用尺规作三角形、用三角形全等测距离 (2)

北师大版七下数学4.5利用三角形全等测距离教案一. 教材分析本节课是北师大版七下数学的教学内容，主要讲述了利用三角形全等来测距离的方法。

通过本节课的学习，学生能够了解三角形全等的性质，并能运用全等三角形来解决实际问题，提高学生的实践操作能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质，能够理解全等三角形的概念，并会运用全等三角形来解决问题。

但部分学生在实际操作中，可能对测量工具的使用和测量方法不够熟悉，需要老师在课堂上进行引导和示范。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解三角形全等的性质，并能运用全等三角形来测距离。

2.过程与方法：学生通过实际操作，掌握利用全等三角形测距离的方法，提高实践操作能力。

3.情感态度价值观：学生能够体验数学与实际生活的联系，培养学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：学生能够理解三角形全等的性质，并能运用全等三角形来测距离。

2.教学难点：学生能够熟练运用全等三角形测距离的方法，解决实际问题。

五. 教学方法本节课采用问题驱动法、实践操作法和小组合作法进行教学。

通过设置问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣；通过实践操作，让学生亲身体验和理解全等三角形的性质；通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、量角器、测距仪等。

2.教学课件：制作相关的教学课件，以便于引导学生思考和展示实例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置问题情境，引导学生思考如何利用三角形全等来测距离。

例如，给出两个相似的三角形，让学生思考如何测量它们之间的距离。

2.呈现（10分钟）教师通过展示实例，讲解三角形全等的性质，并引导学生理解如何利用全等三角形来测距离。

同时，教师进行实际操作演示，让学生直观地感受和理解全等三角形的性质。

3.操练（10分钟）学生分组进行实践操作，运用全等三角形来测距离。

教师巡回指导，解答学生的问题，并给予适当的反馈。

4.4-4.5 用尺规作三角形利用三角形全等测距离一、单选题1．已知三边作三角形，所用到的知识是（）A．作一个角等于已知角B．在射线上截取一条线段等于已知线段C．平分一个已知角D．作一条直线的垂线【答案】B【解析】【分析】根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．解：根据三边做三角形用到的基本作图是：在射线上截取一线段等于已知线段，故选：B．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握做一条线段等于已知线段的作图方法．2．已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形时，第一步应（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知线段并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角【答案】D【解析】【分析】解析：已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形时，第一步作一条线段等于已知线段，再以线段的一个端点为顶点作一个角等于已知角，或先作一个角等于已知角，然后在角的两边截取线段等于已知线段，再连接两交点．答案：D题型解法：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．3．如图所示的是已知BACÐ的作图痕迹，则下列说法正确的是（）Ð，求作EDFA．因为边的长度对角的大小无影响，所以BC弧的半径长度可以任意选取B．因为边的长度对角的大小无影响，所以DE弧的半径长度可以任意选取C．因为边的长度对角的大小无影响，所以FE弧的半径长度可以任意选取D．以上三种说法都正确【答案】A【解析】【分析】根据作一角等于已知角的方法可得出边的长度对角的大小无影响，BC弧的半径长度可以任意选取进而得出答案．Q已知BACÐ的作图痕迹，Ð，求作EDF\边的长度对角的大小无影响， 得出BC 弧的半径长度可以任意选取 ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了基本作图，根据一角等于已知角的方法得出是解题的关键．4．已知AOB Ð，求作射线OC ，使OC 平分AOB Ð作法的合理顺序是（ ）①作射线OC ，②在OA 和OB 上分别截取OD ，OE ，使OD OE =，③分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，AOB Ð在内，两弧交于C ．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的作法排序即可得到答案．解：角平分线的作法是：在OA 和OB 上分别截取OD ，OE ，使OD OE =，分别以,D E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在AOB Ð内，两弧交于C ，作射线OC ，故其顺序为②③①．故选：C ．【点睛】本题考查尺规作图-角平分线，掌握角平分线的作图依据是解题的关键．5．下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）A ．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出【答案】B【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法解答．A．根据一个三角形的两角与一边，AAS或ASA，这个三角形一定可以作出；所以A选项不符合题意；B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，所以B选项符号题意；C．已知一个直角三角形的二条边，这个三角形一定可以作出；所以C选项不符合题意；D．已知一个三角形的三条边，这个三角形一定可以作出．所以D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．6．如图，将两根钢条AA¢，BB¢的中点O连在一起，使AA¢，BB¢可绕点O自由转动，就做成了一个测量△≌△的理由是（）工件，则A B¢¢的长等于内槽宽AB，那么判定OAB OA B¢¢A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．角角边【答案】A【解析】【分析】由已知有OA OA ,OB OB ¢¢==，且对顶角相等，则由SAS 可判断OAB OA B ¢¢△≌△，从而问题解决．由已知OA OA ,OB OB ¢¢==∵AOB A OB ¢¢Ð=Ð∴OAB OA B ¢¢△≌△(SAS )故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的几个判定方法是关键．7．如图，测河两岸A ，B 两点的距离时，先在AB 的垂线BF 上取C ，D 两点，使CD ＝BC ，再过点D 画出BF 的垂线DE ，当点A ，C ，E 在同一直线上时，可证明△EDC △≌△ABC ，从而得到ED ＝AB ，测得ED 的长就是A ，B 的距离，判定△EDC ≌△ABC 的依据是：（ ）A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS【答案】A【解析】【分析】由“ASA”可证△EDC≌△ABC．解：∵∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，∴△EDC≌△ABC（ASA），故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．8．如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA【答案】D【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．解：在△ABC 和△MBC 中ABC MBC BC BC ACB MCB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△MBC ≌△ABC （ASA ），故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．9．如图，已知长方形ABCD 的边长AB ＝20cm ，BC ＝16cm ，点E 在边AB 上，AE ＝6cm ，如果点P 从点B 出发在线段BC 上以2cm/s 的速度向点C 向运动，同时，点Q 在线段CD 上从点C 到点D 运动．则当时间t 为（ ）s 时，能够使V BPE 与V CQP 全等．A ．1B ．1或4C ．1或2D ．2或4【答案】B【解析】【分析】分两种情况：①当EB ＝PC 时，△BPE ≌△CQP ，②当BP ＝CP 时，△BEP ≌△CQP ，进而求出即可．解：分两种情况：①当EB ＝PC ，BP ＝QC 时，△BPE ≌△CQP ，∵AB ＝20cm ，AE ＝6cm，∴EB ＝14cm ，∴PC ＝14cm ，∵BC ＝16cm ，∴BP ＝2cm ，∵点P 从点B 出发在线段BC 上以2cm/s 的速度向点C 向运动，∴t ＝2÷2＝1 s ；②当BP ＝CP ，BE ＝QC 时，△BEP ≌△CQP ，由题意得：2t ＝16﹣2t ，解集得：t ＝4 s ，故选：B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于t 的方程是解题的关键．10．如图1，已知AB AC =，D 为BAC Ð的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB AC =，D 、E 为BAC Ð的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC Ð的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是（ ）．A ．nB ．21n -C ．(1)2n n +D ．3(1)n +【答案】C【解析】【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD与△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n 个图形中全等三角形的对数是()12n n +．故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．二、填空题11．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是__．【答案】SSS【解析】【分析】根据作一个角等于已知角的作法和步骤解答．在ODC D 和△O D C ¢¢¢中，OD O D OC O C DC D C =¢¢ìï=¢¢íï=¢¢î，ODC \D @△()O D C SSS ¢¢¢，故答案为：SSS ．【点睛】本题考查尺规作图的应用，熟练掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法和步骤是解题关键．12．用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是________ ．【答案】SAS【解析】【分析】隐含的条件是直角，是两直角边的夹角，即可得出作图的依据为SAS．解：：用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为SAS．【点睛】此题考查作图-复杂作图和直角三角形全等的判定，解题关键在于先画出两条已知线段确定一个直角13．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是___cm．【答案】80【解析】【分析】根据题意可得：OF=OG，OC=OD，利用已知条件判断出△OFC≌△OGD，得到CF=DG，即可求出答案.∵O是FG和CD的中点∴OF=OG，OC=OD在△OFC和△OGD中OF OG FOC GODOC OD =ìïÐ=Ðíï=î∴△OFC ≌△OGD （SAS ）∴CF=DG又DG=30cm∴CF=DG=30cm∴小明离地面的高度=支点到地面的高度+CF=50+30=80cm故答案为80【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法.14．如图所示，已知AOB Ð，求作射线OC ，使OC 平分AOB Ð，作法的合理顺序是__．（将①②③重新排列）①作射线OC ；②以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ；③分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在AOB Ð内，两弧交于点C ．【答案】②③①【解析】【分析】根据角平分线的作法求解．作法：（1）以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ；（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在AOB Ð内，两弧交于点C ，（3）作射线OC ，所以OC 就是所求作的AOB Ð的平分线．故题中的作法应重新排列为：②③①．故答案为：②③①．【点睛】本题考查尺规作图的应用，熟练掌握角平分线的作法是解题关键．15．已知线段a ，b ，c ，求作ABC D ，使BC a =，AC b =，AB c =，下面作法的合理顺序为______(填序号)①分别以B ，C 为圆心，c ，b 为半径作弧，两弧交于点A ；②作直线BP ，在BP 上截取BC a =；③连接AB ，AC ，ABC D 为所求作的三角形.【答案】②①③【解析】【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．作三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是：②作直线BP ，在BP 上截取BC=a ；①分别以B ，C 为圆心，c ，b 为半径作弧，两弧交于点A ；③连接AB ，AC ，△ABC 为所求作的三角形.所以合理的顺序为：②①③【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握作三角形，使三角形的三边等于已知边的方法是关键.16．如图，要测量水池宽AB ，可从点A 出发在地面上画一条线段AC ，使AC AB ^，再从点C 观测，在BA 的延长线上测得一点D ，使ACD ACB Ð=Ð，这时量得120m AD =，则水池宽AB 的长度是__m ．【答案】120【解析】【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．AC BD ^Q ，90CAD CAB \Ð=Ð=°，CA CA =Q ，ACD ACB Ð=Ð，()ACD ACB ASA \D @D ，120AB AD m \==，故答案为120．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．17．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块．【答案】2【解析】【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．【点睛】本题考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．18．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=_____米；【答案】20【解析】【分析】根据题目中的条件可证明△ACB ≌△DCE ，再根据全等三角形的性质可得AB=DE ，进而得到答案．∵点C 是AD 的中点，也是BE 的中点，∴AC=DC ，BC=EC ，∵在△ACB 和△DCE 中，AC DC ACB DCEBC EC =ìïÐ=Ðíï=î∴△ACB ≌△DCE （SAS ），∴DE=AB=20米，故答案为20米．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键掌握全等三角形的判定定理和性质定理．19．一个三角形的三边为2、7、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x+y ＝__．【答案】13【解析】【分析】由全等三角形对应边相等的性质，确定三边的对应关系，则问题可解．解：∵两个三角形全等，∴x ＝6，y ＝7，∴x+y ＝7+6＝13．故答案为：13【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解答关键是注意通过分类讨论确定三边的对应关系．20．如图，在ABC V 中，点A 的坐标为(0,1)，点B 的坐标为(0,4)，点C 的坐标为(4,3)，点D 在平面直角坐标系中且不与C 点重合，若ABD △与ABC V 全等，则点D 的坐标是_________．【答案】(4,2)或(4,2)-或(4,3)-【解析】【分析】利用对称的性质，当D 点与C 点关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等；当点D 与点C 关于AB 的垂直平分线对称时，△ABD 与△ABC 全等；点D 点与（4，2）关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，然后写出对应D 点坐标即可．解：当D 点与C 点关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为（-4，3）；当点D 与点C 关于AB 的垂直平分线对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为（4，2）；点D 点与（4，2）关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为（-4，2）；综上所述，D 点坐标为（-4，3），（4，2），（-4，2）．故答案为：（-4，3），（4，2），（-4，2）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．也考查了坐标与图形性质．三、解答题21．尺规作图：已知：如图，a Ð，线段b ，线段c ．求作：ABC V ，使得BAC a Ð=Ð，AB c =，AC b =．要求：不要求写出作法，保留作图痕迹．【答案】见解析【解析】【分析】根据作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，作出BAC a Ð=Ð，AB c =，AC b =，即可求解．解：第一步，作MAN a Ð=Ð，第二步，分别在AM 、AN 上作AB c =，AC b =．如图，ABC V 为所作．【点睛】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法是解题的关键．22．如图，已知△ABC ，求作△DEF ，使△DEF ≌△ABC ；要求写出作法，并保留作图痕迹．（使用直尺和圆规作图，作图痕迹如果是铅笔绘制的请用水芯笔涂描．）【答案】邮解析【解析】【分析】作射线EQ ，截取EF =BC ，分别以E 、F 为圆心．以AB 、AC 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接ED 、DF 即可．解：作法：①作射线EQ ，在射线EQ 上截取EF =BC ；②以E 为圆心．AB 的长为半径画弧；③以F 为圆心．AC 的长为半径画弧，两弧交于点D ；④连接DE ．DF ，如图所示，△DEF 即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，正确掌握作一三角形全等于已知三角形是解题关键．23．如图，ABC V 的三个顶点A ，B ，C 均在小方格的顶点上．请在图中画出符合条件的三角形，且三角形的顶点均在小方格的顶点上．（1）在图1中画BCD △，要求BCD △与ABC V 全等．（2）在图2中画BCE V ，要求BCE V 与ABC V 的面积相等但不全等．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）以BC 为公共边，结合“SSS ”所需条件作图即可；（2）要使得BCE V 与ABC V 的面积相等但不全等，可以在（1）的基础上，利用平行线间等面积变形作图．解：（1）如图所示，1D BC △、2D BC V 、3D BC V 均满足与ABC V 全等；（2）如图所示，根据平行线间等面积变形原理，在过A 点，且平行于BC 的直线上，除了（1）中能够使得全等点以外，均满足条件，再由对称得出在BC 下方的所有点，共有12个点，均满足条件．【点睛】本题考查全等三角形的作图，理解全等三角形的性质，掌握作全等三角形需满足的条件是解题关键．24．为在池塘两侧的A ，B 两处架桥，要想测量A ，B 两点的距离，如图所示，找一处看得见A ，B 的点P ，连接AP 并延长到D ，使PA =PD ，连接BP 并延长到C ，使BP=CP ．测得CD =35m ，就确定了AB 也是35m ，说明其中的理由；【答案】35 m【解析】分析：根据题中条件可以直接得到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是根据SAS可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．本题解析：∵PA=PD PC=PB又∠APB=∠CPD∴△APB≌△DPC，∴AB=CD=35 m．25．如图，小强为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C的视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测得楼顶A的视线PA与地面夹角∠APB＝54°，测得P到楼底距离PB与旗杆高度都为10米，测得旗杆与楼之间的距离DB＝36米，据此小强计算出了楼高，求楼高AB是多少米．【答案】26米【解析】【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB-PB求出即可.解：∵∠CPD ＝36°，∠APB ＝54°，∠CDP ＝∠ABP ＝90°，∴∠DCP ＝∠APB ＝54°，在△CPD 和△PAB 中，CDP PBA DC BP DCP BPA Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△CPD ≌△PAB(ASA)，∴PD ＝AB.∵DB ＝36米，PB ＝10米，∴AB ＝PD ＝36－10＝26(米).答：楼高AB 是26米．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD ≌△PAB 是解题关键.26．在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A 、B 两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）设DC =m ，则AB = m．【解析】【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等三角形全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达到目的．解：（1）见图：（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到C使BO=OC，连接AO并延长到点D使OD=AO，连接CD，则AB= CD．测量DC的长度即为AB的长度；（3）设DC=m∵BO=CO，∠AOB=∠COD，AO=DO∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD=m．【点睛】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与△QFC全等？请说明理由．【答案】点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等，理由见解析【解析】【分析】推出CP=CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC时，此时不存在，④当Q到A点，与A重合，P在BC上时，求出即可得出答案．解：设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等，∵△PEC与△QFC全等，∴斜边CP＝CQ，有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，∴6﹣t＝8﹣3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，∴t＝3.5；③P在BC上，Q在AC时，此时不存在；理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上；④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，∵CQ＝CP，CQ＝AC＝6，CP＝t﹣6，∴t﹣6＝6∴t＝12∵t＜14∴t＝12符合题意答：点P 运动1或3.5或12秒时，△PEC 与△QFC 全等．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．28．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：如图所示，ABC V 、111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C Ð=Ð．求证：111ABC A B C △≌△．证明：分别过点B ，1B 作BD CA ^于点D ，1111B D C A ^于点1D ．∴11190BDC B D C Ð=Ð=°．在BCD △和111B C D ÐV ，111111C C BDC BD C BC B C Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()111AAS BCD B C D V V ≌．11BD B D \=．____________________________________________________________．（请你将上述证明过程补充完整）（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ADB≌△A1D1B1，再根据AAS证明△ABC≌△A1B1C1，从而得出结论；（2）写出由（1）得出的结论即可．（1）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1．则∠BDC=∠B1D1C1=90°，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．补充：∵AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°．∴△ADB≌△A1D1B1（HL），∴∠A=∠A1，又∵∠C=∠C1，BC=B1C1，在△ABC与△A1B1C1中，1111A A C C BC B C ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝ ，∴△ABC ≌△A 1B 1C 1（AAS ）；（2）若ABC V 、111A B C △均为锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C Ð=Ð，则111ABC A B C △≌△．【点睛】考查了三角形全等的判定和性质，解题关键是灵活运用判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．29．如图,在△ABC 中,D 为AB 的中点,AD=5 cm,∠B=∠C,BC=8 cm.(1)若点P 在线段BC 上以3 cm/s 的速度从点B 向终点C 运动,同时点Q 在线段CA 上从点C 向终点A 运动.①若点Q 的速度与点P 的速度相等,经过1 s 后,请说明△BPD ≌△CQP.②若点Q 的速度与点P 的速度不等,当点Q 的速度为多少时,能使△BPD ≌△CPQ?(2)若点P 以3 cm/s 的速度从点B 向点C 运动,同时点Q 以5 cm/s 的速度从点C 向点A 运动,它们都依次沿△ABC 三边运动,则经过多长时间,点Q 第一次在△ABC 的哪条边上追上点P?【答案】（1）说明见解析；（2）当点Q 的运动速度为154cm/s 时,能使△BPD ≌△CPQ.（3）10s.【解析】试题分析：（1）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，再加上BP=CQ=3，PC=BD=5，则可判断△BPD 与△CQP全等；②设点Q 的运动速度为xcm/s ，则BP=3t ，CQ=xt ，CP=8-3t ，当△BPD ≌△CQP ，则BP=CQ ，CP=BD ；然后分别建立关于t 和v 的方程，再解方程即可；（2）设经过x 秒后，点Q 第一次追上点P ，由题意得5x-3x=2×10，解方程得到点P 运动的路程为3×10=30，得到此时点P 在BC 边上，于是得到结果．试题解析：（1）①∵BP=3×1=3，CQ=3×1=3，∴BP=CQ ，∵D 为AB 的中点，∴BD=AD=5，∵CP=BC-BP=5，∴BD=CP ，在△BPD 与△CQP 中，BD CP B C BP CQ ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△BPD ≌△CQP ；②设点Q 运动时间为t 秒，运动速度为vcm/s ，∵△BPD ≌CPQ ，∴BP=CP=4，CQ=5，∴t=433BP ＝，∴v=515443CQ t==；（2）设经过x 秒后，点Q 第一次追上点P ，由题意得5x-3x=2×10，解得：x=10，∴点P运动的路程为3×10=30，∵30=28+2，∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．。

第14讲尺规作三角形与三角形全等的应用知识点1 尺规作三角形已知三边作三角形；2.已知两边及其夹角作三角形；3.已知两角及其夹边作三角形；4.已知两角及其中一角的对边作三角形。

知识点2 全等三角形的应用1.利用全等三角形测距离；2.其他应用问题。

例1.尺规作图：已知：∠α，线段a, b 求作：△ABC，使∠A= , AB=a, AC=b。

（不写作法，保留痕迹，写出结论）例2.如图,已知∠α和∠β,线段c,用直尺和圆规作出△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB ＝c (要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写出作法)αβ c例3. 下列各作图题中，可直接用“边边边”条件作出三角形的是（）A. 已知腰和底边，求作等腰三角形B. 已知两条直角边，求作等腰三角形C. 已知高，求作等边三角形D. 已知腰长，求作等腰直角三角形例4.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以再AB的垂直线BF上取两点C，D．使BC=CD，再画出BF的垂直线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．它的理论依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS例5.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A.POB.PQC.MOD.MQ例6.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，则判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A.边边边B.角边角C.边角边D.角角边例7.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A.60°B.90°C.120°D.150°的OB边上，用尺规作出了CN OA，作图痕迹中，FG是例8.如图所示，点C在AOB（）．A. 以点C为圆心，OD为半径的弧B. 以点C为圆心，DM为半径的弧C. 以点E为圆心，OD为半径的弧D. 以点E为圆心，DM为半径的弧例9.如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧例10.已知∠AOC，请用尺规作图的方法作出该角的角平分线．例11.如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（）A.3B. 4C. 5D. 6例12.如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（）A.AD=BCB. ∠DAB=∠CBAC. △ACE≌△BDED. AC=CE 例13.如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为()A. 8 cmB. 9 cmC. 10 cmD. 11 cm例14.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D，BD=2，则△ABE的面积为________.例15.一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可例16.如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C、D，使CD=BC，再在过D的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，这时△ACB≌△ECD，DE=AB．测得DE的长就是A、B的距离，这里判断△ACB≌△ECD的理由是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS例17.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米例18.下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形。

第04章 4.4~4.6 用尺规作三角形利用三角形全等测距离-2019年七年级数学下册（北师版）本章主要介绍了如何使用尺规（直尺和圆规）作三角形，并且通过三角形全等来测距离的方法。

4.4 尺规作三角形在数学中，尺规作三角形是一种使用尺规工具（直尺和圆规）通过给定边长和角度来构造三角形的方法。

通过尺规作三角形，我们可以根据已知条件来构造一个与给定条件相符的三角形。

尺规作三角形的基本步骤如下：1.使用直尺在纸上画一条直线段 AB，作为第一条边。

2.在直线段 AB 的一个端点 A 上使用圆规，以设定的长度为半径，在纸上画一个圆弧 CD。

3.在直线段 AB 的另一个端点 B 上再次使用圆规，以设定的长度为半径，在纸上画一个圆弧 EF。

4.在点 C 和点 F 上使用直尺连线，得到一条直线段 CF，作为第二条边。

5.在点 C 和点 F 上使用圆规测得的长度为半径，在纸上画两个圆弧，相交于点 G。

6.使用直尺连接点 G 和点 D，再次使用圆规测得的长度为半径，在纸上画一个圆弧，与圆弧 CD 相交于点 H。

7.使用直尺连接点 B 和点 H，得到一条直线段 BH，作为第三条边。

8.连接点 C 和点 H，得到一条直线段 CH，构成所求的三角形 ABC。

通过尺规作三角形的方法，我们可以根据已知条件快速构造出一个与给定条件相符的三角形，这在解题中具有重要的应用。

4.5 三角形全等的概念在数学中，全等是指两个图形的形状和大小完全相同。

当两个三角形的对应的三条边和对应的三个角分别相等时，这两个三角形就是全等的。

利用三角形全等可以进行测距离的计算。

如果在一个三角形中已知两条边和这两条边夹角的大小，我们可以利用已知条件构造出一个全等的三角形，从而测量出第三条边的长度。

4.6 利用三角形全等测距离的方法在测距离的问题中，我们经常会使用三角形全等的性质来解决。

通过利用三角形全等的方法，我们可以根据已知的条件计算出所需的距离。

以测量高楼的高度为例，我们可以选择一个合适的位置，测量出与地面水平的两个点之间的距离，并测量出从地面到高楼顶部的角度。

北师大新版七年级下学期《4.5 利用三角形全等测距离》同步练习卷一．选择题（共1小题）1．某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带①②去C．带①②③去D．①②③④都带去二．填空题（共6小题）2．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第块去配．3．如图所示，要测量池塘AB宽度，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并各自延长，使PC＝P A，PD＝PB，连接CD，测得CD长为10m，则池塘宽AB为m．4．有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE ＝CB，连接DE，量出DE的长为50m，则锥形小山两端A、B的距离为m．5．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作DE⊥BD 交AC的延长线于点E，垂足为点D，测得ED＝3，CD＝4，则A、B两点间的距离等于．6．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，只要量出CD的长，就能求出工件内槽的宽，依据是．7．如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D．使BC ＝CD，过D作DE⊥BF，且A，C，E三点在一直线上．若测得DE＝30米，则AB＝米．三．解答题（共6小题）8．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．9．生活中处处有数学．（1）如图（1）所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的数学原理是；（2）如图（2）所示，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC 的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由．10．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE＝35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）．11．如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC＝35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？12．如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．13．小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）北师大新版七年级下学期《4.5 利用三角形全等测距离》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带①②去C．带①②③去D．①②③④都带去【分析】类似全等三角形的判定，只要带去的玻璃能够测量正五边形的内角的度数与正五边形的边长就可以，然后对各块玻璃进行分析即可得解．【解答】解：带①去，能够测量出此正五边形的内角的度数，以及边长，所以可以配一块完全一样的玻璃，带②③去，只能够测量出正五边形的内角的度数，不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃；带④去，既不能测量出正五边形的内角的度数，也不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃．所以最省事的方法是带①去．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的应用拓广，根据正五边形的定义每个角都相等，每条边都相等，所以只要知道一个角、一条边即可作出能够完全重合的正五边形．二．填空题（共6小题）2．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第2块去配．【分析】显然第2中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等．【解答】解：因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第2块．故答案为：2．【点评】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键．3．如图所示，要测量池塘AB宽度，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并各自延长，使PC＝P A，PD＝PB，连接CD，测得CD长为10m，则池塘宽AB为10m．【分析】这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等，利用对应边相等，得AB ＝CD．方案的操作性强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施．【解答】解：在△APB和△DPC中，∴△APB≌△DPC（SAS）；∴AB＝CD＝10米（全等三角形的对应边相等）．答：池塘两端的距离是10米．故答案为：10【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．4．有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE ＝CB，连接DE，量出DE的长为50m，则锥形小山两端A、B的距离为50m．【分析】利用“SAS”证明△ABC≌△EDC，然后根据全等三角形的性质得AB＝DE＝50m．【解答】解：在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴AB＝DE＝50．答：锥形小山两端A、B的距离为50m．故答案是：50．【点评】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．5．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作DE⊥BD 交AC的延长线于点E，垂足为点D，测得ED＝3，CD＝4，则A、B两点间的距离等于3．【分析】利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝DE．【解答】解：在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝DE＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟练掌握全等三角形的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键．6．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，只要量出CD的长，就能求出工件内槽的宽，依据是根据SAS证明△AOB≌△COD．【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边CD上．测量方案的操作性强．【解答】解：连接AB，CD，如图，∵点O分别是AC、BD的中点，∴OA＝OC，OB＝OD．在△AOB和△COD中，OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD，∴△AOB≌△COD（SAS）．∴CD＝AB．答：需要测量CD的长度，即为工件内槽宽AB．其依据是根据SAS证明△AOB≌△COD；故答案为：根据SAS证明△AOB≌△COD【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．7．如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D．使BC ＝CD，过D作DE⊥BF，且A，C，E三点在一直线上．若测得DE＝30米，则AB＝30米．【分析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑ASA证明三角形全等，从而推出线段相等．由“角边角”可说明△ABC≌△EDC，所以DE＝BA．【解答】解：∵DE⊥BF，AB⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝DE＝30．故答案为：30．【点评】本题主要考查了全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．三．解答题（共6小题）8．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．9．生活中处处有数学．（1）如图（1）所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的数学原理是三角形具有稳定性；（2）如图（2）所示，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC 的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由．【分析】（1）利用三角形的稳定性进而得出答案；（2）利用全等三角形的判定与性质进而填空得出即可．【解答】解：（1）如图1所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是：三角形的稳定性．故答案为：三角形具有稳定性；（2）合适，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵点M是BC的中点，∴MB＝MC，在△MEB与△MCF中，∴△MEB≌△MFC（SAS），∴ME＝MF，∴想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及线段的性质和三角形稳定性等知识，熟练掌握相关性质是解题关键．10．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE＝35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DC+CE＝BE+AD＝7a＝35，∴a＝5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．11．如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC＝35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？【分析】通过证明△AOB≌△COD，得出AB＝CD，即可可作出说明．【解答】解：∵在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA），∴AB＝CD＝20cm，即钻头正好从点B处打出．【点评】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是证明△AOB≌△COD，注意掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等．12．如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．【分析】首先连接EM、MF，再证明△BEM≌△CFM可得∠BME＝∠FMC，再根据∠BME+∠EMC＝180°，可得∠FMC+∠EMC＝180，进而得到三个小石凳在一条直线上．【解答】解：连接EM、MF，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵M为BC中点，∴BM＝MC．∴在△BEM和△CFM中，∴△BEM≌△CFM（SAS），∴∠BME＝∠FMC，∵∠BME+∠EMC＝180°，∴∠FMC+∠EMC＝180°，∴三个小石凳在一条直线上．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，证明△BEM≌△CFM，证明出∠FMC+∠EMC＝180°是解决问题的关键．13．小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）【分析】连接AB、CD，由条件可以证明△AOB≌△DOC，从而可以得出AB＝CD，故只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径．【解答】解：连接AB、CD，∵O为AD、BC的中点，∴AO＝DO，BO＝CO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC．∴AB＝CD．∴只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径．【点评】本题是一道关于全等三角形的运用试题，考查了全等三角形的判定与性质的运用，在解答时将生活中的实际问题转化为数学问题是解答的关键．。

5.7利用三角形全等测距离57 利用三角形全等测距离在我们的日常生活和实际工作中，常常会遇到需要测量一些难以直接到达的距离的情况。

这时候，三角形全等的知识就可以派上大用场啦！想象一下，你站在一片空旷的操场上，想要知道从你所在的位置到对面教学楼某个特定点的距离，但又不能直接走过去测量。

这该怎么办呢？其实，我们可以通过构建全等三角形来解决这个问题。

首先，让我们来了解一下什么是三角形全等。

三角形全等指的是两个三角形的形状和大小完全相同，对应的边和角都相等。

在数学中，我们有几种判定三角形全等的方法，比如“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）。

那么，如何利用三角形全等来测量距离呢？假设我们要测量一条河流的宽度。

我们可以在河流的一侧选择一个点 A，然后在对岸选择一个能够直接到达的点 C。

接着，从点 A 沿着与河岸垂直的方向走到另一点 B，使得 AB 的长度可以测量。

然后，连接点 C 和点 B，构成一个三角形 ABC。

接下来，在河流这一侧，另选一点 D，使得 BD ＝ AB，再沿着与刚才相同的方向，从点 D 走到点 E，使得 DE 的长度与 AC 的长度相等。

这样，三角形 DBE 就和三角形 ABC 全等了。

因为它们的三条边分别相等（AB ＝ BD，AC ＝ DE，BC 是两个三角形共有的边），根据“边边边”定理，这两个三角形全等。

所以，河流的宽度就等于AE 的长度，我们只需要测量出 AE 的长度，就知道了河流的宽度。

再比如，要测量一座山脚下到山顶的垂直距离。

我们可以在山脚下找一个合适的位置 A，然后沿着水平方向走一段距离到 B 点，使得 AB 的长度可以测量。

接着，在 B 点处竖起一根标杆，然后人后退，直到在 C 点处通过标杆顶端看到山顶 D 的顶点。

这时，人的眼睛所在的位置 C、标杆顶端 B 和山顶 D 构成一个三角形 BCD。

然后，在 A 点处同样竖起一根标杆，人再后退，直到在 E 点处通过A 点的标杆顶端看到B 点的标杆顶端，此时人的眼睛所在的位置 E、A 点的标杆顶端和 B 点的标杆顶端构成一个三角形 BAE。

尺规作图【知识点一】尺规作三角形：1．已知三角形的两边和夹角作三角形。

2．已知三角形的两角及夹边作三角形。

3．已知三角形的三边作三角形【典型例题】例1．已知三角形的两边和这两边的夹角作三角形例2．已知三角形的两个角和这两个角的夹边作三角形例3．已知三角形的三条边作三角形12【变式1-1】已知线段a ，c 和夹角a ，作直角三角形。

【变式1-2】已知：线段和，求作：，使．【知识点二】作与已知三角形全等的三角形例4．已知三角形ABC 求作全等三角形DEF【变式4-1】有一个不小心撒上一片墨水的三角形，请重新画一个三角形使它与原来的三角形完全相同b β∠ABC ∆,BC b B C β=∠=∠=∠3【知识点三】利用三角形全等测距离：当两点间的距离无法直接测量时，就可以想办法构造两个全等的三角形，利用三角形全等测出未知的距离．(1)利用三角形全等测距离，实际上仅是三角形全等在生活中应用的一个方面；(2)利用三角形全等解决实际问题的步骤：①先明确实际问题应用哪些知识来解决；①根据实际问题抽象出几何图形；①结合图形和题意分析已知条件，由“已知”想“可知”；①找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．例5．如图，A、B两点分别位于一个假山两边，小明想用绳子测量A，B的距离，但绳子不够长，于是想出一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC，并延长到点E，使AC=CE，连接BC并延长至点D，使BC=CD，连接DE，并测量DE的长度，则DE的距离就是AB的距离。

你能说明其中的道理吗？例6．如图，直线AC和直线DF，C、E分别在AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF。