八年级数学上册 第1章 全等三角形 1.3 探索三角形全等的条件 1.3.1 尺规作图导学案 苏科版

1.3 探索三角形全等的条件(4)预习目标1．经历探索三角形全等“角角边”条件的过程，体会通过操作、归纳获得数学结论的过程．2．掌握三角形全等的“角角边”条件，并能运用“角角边”判定两个三角形全等．3．能够进一步结合具体问题和情境进行有条理的思考和简单的推理证明．4．进一步学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化．教材导读1、练一练已知：△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF．2、提问：你有什么发现？阅读教材P19～P20内容，回答下列问题：三角形全等的条件——“角角边”两_______分别相等且其中一组_______的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“_______”）．符号语言：如上图在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'（已知），∠C＝∠C'（已知），AB＝A'B'（已知），∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）．热身练习1 ．如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，根据“ASA”,应补充一个直接条件___________；根据“AAS”，那么补充的条件为____________，才能使△ABC≌△DEF．2．如图，BE＝CD，∠1＝∠2，则AB＝AC吗？为什么？做一做1、已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'中BC和B'C'边上的高．求证：AD＝A'D'．变化一下怎么做？（1）已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'中∠A和∠A'的角平分线．求证：AD＝A'D'．（2）已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的BC和B'C'边上的中线．求证：AD＝A'D'．小结这节课你学到了什么？课后作业1．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则图中全等的三角形有_____________________．2．如图，∠BAC＝∠ABD，请你添加一个条件：_______，使OC＝OD(填一个即可)．3．如图，AD∥BC，∠A＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交射线AD与点E，连接BE，过点C作CF ⊥BE，垂足为F．求证：AB＝FC．4．如图，AC、BD互相平分于点O，过点O的直线分别交AB、CD于点E、F，那么OE 与OF相等吗？为什么？。

学习内容1.3.探索三角形全等的条件（1）总第课时新授课实施时间年月日学习目标经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理，。

重难点掌握三角形的“边边边”条件，了解三角形的稳定性，训练学生分析问题和解决问题的能力。

实施过程设计培养学生倾听主要环节教学内容教学策略活动时间教师活动学生活动设计三、精讲点拨这三个三角形不全等.那如果三角形的两个内角分别是30°和50°时,所画的三角形又如何呢?画的三角形形状一样,但大小不一样.如图.这两个三角形不能重合,即不全等.如果给定三角形的两边分别为4 cm,6 cm,那么所画出的三角形全等吗?也不全等.如图.我们通过画图、观察、比较知道,只给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.那给出三个条件时,又怎样呢?如果给出三个条件画三角形,你能说出有哪几种可能的情况?下面我们来逐一探索.做一做:(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°,60°,80°.你能画出这个三角形吗?把你画的三角形与同伴画的进行比较,它们一定全等吗?(2)已知一个三角形的三条边分别为4 cm,5 cm和7 cm,你能画出这个三角形吗?把你画的三角形与同伴画的进行比较,它们一定全等吗?通过比较得知:给出三角形的三个内角,得到的三角形不一定全等.那给出三角形的三条边又如何呢?下面我们来做一个实验.取三根长度适当的木条,用钉子钉成一个三角形的框架,你所得到的框架的形状固定吗?用四根木条钉成的框架的形状固定吗?做实验时,可用细纸条代替木条.实验后分组讨论.用三根木条钉成的三角形框架是固定的,用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.看屏幕(演示图).教师引导，点拨大家来议一议.学生讨论回答通过作图我们知道:已知三角形的三条边画三角形,则画出的所有三角形全等.这样就得到了三角形全等的条件:三边对应相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS”.四、反思拓展图(1)是用三根木条钉成的三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的.如:房屋的人字梁具有三角形的结构,它就坚固和稳定了.图(2)的形状是可以改变的,它不具有稳定性.例1如图，已知AB=AC，AD=AE，BDCE，那么△ABD与△ACE全等吗？△ABE与△ACD全等吗？请说明理由。

1.3 探索三角形全等的条件（HL）教学设计一、教学目标1.理解并能够运用三角形全等的条件之一：HL（Hypotenuse Leg）。

2.掌握使用HL判定三角形全等的方法。

3.通过练习和实际问题的解决，能够灵活运用HL条件解决相关问题。

二、教学内容1.三角形全等的条件之一：HL。

2.使用HL条件判定三角形全等的方法。

三、教学过程1. 导入与激发•通过提问或展示两个三角形，引导学生思考如何判断它们是否全等。

•引导学生思考并回顾之前学过的两个全等条件：SAS和ASA。

2. 概念讲解•讲解HL全等条件：当两个直角三角形的斜边和一个锐角（非直角角）的对边相等时，这两个三角形全等。

3. 理解与归纳•布置小组讨论任务：给出若干直角三角形，让学生观察它们之间的关系并尝试归纳HL全等条件。

•学生小组展示归纳结果，并与全班共同归纳HL全等条件。

4. 讲解与示范•结合归纳结果，讲解HL全等条件的具体运用方法。

•通过示例引导学生理解HL条件的具体运用步骤。

5. 练习与拓展•学生个人或小组完成若干练习题目，巩固HL条件的运用。

•提供一些拓展题目，鼓励学生运用HL条件解决实际问题。

6. 温故与总结•学生之间互相检查对方的练习答案，讨论并纠正错误。

•教师回顾本节课的重点内容，帮助学生归纳总结HL全等条件的判定方法。

四、教学评价•教师观察与记录学生在讨论和解答问题过程中的表现。

•检查学生完成的练习题目，评价其掌握程度和运用能力。

•参考学生的反馈和回答问题的准确性，评估教学效果。

五、教学拓展•鼓励学生尝试解决与HL条件相关的实际问题，并通过项目制等形式展示出来。

•引导学生思考其他全等条件的应用情境，与HL条件进行对比和综合运用。

六、板书设计#### 1.3 探索三角形全等的条件（HL）教学设计- 教学目标- 教学内容- 教学过程- 导入与激发- 概念讲解- 理解与归纳- 讲解与示范- 练习与拓展- 温故与总结- 教学评价- 教学拓展七、教学反思本节课通过引导学生观察、归纳和讨论，帮助他们理解和运用HL全等条件。

第1章全等三角形1.3探索三角形全等的条件课程标准课标解读1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．3．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.3．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.知识点01 全等形的判定1.全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.【微点拨】如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.【即学即练1】1．如图，为了测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，小颖在池塘外取AB的垂线BF 上两点C，D，使BC CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得ABC EDC△≌△，因此，测得DE的长就是AB的长．这里判定ABC EDC△≌△的依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【答案】A【分析】'A''A B'B'''A B C目标导航知识精讲根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【详解】解：因为证明在△ABC △△EDC 用到的条件是：BC =CD ，△ABC =△EDC =90°，△ACB =△ECD （对顶角相等）， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA 这一方法． 故选：A ．【即学即练2】2．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A ．一条直角边和斜边分别对应相等 B ．两条直角边分别对应相等 C ．一个锐角和一条斜边分别对应相等 D ．两个锐角分别对应相等 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. 可以利用边角边或HL 判定两三角形全等，不符合题意； B. 可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意； C. 可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．D. 两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意； 故选：D ．2. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）. 【微点拨】如果AB ＝ ，∠A ＝∠，AC ＝ ，则△ABC ≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.3. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 4.全等三角形判定3——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 【微点拨】''A B 'A ''A C '''A B C如果＝AB ，＝AC ，＝BC ，则△ABC ≌△. 5.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 【微点拨】由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 6.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.知识点02 判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理.【即学即练3】3．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，D 是AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，BE BC =，连接BD ，若8cm AC ，则AD DE +等于（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．10cm【答案】C 【分析】证明Rt△BCD△Rt△BED （HL ），由全等三角形的性质得出CD=DE ，则可得出答案． 【详解】解：DE AB ∵⊥，90DEB ∴∠=︒，在Rt BCD 和Rt BED △中，BD BDBE BC =⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)BCD BED ∴≅△△，CD DE ∴=，''A B ''A C ''B C '''A BCAD DE AD CD AC∴+=+=，8AC =cm，8AD DE AC∴+==cm．故选：C．【即学即练4】4．如图，△ACB＝90°，AC＝BC，AD△CE，BE△CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是（）A．2B．4C．D【答案】A【分析】根据条件可以得出△EBC=△DCA，进而得出△CEB△△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．【详解】解：△BE△CE，AD△CE，△△E=△ADC=90°，△△EBC+△BCE=90°．△△BCE+△ACD=90°，△△EBC=△DCA，在△CEB和△ADC中，E ADCEBC DCA BC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△CEB△△ADC（AAS），△BE=DC=1，CE=AD=3，△DE=EC-CD=3-1=2．故选：A．考法01 判断方法的选择已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典例1】如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC CD=，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，可以说明ABC EDC△≌△，得AB DE=，因此测得DE的长就是AB的长，判定ABC EDC△≌△，最恰当的理由是（）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA【答案】D【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【详解】解：因为证明在△ABC△△EDC用到的条件是：CD=BC，△ABC=△EDC=90°，△ACB=△ECD，能力拓展所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA 这一方法． 故选：D ．考法02 判断直角三角形全等的特殊方法---斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”【典例2】如图，AB DE =，A D ∠=∠，要说明ABC DEF △≌△，需添加的条件不能是（ ）A ．//AB DE B ．//AC DF C ．AC DE ⊥D ．AC DF =【答案】C 【分析】直接根据三角形证明全等的条件进行判断即可； 【详解】A 、△AB△DE ，△△ABC=△DEC ，△根据ASA 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；B 、△AC△DF ，△△DFE=△ACB ，△根据AAS 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；C 、AC△DE ，不符合三角形全等的证明条件，故此选项符合题意；D 、△AC=DF ，△根据SAS 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意； 故选：C ．题组A 基础过关练1．如图，MB ND =，MBA D ∠=∠，添加下列条件不能判定ABM CDN ≌的是（ ）分层提分A ．M N ∠=∠B ．AM CN =C ．AB CD = D ．AC BD =【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理可解. 【详解】A 选项：根据ASA 可以判定ABM CDN ≌，故A 错误；B 选项：根据SSA 不能判定ABM CDN ≌，故B 正确；C 选项：根据SAS 可以判定ABM CDN ≌，故C 错误；D 选项：根据AC BD =，可推AB CD =，所以根据SAS 可以判定ABM CDN ≌，故D 错误． 故答案选：B ．2．如图，在ABC 和ABD △中，已知AC AD =，BC BD =，则能说明ABC ABD △≌△的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HL【答案】C 【分析】由题意，结合AB=AB ，即可由SSS 判定ABC ABD △≌△ 【详解】解：在△ABC 和△ABD 中， △AC AD =，BC BD = 又△AB=AB△ABC ABD △≌△（SSS ）故选：C3．在△ABC 和△DEF 中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（ ） A ．AB ＝DE ，BC ＝DF ，△A ＝△D B ．AB ＝BC ，DE ＝EF ，△B ＝△E C ．AB ＝EF ，AC ＝DF ，△A ＝△D D ．BC ＝EF ，AC ＝DF ，△C ＝△F【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定条件“SAS”逐项判断即可． 【详解】A ．BC 边和EF 边是对应边，所以所给条件证明不出ABC DEF ≅．故A 不符合题意．B ．边AB 与BC 都在ABC 中，边DE 与EF 都在DEF 中，所给条件不是对应边相等，所以证明不出ABC DEF ≅，故B 不符合题意．C ．AB 边和DE 边是对应边，所以所给条件证明不出ABC DEF ≅，故C 不符合题意．D ．相邻两对应边分别相等且所夹的角相等，可以利用SAS 证明ABC DEF ≅，故D 符合题意． 故选：D ．4．如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上，可得△ABC △△EDC ，这时测得DE 的长就是AB 的长．判定△ABC △△EDC 最直接的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，再根据已知选择判断方法． 【详解】解：根据题意，△ABC=△EDC ，BC=CD ，△ACB=△ECD ， △能证明△ABC△△EDC 最直接的依据是ASA ． 故选：C ．5．如图，DC CA ⊥，EA AC ⊥，BC AE =，CD AB =，证明BCD EAB △≌△的理由是（ ）．A ．HLB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】B 【分析】根据SAS 可证明两个三角形全等． 【详解】因为DC CA ⊥，EA AC ⊥， 所以90BCD EAB ︒∠=∠=， 所以在BCD △与EAB 中，BC EA BCD EAB CD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 所以BCD EAB △≌△（SAS ）， 故选B ．6．下列说法正确的是（ ）A ．在ABC 中，若::1:2:3ABC ∠∠∠=，则ABC 是直角三角形 B ．每条边都相等的多边形是正多边形 C ．所有正方形都是全等图形D ．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等 【答案】A 【分析】直角三角形的判定、正多边形的定义及三角形判定分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 若::1:2:3A B C ∠∠∠=，设△A=a ，则△B=2a, △C=3a ．△ △A+△B+△C=180°, △a+2a+3a=180°△a=30°，3a=90°，△ABC 是直角三角形，说法正确； B. 各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故说法错误； C. 所有正方形不是全等图形，说法错误；D. 如果两个三角形有两边和两边的夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，故说法错误． 故答案为：A ．7．下列条件中，能利用“SAS ”判定△ABC △△A′B′C′的是 （ ） A ．AB=A′B′，AC=A′C′，△C=△C′ B ．AB=A′B′，△A=△A′，BC=B′C′ C ．AC=A′C′，△C=△C′，BC=B′C′ D ． AC=A′C′，△A=△A′，BC=B′C′ 【答案】C 【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断，并结合线段与角的位置关系准确分析即可． 【详解】解：A 、边边角不能证明两个三角形全等，故A 错误； B 、边边角不能证明两个三角形全等，故B 错误；C 、AC=A'C'，△C=△C'，BC=B'C'，符合ASA ，故C 正确；D 、边边角不能证明两个三角形全等，故D 错误． 故选：C ．题组B 能力提升练1．在ABC 和DEF 中，条件：△AB DE =；△BC EF =；△AC DF =；△A D ∠=∠；△B E ∠=∠；△C F ∠=∠；则下列各组给出的条件不能保证ABC DEF △≌△的是（ ） A ．△△△ B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法 对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A 、△△△可以利用“SSS”证明△ABC△△DEF ，故本选项不符合； B 、△△△可以利用“SAS”证明△ABC△△DEF ，故本选项不符合； C 、△△△可以利用“AAS”证明△ABC△△DEF ，故本选项不符合； D 、△△△符合“SSA”，不能证明△ABC△△DEF ，故本选项符合． 故选：D ．2．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的中线分别对应相等，那么这两个三角形第三条边所对的角的关系是（ ） A ．相等 B ．互余C ．互补D ．以上答案都不正确【答案】A 【分析】如图，在ABC 和DEF 中，AG ，DH 分别是两个三角形的中线，AB DE =，BC EF =，AG DH =，则B E ∠=∠．根据SSS 证明ABG DEH ≅即可． 【详解】解：如图，在ABC 和DEF 中，AG ，DH 分别是两个三角形的中线，AB DE =，BC EF =，AG DH =，则B E ∠=∠．理由：在ABC 和DEF 中，AG ，DH 分别是两个三角形的中线，12BG BC ∴=，12EH EF =，BC EF =，BG EH ∴=，AB DE =，AG DH =，△ABG DEH ≅（SSS ），B E ∴∠=∠，∴这两个三角形的第三条边所对的角的关系是相等，故选A ．3．以下命题是假命题的是（ ） A ．两个全等三角形的三条边对应相等B ．三条边对应相等的两个三角形全等C ．两个全等三角形的面积相等D ．面积相等的两个三角形全等【答案】D 【分析】根据假命题的定义，再根据全等三角形的判定方法及性质逐个选项进行判断即可得出结果． 【详解】A 、两个全等三角形的三条边对应相等，是真命题，不符合题意；B 、三条边对应相等的两个三角形全等，是真命题，不符合题意；C 、两个全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意；D 、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，符合题意． 故选：D ．4．下列判断中错误．．的是（ ） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【分析】根据三角形全等判定的条件逐一判断即可． 【详解】解：A 、有两角和一边对应相等的两个三角形全等（AAS 或ASA ），故正确；B 、有两边和一角对应相等的两个三角形全等，可能为（SSA ）或者（SAS ），其中只有（SAS ）能够作为三角形全等的判定条件，故错误；C 、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等：对应两边与中线所构成的三角形全等（SSS ），可证得对应两边的夹角相等，再根据（SAS ）可证得两个三角形全等，故正确；D 、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（SAS ），故正确； 故选：B ．5．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC CB =，D 为CB 延长线上一点，AE AD =，且AE AD ⊥，BE 与AC 的延长线交于点P ，若3AC PC =，则DBBC=__________．【答案】23【分析】作EM AP ⊥于M ，根据全等三角形性质得出CP =PM ，DC =AM ，设PC =PM =x ，AC =BC =3x ，AM =DC =5x ，求出BD =2x ，即可求出答案． 【详解】解：作EM AP ⊥于M ，90ACB ∠=︒，M ACD ∴∠=∠，AD AE ⊥，90DAE ∴∠=︒，90EAM AEM ∴∠+∠=︒，90EAM DAC ∠+∠=︒， DAC AEM ∴∠=∠，在ADC 和EAM △中，DAC AEMACD MAD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADC EAM AAS ∴≅△△，AC EM ∴=，AC BC =，BC EM ∴=， 90ACB ∠=︒，BCP M ∴∠=∠，在BCP 和EMP 中BCP M BPC EPM BC EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCP EMP AAS ∴≅△△，BCP EMP ≅△△，ADC EAM ≅△△， CP PM ∴=，AMDC =，设PC PM x ==，3AC BC x ==，5AM DC x ==，2BD x ∴=，∴23DB BC =， 故答案为：23．6．如图，在四边形ABCD 中，,90,AB BC ABC CDA BE AD ︒=∠=∠=⊥于,10ABCD E S =四边形，则BE 的长为__________【分析】过点B 作BF CD ⊥ 交DC 的延长线交于点F ，证明AEB △()CFB AAS 推出BE BF =，ABEBFC S S =，可得BEDF ABCD S S 12==正方形四边形，由此即可解决问题； 【详解】解：过点B 作BF CD ⊥交DC 的延长线交于点F ，如右图所示， △BF CD ⊥，⊥BE ADBFC BEA 90∠∠∴==ABC ADC 90∠∠==ABE EBC 90∠∠∴+= ，EBC CBF 90∠∠+=ABE CBF ∠∠∴= AB CB =△AEB △()CFB AASBE BF ∴=，ABEBFC SS =BEDF ABCD S S 10∴==正方形四边形，BE BF 10∴⨯=，即2BE 10=，BE ∴=．7．如图，AC=BC ，△ACD=90°，AE 平分△BAC ，BF△AE ，交AC 的延长线于F ，且垂足为E ，则下列结论：△AD=BF ；△BF=AF ；△AB=BF ；△AC+CD=AB ；△AD=2BE ．其中正确的结论有________．【答案】△、△、△ 【分析】利用ASA 证明△ADC△△BFC 判断△正确；由AF>AD ，推出BF ≠AF 判断△错误；利用角平分线的性质及垂直的定义证明△AEB△△AEF ，得到AB=AF ，BE=FE ，即可判断△错误；根据△ADC△△BFC 推出CF=CD ，由AF=CF+AC 判断△正确；由AD=BF ，BF=2BE ，判断△正确. 【详解】 △BF△AE ，△△AEF=△BCF=△ACD=90°,△△F+△FAE=90°，△F+△FBC=90°，△△FAE=△FBC，又△AC=BC，△△ADC△△BFC，△AD=BF，故△正确；△AF>AD，△BF≠AF，故△错误；△AE平分△BAC，△△BAE=△FAE，△AE△BF，△△AEB=△AEF=90°，△AE=AE，△△AEB△△AEF，△AB=AF，BE=FE，△BF≠AF，△BF≠AB，故△错误；△△ADC△△BFC，△CF=CD，△AF=CF+AC，△AB=CD+AC，故△正确；△AD=BF，BF=2BE，△AD=2BE，故△正确；故答案为：△、△、△.题组C 培优拔尖练1．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE△△CBE．现给出如下五个条件：△△A=△C;△△B=△D;△AE=CE;△BE=DE;△AD=CB．其中符合要求有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】延长DA、BC使它们相较于点F ，首先根据AAS证明△FAB△△FCD，然后根据全等三角形的性质即可得到AF=FC，FD=FB，进而得到AD=BC，即可证明△ADE△△CBE，可判断△、△的正误；根据SAS证明△ADE△△CBE，即判断△、△的正误；连接BD，根据SSS证明△ADB△△CBD，根据全等三角形的性质得到△A=△C，结合△即可证明△．【详解】延长DA、BC使它们相较于点F△△DAB=△DCB，△AED=△BEC△△B=△D又△△F=△F，AB=CD△△FAB△△FCD△AF=FC，FD=FB△AD=BC△△ADE△△CBE，即△正确；同理即可证明△正确；△AE=CE，AB=CD△DE=BE 又△△AED=△BEC △△ADE△△CBE ，△正确； 同理即可证明△正确； 连接BD ，△AD=CB ，AB=CD ，BD=BD △△ADB△△CBD △△DAB=△BCD△△ADE△△CBE ，△正确； 故选D ．2．如图，已知120AOB ∠=︒，在AOB ∠的平分线OM 上有一点C ，将一个60°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA ，OB 相交于点D ，E ．下列结论：（1）CD CE =；（2）OE OD OC +=；（3）OE OD OC -=；（4）OC a =，OD b =，则=-OE a b ；其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】过C 点作CN OB ⊥于N 点，CF OA ⊥于F 点，根据AOB ∠的平分线OM 上有一点C ，得60AOC BOC ∠=∠=︒，CF CN =，从而得12ON OC =，12OF OC =，36060∠=︒-∠-∠-∠=︒FCN AOB CFO CNO ；当D ，E 在射线OA ，OB 上时，通过证明≌CFD CNE △△，得OE OD OC +=；当D ，E 在直线OA ，射线OB 上时，通过≌CFD CNE △△，得OE OD OC -=；当D ，E 在直线OA 、OB 上时，得OD OE OC -=，即可完成求解． 【详解】过C 点作CN OB ⊥于N 点，CF OA ⊥于F 点△OC 平分AOB ∠ 又△120AOB ∠=︒△60AOC BOC ∠=∠=︒，CF CN =， △30∠=∠=︒OCF OCN △12ON OC =，12OF OC =，36060∠=︒-∠-∠-∠=︒FCN AOB CFO CNO△当D ，E 在射线OA ，OB 上时60∠=∠=︒FCN DCE△∠=∠FCD ECN△CF CN =，90∠=∠=︒CFD CNE △≌CFD CNE △△ △CD CE =，=FD NE△+=++=++=+=OE OD ON NE OD ON DF OD ON OF OC ． △如图，当D ，E 在直线OA ，射线OB 上时≌CFD CNE △△=+=+=++=+OE ON NE ON DF ON OF OD OC OD△OE OD OC -=；△如图，当D，E在直线OA、OB上时△△≌CFD CNE-=△OD OE OC综上：△△△错误；故选：A．3．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE 相交于点H，则下列结论：△△ACD△△BCE；△△AFB=60°；△BF=AH；△△ECF△△DCG；△连CG，则△BGC=△DGC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】运用等边三角形的性质和角的和差可得出条件，△△ACD△△BCE；由△ACB=60°，可得△AFB=△ACB+△FBC ＞60°，可知△错误；由△ACD△△BCE可得出△CBF=△CAH，以及由题意得BC=AC,但找不到其他条件是，不能证明△BCF△△ACH；在△BCF和△DCG中△CEG=△CDG，缺少其他条件,说明△错误；作CJ△BE,CK△AD，由△BCE△△ACD，可得△BGC=△DGC.【详解】解：△ △ABC与△CDE都是等边三角形△△BCA=△DCE=60°△△BCA+△ACE=△ACE+△DCE，△△BCE=△ACD，在△BCE和△ACD中BC=AC，△BCE=△ACD，CE=CD△△ACD△△BCE（SAS），△正确；△△ACB=60°，△△AFB=△ACB+△FBC＞60°，可知△错误；△△ACD△△BCE△△CBF=△CAH；在△BCF和△ACH中△CBF=△CAH，BC=AC，缺少其他条件故△错误；△△ACD△△BCE△△CEG=△CDG；在△BCF和△DCG中△△CEG=△CDG，缺少其他条件,故△错误；作CJ△BE,CK△AD，△△BCE△△ACD，△CJ=CK，△GC平分△BGD，△△BGC=△DGC，故△正确；故选B.4．如图1，已知AB=AC，D为△BAC 的平分线上一点，连接BD、CD；如图2，已知AB= AC，D、E 为△BAC的平分线上两点，连接BD、CD、BE、CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为△BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次规律，第n个图形中全等三角形的对数是（）A．n B．2n-1C．()12n n+D．3（n+1）【答案】C【分析】根据条件可得图1中△ABD△△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD△△ACD，△BDE△△CDE，△ABE△△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．【详解】解：△AD是△BAC的平分线，△△BAD=△CAD．在△ABD与△ACD中，AB=AC，△BAD=△CAD，AD=AD，△△ABD△△ACD．△图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE△△ACE，△BE=EC，△△ABD△△ACD．△BD=CD，又DE=DE，△△BDE△△CDE，△图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是(1)2n n．故选：C．5．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：△AD=BE；△PQ△AE；△AP=DQ；△DE=DP；△△AOB=60°．其中一定成立的结论有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】△由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，△ACB=△DCE=60°，从而证出△ACD△△BCE，可推知AD=BE；△由△ACD△△BCE得△CBE=△DAC，加之△ACB=△DCE=60°，AC=BC，得到△ACP△△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故△正确；△根据△△CQB△△CPA（ASA），再根据△PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由△PQC=△DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知△正确；△根据△DQE=△ECQ+△CEQ=60°+△CEQ，△CDE=60°，可知△DQE≠△CDE，可知△错误；△利用等边三角形的性质，BC△DE，再根据平行线的性质得到△CBE=△DEO，于是△AOB=△DAC+△BEC=△BEC+△DEO=△DEC=60°，可知△正确．【详解】△△等边△ABC和等边△DCE，△BC=AC,DE=DC=CE，△DEC=△BCA=△DCE=60△，△△ACD=△BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，△ACD=△BCE，DC=CE，△△ACD△△BCE(SAS)，△AD=BE；故△正确；△△△ACD△△BCE(已证)，△△CAD=△CBE，△△ACB=△ECD=60°(已证)，△△BCQ=180°-60°×2=60°，△△ACB=△BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，△CAD=△CBE，AC=BC，△ACB=△BCQ=60°，△△ACP△△BCQ(ASA)，△AP=BQ；故△正确；△△△ACP△△BCQ，△PC=QC，△△PCQ是等边三角形，△△CPQ=60△，△△ACB=△CPQ，△PQ△AE；故△正确；△△AD=BE，AP=BQ，△AD−AP=BE−BQ，即DP=QE，△DQE=△ECQ+△CEQ=60°+△CEQ，△CDE=60°，△△DQE≠△CDE，△DE≠QE ，则DP≠DE ，故△错误；△△△ACB=△DCE=60°，△△BCD=60°，△等边△DCE ，△EDC=60°=△BCD ，△BC△DE ，△△CBE=△DEO ，△△AOB=△DAC+△BEC=△BEC+△DEO=△DEC=60°.故△正确；综上所述，正确的结论有：△△△△，错误的结论只有△，故选D ．6．如图，D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =，过D 作DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥交BA 的延长线于F ，则下列结论：△△△CDE BDF ≅，△CE AB AE =+，△BDC BAC ∠=∠，△DAF CBD ∠=∠，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE ＝DF ，再利用“HL”可证明Rt△CDE 和Rt△BDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE ＝AF ，利用“HL”证明Rt△ADE 和Rt△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE ＝AF ，然后求出CE ＝AB ＋AE ；根据全等三角形对应角相等可得△DBF ＝△DCE ，根据三角形内角和是180°和△AOB=△COD （设AC 交BD 于点O ），得到△BDC ＝△BAC ；根据三角形内角和是180°易得△DAE ＝△CBD ，再根据角平分线可得△DAE ＝△DAF ，然后求出△DAF ＝△CBD ．【详解】△AD 平分△CAF ，DE△AC ，DF△AB△DE ＝DF在Rt△CDE 和Rt△BDF 中BD CD DE DF ⎧⎨⎩＝＝ △Rt△CDE△Rt△BDF （HL ），故△正确；△CE ＝AF在Rt△ADE 和Rt△ADF 中AD AD DE DF ＝＝⎧⎨⎩△Rt△ADE△Rt△ADF （HL ）△AE ＝AF△CE ＝AB ＋AF ＝AB ＋AE ，故△正确；△Rt△CDE△Rt△BDF△△DBF ＝△DCE△△AOB=△COD （设AC 交BD 于点O ）△△BDC ＝△BAC ，故△正确；△△BAC+△ABC+△ACB=180°△BDC+△DBC+△DCB=180°△DBF ＝△DCE△△DAE ＝△CBD ，△△DAE ＝△DAF ，△△DAF ＝△CBD ，故△正确；综上所述，正确的结论有△△△△.故选D7．如图，在△ABC 中，△BAC 和△ABC 的平分线AE ，BF 相交于点O ，AE 交BC 于E ，BF 交AC 于F ，过点O作OD△BC于D，下列四个结论：△△AOB＝90°+12△C；△当△C＝60°时，AF+BE＝AB；△若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（）A．△△B．△△C．△△△D．△△【答案】C【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解△AOB与△C的关系，进而判定△；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO△△EBO，得到△BOH＝△BOE＝60°，再证得△HBO△△EBO，得到AF＝AH，进而判定△正确；作OH△AC于H，OM△AB于M，根据三角形的面积可证得△正确．【详解】解：△△BAC和△ABC的平分线相交于点O，△△OBA＝12△CBA，△OAB＝12△CAB，△△AOB＝180°﹣△OBA﹣△OAB＝180°﹣12△CBA﹣12△CAB＝180°﹣12（180°﹣△C）＝90°+12△C，△正确；△△C＝60°，△△BAC+△ABC＝120°，△AE，BF分别是△BAC与ABC的平分线，△△OAB+△OBA＝12（△BAC+△ABC）＝60°，△△AOB＝120°，△△AOF＝60°，△△BOE＝60°，如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，△BF是△ABC的角平分线，△△HBO＝△EBO，在△HBO 和△EBO 中，BH BE HBO EBO BO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△HBO △△EBO （SAS ），△△BOH ＝△BOE ＝60°，△△AOH ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，△△AOH ＝△AOF ，在△HBO 和△EBO 中，HAO FAO AO AO AOH AOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△HBO △△EBO （ASA ），△AF ＝AH ，△AB ＝BH +AH ＝BE +AF ，故△正确； 作OH △AC 于H ，OM △AB 于M ，△△BAC 和△ABC 的平分线相交于点O ， △点O 在△C 的平分线上，△OH ＝OM ＝OD ＝a ，△AB +AC +BC ＝2b△S △ABC ＝12×AB ×OM +12×AC ×OH +12×BC ×OD ＝12（AB +AC +BC ）•a ＝ab ，△正确． 故选：C ．。

八年级上册数学凤凰版目录八年级上册第1章全等三角形1.1全等图形1.2全等三角形1.3探索三角形全等的条件第2章轴对称图形2.1轴对称与轴对称图形2.2轴对称的性质2.3设计轴对称图案2.4线段、角的轴对称性2.5等腰三角形的轴对称性第3章勾股定理3.1勾股定理3.2勾股定理的逆定理3.3勾股定理的简单应用第4章实数4.1平方根4.2立方根4.3实数4.4近似数第5章平面直接坐标系5.1物体位置的确定5.2平面直角坐标系第6章一次函数6.1函数6.2一次函数6.3一次函数的图像6.4用一次函数解决问题6.5一次函数与二元一次方程6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式八年级下第7章数据的收集、整理、描述7.1普查与抽样调查7.2统计表、统计图的选用7.3频数和频率7.4频数分布表和频数分布直方图第8章认识概率8.1确定事件与随机事件8.2可能性的大小8.3频率与概率第9章中心对称图形——平行四边形9.1图形的旋转9.2中心对称与中心对称图形9.3平行四边形9.4矩形、菱形、正方形9.5三角形的中位线第10章分式10.1分式10.2分式的基本性质10.3分式的加减10.4分式的乘除10.5分式方程第11章反比例函数11.1反比例函数11.2反比例函数的图像与性质11.3用反比例函数解决问题第12章二次根式12.1二次根式12.2二次根式的乘除12.3二次根式的加减。