散型随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量。
在概率论与数理统计中，离散型随机变量的概率分布描述了该随机变量每个可能取值的概率。
在实际问题中，常用的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布等。
二、伯努利分布伯努利分布是一种表示两个可能结果的离散型概率分布。
它的特点是每次试验只有两个可能结果：成功和失败。
该分布由一个参数p确定，表示成功的概率，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
伯努利分布的概率质量函数如下：P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x)其中，x为随机变量X的取值（0或1），p为成功的概率。
三、二项分布二项分布是一种多次独立重复实验的离散型概率分布。
它描述了n次重复独立实验中成功次数的概率分布。
每次实验都有两个可能结果：成功和失败。
每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布的概率质量函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X为成功次数的随机变量，k为取值，n表示实验的次数，p为每次实验成功的概率。
四、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内某种事件发生次数的离散型概率分布。
泊松分布适用于很多事件发生的情况，例如到达人口数量、电话交换机接收到的呼叫数量等。
泊松分布的特点是事件的发生率稳定且独立。
泊松分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生次数的随机变量，k为取值，λ表示单位时间（或单位空间）内事件的平均发生次数。
五、几何分布几何分布是描述进行独立重复实验，直到第一次成功出现时的实验次数的离散型概率分布。
每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
几何分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p其中，X为成功所需的实验次数的随机变量，k为取值，p为每次实验成功的概率。
2.2离散型随机变量及其分布律
1. (01)分布 其分布律为: X 0 1
P 1 p
p
称X服从(01)分布或两点分布 记为 X～ B(1, p)
13
2.二项分布
在n重贝努里试验中,设每次试验事 件A发生的概率为p
令X是n次试验中事件A发生的次数
则 X为一离散型随机变量
P ( X k ) C p (1 p)
k n k n k
2.2 离散型随机变
量及其分布律
一、离散型随机变量 二、常见离散型分布
1
一天内接到的电话个数（可以一一罗列） 从某一学校随机选一学生，测量他的身高 （不可以一一罗列）
定义1: 如果随机变量X只能取有限个 或可列无限多个不同可能值,则称X 为 离散型随机变量
2
一、离散型随机变量
定义：设离散型随机变量X所有可能取 的值为x1, x2,…, xi ,…, X取可能值xi的概 率pi ,即P(X=xi)=pi (i=1,2,…),则称该式为 离散型随机变量X的分布律或概率分布 分布律也常用下列形式表示: X x1 x2 … xi … 性质: (1) pi≥0, i=1,2,… (2)
k n k e k n k
k!
( np)
21
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布
22
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有 两弹击中目标的概率.(泊松定理)
24
4.几何分布： X ~ G(p)
PX k q
k 1
p
k 1， 2，
(其中p 0, q 0, p q 1)
P 1 p
p
称X服从(01)分布或两点分布 记为 X～ B(1, p)
13
2.二项分布
在n重贝努里试验中,设每次试验事 件A发生的概率为p
令X是n次试验中事件A发生的次数
则 X为一离散型随机变量
P ( X k ) C p (1 p)
k n k n k
2.2 离散型随机变
量及其分布律
一、离散型随机变量 二、常见离散型分布
1
一天内接到的电话个数（可以一一罗列） 从某一学校随机选一学生，测量他的身高 （不可以一一罗列）
定义1: 如果随机变量X只能取有限个 或可列无限多个不同可能值,则称X 为 离散型随机变量
2
一、离散型随机变量
定义：设离散型随机变量X所有可能取 的值为x1, x2,…, xi ,…, X取可能值xi的概 率pi ,即P(X=xi)=pi (i=1,2,…),则称该式为 离散型随机变量X的分布律或概率分布 分布律也常用下列形式表示: X x1 x2 … xi … 性质: (1) pi≥0, i=1,2,… (2)
k n k e k n k
k!
( np)
21
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布
22
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有 两弹击中目标的概率.(泊松定理)
24
4.几何分布： X ~ G(p)
PX k q
k 1
p
k 1， 2，
(其中p 0, q 0, p q 1)
常见的离散型随机变量
分布列．
第二章 第四节 常见的离散型随机变量
16
Poisson分布的应用
Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
自然界及工程技术中的许多随机指标都服 从Poisson分布．
例如，可以证明，电话总机在某一时间间 隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间 间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间 隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到 某服务台要求服务的人数，等等，在一定 条件下，都是服从Poisson分布的．
可用 Poisson 分布近似计算．
令 np 600 0.012 7.2 ，则有
PB PX 3 1 PX 3
1 PX 0 PX 1 PX 2
1 7.20 e7.2 7.21 e7.2 7.22 e7.2 0.9745
0!
1!
2!
第二章 第四节 常见的离散型随机变量
28
12
例 3（续）
由于 n 1p 300 1 0.44 132.44 不是整数，
所以最可能的射击命中次数
k0 n 1p 132 .44 132 ． 其相应的概率为
PX k0 PX 132
C 132 300
0.44132
0.56168
0.04636
第二章 第四节 常见的离散型随机变量
第二章 第四节 常见的离散型随机变量
17
例4
设随机变量 X 服从参数为 的 Poisson 分布，而且
PX 1 PX 2， 试求 PX 4．
解：
由于随机变量 X 服从参数为 的 Poisson 分布，故 X
的分布列为
PX k k e
k!
k 0, 1, 2, 3, , n,
第二章 第四节 常见的离散型随机变量
常用离散型随机变量的概率分布
常用离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概念及特点离散型随机变量是指在一定条件下，其取值只能是有限个或者可数个的随机变量。
与连续型随机变量相对应，离散型随机变量的取值只能是整数或者某些特定的值。
因此，它们具有以下几个特点：1. 取值有限或可数2. 每个取值的概率都不为03. 不连续4. 概率分布可以用概率质量函数来描述二、常用离散型随机变量的概率分布及其性质1. 伯努利分布伯努利分布是一种最简单的二项分布，它只涉及到一个试验和两种结果。
伯努利分布表示为：X~B(1,p)，其中p表示事件发生的概率，1-p表示事件不发生的概率。
性质：（1）期望：E(X)=p（2）方差：Var(X)=p(1-p)2. 二项分布二项分布是多次独立重复进行相同试验中成功次数的概率分布。
二项分布表示为：X~B(n,p)，其中n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
性质：（1）期望：E(X)=np（2）方差：Var(X)=np(1-p)3. 泊松分布泊松分布是描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
泊松分布表示为：X~P(λ)，其中λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
性质：（1）期望：E(X)=λ（2）方差：Var(X)=λ4. 几何分布几何分布是描述在一系列独立重复试验中，第一次成功所需的试验次数的概率分布。
几何分布表示为：X~G(p)，其中p表示每次试验成功的概率。
性质：（1）期望：E(X)=1/p（2）方差：Var(X)=(1-p)/p^25. 超几何分布超几何分布是描述从有限个物品中抽取不放回地抽取n个物品，其中有m个特定类型的物品的概率分布。
超几何分布表示为：X~H(N,M,n)，其中N表示总共有多少个物品，M表示特定类型的物品有多少个，n表示抽取多少个物品。
性质：（1）期望：E(X)=nM/N（2）方差：Var(X)=nM/N*(N-M)/(N-1)三、离散型随机变量的应用离散型随机变量在实际生活中有广泛的应用。
2.2离散型随机变量及其分布律
2. 等可能分布
如果随机变量 X 的分布律为
X
pk
a1 1 n
a2 an 1 1 n n
其中 (ai a j ), ( i j ) , 则称 X 服从等可能分布.
例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有
X
pk
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
3. 贝努里(伯努利)试验和二项分布
C C P( X 2) 0.00618 C
1 2 95 5 3 100
例9 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 k 3k P( X k )C (0时数看作一次试验 .8) (0.2) , k , 0,1,2,3 “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+ P{X=1} 视为事件 A .每次试验, 2 0.8 出现的概率为 =(0.2)3A +3(0.8)(0.2)
k e
,
k 0,1,2, ,
X ~ P( ).
泊松分布是常见的。 例如
地震 火山爆发 特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
n k n k p ( 1 p ) 二项分布与泊松分布的关系 k 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837年由法国数学家泊松引入的 .
k 0,1,, n
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b( n, p).
二项分布
n1
两点分布
显然, 若X~B(n,p), 则 P{X=k} 表示在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率; P{X≤k} 表示A发生的次数不超过k次的概率;
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定 义 若 随 机 变 量 X 的 概 率 函 数 为
P{ X = k} =
λ k eλ
k!
(λ > 0), k = 0, 1, 2, ...
则称 X 服从参数为λ的 Poisson 分布，记作 X~π（λ） 。 注： (1)
∑ P{X = k} = ∑
k =0 k =0
∞
∞
λ k e λ
k!
= e λ ∑
则
P{ X ≥ 2} = 1- P{ X = 0}- P{ X = 1}
= 1- (0.98) 400 - 400 × (0.02) × (0.98)399 .
注：当 n 较大, p 又较小时, 二项分布的计算比较困难, 例如 0.98 0.02 400 , …, 可以用近似计算。 400 ，
三、泊松(Poisson)分布
n →∞ k n k n nk
=
λ k eλ
k!
.
证明：由 pn = λ / n, 得
k k Cn pn (1 pn ) nk
=
n(n 1)...(n k + 1) λ k! n
k
λ 1 n
nk
=
λk
1 2 k 1 λ 1 1 n 1 n 1 n 1 n k!
0 5 C20C10 5 C30
1
1 4 C20C10 5 C30
2
2 3 C20C10 5 C30
3
3 2 C20C10 5 C30
4
4 1 C20C10 5 C30
5
5 0 C20C10 5 C30
若 随 机 变 量
X
的 概 率 函 数 为
P{ X = k} =
k n CM CN kM n CN
= 0.59049 + 0.32805 + 0.07290 = 0.99144
（3）有人有反应的概率为 P{ X ≥ 1}.
P{ X ≥ 1} = ∑ P{ X = k} = 0.32805 + 0.07290
k =1
5
+0.00810 + 0.00045 + 0.00001 = 0.40951
或
P{ X ≥ 1} = 1 P{ X = 0} = 1 0.59049 = 0.40951
k =0
∞
λk
k!
= e λ eλ = 1.
(2)泊松分布的应用很广泛。 例如, 在一个时间间隔内电话寻呼台收到的呼 叫次数； 一本书的印刷错误数； 某一地区一段时间间隔内发生的交通事故 数等等都服从泊松分布。(一些稀疏现象) (3) 二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出。 泊松(Poisson)定理 设 λ > 0 是一个常数，n 是任意正整数，又设 np n = λ ，则对于任一固定 的非负整数 k，有 lim C p (1 pn )
本 内
容
备
注
∑X
i =1
n
i
服从二项分
布。 抽检时，若总体数量有限，二项分布适用于有放回抽取的情况；而超几 何分布适用于有放回抽取的情况；若总体数量充分大，超几何分布可按二项 分布近似处理。 例 3 据报道，有 10%的人对某药有胃肠道反应。为考察某厂的产品质 量，现任选 5 人服用此药。试求 （1）k 人有反应的概率（k=0,1,2,3,4,5） ； （2）不多于 2 个人有反应的概率； ( 3 ) 有人有反应的概率。 解（1）用 X 表示有反应的人数，则 X 服从二项分布 B(5,0.10). 因为
λ = np = 400 × 0.02 = 8,
8 k e 8 k!
k P{ X = k} = C400 × (0.02)k × (0.98)400 k ≈
P{ X ≥ 2} = 1 P{ X = 0} P{ X = 1} ≈ 1
-4
80 8 81 8 e e ≈ 0.997. 0! 1!
λ = np = 105 × 104 = 10,
k P{ X = k} = C105 (104 )k (1 104 )10
5
k
≈
10k e 10 k!
所以
P{ X = 0} ≈
100 e10 = 4.540 × 105 0!
5
新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注
101 e 10 P{ X = 1} ≈ = 4.540 ×10 4 1! 10 2 e 10 P{ X = 2} ≈ = 2.270 × 103 2!
1
新乡医学院理论课教案 基
3
本 内
容
备
注
P{X=3}= P ( A1 A2 A3 ) = p = 0.027 所以 X 的分布列为 X P 0 0.343 E 1 0.441 2 0.189 3 0.027 与 A ， 且
定 义 ： 设 试 验Leabharlann 只 有 两 种 结 果 ： A
P ( A) = p, P ( A) = 1 p (0 < p < 1). 将试验 E 独立重复地进行 n 次，称这样
本次课小结：
介绍了伯努利试验和几种常见的离散型随机变量的分布， 其中最主要的是 二项分布。
6
2.二项分布 定 义 若 随 机 变 量 X 的 概 率 函 数 为
k P( X = k ) = Cn p k (1 p ) n k k = 0,1, , n
则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布，记作 X~B(n.,p). 定义 如果随机变量 X 的分布列为
(1 0 p 1p )
，则称 X 服从参数为 p
→1 ，
λ k eλ
k!
k
.
注： 1.当 n 很大而 p 较小时， Cn p 有
k
(1 p )
nk
≈
λ k eλ
k!
, 其中λ = np. 在
实际计算时，只要 n ≥ 20, p ≤ 0.05 时，即可用此近似计算公式。 2. 该定理说明，在适当的条件下, 二项分布的极限分布是泊松分布。 例 4. 某人进行射击, 每次命中率为 0.02, 独立射击 400 次, 试求至少击 中两次的概率。 （另解） 知X ~ B (400, 0.02),
n
λ 1 n
k
对于任意固定的 k，当 n → ∞ 时，有
4
新乡医学院理论课教案 基 本 内 容
n
备
λ 1 n
k
注
1 2 k 1 λ λ ， 1 1 n 1 n 1 n → 1 1 n → e ,
故有
k k nk limCn pn (1 pn ) = n →∞
P{ X = k} = C5k (0.10)k (0.90)5 k ，
所以 X 的分布列为
0 1 2 3 4 5 ( 0.59049 0.32805 0.07290 0.00810 0.00045 0.00001)
（2）不多于 2 个人有反应的概率为 P{ X ≤ 2}.
P{ X ≤ 2} = P{ X = 0} + P{ X = 1} + P{ X = 2}
例 4. 某人进行射击, 每次命中率为 0.02, 独立射击 400 次, 试求至少击
中两次的概率。 解：将每次射击看成一次试验，设 400 次射击中击中的次数为 X,则
X~ B(400, 0.02) 。X 的分布列为
3
新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注
P{X = k} = Ck (0.02) k (0.98) 400 k ,k = 0, 1, ...,400. 400
2
新乡医学院理论课教案 基
的两点分布（或 0－1 分布） 。 注： 在 n 重 Bernoulli 试验中， 表示事件 A 发生 k 次, 单次试验 n=1 (1) X 时，X 服从两点分布；n≥2 时，X 服从二项分布. （2）若 X (i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则 X = i
的试验为 n 重贝努利试验。 以 X 表示 n 重贝努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 是一个随机变量。 下面来求它的分布律。 为了直观起见， 先考虑 n=4 的情况, 即求 P{X=k}， k=0, 1, 2, 3, 4.
k = 0:
A1 A2 A3 A4 ,
P{ X = 0} = P ( A1 A2 A3 A4 ) = (1- p )4。
例 5. 假如生三胞胎的概率为 10 三胞胎的概率。 解
5 ，求 10 次分娩中，有 0，1，2 次生
5 5 -4 由题意知，10 次分娩中出现三胞胎次数 X~B(10 ，10 ).
k P{ X = k} = C105 (104 ) k (1 10 4 )10 k
5
因为 n 很大，p 很小，所以可用 Poisson 分布作近似计算。
医药数理统计方法 医药数理统计方法 数理统计
2.1 常见离散型随机变量的分布 05 级药学专业 15 分钟 35 分钟 30 分钟
课时目标 授课重点 授课难点 授课形式 授课方法
参考文献
医药数理统计方法 刘定远主编 人民卫生出版社 概率论与数理统计 刘卫江主编 清华大学出版社 北京交通大学出版社 高等数学(第五版) 高等数学(第五版)同济大学编 高等教育出版社
新乡医学院教案首页
单位： 单位：计算机教研室 课程名称 授课题目 授课对象 时间分配
超几何分布 二项分布 泊松分布 理解掌握常见离散型随机变量的分布函数 掌握两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别 伯努利试验、二项分布、泊松分布 两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别
小班理论课 启发讲解
k = 0,1, 2, , l
其中 N≥M>0,n≤N-M,l=min(M,n),则称 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布， 记 作 X~H(N,M,n). 超几何分布的分布函数为 F ( x) =
P{ X = k} =
λ k eλ
k!
(λ > 0), k = 0, 1, 2, ...
则称 X 服从参数为λ的 Poisson 分布，记作 X~π（λ） 。 注： (1)
∑ P{X = k} = ∑
k =0 k =0
∞
∞
λ k e λ
k!
= e λ ∑
则
P{ X ≥ 2} = 1- P{ X = 0}- P{ X = 1}
= 1- (0.98) 400 - 400 × (0.02) × (0.98)399 .
注：当 n 较大, p 又较小时, 二项分布的计算比较困难, 例如 0.98 0.02 400 , …, 可以用近似计算。 400 ，
三、泊松(Poisson)分布
n →∞ k n k n nk
=
λ k eλ
k!
.
证明：由 pn = λ / n, 得
k k Cn pn (1 pn ) nk
=
n(n 1)...(n k + 1) λ k! n
k
λ 1 n
nk
=
λk
1 2 k 1 λ 1 1 n 1 n 1 n 1 n k!
0 5 C20C10 5 C30
1
1 4 C20C10 5 C30
2
2 3 C20C10 5 C30
3
3 2 C20C10 5 C30
4
4 1 C20C10 5 C30
5
5 0 C20C10 5 C30
若 随 机 变 量
X
的 概 率 函 数 为
P{ X = k} =
k n CM CN kM n CN
= 0.59049 + 0.32805 + 0.07290 = 0.99144
（3）有人有反应的概率为 P{ X ≥ 1}.
P{ X ≥ 1} = ∑ P{ X = k} = 0.32805 + 0.07290
k =1
5
+0.00810 + 0.00045 + 0.00001 = 0.40951
或
P{ X ≥ 1} = 1 P{ X = 0} = 1 0.59049 = 0.40951
k =0
∞
λk
k!
= e λ eλ = 1.
(2)泊松分布的应用很广泛。 例如, 在一个时间间隔内电话寻呼台收到的呼 叫次数； 一本书的印刷错误数； 某一地区一段时间间隔内发生的交通事故 数等等都服从泊松分布。(一些稀疏现象) (3) 二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出。 泊松(Poisson)定理 设 λ > 0 是一个常数，n 是任意正整数，又设 np n = λ ，则对于任一固定 的非负整数 k，有 lim C p (1 pn )
本 内
容
备
注
∑X
i =1
n
i
服从二项分
布。 抽检时，若总体数量有限，二项分布适用于有放回抽取的情况；而超几 何分布适用于有放回抽取的情况；若总体数量充分大，超几何分布可按二项 分布近似处理。 例 3 据报道，有 10%的人对某药有胃肠道反应。为考察某厂的产品质 量，现任选 5 人服用此药。试求 （1）k 人有反应的概率（k=0,1,2,3,4,5） ； （2）不多于 2 个人有反应的概率； ( 3 ) 有人有反应的概率。 解（1）用 X 表示有反应的人数，则 X 服从二项分布 B(5,0.10). 因为
λ = np = 400 × 0.02 = 8,
8 k e 8 k!
k P{ X = k} = C400 × (0.02)k × (0.98)400 k ≈
P{ X ≥ 2} = 1 P{ X = 0} P{ X = 1} ≈ 1
-4
80 8 81 8 e e ≈ 0.997. 0! 1!
λ = np = 105 × 104 = 10,
k P{ X = k} = C105 (104 )k (1 104 )10
5
k
≈
10k e 10 k!
所以
P{ X = 0} ≈
100 e10 = 4.540 × 105 0!
5
新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注
101 e 10 P{ X = 1} ≈ = 4.540 ×10 4 1! 10 2 e 10 P{ X = 2} ≈ = 2.270 × 103 2!
1
新乡医学院理论课教案 基
3
本 内
容
备
注
P{X=3}= P ( A1 A2 A3 ) = p = 0.027 所以 X 的分布列为 X P 0 0.343 E 1 0.441 2 0.189 3 0.027 与 A ， 且
定 义 ： 设 试 验Leabharlann 只 有 两 种 结 果 ： A
P ( A) = p, P ( A) = 1 p (0 < p < 1). 将试验 E 独立重复地进行 n 次，称这样
本次课小结：
介绍了伯努利试验和几种常见的离散型随机变量的分布， 其中最主要的是 二项分布。
6
2.二项分布 定 义 若 随 机 变 量 X 的 概 率 函 数 为
k P( X = k ) = Cn p k (1 p ) n k k = 0,1, , n
则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布，记作 X~B(n.,p). 定义 如果随机变量 X 的分布列为
(1 0 p 1p )
，则称 X 服从参数为 p
→1 ，
λ k eλ
k!
k
.
注： 1.当 n 很大而 p 较小时， Cn p 有
k
(1 p )
nk
≈
λ k eλ
k!
, 其中λ = np. 在
实际计算时，只要 n ≥ 20, p ≤ 0.05 时，即可用此近似计算公式。 2. 该定理说明，在适当的条件下, 二项分布的极限分布是泊松分布。 例 4. 某人进行射击, 每次命中率为 0.02, 独立射击 400 次, 试求至少击 中两次的概率。 （另解） 知X ~ B (400, 0.02),
n
λ 1 n
k
对于任意固定的 k，当 n → ∞ 时，有
4
新乡医学院理论课教案 基 本 内 容
n
备
λ 1 n
k
注
1 2 k 1 λ λ ， 1 1 n 1 n 1 n → 1 1 n → e ,
故有
k k nk limCn pn (1 pn ) = n →∞
P{ X = k} = C5k (0.10)k (0.90)5 k ，
所以 X 的分布列为
0 1 2 3 4 5 ( 0.59049 0.32805 0.07290 0.00810 0.00045 0.00001)
（2）不多于 2 个人有反应的概率为 P{ X ≤ 2}.
P{ X ≤ 2} = P{ X = 0} + P{ X = 1} + P{ X = 2}
例 4. 某人进行射击, 每次命中率为 0.02, 独立射击 400 次, 试求至少击
中两次的概率。 解：将每次射击看成一次试验，设 400 次射击中击中的次数为 X,则
X~ B(400, 0.02) 。X 的分布列为
3
新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注
P{X = k} = Ck (0.02) k (0.98) 400 k ,k = 0, 1, ...,400. 400
2
新乡医学院理论课教案 基
的两点分布（或 0－1 分布） 。 注： 在 n 重 Bernoulli 试验中， 表示事件 A 发生 k 次, 单次试验 n=1 (1) X 时，X 服从两点分布；n≥2 时，X 服从二项分布. （2）若 X (i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则 X = i
的试验为 n 重贝努利试验。 以 X 表示 n 重贝努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 是一个随机变量。 下面来求它的分布律。 为了直观起见， 先考虑 n=4 的情况, 即求 P{X=k}， k=0, 1, 2, 3, 4.
k = 0:
A1 A2 A3 A4 ,
P{ X = 0} = P ( A1 A2 A3 A4 ) = (1- p )4。
例 5. 假如生三胞胎的概率为 10 三胞胎的概率。 解
5 ，求 10 次分娩中，有 0，1，2 次生
5 5 -4 由题意知，10 次分娩中出现三胞胎次数 X~B(10 ，10 ).
k P{ X = k} = C105 (104 ) k (1 10 4 )10 k
5
因为 n 很大，p 很小，所以可用 Poisson 分布作近似计算。
医药数理统计方法 医药数理统计方法 数理统计
2.1 常见离散型随机变量的分布 05 级药学专业 15 分钟 35 分钟 30 分钟
课时目标 授课重点 授课难点 授课形式 授课方法
参考文献
医药数理统计方法 刘定远主编 人民卫生出版社 概率论与数理统计 刘卫江主编 清华大学出版社 北京交通大学出版社 高等数学(第五版) 高等数学(第五版)同济大学编 高等教育出版社
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单位： 单位：计算机教研室 课程名称 授课题目 授课对象 时间分配
超几何分布 二项分布 泊松分布 理解掌握常见离散型随机变量的分布函数 掌握两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别 伯努利试验、二项分布、泊松分布 两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别
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k = 0,1, 2, , l
其中 N≥M>0,n≤N-M,l=min(M,n),则称 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布， 记 作 X~H(N,M,n). 超几何分布的分布函数为 F ( x) =