高三数学第一轮复习 第69课时 二项式定理(2)教案

课时
2
课题
二项式定理
教学目的 要求
教学重点 教学难点
知识目标：理解二项式定理，会用二项式定理求二项展开式。理解 和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。
能力目标：会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆 用展开式。
情感目标：让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的 简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生 的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情。
C40； 含 a3b 的项只能由 3 个括号取 a，余下的 1 个括号取 b 而得，即 C41a3b，系数为：
C41； 含 a2b2 的项只能由 2 个括号取 a，余下的 2 个括号取 b 而得，即 C42a2b2，系数为：
C42； 含的 ab3 的项只能由 1 个括号取 a，余下的 3 个括号取 b 而得，即 C43a3b，系数为：
x
注意：展开式中第
r+1
项的二项式系数
C
r n
与第
r+1
项的系数含义不同。
五、课堂小结（引导提问，10 分钟）
1、二项式定理
(a +b)n =C 0 an +C1 an－1b+…+C r a b n－r r +…＋C n bn，其中各项系数就是组合数 C r ，
n
n
n
n
n
展开式共有 n+1 项，第 r+1 项是 Tr+1
C43； 含 b4 的项只能由 4 个括号都取 b 而得，即 C44b4，系数为 C44； 从而可得：
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

二项式定理教案
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握二项式定理①能根据组合思想及不完全归纳，得出二项式定理和二项展开式的通项。

②能正确区分二项式系数和某一项的系数。

③能正确利用二项式定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它的特定项。

2．过程与方法：通过定理的发现推导提高学生的观察，比较，分析，概括等能力。

（二）教学重点与难点
重点：二项式定理的发现，理解和初步应用。

难点：二项式定理的发现。

（三）教学方法
启发诱导，师生互动
（四）教学过程。

城东蜊市阳光实验学校二项式定理〔2〕一．复习目的：1．能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和．2．能纯熟地逆向运用二项式定理求和．3．能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式．二．课前预习：1．1003)32(+的展开式中无理项的个数是〔A 〕 ()A 84()B 85()C 86()D 872.设1510105)(2345++-+-=x x x x x x f ，那么)(1x f-等于〔C 〕 3．假设21872221221=++++n n n n n C C C ，那么=++++n n n n n C C C C 210128． 4.n n n n n C n C C 11)1(3121121+-+-+- =11+n ． 5.9)23(z y x +-展开式中含432z y x 的项为43290720z y x -．6．假设1001002210100)1()1()1()21(-++-+-+=+x a x a x a a x ，那么=++++99531a a a a 215100-. 四．例题分析：例1．}{n a 是等比数列，公比为q ，设n n n n n n C a C a C a a S 123121+++++= 〔其中+∈>N n n ,2〕，且n n n n n n C C C C S ++++= 2101，假设1lim n nn S S ∞→存在，求公比q 的取值范围．解：由题意11-⋅=n n q a a ，n n S 21=，)0()1()1(122111221111≠+=++++=++++=q q a C q C q qC a C q a C q a qC a a S n n n n n n n nn n n n ∴n nn n n q a q a S S )21(2)1(111+=+=．假设1lim nn n S S ∞→存在，那么1|21|<+q 或者者121=+q ， ∴212<+<-q 或者者1=q ，故13≤<-q 且0≠q ．例2．(1)求多项式673410234)157()53()323(--⋅-⋅---x x x x x x 展开式各项系数和．(2)多项式1000231000)22(+--⋅-x x x x展开式中x 的偶次幂各项系数和与x 奇次幂各项系数和各是多少？ 解：〔1〕设)()157()53()323()(2210673410234N n xa x a x a a x x x x x x x f n n ∈++++=--⋅-⋅---= ， 其各项系数和为n a a a a ++++ 210． 又∵102674102210316)157()53()3213()1(⋅=--⋅-⋅---=++++=n a a a a f ，∴各项系数和为102316⋅． 〔2〕设30013001101000231000)22()(x a x a a x x x x x f +++=+--⋅-= ， ∴0)1(3001210=++++=a a a a f ，2)1(3001210=--+-=-a a a a f ，故1300131-=+++a a a ，1300020=+++a a a ，∴)(x f 展开式中x 的偶次幂各项系数和为1，x 奇次幂各项系数和为-1．例3．证明：〔1〕∑==n k n k n k C 032)(N n ∈；〔2〕12221223222120223222--⋅=++++++n n n n n n n n n C C C C C C )(N n ∈；〔3〕)(3)11(2N n nn ∈<+<；〔4〕2222212)1(21-⋅+=⋅++⋅+⋅n n n n n n n n C C C 由(i)知例4．小结：五．课后作业：班级学号姓名1．假设n x x )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大，那么不含x 的项为〔C 〕 ()A 462()B 252()C 210()D 102．用88除78788+，所得余数是〔〕()A 0()B 1()C 8()D 803．2002年4月20日是星期五，那么9010天后的今天是星期．4．某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增加%02.0，那么100天后这家公司的股票指数约为42〔准确到0.001〕．5．55443322105)23(x a x a x a x a x a a x +++++=-，那么 〔1〕5432a a a a +++的值是568；〔2〕=++++||||||||||54321a a a a a 2882．6．假设n ax 2)1(+和12)(++n a x 的展开式中含n x 项的系数相等〔*N n ∈，0≠a 〕，那么a 的取值范围为]32,21( 7．求满足500323210<+++++n n n n n nnC C C C C 的最大整数n ． 原不等式化为n·2n -1＜499∵27=128，∴n=8时，8·27=210=1024＞500．当n=7时，7·26=7×64=448＜449．故所求的最大整数为n=7．8．求证：222222120)()()()(n n n n n n C C C C C =++++证明 由(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n，两边展开得：比较等式两边xn 的系数，它们应当相等，所以有：9．(1＋3x)n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项． ∴n＝15或者者n ＝-16(舍)设第r ＋1项与第r 项的系数分别为tr+1，tr∴tr+1≥tr 那么可得3(15-r ＋1)＞r 解得r≤12∴当r 取小于12的自然数时，都有tr ＜tr+1当r ＝12时，tr+1=tr。

一．复习目标：1．能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和． 2．能熟练地逆向运用二项式定理求和．3．能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式． 二．课前预习：1．1003)32(+的展开式中无理项的个数是 （ A ） ()A 84 ()B 85 ()C 86 ()D 87 2.设1510105)(2345++-+-=x x x x x x f ，则)(1x f-等于 （ C ）()A 51x + ()B 521--x ()C 521-+x ()D 51x -3．如果21872221221=++++n n n n n C C C ，则=++++nn n n n C C C C 210128． 4.nnn n n C n C C 11)1(3121121+-+-+- =11+n ． 5.9)23(z y x +-展开式中含432z y x 的项为43290720z y x -． 6．若1001002210100)1()1()1()21(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则=++++99531a a a a 215100-.四．例题分析：例1．已知}{n a 是等比数列，公比为q ，设nn n n n n C a C a C a a S 123121+++++= （其中+∈>N n n ,2），且nn n n n n C C C C S ++++= 2101，如果1limnnn S S ∞→存在，求公比q 的取值范围．解：由题意11-⋅=n n q a a ，nn S 21=，)0()1()1(122111221111≠+=++++=++++=q q a C q C q qC a C q a C q a qC a a S nn nnnnnnn n n n∴nn n n n q a q a S S )21(2)1(111+=+=．如果1lim n n n S S ∞→存在，则1|21|<+q 或121=+q ， ∴212<+<-q 或1=q ，故13≤<-q 且0≠q ．例2．(1)求多项式673410234)157()53()323(--⋅-⋅---x x x x x x 展开式各项系数和．(2)多项式1000231000)22(+--⋅-x x x x展开式中x 的偶次幂各项系数和与x 奇次幂各项系数和各是多少？解：（1）设)()157()53()323()(2210673410234N n xa x a x a a x x x x x x x f nn ∈++++=--⋅-⋅---= ，其各项系数和为n a a a a ++++ 210．又∵102674102210316)157()53()3213()1(⋅=--⋅-⋅---=++++=n a a a a f ，∴各项系数和为102316⋅．（2）设30013001101000231000)22()(x a x a a x x x xx f +++=+--⋅-= ， ∴0)1(3001210=++++=a a a a f ，2)1(3001210=--+-=-a a a a f ，故1300131-=+++a a a ，1300020=+++a a a ，∴)(x f 展开式中x 的偶次幂各项系数和为1，x 奇次幂各项系数和为-1．例3．证明：（1）∑==nk n k n kC 032)(N n ∈；（2）12221223222120223222--⋅=++++++n n n n n n n n n C C C C C C )(N n ∈；（3）)(3)11(2N n nn ∈<+<；（4）2222212)1(21-⋅+=⋅++⋅+⋅n nn n nn n n C C C由(i)知例4．小结：五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．若nxx )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x 的项为（ C ） ()A 462 ()B 252 ()C 210 ()D 102．用88除78788+，所得余数是 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 8 ()D 803．已知2002年4月20日是星期五，那么9010天后的今天是星期 ．4．某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增加%02.0，则100天后这家公司的股票指数约为2.442（精确到0.001）．5．已知55443322105)23(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则（1）5432a a a a +++的值为568；（2）=++++||||||||||54321a a a a a 2882． 6．若n ax 2)1(+和12)(++n a x 的展开式中含n x 项的系数相等（*N n ∈，0≠a ），则a 的取值范围为]32,21(7．求满足500323210<+++++nn n n n n nC C C C C 的最大整数n ．原不等式化为n ·2n-1＜499∵27=128，∴n=8时，8·27=210=1024＞500． 当n=7时，7·26=7×64=448＜449． 故所求的最大整数为n=7．8．求证：222222120)()()()(n n n n n n C C C C C =++++证明 由(1+x)n ·(1+x)n =(1+x)2n，两边展开得：比较等式两边x n的系数，它们应当相等，所以有：9．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121，求展开式中系数最大的项．∴ n＝15或 n＝-16(舍)设第 r＋1项与第 r项的系数分别为t r+1，t r∴t r+1≥t r则可得3(15-r＋1)＞r解得r≤12∴当r取小于12的自然数时，都有t r＜t r+1当r＝12时，t r+1=t r。