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吉林省2021届高三一轮复习联考(一)数学试题 Word版含答案

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吉林省2021届高三一轮复习联考（一）理科数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设21i 22z ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A ．12B ．2C ．1D ．22．已如集合{}0A x x =≥，集合(){}2ln 2B x y x x ==+-，则AB =（ ）A ．()1,+∞B ．()2,1-C ．[)0,1D ．()2,-+∞3．已知向量(),1a x =-，()2,4b =-，若a b ⊥，c a b =+，则a 在c 上的投影为（ ）A ．1B ．1±CD ．4．方程()44224x y x y+=+所表示曲线的大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．5．命题:p “[)0,x ∀∈+∞，2e x x >”的否定形式p ⌝为（ ）A ．[)0,x ∀∈+∞，2e x x ≤B ．(]0,0x ∃∈-∞，020e x x > C ．[)00,x ∃∈+∞，020ex x >D ．[)00,x ∃∈+∞，020ex x ≤6．已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（ ）A ．()cos sin y x =B ．()sin sin y x =C ．()cos cos y x =D ．()sin cos y x =7．设函数()e axf x =与()lng x b x =的图象关于直线0x y -=对称，其中a ，b ∈R 且0a >．则a ，b 满足（ ） A ．2a b += =B ．1a b ==C ．1ab =D ．1ba= 8．如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断正确的是（ ）A ．该弹簧振子的振幅为1cmB ．该弹簧振子的振动周期为1.6sC ．该弹簧振子在0.2s ，和1.0s 时的振动速度最大D ．该弹簧振子在0.6s 和1.4s 时的位移不为零9．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：()1,0,e x Qf x x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中Q 为有理数集，3Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：(),,ea x QD x b x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中a ，b ∈R 且a b ≠），以下对()D x 说法错误的是（ ）A ．任意非零有理数均是()D x 的周期，但任何无理数均不是()D x 的周期B ．当a b >时，()D x 的值域为[],b a ；当a b <时，()D x 的值域为[],a bC ．()D x 为偶函数D ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性10．设锐角三角形ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()22c b c b -=-，a =则b c +的取值范围为（ ） A．B．C．D．11．若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为（ ） A ．1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1710,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1023,36⎛⎫⎪⎝⎭ 12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，任意x ∈R 均有()()*e f x f x '-=，且()10f =，若函数()()g x f x t =-在[)1,x ∈-+∞上有两个零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．21,e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．[)1,0-D ．21,e⎛⎤-- ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数()i1i i 1z a =+-+的虚部为零，i 为虚数单位，则实数a =________． 14．已知sin cos θθ+=()0,πθ∈，则πcos 2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．15．函数()ln 22ln x f x x=+，(]1,e x ∈的最小值为________． 16．设函数()[]()()π2cos ,6,6312,,66,x x f x x x⎧∈-⎪⎪=⎨⎪∈-∞-+∞⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x af x ++=⎡⎤⎣⎦，()a ∈R 有且仅有12个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17．（12分）已知顶点在坐标原点，始边在x 轴正半轴上的锐角α的终边与单位圆交于点1,22A ⎛ ⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 逆时针旋转π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭得到角β的终边． （1）求2sin 22cos sin ααα-的值； （2）求cos cos βϕ+的取值范围． 18．（12分）已知函数()()2ln 212f x ax a x ⎡⎤=+--⎣⎦，a ∈R ．（1）若1x =是函数()f x 的零点，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性． 19．（12分）已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点同的距离为（1）求函数()f x 的解析式：（2）若将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于x 的不等式()2122g x t t ≥+在[]3,5x ∈上有解，求实数t 的取值范围． 20．（12分）2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济“，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入[]()4,8x x ∈万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x 万元赞助费后，商品的销售量将增加到20102y x λ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭万件，[]0.6,1λ∈为气象相关系数，若该销售商出售y 万件商品还需成本费()40530x y ++万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p 万元与平台投入的赞助费x 万元的关系式；（注：总利润=赞助费+出售商品利润）（2）若对任意[]4,8x ∈万元，当λ满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ 21．（12分）已知函数()()()1sin 1cos f x a x x a x x =---++，[]0,πx ∈，a ∈R ． （1）若函数()f x 在ππ,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为π12+，求a 的值；（2）若任意[]0,πx ∈，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：10分．请考生在第22、22题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂，漏涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）点P 为曲线C 上点，求点P 到直线l 距离的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()212f x x x =+--． （1）求不等式()2f x x ≥+的解集； （2）若()12f x t ≥--对一切实数x 均成立，求实数t 的取值范围．理科数学参考答案及评分意见1．C解：211i 22z ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，所以1z ==，故选C ． 2．A 解：集合{}{}22021B x x x x x x =+->=<->或，所以()1,AB =+∞，故选A ．3．A 解：因为a b ⊥，所以()(),12,4240a b x x ⋅=-⋅-=--=，即2x =-，()2,1a =--，()4,3c a b =+=-，所以a 在c 上的投影为()14a c c⋅==-，故选A ．4．A 解：令0x =，解得2y =±，令0y =，解得2x =±，故排除C 、D 选项；易知该函数图象不是圆，排除B 选项，又因为()0,0点满足条件，故选A ．5．D 解：因为全称命 题的否定是特称命题．所以命题:p “[)0,x ∀∈+∞，2e x x >”的否定形式p ⌝为：[)00,x ∃∈+∞，020e x x ≤，故选D ．6．D 解：由图象知，该函数为偶函数，排除B 选项；当0x =时，01y <<，而()cos sin0cos01==，排除A 选项；令[]cos 1,1t x =∈-，所以()cos cos 0x >，排除C 选项，故选D ． 7．C 解：设(),eaxA x 是函数()eaxf x =图象上任意一点，则它关于直线0x y -=对称的点()1e ,axA x 在函数()ln g x b x =的图象上，所以ln e ax x b abx ==，即1ab =，故选C ． 8．B 解：由图象及简谐运动的有关知识知，设其振动周期为T ，则0.60.20.44T=-=，解得 1.6s T =，振幅2cm A =，当0.2s t =或1.0s 时，振动速度为零；该弹簧振子在0.6s 和1.4s 时的位移为零，故选B ．9．B 解：设任意1T Q ∈，2c T Q ∈，则()()1,,c a x QD x T D x b x Q ∈⎧+==⎨∈⎩，()()2c ,,b x Q D x T D x a b x Q ∈⎧+=≠⎨∈⎩或，A 选项正确；易知()D x 的值域为{},a b ，B 选项错误；若x Q ∈，则x Q -∈，所以()f x -=()f x a =，若c x Q ∈，则c x Q -∈，所以()()f x f x b -==，C 选项正确；由于实数的稠密性，任意两个有理数之间都有无理数，两个无理数之间也有有理数，其函数值在a 和b 之间无间隙转换，所以()D x 无单调性；综上，故选B ．10．D 解：因为()22c b c b -=-，即222a b c bc =+-，由余弦定理知1cos 2A =，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以π3A =，结合正弦定理得sin sin a b B B A =⋅=，sin sin a c C C A =⋅=，则()b c B C B A B +=+=++B =+1sin 22B B ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，化简得：π6b c B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；因为2ππ032B <-<，π02B <<，所以ππ2π363B <+<，πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭b c <+≤D ．11．B 解：如图作出简图，由题意知[)45π,x x ∈，设函数()f x 的最小正周期为T ，因为0π6x ω=-，则400772π10π443x x T x ωω=+=+⋅=，5002π23π226x x T x ωω=+=+⋅=，结合[)45π,x x ∈有10ππ3ω≥且23ππ6ω<，解得1023,36ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选B ．12．D 解：设函数()()e x f x h x =，则()()()exf x f x h x '-'=，因为()()e xf x f x '-=，则()1h x '=，设()h x x C =+，则()()1110ef h C ==+=，所以1C =-，即()1h x x =-，()()1e x f x x =-，()e xf x x '=，则()f x 在[)1,0-单调递减，在[)0,+∞单调递增，()()min 01f x f ==-，要使函数()()g x f x t =-有两个零点，等价于曲线()y f x =与y t =有两个交点，所以实数t 的取值范围为21,e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，()21e f -=-故选D ． 13．12 解：()i 111i i i 122z a a ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，因为其虚部为零，所以102a -=，12a =．故答案12．14解：因为()23sin cos 12sin cos 4θθθθ+=+=，所以12sin cos 04θθ=-<，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0θ>，cos 0θ<，结合22sin cos 1θθ+=解得sin 4θ=，所以πcos sin 2θθ⎛⎫-==⎪⎝⎭4．故答案为4． 15．52解：令ln x t =，因为(]1,e x ∈，所以(]0,1t ∈，ln 22142ln 22x t t x t t ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，令()g t =142t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由对勾函数的性质易知，()g t 在(]0,1单调递减，即()()min 512g t g ==，所以函数()f x 在(]1,e 上的最小值为52．故答案为52． 16．5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭解：作出函数()f x 的简图如图，令()f x t =，要使关于x 的方程()()210f x af x ++=⎡⎤⎣⎦()a ∈R 有且仅有12个不同的实根，则方程210t at ++=有两个不同的实数根1t ，2t ，且由图知1t 、()20,2t ∈，设()21g t t at =++，则有()()00200022g g a ⎧>⎪>⎪⎪⎨∆>⎪⎪<-<⎪⎩，解得5,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故答案为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．17．解：（1）由题意得sin 2α=，1cos 2α=，所以，22212sin 22sin cos 222cos sin 2cos sin 122ααααααα===--⨯-⎝⎭（2）π1cos cos cos cos cos cos 322βϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得πcos cos 3βϕϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，因为π02ϕ<<，所以πππ633ϕ-<-<，1πsin 232ϕ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3cos cos ,22βϕ⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭． 18．解：（1）要使1x =为函数()f x 的零点，即有()()1ln 330f a =-=，解得43a =． （2）令()()()()221212g x ax a x ax x =+--=-+，①当0a =时，函数()f x 的定义域为(),2-∞-，()()ln 2f x x =--，因为()2g x x =--在(),2-∞-单调递减，由复合两数的单调性知，()f x 在(),2-∞-上单调递减； ②当0a ≠时，由()0g x =解得11x a=，22x =-， （i ）当102a -<<时，函数()f x 的定义域为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()g x 在11,12a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在11,22a ⎛⎫--⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在11,12a a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，在11,22a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减； （ii ）当12a <-时，函数()f x 的定义域为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()g x 在12,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在111,2aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在12,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在111,2aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减； （iii ）当12a =-时，()0g x ≤，不满足题意，()f x 无意义； （iv ）当0a >时，函数()f x 的定义域为()1,2,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，因为()g x 在(),2-∞-单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，由复合函数的单调性知，()f x 在(),2-∞-单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增． 19．解：（1）由题意得()f x 的最大值为2，最小值为2-，设函数()f x 的最小正周期为T ，则=解得12T =，所以2ππ6T ω==，()π2sin 6f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为()f x 的图象过点()1,2，所以()π12sin 26f ϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即()ππ2π62k k ϕ+=+∈Z ，因为π2ϕ=，所以π3ϕ=，()ππ2sin 63f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，所以()ππ2sin 33g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]3,5x ∈时，ππ4π,2π333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则[]ππ2sin 2,033x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 因为不等式()2122g x t t ≥+在[]3,5x ∈上有解，即有21202t t +≤， 解得410-≤≤，所以实数t 的取值范围为[]40-，． 20．解：（1）由题意得20204010405301022p x x x x λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅--++⋅- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦2001002x λλ=-+440x --，[]4,8x ∈．（2）要使对任意[]4,8x ∈万元时，该销售商才能不亏损，即有0p ≥，变形得()()10225x x xλ++≥在[]4,8x ∈上恒成立，而()()210212202012x x x x x xxx++++==++，设()2012f x x x=++，()2201f x x '=-，令()0f x '=解得x =±，所以函数()f x 在4,⎡⎣单调递减，在⎡⎤⎣⎦单调递增，()()(){}max max 4,8f x f f =，因为()()421822.5f f =<=，所以有2522.5λ≥，解得0.9λ≥，即当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损．21．解：（1）因为()()()1sin 1cos f x a x x a x x =---++，所以()()()sin cos f x x a x x '=+-， 因为函数()f x 在ππ,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为π12+，所以πππ1222f a ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，解得1a =．（2）由（1）知，()()()sin cos f x x a x x '=+-，[]0,πx ∈，令()0f x '=解得1x a =-，2π4x =， ①当0a ≥时，0x a +≥，在π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上，sin cos 0x x -<，所以()0f x '≤，()f x 单调递减；在π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin cos 0x x -≥，所以()0f x '≥，()f x 单调递增；要使任意[]0,πx ∈，()0f x ≥恒成立，即有()min πππ11042424f x f a a ⎛⎫⎫⎫==---++≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得π4a ≤-，不满足； ②当π04a -<<时，在[)0,x a ∈-上，0x a +<，sin cos 0x x -<，所以()0f x '>，()f x 单调递增；在π,4x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上，0x a +>，sin cos 0x x -<，所以()0f x '<，()f x 单调递减；在π,π4x ⎛∈⎤ ⎥⎝⎦上，0x a +>，sin cos 0x x ->，所以()0f x '>，()f x 单调递增；要使任意[]0,πx ∈，()0f x ≥恒成立，即有()00π04f f ⎧≥⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1a ≤-，不满足； ③当ππ4a -≤≤-时，结合②易知，()f x 在π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增；在π,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减；在(],πa -单调递增；要使任意[]0,πx ∈，()0f x ≥恒成立，即有()()000f f a ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得π1a -≤≤-，所以[]π,1a ∈--，满足； ④当πa <-时，()f x 在π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增；在π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；要使任意，()0f x ≥[]0,πx ∈恒成立，即有()()π000f f ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得π11a --≤≤-，所以[)π1,πa ∈---，满足； 综上：a 的取值范围为[]π1,1---．22．解：（1）因为曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以()()()22222x y αα+=+()228sin cos 8αα=+=，整理得22182x y +=； 因为直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 22ρθρθ+=，整理得sin cos 4ρθρθ+=，即40x y +-=．（2）由（1）得直线l 的直角坐标方程为 40x y +-=，则设点()P αα，[)0,2πα∈， 则点P 到直线40x y +-=的距离d ==，其中tan 2ϕ=， 当()sin 1αϕ+=时，min d ==． 23．解：（1）()13,2131,223,2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， ①当12x <-时，32x x --≥+，解得52x ≤-，所以52x ≤-； ②122x -≤≤时，312x x -≥+，解得32x ≥，所以322x ≤≤； ③2x >时，32x x +≥+，解得x ∈R ，所以2x >；综上：不等式()2f x x ≥+的解集为53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． （2）由（1），知，()min 1522f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因为()12f x t ≥--对一切实数x 均成立，即有5122t -≥--，解得3t ≥或2t ≤-， 所以t 的取值范围为(][),23,-∞-⊂+∞．。

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2021届(全国1卷)高三5月卫冕联考数学(文)试题(解析版)

2021届(全国1卷)高三5月卫冕联考数学(文)试题(解析版)

2021届（全国1卷）高三5月卫冕联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}2log 1B x x =>，则A B =（ ）A ．{}2,3B ．{}3,4C ．{}2,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】首先利用对数函数的单调性求解集合B ，再利用集合的交运算即可求解． 【详解】由2log 1x >，得2x >，因为{}0,1,2,3,4A =，所以{}3,4A B =.故选：B2．复数3112i z i-=+的虚部为（ ）A ．15i - B ．15iC ．15-D ．15【答案】C【分析】根据复数的运算法则，化简复数为3155z i =-，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得()()()()311211311212121255i i i iz i i i i i +--+====-+++-， 所以复数z 的虚部为15-. 故选：C .3．已知椭圆C ：2214x y m m +=+的离心率为3，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．B ．4C ．D ．8【答案】C【分析】根据条件先计算出c 的值，再根据离心率求解出m 的值，最后根据长轴长为.【详解】由题意知244c m m =+-=，所以2c =，=，所以8m =，所以椭圆C 的长轴长为=故选：C .4．已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间具有线性相关关系，利用下表中的五组数据求得回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+.根据该回归方程，预测当8x =时，ˆ84.8y=，则ˆb =（ ） x2 3 4 5 6 y2539505664A ．9.4B ．9.5C ．9.6D ．9.8【答案】B【分析】根据表格中的数据，求得,x y 的值，得到ˆˆ446.8b a +=，再由8x =，得到ˆˆ884.8ba +=，联立方程组，即可求解. 【详解】由已知表格中的数据，可得2523456439505664,46.855y x +++++==+++==，所以ˆˆ446.8b a +=，又由当8x =时，ˆ84.8y =，所以ˆˆ884.8b a +=，解得ˆ9.5b=. 故选：B . 5．函数()231e xx f x x x-=+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先分析()f x 的奇偶性，然后根据()2f 的取值正负即可判断出符合的图象. 【详解】因为()320xx xe x x e x+=+≠，所以定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，因为()()231e xx f x f x x x--==---，所以()f x 为奇函数，排除A 、B ， 又因为当2x =时，()23202e 8f =>+，排除C.故选：D .【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()080θθ≤≤的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍（所成角记1θ、2θ），则()12tan θθ-=（ ）A ．57B ．57-C ．17D ．17-【答案】D【分析】根据已知条件得出1tan θ、2tan θ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知1tan 2θ=，2tan 3θ=，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯.故选：D.7．已知各项均为负数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且313a a -=，45S =-，则4a =（ ）A ．12-B ．14-C ．18-D ．116-【答案】C【分析】根据题设条件，结合等比数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得1,a q 的值，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，其中10,0a q <>，因为313a a -=且45S =-，可得2113a q a -=且()41151a q q-=--，解得13q =，1278a =-或2q =-，11a =(舍去)， 所以42711838a ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C .8．在梯形ABCD 中，//AB CD ，4AB CD =，M 为AD 的中点，BM BA BC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．98B ．58C ．54D ．32【答案】A【分析】连接BD ，得到1122BM BA BD =+，进而得到5182BM BA BC =+，得到,λμ的值，即可求解.【详解】连接BD ，因为M 为AD 的中点，所以1122BM BA BD =+， 因为14BD BC CD BC BA =+=+， 所以1115122482BM BA BC BA BA BC ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，所以519828λμ+=+=. 故选：A .9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．20π16+B ．20π24+C ．24π16+D ．24π24+【答案】B【分析】根据三视图画出直观图，再计算面积即可.【详解】由三视图知，原几何体是如图所示的两个半圆柱体，则其表面积为2π222π22π⨯⨯+⨯+⨯4424420π24+⨯+⨯=+.故选：B .10．已知函数()f x 是定义域为R 的递减函数，且()()40f x f x -+=，则不等式()()231f x x f x ++-0<的解集为（ ）A ．()4,0-B ．()(),40,-∞-+∞C ．()5,1-D ．()(),51,-∞-⋃+∞【答案】D【分析】由()()40f x f x -+=得()()15f x f x -=--，则()()2310f x x f x ++-<化为()()235f x x f x +<-结合单调性即可求解解集．【详解】因为()()40f x f x -+=，所以()()4f x f x =--，()()15f x f x -=--，因为()()2310f x x f x ++-<，即()()231f x x f x +<--，即()()235f x x f x +<-，因为函数()f x 是定义域为R 的递减函数，所以235x x x +>-，解得5x <-或1x >. 故选：D11．已知函数()()π4sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为2πx =，点7π,02⎛⎫⎪⎝⎭是与直线2πx =相邻的一个对称中心，将()f x 图象上各点的纵坐标不变.横坐标伸长为原来的43倍得到函数()g x 的图象，则()g x 在2π,4π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．B ．-C ．2-D ．4-【答案】B【分析】根据相邻对称轴与对称中心间距离为4T，即可求得T ，进而可求得ω，根据7π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入数据，结合ϕ的范围，即可求得ϕ值，可得()f x 解析式，根据伸缩变换的原则，可得()g x 的解析式，根据x 的范围，可得1π46x -的范围，根据正弦型函数的性质，即可求得()g x 的最小值. 【详解】由题意知，7π2π42T =-，即6πT =，所以2π16π3ω==， 因为7π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以17sin π032ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 所以17ππ32k ϕ⨯+=，k ∈Z ，即7ππ6k ϕ=-+，k ∈Z ， 因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()1π4sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的43倍得到的函数()1π4sin 46g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2π,4π3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1ππ5π,4636x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当1ππ463x -=-时，即2π3x =-时，()min g x =-故选：B.【点睛】相邻对称轴与对称中心间距离为4T ；相邻两对称轴间距离为2T；相邻两对称中心间距离为2T12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线渐近线上一点，且1AF AO ⊥(其中O 为坐标原点)，1AF 交双曲线于点B ，且1AB BF =，则双曲线的离心率为（ ）A．4B．4CD【答案】C【分析】根据双曲线的定义和余弦定理建立关于,,a b c 的方程，从而可得双曲线的离心率．【详解】根据双曲线的对称性，不妨设点A 在第二象限，设()1,0F c -，因为1AF AO ⊥，点1F 到直线0bx ay +=的距离d b ==，所以1AF b =，因为1FO c =，所以1cos bAFO c∠=，因为1AB BF =，所以11122bBF AF ==， 由双曲线的定义可知21222bBF BF a a =+=+，在12BF F △中，由余弦定理可得22214242cos 222b bc a b AFO b c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∠==⨯⨯，整理得b a =，所以c =，即离心率ce a==故选：C.【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则z x y =-的最大值为___________.【答案】2-【分析】作出可行域，由z x y =-，得y x z =-，平移直线y x z =-，找出使得该直线在x 轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解. 【详解】由z x y =-，得y x z =-，根据题意作出可行域如图所示，由图可知当y x z =-经过点A 时，z x y =-取得最大值，由40250x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得()1,3A ，所以132max z =-=-.故答案为：2-.【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．函数()()2ln 2f x x x x =++()()1,1f 处的切线方程为___________. 【答案】420x y --=【分析】求导，求得()1f '， ()1f ，根据导函数的几何意义可得答案． 【详解】因为()2ln x f x x x x+'=+()14f '=，又因为()12f =， 所以()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()241y x -=-，即420x y --=.故答案为：420x y --=．15．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =，cos sin a C c A b +=，则bc=___________.【答案】【分析】先根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解出A 的值，再根据A 对应的余弦定理以及,a c 的关系求解出b c的值.【详解】因为cos sin a C c A b +=，由正弦定理得sin cos sin sin sin A C C A B +=， 又因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以sin sin cos sin C A A C =，又sin 0C ≠，即sin cos A A =，所以π4A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-和a =，得2240b c -=，即()()0b b +-=，解得bc=舍)，故答案为：【点睛】易错点睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事项： （1）注意隐含条件“A B C π++=”的使用；（2）利用正弦定理进行边角互化时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注意说明其不为0.16．在长方体1111ABCD A BC D -中，12AB CC ==，点Q 为线段1CD 上一点，且1C Q ⊥平面11ACD ，则三棱锥11Q ACC -的外接球体积为___________.【分析】由线面垂直、正方形、等腰三角形的性质，若E 是1CC 的中点知E 是△1QCC 的外心，取1BB 的中点F ，易得EF ⊥平面11DCC D ，即三棱锥11Q ACC -的外接球球心在的直线EF 上，利用外接球的半径与相关线段的几何关系，求出半径，即可得外接球体积.【详解】如图所示，∵1C Q ⊥平面11ACD ，1CD ⊂平面11ACD ， ∴11C Q CD ⊥，而四边形11CC D D 为正方形， ∴Q 为1CD 的中点，则△1QCC 是等腰直角三角形，设E 是1CC 的中点，则E 是△1QCC 的外心，取1BB 的中点F ，则//EF BC ， ∵BC ⊥平面11DCC D ，则EF ⊥平面11DCC D ，∴三棱锥11Q ACC -的外接球的球心O 在直线EF 上，又122AB CC BC ==，∴()22221215123A F FC =+=>=+=，即O 在EF 的延长线上， 设OF x =，则由1OA OC =，有((2222521x x +=++，解得22x =，故222222122OC ⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭∴外接球体积为342211223π⨯=⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：利用线面垂直及三棱锥底面为等腰直角三角形有E 是底面的外心，进而根据外接球球心与底面外接圆圆心的关系判断球心O 所在的直线，进而求出半径.三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且416S =，2215a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和n S ； （2）若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n T 满足48101n T ≥，求n 的最小值. 【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）10.【分析】（1）由等差数列定义代入条件，求得首项和公差，从而求得n a 和n S ；（2）()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，进而可以裂项求和，求得n T ，令48101n T ≥，解得满足条件的最小n 值. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知()()121114616,4,a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得11a =，2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-，()21212n n n S n +-==.（2）由（1）得，()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 令4821101n n ≥+，得485n ≥， 又*n ∈N ，所以n 的最小值为10.【点睛】关键点点睛：等差数列相乘的倒数这类数列的求和，如本题中()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，可以通过裂项求和的方法求得前n 项和.18．为了解国内不同年龄段的民众旅游消费基本情况，某旅游网站从其数据库中随机抽取了100条客户信息进行分析，这些客户一年的旅游消费金额如下表：（1）分别估计年轻人和中老年人的旅游消费的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(精确到0.01)；（2）把一年旅游消费金额满8千元的称为“高消费”，否则称为“低消费”.（i）从这些“低消费”客户中随机选一人，估计该客户是年轻人的概率；（ii）完成22⨯列联表，并判断能否有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.附临界值表：【答案】（1）年轻人旅游消费的平均数为：4.55(千元)，中老年人旅游消费的平均数为：6.43(千元)；（2）（i）715；（ii）列联表答案见解析，有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.【分析】（1）根据平均数公式，结合表中数据，计算即可得答案.（2）（i）求得样本中“低消费”总的客户数，再求得“低消费”的年轻人数，代入公式，即可得答案.（ii）根据题中数据，完成列联表，代入公式，即可求得2K值，查表即可得答案. 【详解】解：（1）由表格可知，年轻人旅游消费的平均数为：91097321357911 4.55404040404040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(千元).中老年人旅游消费的平均数为：5913131191357911 6.43606060606060⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈(千元).（2）（i）由表格可知，样本中“低消费”总客户数为10052075--=，其中“低消费”的年轻人有9109735+++=人.所以随机选一人该客户是年轻人的概率为357 7515=.（ii ）22⨯列联表如下：低消费 高消费 合计 年轻人(人) 35 5 40 中老年(人) 40 20 60 合计7525100因为()221002035540 5.556 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.19．如图所示，在多面体111ABC A B C -中，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14AA =，113BB CC ==，2AB BC ==，E ，F 分别为11AC ，AB的中点.（1）证明：//EF 平面11BCC B ； （2）求点A 到平面111A B C 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OE ，OF ，利用线面平行的判定定理证明//OF 平面11BCC B 及//OE 平面11BCC B ，再利用面面平面判定定理可证平面//OEF 平面11BCC B ，最后利用面面平行的性质定理即可得证//EF 平面11BCC B ；（2）由已知证明OB ⊥平面11AAC C ，即为1B 到平面11AAC 的距离，设点A 到平面111A B C 的距离为d ，由111111A A B C B AA C V V --=结合余弦定理、面积公式即可求解.【详解】解：（1）取AC 的中点O ，连接OE ，OF ，由题知，//OF BC ，BC ⊂平面11BCC B ，OF ⊂/平面11BCC B ， 所以//OF 平面11BCC B ，因为1//OE CC ，1CC ⊂平面11BCC B ，OE ⊂/平面11BCC B ， 所以//OE 平面11BCC B ， 又OE OF O ⋂=，所以平面//OEF 平面11BCC B ， 因为EF ⊂平面OEF ， 所以//EF 平面11BCC B .（2）连接OB ，由AB BC =，得OB AC ⊥， 因为1AA ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ， 所以1AA OB ⊥， 因为1AA AC A =，所以OB ⊥平面11AAC C ，作11C M AA ⊥，1ON C M ⊥，连接1B N .由1//NO BB ，1NO BB =，得四边形1BB NO 为平行四边形， 所以1//BO B N ，1B N ⊥平面11AAC C ，因为120ABC ∠=︒，2AB BC ==，所以由余弦定理得23AC = 连接1AC ，则1111143423132B AA C V -=⨯⨯⨯=， 由题意知115A B =1113AC =112B C =， 在111A B C △中，由余弦定理可得111cos 65B AC ∠=则111sin B AC ∠==111122A B C S ==△， 设点A 到平面111A B C 的距离为d ，则由111111A A B C B AA C V V --=，得123d ⨯⨯=，解得d =【点睛】思路点睛：（2）问中转换三棱锥的顶点，利用等体积法求点到面的距离是一种常见的思路.20．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点M 在第一象限且为抛物线C 上一点，点()5,0N 在点F 右侧，且△MNF 恰为等边三角形. （1）求C 的方程；（2）若直线l ：x ky m =+与C 交于A ，B 两点，120AOB ∠=︒(其中O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.【分析】（1）由中点公式及抛物线定义有524M p x =+、2M pMF x =+，根据等边三角形有NF MF =即可求p ，写出抛物线方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理求1212,y y y y +，进而可得12x x +、12x x ，由120AOB ∠=︒，利用向量夹角的坐标表示，列方程求参数范围即可.【详解】（1）由题意知：1552224M p p x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，52pNF =-， 由抛物线的定义知：2M pMF x =+，由NF MF =，得2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由24y xx ky m⎧=⎨=+⎩，得2440y ky m --=，216160k m ∆=+>，∴121244y y k y y m+=⎧⎨=-⎩，而()21212242x x k y y m k m +=++=+，222121244y y x x m =⋅=，又120AOB ∠=︒，即cos OA OB AOB OA OB⋅∠=⋅==212==-，∴240m m -<且()2224416816m m k m -=+++，∴220434048160m m m k <<⎧⎨-+=≥⎩，得403m <≤，即m 的取值范围为40,3⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】关键点点睛：第二问，设点坐标，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理并结合向量夹角的坐标表示，列关于m 的方程求参数范围.21．已知函数()2112xf x xe mx mx =++-. （1）当0m =时，求()f x 的极值； （2）当2m >-时，讨论()f x 的零点个数. 【答案】（1）极小值11e--，无极大值；（2）答案见解析. 【分析】（1）当0m =时，求得()()1xf x x e '=+，根据导数的符号求得函数的单调，进而求得函数的极值；（2）求得函数的导数()()()1xf x x e m '=++，（i ）当0m =时，单调()f x 仅有一个零点；（ii ）当0m >时，根据()()min 10f x f =-<和()10f >，得到以()f x 在()1,-+∞内有1个零点；再()x g x xe =，利用导数求得单调性，得到()()1g x g ≥-，进而化简函数，得到()21112f x mx mx e ≥-++-，得出()f x 在(),1-∞-内有1个零点，所以()f x 有两个零点；（iii ）当20m -<<时，求得()0f x '=的根据，分()ln 1m -<-、()ln 1m -=-和()ln 1m ->-三种情况讨论，结合单调性与极值，得到()f x 仅有1个零点，即可求解.【详解】（1）当0m =时，函数()1xf x xe =-，可得()()1xf x x e '=+，令()0f x '<，可得1x <-；令()0f x '>，可得1x >-，所以()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增， 当1x =-时，()f x 取得极小值11e--，无极大值. （2）由题得，()()()()11x xf x x e mx m x e m '=+++=++.（i ）当0m =时，()1xf x xe =-，当0x ≤时，()0f x <，又()f x 为()0,∞+上的增函数，且()1e 10f =->，所以()f x 仅有一个零点； （ii ）当0m >时，0x e m +>，当1x <-时，可得()0f x '<，()f x 为减函数； 当1x >-时，可得()0f x '>，()f x 为增函数，所以()()min 11102mf x f e =-=---<， 因为()3111022m f e m e m =++-=+->，所以()f x 在()1,-+∞内有1个零点. 令()xg x xe =，则()()1xg x x e '=+，所以()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，所以()()11g x g e ≥-=-，所以()221111122xf x xe mx mx mx mx e =++-≥-++-，因为0m >，所以当x 趋近于-∞时，2111e 2mx mx -++-的值趋近于+∞，所以()f x 在(),1-∞-内有1个零点，所以()f x 有两个零点： （iii ）当20m -<<时，由()0f x '=，得1x =-或()ln x m =-， ①若()ln 1m -<-，即10m e-<<， 则当()ln x m <-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()ln 1m x -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减： 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增. 而()()()()2ln ln 102m f m m -=--<，()33111022f e m e e =+->-->，此时，函数()f x 仅有一个零点. ②若()ln 1m -=-，即1m e=-. 则()0f x '≥，()f x 为R 上的增函数，因为()010f =-<，()31102f e m =+->，此时()f x 仅有一个零点. ③若()ln 1m ->-，即12m e-<<-，则当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1ln x m -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减： 当()ln x m >-时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因为12m e -<<-，则()11102m f e -=---<，()222410f e m =+->. 此时()f x 仅有1个零点.综上，当20m -<≤时，()f x 只有1个零点； 当0m >时，()f x 有两个零点.【点睛】利用函数的导数研究函数的零点问题的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin cos 1sin cos x y αααα=+⎧⎨=+-⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的直角坐标为()3,1-，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值.【答案】（1）()2212x y +-=，20x y +-=；（2【分析】（1）因为α为参数，则()()()22221sin cos sin cos x y αααα+-=++-，计算化简，即可得曲线C 的普通方程，由两角和的正弦公式展开得：sin cos 2ρθρθ+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入即可得直线l 的直角坐标方程.（2）由（1）可得直线l 的倾斜角，设出直线l 的参数方程，代入到曲线C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，根据韦达定理，可得12t t +，12t t 表达式，结合t 的几何意义，即可得答案. 【详解】解：（1）由曲线C 的参数方程，得()()()22221sin cos sin cos x y αααα+-=++-，因为()()22sin cos sin cos 2αααα++-=，所以曲线C 的普通方程为()2212x y +-=.由πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ+=. 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=.所以直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.（2）由（1）可得直线l 的斜率为-1，则倾斜角为34π， 设直线l的参数方程为312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )， 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得2110t -+=，0∆>， 设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .所以12t t +=1211t t =，则1t ，2t 同正.所以121212111111t t PA PB t t t t ++=+==. 【点睛】解题的关键是熟练掌握参数方程、极坐标方程化为普通方程的方法，并灵活应用，易错点为，应用t 的几何意义时，若出现12t t +时，需检验12,t t 是否同号，若120t t >，则1212t t t t +=+，若120t t <，则1212t t t t +=-=23．已知函数()722f x x x =+++. （1）求不等式()8f x ≥的解集；（2）已知()f x 的最小值为m ，且正实数a 、b 、c 满足a b c m ++=，证明：9≤.【答案】（1）(]1,3,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）分7<-x 、71x -≤<-、1x ≥-三种情况解不等式()722f x x x =+++，综合可得出原不等式的解集；（2）求得()min 6m f x ==，可得6a b c ++=，利用柯西不等式可证得原不等式成立. 【详解】（1）当7<-x 时，由()()()722398f x x x x =-+-+=--≥，得173x ≤-，所以7<-x ；当71x -≤<-时，由()()72272258f x x x x x x =+++=+-+=-+≥，解得3x ≤-，所以73x -≤≤-；当1x ≥-时，由()722398f x x x x =+++=+≥，得13x ≥-，所以13x ≥-. 故不等式()8f x ≥的解集为(]1,3,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）由（1）得，()39,75,7139,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=--≤<-⎨⎪+≥-⎩，当7<-x 时，()3912f x x =-->；当71x -≤<-时，()(]56,12f x x =-∈； 当1x ≥-时，()396f x x =+≥.所以当1x =-时，()min 6m f x ==，6a b c ++=. 因为6a b c ++=，所以41414127a b c +++++=. 由柯西不等式可得第 21 页 共 21 页 ()()()()2222414141111a b c ⎡⎤+++++⋅++≥⎣⎦.所以2273≤⨯，9，当且仅当a b c ==时等号成立.【点睛】方法点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．。

2021高考数学(新高考版)一轮复习考点考法精练：第九章 第三讲 椭 圆 Word版含解析

2021高考数学(新高考版)一轮复习考点考法精练：第九章 第三讲 椭 圆 Word版含解析

析姓名，年级：时间：析第三讲 椭 圆1。

[2020湖南岳阳入学调研考试］已知定点M (1,0)和椭圆x 29+y 23=1上两个动点P ，Q 满足MP ⊥MQ ，则MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时点P 的横坐标为 （ )A 。

12B 。

1 C.32 D.522。

［2020安徽省示范高中名校联考]已知椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1（a 〉b >0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点,｜F 1F 2｜=2√2，B 为短轴的一个端点,三角形BF 1O (O 为坐标原点）的面积为√7,则椭圆的长轴长为( ）A 。

4B 。

8C 。

1+√332D 。

1+√333。

［2020陕西省部分学校摸底检测]已知F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a 〉b >0）的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限的点,延长PF 2交椭圆于点Q ，若PF 1⊥PQ ,且|PF 1｜=|PQ |，则椭圆的离心率为( ）A.2—√2B.√3-√2C.√2-1D.√6−√34.［2020福建省三明市模拟］已知P 是椭圆x 225+y 29=1上一点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2面积为（ )A 。

3√3 B.2√3 C.√3 D.√335.［2019唐山市高三摸底考试］已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a 〉b >0)和双曲线E :x 2-y 2=1有相同的焦点F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线E 的离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2为 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形 C 。

钝角三角形 D 。

不能确定6.［2020洛阳市第一次联考]已知椭圆C 1：x 2a 12+y 2b12=1(a 1>b 1〉0）与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1（a 2>0,b 2>0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是曲线C 1与C 2的一个公共点,e 1，e 2分别是C 1和C 2的离心率,若PF 1⊥PF 2,则4e 12+e 22的最小值为 .7。

《创新设计》2021版高考数学(北师大版理科)一轮复习练习：第7章 不等式 第1讲 Word版含答案

《创新设计》2021版高考数学(北师大版理科)一轮复习练习：第7章 不等式 第1讲 Word版含答案

基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2022·贵阳检测)下列命题中，正确的是( ) A.若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B.若ac ＞bc ，则a ＞b C.若a c 2＜bc 2，则a ＜bD.若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c ＜0时，ac ＞bc ⇒a ＜b ，∴B 错误； C 项，∵a c 2＜bc 2，∴c ≠0，又c 2＞0，∴a ＜b ，C 正确； D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 答案 C2.若a ＜b ＜0，则下列不等式肯定成立的是( ) A.1a －b＞1bB.a 2＜ab C.|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1D.a n ＞b n解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)＜|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |＜|a ||b |＋|a |⇔|b |＜|a |， ∵a ＜b ＜0，∴|b |＜|a |成立，故选C. 答案 C3.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4} D.{a |0≤a ≤4} 解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4.答案 D4.(2022·江西重点中学盟校联考)已知a ＞0且a ≠1，则a b ＞1是(a －1)b ＞0的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 由a b＞1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＜0，所以(a －1)b ＞0；由(a －1)b ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，b ＜0，又a ＞0且a ≠1，所以a b ＞1.即a b ＞1是(a －1)b ＞0的充要条件. 答案 C5.(2022·皖南八校联考)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.[－2，5]解析 由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. 答案 A 二、填空题6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.解析 由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0.不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x .解得x >5或－5<x <0. 答案 (－5，0)∪(5，＋∞)7.(2021·宝鸡模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，458.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________.解析 二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]， 都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，依据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.由于方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅； 当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2， 即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，依据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0， 由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 力量提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2022·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32 解析 ∵x ∈(0，2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x，要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0，2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12，故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.答案 C12.(2021·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( ) A.(1，＋∞) B.(0，2)C.(1，3)D.(0，3)解析由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，1＋b a ＞c a ，1＋c a ＞b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得，0＜2×c a ＜4，∴ca 的取值范围为(0，2).故选B. 答案 B13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，由题知：Δ＝a 2＋8＞0， 所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞14.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3). (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1，3)， f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0， 得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 由于方程②有两个相等的实根， 所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0， 即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①， 得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。

2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题(word版含答案)

2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题(word版含答案)

2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题:(本大题共15小题,每小题的四个选项中，只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题4分，共50分）1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则A B=（ ） A{1} B.{2} C.{1，2} D.{-2，0，1，2}.2.函数5()log (1)f x x =-的定义域是（ ）A. (,1)(1,)-∞+∞B.[0,1)C.[1,)+∞D.(1,)+∞3函数f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ≤1－x ＋3，x>1，则f(f(4))＝( )A. 0B. -2C. 2D. 64.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（） A. B. C. D.5.的值为（ ）A. B. C. D. 6.已知直线l 过点（0，7），且与直线y=-4x+2平行，则直线l 的方程为（ ）A.y=-4x-7B.y=4x-7C.y=-4x+7D.y=4x+77.已知向量若，则实数x 的值为（ ）A.-2B.2C.-1D.1314151614cos 4sin ππ2122422),1,(),2,1(-==x b a b a ⊥8.已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) -4 -2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为 （ ）A.（1，2）B.（2，3）C.(3,4)D. (4,5)9.已知直线l ：y=x+1和圆C ：x 2+y 2=1,则直线l 和圆C 的位置关系为（ ）A.相交B.相切C.相离D.不能确定10.下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（ ）A. B.y=log 3x C. D.y=cosx11.．下列结论正确的是（ ）A ．平行于同一个平面的两条直线平行B ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D ．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行 12. 已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是( )A.27.5B. 28.5C. 27D. 2813. ）的最小值是（则若)2(),0,2(x x x +-∈A. 2-B. 23- C. 1- D. 21-14. 偶函数)(x f 在区间[]1,2--上单调递减，则函数)(x f 在区间[]2,1上( )A. 单调递增，且有最小值)1(fB. 单调递增，且有最大值)1(fC. 单调递减，且有最小值)2(fD. 单调递减，且有最大值)2(f∞x y )31(=x y 1=。

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