夷陵长江大桥三塔斜拉桥

9.等腰（等边）三角形的性质及其识别(20070911183824500992)第1题. (2007福建宁德课改,12分)如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠= ，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60 得ADC △，连接OD ．（1）求证：COD △是等边三角形；（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？答案：（1）证明：CO CD =∵，60OCD ∠=°， COD ∴△是等边三角形．3分 （2）解：当150α=°，即150BOC ∠=°时，AOD △是直角三角形． 5分BOC ADC ∵△≌△，150ADC BOC ∠=∠=∴°． 又COD ∵△是等边三角形， 60ODC ∠=∴°． 90ADO ∠=∴°．即AOD △是直角三角形．7分（3）解：①要使AO AD =，需AOD ADO ∠=∠． 190AOD α∠=-∵°，60ADO α∠=-°， 19060αα-=-∴°°． 125α=∴°．②要使OA OD =，需OAD ADO ∠=∠． 180()50OAD AOD ADO ∠=-∠+∠=∵°°， 6050α-=∴°°． 110α=∴°．③要使OD AD =，需OAD AOD ∠=∠． 19050α-=∴°°． 140α=∴°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，ABC △是等腰三角形． 12分(20070911183825468453)第2题. （2007福建泉州课改，3分）图（1）是一个黑色的正三角形，顺次连结它的三边的中点，得到如图（2）所示的第2个图形（它的中间为一个白色的正三角形）；在图（2）的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法，得到如图（3）所示的第3个图形．如此继续下去，则在得到的第6个图形中，白色的正三角形的个数是 ．图（1） 图（2） 图（3） 答案：121ABCDO110α……(2007091118382620399)第3题. （2007甘肃陇南非课改，5分） 在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大．使用上面的事实，解答下面的问题：用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积． 答案：解：因为周长一定（2+3+4+5+6=20cm ）的三角形中，以正三角形的面积最大．取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大． ………………2分 此时，三边为6、5+2、4+3，这是一个等腰三角形． ……………3分 可求得其最大面积为………………………………5分(20070911183827859462)第4题. （2007甘肃白银7市课改，10分）如图，已知等边△ABC 和点P ，设点P到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．在图（1）中， 点P 是边BC 的中点，此时h 3=0，可得结论：h h h h =++321．在图（2）--（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外． （1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论） （2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论．（4） （附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS 是等腰梯形，∠B =∠C =60o ， RS =n ，BC =m ，点P在梯形内，且点P 到四边BR 、RS 、SC 、CB 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，桥形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？答案：解：（1）图②—⑤ 中的关系依次是：h 1+h 2+h 3=h ； h 1-h 2+h 3=h ； h 1+h 2+h 3=h ； h 1+h 2-h 3=h ．………4分 （2）图②中，h 1+h 2+h 3=h ．证法一：∵ h 1=BP sin60o ，h 2=PC sin60o ，h 3=0， …………………6分 ∴ h 1+h 2+h 3=BP sin60o +PC sin60o=BC sin60o =AC sin60oA B C D E PA B C D EP M (2) A B C D EM (P ) (1)A B C D E P M(5)=h ． ……………………………………8分证法二：连结AP ， 则S ΔAPB +S ΔAPC =S ΔABC ．………………6分 ∴12111222AB h AC h BC h ⨯+⨯=⨯． 又 h 3=0，AB =AC =BC ，∴ h 1+h 2+h 3==h ． ………………………………………8分（3）证明：图④中，h 1+h 2+h 3=h ．过点P 作RS ∥BC 与边AB 、AC 相交于R 、S ． …………9分在△AR S 中，由图②中结论知：h 1+h 2+0=h -h 3．∴ h 1+h 2+h 3=h ．…………10分 说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分． （4）h 1+h 3+h 4=mhm n-． ……………………………………11分 让R 、S 延BR 、CS 延长线向上平移，当n =0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广． ………………………………12分(20070911183828718285)第5题. （2007陕西课改，3分）如图，在等边ABC△中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8答案：C(2007091118382950086)第6题. （2007湖北荆门课改，3分）如图，在等边ABC △中，D E ，分别是AB AC ，上的点，且AD CE =，则BCD CBE ∠+∠= 度． 答案：60(20070911183830375170)第7题. （2007湖北咸宁课改，3分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点(21)P -，关于y 轴的对称点为P '，点(0)T t ，是x 轴上的一个动点，当P TO '△是等腰三角形时，t 的值是 ．答案：544(20070911183831218322)第8题. （2007湖北宜昌课改，3分）夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图，中塔左右两边所挂的最长钢索AB AC =，塔柱底端D 与点B 间的距离是228米，则BC 的长是 米．答案：456(20070911183832328691)第9题. （2007吉林长春课改，6分）如图，Rt ABC △中，90C =∠，4AC =，B D A E CABCD3BC =，以ABC △的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在ABC △的其他边上．请在图①，图②，图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形各不相同，并在图中标明所画等腰三角形的腰长（不要求尺规作图）．答案：提供以下方案供参考（每画对1个得2分）(20070911183833437650)第10题. （2007江苏常州课改，7分）已知，如图，延长ABC △的各边，使得BF AC =，AE CD AB ==，顺次连接D E F ，，，得到DEF △为等边三角形．求证：（1）AEF CDE △≌△；（2）ABC △为等边三角形．答案：证明：（1）BF AC = ，AB AE =，FA EC ∴=． 1分 DEF △是等边三角形，EF DE ∴=． 2分 又AE CD = ，AEF CDE ∴△≌△． 4分 （2）由AEF CDE △≌△，得FEA EDC =∠∠，BCA EDC DEC FEA DEC DEF =+=+= ∠∠∠∠∠∠，DEF △是等边三角形，60DEF ∴= ∠，60BCA ∴= ∠，同理可得60BAC = ∠． 5分 ABC ∴△中，AB BC =． 6分ABC ∴△是等边三角形． 7分图① A C图② A C图③ A C33258E(20070911183836484615)第11题. （2007江苏无锡课改，9分）（1）已知ABC △中，90A ∠= ，67.5B ∠=，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知ABC △中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系．答案：解：（1）如图（共有2种不同的分割法，每种1分，共2分）（2）设ABC y ∠=，C x ∠=，过点B 的直线交边AC 于D ．在DBC △中， ①若C ∠是顶角，如图1，则90ADB ∠>，11(180)9022CBD CDB x x ∠=∠=-=- ，180A x y ∠=-- ． 此时只能有A ABD ∠=∠，即1180902x y y x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭， 34540x y ∴+= ，即31354ABC C ∠=-∠ ．4分②若C ∠是底角，则有两种情况．第一种情况：如图2，当DB DC =时，则DBC x ∠=， ABD △中，2ADB x ∠=，ABD y x ∠=-．1．由AB AD =，得2x y x =-，此时有3y x =，即3ABC C ∠=∠．5分2．由AB BD =，得1802x y x --= ，此时3180x y +=，即1803ABC C ∠=-∠．6分3 ．由AD BD =，得180x y y x --=-，此时90y = ，即90ABC ∠= ，C ∠为小于45 的任意锐角．7分第二种情况，如图3，当BD BC =时，BDC x ∠=，18090ADB x ∠=->，此时只能有AD BD =，从而12A ABD C C ∠=∠=∠<∠，这与题设C ∠是最小角矛盾． ∴当C ∠是底角时，BD BC =不成立．9分ABC备用图① 67.5 67.5 22.522.5A BC备用图②22.522.54545ABC备用图①ABC备用图②ABC备用图③(20070911183837500888)第12题. （2007江西课改，3分）如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠= 度．答案：25(20070911183839234341)第13题. （2007辽宁12市课改，12分）如图， 已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动） ．（1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？都．请直接．．．写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图②，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．答案：（1）判断：EN 与MF 相等 （或EN=MF ），点F 在直线NE 上， 3分 （说明：答对一个给2分） （2）成立． 4分 证明：法一：连结DE ，DF ．5分图① 图② 图③A·BCD EF··N MFEDCB ANMF EDCBA·图2图3A C BD80∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC =BC ． 又∵D ，E ，F 是三边的中点，∴DE ，DF ，EF 为三角形的中位线．∴DE =DF =EF ，∠FDE =60°． 又∠MDF +∠FDN =60°， ∠NDE +∠FDN =60°， ∴∠MDF =∠NDE ．7分 在△DMF 和△DNE 中，DF =DE ，DM =DN ， ∠MDF =∠NDE ， ∴△DMF ≌△DNE ． 8分∴MF =NE ．9分法二：延长EN ，则EN 过点F ．5分∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC =BC ．又∵D ，E ，F 是三边的中点， ∴EF =DF =BF ． ∵∠BDM +∠MDF =60°， ∠FDN +∠MDF =60°， ∴∠BDM =∠FDN ．7分又∵DM =DN ， ∠ABM =∠DFN =60°， ∴△DBM ≌△DFN ． 8分 ∴BM =FN ．∵BF =EF ， ∴MF =EN ． 9分 法三：连结DF ，NF ．5分 ∵△ABC 是等边三角形， ∴AC =BC =AC ．又∵D ，E ，F 是三边的中点， ∴DF 为三角形的中位线，∴DF =21AC =21AB =DB ． 又∠BDM +∠MDF =60°， ∠NDF +∠MDF =60°， ∴∠BDM =∠FDN ．7分在△DBM 和△DFN 中，DF =DB ，DM =DN ， ∠BDM =∠NDF ，∴△DBM ≌△DFN ． ∴∠B =∠DFN =60°．8分又∵△DEF 是△ABC 各边中点所构成的三角形， ∴∠DFE =60°． ∴可得点N 在EF 上， ∴MF =EN ．9分 （3）画出图形（连出线段NE ），11分 NCA BFMD ENCABFMDEF B C MF 与EN 相等的结论仍然成立（或MF =NE 成立）． 12分(20070911183840109206)第14题. （2007辽宁沈阳课改，3分）如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为 ．答案：6(20070911183840906371)第15题. （2007山东日照课改，10分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． (1)求证：AD ⊥CF ；(2)连接AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．答案：(1)证明：在等腰直角三角形ABC 中，∵∠ACB =90o ，∴∠CBA =∠CAB =45°． 又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB =90°，∴∠BDE =45°． 又∵BF ∥AC ，∴∠CBF =90°， ∴∠BFD =45°=∠BDE ， ∴BF =DB ．…………2分 又∵D 为BC 的中点，∴CD =DB ，即BF =CD ． 在R t △CBF 和R t △ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=︒,,90,AC CB ACD CBF CD BF ∴R t △CBF ≌R t △ACD ，∴∠BCF =∠CAD ． ……………………………………………………………4分 又∵∠BCF +∠GCA =90°， ∴∠CAD +∠GCA =90°，即AD ⊥CF ；……………………………………………6分 (2) △ACF 是等腰三角形．理由：由(1)知： CF =AD ，△DBF 是等腰直角三角形，且BE 是∠DBF 的平分线， ∴BE 垂直平分DF ，即AF =AD ，…………………………………………………8分 ∴CF =AF ，∴△ACF 是等腰三角形． ………………………………………………………10分(20070911183843796978)第16题. （2007山西太原课改，10分）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．（1）已知：如图（1），在ABC △中，AB AC =，36A ∠= ，直线BD 平分ABC ∠交AC 于点D ．求证：ABD △与DBC △都是等腰三角形．（2）在证明了该命题后，小颖发现：下列两个等腰三角形如图（2）、（3）也具有这种特性．请你在图（2）、图（3）中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形．请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数．说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形．答案：（1）证明：在ABC △中，AB AC =， ∴ABC C ∠=∠．36A ∠= ，∴1(180)722ABC C A ∠=∠=-∠= ．1分BD 平分ABC ∠，∴1236∠=∠= ． ∴31A ∠=∠+∠72= ．2分 ∴13A C ∠=∠∠=∠，，3分∴AD BD BD BC ==，，∴ABD △与BDC △都是等腰三角形．4分（2）解：如下图36 AB C D图（1） 图（2） 图（3） 21 36 3ABCD45 图（2）4545 4536 图（3） 36 36 72 或36 图（3）363672 7272评分说明：画对一个图形，角度标注正确得1分，共2分．画出的分割线可以是直线、射线或线段． （3）解： 如：或：评分说明：按要求画出一个三角形，角度标注正确得2分，一共4分．(20070911183845390180)第17题. （2007四川成都课改，9分）已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：BF AC =； （2）求证：12CE BF =； （3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．答案：（1）证明：CD AB ⊥∵，45ABC ∠=°， BCD ∴△是等腰直角三角形． BD CD =∴．在Rt DFB △和Rt DAC △中，90DBF BFD ∠=-∠∵°，90DCA EFC ∠=-∠°， 且BFD EFC ∠=∠， DBF DCA ∠=∠∴．又90BDF CDA ∠=∠=∵°，BD CD =， Rt Rt DFB DAC ∴△≌△． BF AC =∴．3分（2）证明：在Rt BEA △和Rt BEC △中3570α2α… 20 40120 60408075045α<< ，其中3036αα≠≠ ，；…α3α2060100 2575803510540045α<< ，其中18030367ααα≠≠≠，，．D AE FCHGBD AE FCHGBBE ∵平分ABC ∠，ABE CBE ∠=∠∴．又90BE BE BEA BEC =∠=∠=∵，°，Rt Rt BEA BEC ∴△≌△．12CE AE AC ==∴． 又由（1），知BF AC =，1122CE AC BF ==∴． 3分（3）CE BG <．证明：连结CG ．BCD ∵△是等腰直角三角形，BD CD =∴．又H 是BC 边的中点，DH ∴垂直平分BC ．BG CG =∴．在Rt CEG △中，CG ∵是斜边，CE 是直角边，CE CG <∴．CE BG <∴． 3分(20070911183846250579)第18题. ．(2007浙江湖州,3分)如图，点A 是55⨯网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A 为其中的一个顶点，面积等于52的格点．．等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ） Ａ．10个 Ｂ．12个 Ｃ．14个 Ｄ．16个答案：D(20070911183847218316)第19题. （2007浙江金华课改，5分）如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P 是正六边形的一个顶点，以点P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ．答案：2(20070911183847984433)第20题. (2007广州潜江课改，3分)如图，已知：AB ∥EF ，CE =CA ，∠E = 65，则∠CAB 的度数为A. 25B. 50C. 60D. 65答案：B(20070911183848687196)第21题. （2007浙江丽水课改，5分）等腰三角形的一个底角为030，则顶角的度数是 度．答案：120(20070911183849515464)第22题. (2007 浙江宁波课改，3分)如图，在△ABC 中，AB =AC ，CD 平分∠ACB交AB 于D 点，AE ∥DC 交BC 的延长线于点E ，已知∠E =36°，则∠B = 度．答案：72(20070911183850265119)第23题. （2007浙江舟山课改，5分）一个等腰三角形的一个外角等于110o ，则这个三角形的三个角应该为 ． 答案：707040 ，，或705555，，(20070911183851218979)第24题. （2007浙江义乌课改，5分）如图所示，直线12l l ⊥，垂足为点O ，A 、B 是直线1l 上的两点，且OB =2，AB 直线1l 绕点O 按逆时针方向旋转，旋转角度为α（0180α<< ）． （1）当α=60°时，在直线2l 上找点P ，使得△BP A是以∠．B ．为顶角．．．的等腰三角形，此时OP =______． （2）当α在什么范围内变化时，直线2l 上存在点P ，使得△BP A 是以∠．B ．为顶角．．．的等腰三角形，请用不等式表示α的取值范围：______．答案：（111（2）45°＜α＜90°或90°＜α＜135°(20070911183852031205)第25题. （2007重庆 ，4分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A ．20B ．120C ．20 或120D ．36 答案：C(20070911183853156280)第26题. （2007重庆，3分）已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A C ，的坐标分别为(100)A ，，(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ．答案：(24)，或(34)，或(84)，。

含30°角的直角三角形1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（ ）A ．2厘米B ．4厘米C ．6厘米D ．8厘米2. 在直角△ABC 中，∠C=30°，斜边AC 的长为5cm ，则AB 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2.5cmD ．2cm3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm ，则AB 等于（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm第3题图 第7题图 第9题图 4. 如果直角三角形的一个锐角为30°，而斜边与较短的直角边之和为18cm ，那么斜边长为（ ）A ．6cmB ．9cmC ．12cmD ．14cm5. △ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm6. 已知∠B=30°，AB=6，BC=8，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．487. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ）A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．78.在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于D ，AB=a ，则DB 等于（ ）A ．4aB ．3aC ．2aD ．43a 9. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，则AD 与BD 的关系是（ ）13. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）A ．6米B ．9米C ．12米D ．15米第13题图 第14题图 第16题图14. 某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥，一汽车在坡度为30°的笔直高架桥点A 开始爬行，行驶了150米到达B 点，这时汽车离地面高度为（ ）米．A ．300B ．150C ．75D ．5015. 等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10cm ，那么底边上的高（ ）A ．10cmB ．5cmC ．20cmD ．15cm16.如图是一张简易活动餐桌，现测得OA=OB=30cm ，OC=OD=50cm ，现要求桌面离地面的高度为40cm ，那么两条桌腿的张角∠COD 的大小应为（ ）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°17. 如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，若AE=4cm ，则AD 的长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．12cm第17题图 第18题图18.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是 .19. 如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C ．若∠AOB=30°，OC=4，则点P 到OA 的距离PD 等于 .第19题图 第20题图 20. 如图，在一场足球比赛中，球员A 欲传球给同伴B ，对方球员C 意图抢断传球，已知球速为16m/s ，球员速度为8m/s,角θ=30°．当球由A 传出的同时，球员C 选择与AC 垂直的方向出击，则C 恰好在点D 处将球成功抢断（填“能”或“不能”，球员反应速度、天气等因素均不予考虑）．21.在课题学习时，老师布置画一个三角形ABC ，使∠A=30°，AB=10cm ，∠A 的对边可以在长为4cm 、5cm 、6cm、11cm 四条线段中任选，这样的三角形可以画个．22. 在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边第23题图 第26题图24. 已知一个等腰三角形的腰长是a ，底角是15度．则此等腰三角形的面积为 .25.△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB，28. 某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a厘米的线段，求这个端点间的距离“，其中a厘米在排版时比原稿上多1．虽30. 已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为 .31. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120度，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB 于点M、N，且BM=3，则CM= .第31题图第32题图32. 如图，Rt△ABC中，∠CAB=30°，AD为角平分线，DE∥AB，DF⊥AB于F，若AE=8cm，则DF的长为cm．33. 有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是海里．34. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．第34题图35. 如图所示，CD ⊥AB ，垂足为D ，∠ACB=90°，∠A=30°，求证：BD=41AB ．第35题图36. 已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC ；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．37. 我们已经学过直角三角形的一个重要性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．小明得出，如图△ABC 中，有∠B=60°，2BC=AB ．爱动脑筋的他想，如果先画∠ABC=60°，且有2BC=AB ，比如，BC=1，AB=2，连接AC ，那么得到的△ABC 是否是直角三角形呢？画完后他发现是的，你能帮他证明吗？第37题图38. 如图，一块含有30°角（∠ABC=30°，∠ACB=90°）的木制三角板是由三块宽度相等的木条拼合而成，若木条的宽度为5cm，求制作时拼合缝AA′的长．第38题图39.如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=12厘米，AB的值是等式x3-1=215中的x的值．点P从点A开始沿AB边向B点以1.5厘米∕秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2厘米∕秒的速度移动．①求AB的长度﹙厘米﹚．②如果P、Q分别从A、B两点同时出发，问几秒钟后，△PBQ是等腰三角形并求出此时这个三角形的面积．第39题图42.如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里？第40题图等腰三角形1．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9第1题第2题2. 如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠B和∠C，已知BC=20，AB=18，AC=16，则△ADE的周长是（）A．30 B．32 C．34 D．363.如图，已知点O是△ABC的∠ABC和∠ACB平分线的交点，过O作EF平行于BC 交AB于E，交AC于F，AB=12，AC=18，则△AEF的周长是（）A．15 B．18 C．24 D．30第3题第4题4. 如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm5. 如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC 交BC于E，若△ODE的周长为10厘米，那么BC的长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm第5题第6题6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9.如图，△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．无法确定第9题第10题10. 如图所示．△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD=50°，AE=AD，则∠EDC 的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°11.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5第11题第12题12.在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，点D、E在BC边上，且AD和AE把∠BAC三等分，则图中的等腰三角形的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．813. 已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC 是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（）个．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④第13题第14题14. 在△ABC中，已知∠A=∠B，且该三角形的一个内角等于100°．现有下面四个结论：①∠A=100°；②∠C=100°；③AC=BC；④AB=BC．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个15.如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A．B．C．D．16.如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．0.4 cm2 B．0.5 cm2 C．0.6 cm2 D．0.7 cm2第16题第17题17.△ABC中，∠CAB-∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA的延长线交于N．已知CL=3，则CN= .19.如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，BC=2，BD是△ABC的角平分线，则AD= .第19题第20题20.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，第21题第22题22.如图，轮船以每小时20海里的速度向正北方向航行，测得灯塔C在北偏东40°的方向（即∠NAC=40°），半小时后，轮船航行到B处，测得灯塔C在北偏东80°的方向（即∠NBC=80°），这时轮船在B处与灯塔C的距离是海里．23.如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，若∠AOB=30°，OC=4，则PD= ．第23题第24题24.如图：已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB+AC=BE．则∠B= ．25.如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．第25题26.已知：如图，点C、D在△ABE的边BE上，BC=ED，AB=AE．求证：AC=AD．第26题27.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E．已知：DA=DC，E为AC 中点．求证：（1）AC⊥BD；（2）∠ABD=∠CBD．28.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．给出5个论断：①CD⊥AB，②BE⊥AC，③AE=CE，④∠ABE=30°，⑤CD=BE.（1）如果论断①、②、③、④都成立，那么论断⑤一定成立吗？答：；（2）从论断①、②、③、④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是（只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知，求证，并加以证明．第28题29.如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．第29题30.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．第30题31.在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=40°，AD=AE．求∠CDE的度数．第31题32.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE ⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．第32题33.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．第33题34.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠ADC．第34题35.如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，过D作DE⊥AB，垂足为E点．（1）求证：AB=AC+CD；（2）已知AC=4cm，求CD的长．第35题36.如图，已知∠ACB=90°，点D是AB上一点，若DB=DC．求证：点D是AB的中点．第36题37.如图，△ABC中，AB=6，BD=3，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求CD的长．第37题38.在△ABC中，AB=AC，BD=DC，AD的延长线交BC于点E，求证：AE⊥BC，BE=EC．第38题39.如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC 的理由．第39题40.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠ADC．第40题41.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE．第41题42.如图所示．△ABC中，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：∠ACD＞∠B．第42题43.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能请说明理由．44.如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，F是AC延长线上一点，连DF交BC于E，若DB=CF，求证：DE=EF．第44题45.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE．求证：AC-AB=2BE．第45题46.如图，AD是△ABC的角平分线，且∠B=∠ADB，过点C作AD的延长线的垂线，垂足为M．（1）若∠DCM=α，试用α表示∠BAD；（2）求证：AB+AC=2AM．第46题47.△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°,①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．48.已知：在锐角△ABC中，AB=AC．D为底边BC上一点，E为线段AD上一点，且∠BED=∠BAC=2∠DEC，连接CE．（1）求证：∠ABE=∠DAC；（2）若∠BAC=60°，试判断BD与CD有怎样的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠BAC=α，那么（2）中的结论是否还成立．若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．49.已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF ∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？。

夷陵长江大桥三塔斜拉桥上部结构设计邓青儿孔德军（铁道部大桥工程局勘测设计院）【摘要】本文概要介绍了夷陵长江大桥三塔斜拉桥上部结构设计技术特点．并对设计中的一些特殊技术问题及所采取相应技术措施进行了介绍。

【关键词】夷陵长江大桥三塔斜拉桥结构设计一、工程概况夷陵长江大桥位于湖北省宜昌市，跨越长江，是联系宜昌市南、北两岸的城市桥梁。

桥位距葛洲坝水利枢纽大坝下游7.6km，桥址区江面宽约800m，最大水深约23m。

夷陵长江大桥经初步设计确定采用单索面三塔混凝土加劲梁斜拉桥方案，跨径布置为（38.0+38.5+43.5）+348+348＋（43.5+38.5+38.0）=936（m），其主跨达348m，是目前国内最大跨度的三塔斜拉桥，也是目前世界上最大跨度的三混凝土加劲梁斜拉桥。

该桥斜拉桥目前已完成基础施工。

三个主塔正在施工中。

主梁顶制和现浇工作也全面展开，预计200l年7月1日建成通车。

二、主要技本标准1.荷载：汽——超20设计，挂——120检算，人群荷载3.5kN/平方米；2.设计车速：60km/h；3.桥面宽度：公路四车道，两侧各2.0m宽人行道；4.坡度：全桥位于竖曲线上，桥面处半径R＝18725.9m，桥面设1.5％双面横坡；5.通航标准：净高18m，净宽≥125m；6.地震基本烈度：6度；7.风速：V10=23.53m/s。

三、结构设计l．结构布置斜拉桥纵向布置为：120+348+348+120=936m，其中120m边跨又分为三个小跨，即38+38.5+43.5=120（m）。

桥梁全宽23.0m，中央索区宽3.0m，两侧人行道宽各2.0m，边栏杆宽0.25m，即0.25（边栏杆）＋2.0（人行道净宽+7.75（车行道）＋3.0（中央索区）＋7.75（车行道）+2.0（人行道净宽）＋0.25（边栏杆）=23.0m。

全桥主梁等高架高3.0m。

宽跨比为1：15，高跨比为1：116。

全桥3个主塔塔高不等，两边塔结构相同，中塔高于边塔。

道路与桥梁工程概论论文——浅谈斜拉桥的基本概况及发展前景摘要：斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是一种由塔、梁、索三种基本构件组成的组合桥梁结构体系，可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁。

其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料。

斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成。

斜拉桥在目前所有桥型中具有鲜明的特征和优势。

在此浅述有关斜拉桥的发展历程和建造技术要点，以及斜拉桥在世界桥梁发展史上的地位和发展前景。

关键字：跨径结构体系构造建筑美学Abstract：With many girder cable-stayed bridge is will draw directly lasso in bridge tower bridge, is a kind of by a tower, beams, cable three basic components combination bridge structure system, can be considered a lasso more instead of a pier across the elastic supporting continuous beam. It can make the beam is reduced, reduce body bending moment the height and reduce the weight, saving material structure. Cable-stayed bridge by cable tower, girders, composed stay-cables.Cable-stayed bridge in the present in all the distinctive temperature.though characteristics and advantages. In the light of the development process and relevant cable-stayed bridge built technological essencials, as well as in world history ofcable-stayed bridge bridge the status and development prospects.Key Words：span structurestructural system architectural aesthetics正文：身处三大，身在宜昌这个坐落在长江之滨的魅力城市，自然和跨江桥梁构成了密不可分的关系。

宜昌夷陵长江大桥4#墩下塔柱施工工艺一、编制依据：本工艺系根据99年3月21日由处总工程师主持召开的夷陵长江大桥4#墩下塔柱施工方案会议精神和下列图纸及规范进行编制的：A、铁道部大桥工程局勘测设计院的夷陵长江大桥施工设计图：9146－04-101B、《公路桥涵施工技术规范》(JTJ041－89)C、《市政桥梁工程质量检验评定标准》(CJJ2－90)D、《公路工程质量检验评定标准》(JTJ071－98)二、概述：宜昌夷陵长江大桥主桥为2×348m三塔单索面混凝土加劲梁斜拉桥，塔柱呈倒Y形。

(4#墩）中塔高（自塔座顶算起）126.00m，顺桥向厚7m，按其外形和所处位置可分为下、中、上三段。

下塔柱高24.243m（标高自42.0m至66.243m），横桥向以76.099度向外倾，横载面为单箱双室空心结构。

中塔柱高57m（标高自66.243m至123.234m），其下部为柱下端实体过渡段和实体横梁（兼作主梁），中部为两根矩形截面空心柱以74.745度向内倾斜相交于上塔柱。

上塔柱高44.757m（标高自123.234m至168.00m），为独立的矩形空心结构，是缆索的锚固区。

三、下塔柱施工方案在墩旁设靠邦船临时存放机具设备材料，并安装一台高塔吊承担塔柱施工的起吊工作，下塔柱施工时，壁内不设劲性骨架，横桥向设水平拉杆与内外脚手架连接，以平衡下塔柱外倾的水平力；采用翻模方式分五次完成下塔柱的混凝土浇注。

1、模板结构为节省材料，下塔柱外模利用中上塔柱爬模模板并配制部分异形钢模；内模采用组合钢模和木模组合结构；内外模之间采用“H型尼龙螺母”拉筋对拉。

考虑减小模板加工的工作量，南北竖直大面的模板高度采用爬模模板高度4.5m，上下游侧斜面的模板高度配为4.5m，底节浇注混凝土高6.243m，以后每次浇注混凝土高度4.5m。

2、施工支架下塔柱的施工支架兼顾主梁0#节段和中塔柱下部实体段的施工。

在塔柱南北两侧对称拼装万能杆件构架，构架内桁中心至塔柱面1.3m，构架下端通过塔座和承台顶面的预埋件予以锚固，上部设一对拉杆与塔柱壁锚固，该构架为主梁0#节段施工的支架和下塔柱施工的脚手架。