多重分形奇异谱的几何特性II_配分函数法_周炜星
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华 东 理 工 大 学 学 报 Journal of East C hina U nivers ity of S cience and Tech nology Vol.26No.42000-08基金项目:国家重点基础研究发展规划项目(G1999022103)E -mail :w xz hou @ecust .edu .cn 收稿日期:1999-09-08作者简介:周炜星(1974-),男,浙江诸暨人,博士生,现从事湍流中非线性现象的理论和实验研究。
文章编号:1006-3080(2000)04-0390-06多重分形奇异谱的几何特性II .配分函数法周炜星*, 吴 韬, 于遵宏(华东理工大学洁净煤技术研究所,上海200237) 摘要:研究了用配分函数法定义的多重分形理论中奇异谱的几何特性,通过严格的数学推理证明了广义维数D q 、质量指数S (q )、奇异性指数A (q )和奇异谱f (A (q ))的有关性质,明确提出了判定合理奇异谱f (A (q ))的准则,给出了在参数q →±∞时计算相应函数极限的解析算法。
关键词:多重分形;奇异谱;广义维数;配分函数法中图分类号:O4;O184文献标识码:AGeometrical Characteristics of Singularity Spectra of MultifractalsII .Partition Function Definit ionZH OU Wei -x ing *, W U Tao , YU Zun -hong(I nstitute of Clean Coal T echnology ECUS T ,Shanghai 200237,China )Abstract :T o describe m ultiplicativ e cascade processes w ith unequal scales,formalism of multifractals defined via partition function should be adopted .T he g eo metr ical characteristics of singularity spectrum of these m ultifractals are studied .The relev ant properties of gener alized dimension D q ,m ass index S (q ),sin-gularity A (q )and sing ularity spectrum f (A (q ))are derived rigo rously ,w hich are som ew hat sim ilar to tho se obtained from multifractals defined via Renyi info rmation but mor e g eneral in mathematical form.The curv e o f g eneralized dimensions is similar to that o f sing ularity strength w hen the par am eter q tends to infinite .The sing ularity spectra curve lies in the first quadr ant ,w ho se endpoints ar e not necessary to be noug ht .The asy mptotic behaviors ar e studied and the analytical alg orithm s calculating the limits of the relev ant functio ns w ith q tending to infinity ar e pr esented.The cr iterion based on the fact that,the curve of the multifractal spectrum is tang ent to the diag onal of the first quadrant is still valid in determining the pr oper singularity spectrum .T his implies that f ≤A for all q and no ex tr em e point in the curve of the g en-er alized dim ensio ns.Key words :multifractal;sing ularity spectrum;generalized dimension;partitio n function 自从M andelbro t 在70年代提出分形概念以来,分形理论在物理、天文、地理、数学、生物、化学[1～7]、计算机[8]等科学领域得到了广泛的应用,并取得了大量富有新意的成果。
80年代初,Grassber-g er 、Pr ocaccia 、Hentschel 等人系统地提出了多重分形理论,用广义维数和多重分形谱来描述分形客体,考虑了分形在几何支集的空间奇异性分布[9～10]。
在计算奇怪吸引子和其他一类的多重分形时,H elsey 、Jensen 、Kadano ff 、Pro caccia 和Shraiman 等提出了用配分函数定义广义维数的概念[11],通过Legendre变换计算多重分形奇异谱,这种定义可以看作是经390典定义的推广形式。
Olsen研究了多重分形公式体系,在严格的数学意义上证明了若干定理[12]。
本文从多标度分形理论的配分函数定义出发,研究了4个连续函数D q、S(q)、A(q)和f(A(q))的几何特性,提出了确定合理的多重分形谱f(A)的判定准则。
1 用配分函数法定义多重分形的基本原理设F是d维分形空间(Fractal Space[8])上的分形集,一般地,将F划分为N个尺度为E i(i=1, 2…N)的互不相交的d维微元F1,F2…F N,并在F i 上定义归一化概率测度P i。
命E=max{E i∶i= 1,2…N},定义一个配分函数:#(q,S,{F i},E)=∑Ni=1P q iE S i(1)考察q,S的两个区域:区域A: q≥1,S≥0区域B: q≤1,S≤0(2)后面我们将发现,#在平面q～S上除区域A、B外的区域都无意义。
在区域A,调整{F i}的分法,使得#取最大值,而在区域B,调节它,使得#尽可能小。
于是定义:#(q,S,E)=sup#(q,S,{F i},E)(区域A)inf#(q,S,{F i},E)(区域B)(3)只要存在A>0和A0>0,在区域A的上确界便存在,对F的任何可能的子集族{F i}都有:P i≤A E A0i(4)因而,当A0(q-1)>S(5)时,#(q,S,E)都存在且小于无穷大。
其次,定义#(q,S)=limE→0#(q,S,E)(6)注意到#(q,S)为S的单调非减函数和q的单调非增函数,因而可断定,存在一个唯一的函数S(q),使#(q,S)=∞,当S>S(q)时0,当S<S(q)时(7)由方程(7),可将D q定义为:(q-1)D q=S(q)(8)一旦D q已知,方程(9)和(10)将给出A(q)和f(q)。
S(q)=q A-f(A)(9)A(q)=S′(q)(10)这样定义出的D q,当q=0时精确地与豪斯多夫维数相符。
2 多重分形的几何特性2.1 质量指数S(q)的性质定理1 设-∞<q<+∞,任何给定的E i∈(0,1),i=1,2…N,任意给定P i∈(0,1)满足∑Ni=1P i =1。
用超越函数∑Ni=1W i(q)=1(11)定义关于实数q的连续函数S(q),其中W i(q)=P q i/E S(q)i(12)那么(1)S′(q)>0;(2)S″(q)≤0,当且仅当所有lg P i/lg E i相等时“=”成立;(3)S(-∞)→-∞和S(+∞)→+∞。
证明 (1)对式(11)两边的q求导,得到S′(q)=∑Ni=1[W i(q)lg P i]∑Ni=1[W i(q)lg E i]>0(13) (2)对式(11)两边的q求两阶导数,得d2S(q)d q2=∑Ni=1{W i(q)[lg P i-S′(q)lg E i]2}∑Ni=1[W i(q)lg E i]≤0(14)该不等式当且仅当lg P i=S′(q)lg E i时等号成立,即lg P i/lg E i为常数。
(3)用反证法。
设当q→+∞时S(q)有上界,即存在实数S max使得S(q)≤S max,则E S(q)i≥E S max i(15)于是limq→+∞∑Ni=1P q iE S(q)i≤limq→+∞∑Ni=1P q iE S ma x i=∑Ni=1limq→+∞P q iE S ma x i=0(16)与式(11)矛盾,所以S(+∞)→+∞。
同理,设当q→-∞时S(q)有下界,即存在实数S min使得S(q)≥S min,那么E S(q)i≤E S min i(17)于是limq→-∞∑Ni=1P q iE S(q)i≥limq→-∞∑Ni=1P q iE S min i=∑Ni=1limq→-∞P q iE S min i=+∞(18)391第4期周炜星等:多重分形奇异谱的几何特性II. 与式(11)矛盾,所以S (-∞)→-∞。
2.2 广义维数D q 的性质定理2 定义关于实数q 的连续函数D q =S (q )/(q -1)q ≠1lim q →1[S (q )/(q -1)]q =1(19)形式上可以写为D q =S (q )/(q -1), q ∈R(20)那么(1)D ′q ≤0,当且仅当所有lg P i /lg E i 相等时“=”成立;(2)极限D -∞和D +∞都存在,并且D +∞>lim q →+∞D q =min i lg P ilg E i (21)D -∞>lim q →-∞D q =max ilg P ilg E i(22) 证明 (1)由推广的H lder 不等式[13～14],对于正数列{a i ∶i =1,2…N }及实数-∞<s <t <+∞,有∑Ni =1(P i A si)1s≤∑Ni =1(P i A ti)1t,当且仅当A i 全相等时取等号。
