完整版本高中数学解三角形方法大全.doc

解三角形的技巧与方法归纳三角形是几何学中一个非常重要的图形，研究三角形的性质和解三角形的方法对于拓展数学应用和解决实际问题都有着重要的意义。

下面是关于解三角形的一些常用技巧和方法的归纳。

一、根据已知边长和角度解三角形1. 正弦定理：如果三角形的边长和夹角都已知，可以使用正弦定理来解三角形。

正弦定理可以表示为： a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示三角形的角度。

2. 余弦定理：如果三角形的两边和夹角或三边之间的关系已知，可以使用余弦定理来解三角形。

余弦定理可以表示为：c² = a² + b² -2abcosC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示三角形的角度。

二、根据已知边长解直角三角形1.求斜边：如果已知一个直角三角形的两个直角边，可利用勾股定理求出斜边的长度。

勾股定理可以表示为：c²=a²+b²，其中a、b分别表示直角三角形的两个直角边，c表示斜边的长度。

2.求直角边：如果已知一个直角三角形的斜边和一个直角边，可利用勾股定理求出另一个直角边的长度。

勾股定理可以表示为：a²=c²-b²或b²=c²-a²，其中a、b分别表示直角三角形的直角边，c表示斜边的长度。

三、利用特殊角度解三角形1.30-60-90三角形：当一个三角形的角度为30度、60度和90度时，称为30-60-90三角形。

在30-60-90三角形中，斜边的长度是短边的两倍，短边的长度是斜边的一半。

2.45-45-90三角形：当一个三角形的两个角度都为45度时，称为45-45-90三角形。

在45-45-90三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度是直角边的根号2倍。

四、利用相似三角形解三角形1.比较边长比例：如果两个三角形的相应边长比例相等，那么这两个三角形是相似的。

解三角形的各种方法与注意事项在几何学中，三角形是一个有着很多有趣性质的形状。

在解决三角形的问题时，我们需要了解不同的解法和注意事项，以便确保我们的解答是正确的。

本文将介绍解三角形的各种方法和注意事项。

第一种方法：正弦定理正弦定理是解三角形问题中经常使用的方法之一。

它是指在任何三角形ABC中，一条边的长度与其对应角的正弦值成比例。

公式如下： sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c在这个公式中，a、b和c是三角形的边长，A、B和C则是三角形对应的角度。

如果我们已知三角形中两个角的度数和一条边的长度，我们可以使用正弦定理来计算另外两条边的长度。

第二种方法：余弦定理余弦定理也是解决三角形问题的有效方法之一。

它指出，在任何三角形ABC中，一条边的长度和与之相邻的两个角的余弦值成反比例。

公式如下：c² = a² + b² - 2ab cos(C)根据这个公式，如果我们知道了三角形中的三条边中的两条边和这两条边之间所形成的角度，我们就可以计算第三条边的长度。

第三种方法：海伦公式海伦公式是解决三角形问题中的另一个重要工具。

它可以用来计算任何三角形的面积。

它指出，在任何三角形ABC中，如果知道了三条边的长度，可以使用以下公式来计算三角形的面积：S = √s(s-a)(s-b)(s-c)其中，S是三角形的面积，a，b和c是三角形的边长，s是周长一半（也就是三条边的和除以2）。

注意事项解决三角形问题时，我们还需要注意一些细节。

首先，我们需要确保我们选取的角是正确的。

如果我们错误地选择了一个不是对应角度的角，我们得到的结果可能是错误的。

其次，我们需要注意在使用正弦定理，余弦定理和海伦公式时单位的一致性。

我们不能同时使用英寸和厘米或者度和弧度，必须确保我们在使用相同的单位。

最后，我们需要在计算时注意精度。

如果我们使用了不够精确的坐标，我们可能会得到不准确的答案。

333绵阳市开元中学高 2014 级高三一轮复习③ tan (A + B )= - tan C ；④sinA + BC = cos , ⑤cosA +B = sinC 《解三角形》知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角2 22 2 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）1. 正弦定理及其变形在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）asin A = b sin B = c sin C= 2R (R 为三角形外接圆半径） 变式：（1） a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C (边化角公式）（2）sin A = a ,sin B =2Rb , sin C =c 2R 2R (角化边公式） （2） 方位角（3）a : b : c = sin A : sin B : sin C(4) a = sin A , a = sin A , b =sin B b sin B c sin C c sin C2. 正弦定理适用情况： （1） 已知两角及任一边；（2） 已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3. 余弦定理及其推论从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的， 而方位角是相对于正北方向而言的。

（3） 方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如： ①北偏东 即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos Acos A =b 2 +c 2 - a 22bc②“东北方向”表示北偏东（或东偏北） 45︒ .（4） 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角 θ 为坡角）b 2 = a 2 +c 2 - 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos Ccos B =a 2 + c 2 -b 22ac a 2 + b 2 - c 2二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）4. 余弦定理适用情况：cos C =2ab1．在V ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝3 2，则 AC ＝ ()（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.5. 常用的三角形面积公式A.4B ．2C ．D ． 2 2．在V ABC 中， a 2 = b 2 + c 2 + 3bc ，则∠A 等于()A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°（1） S ∆ABC = 1 ⨯ 底⨯高；2 （2） 1 1 1 abcS = ab sin C = ac sin B = bc sin A = (R 为∆A 接BC 圆半径 )（两边夹一角）；2 2 2 4R6. 三角形中常用结论（1） a + b > c , b + c > a , a + c > b (即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2） 在∆A ，BC 即大边A 对> 大B ⇔角，a >大b 角⇔对s 大in 边A >）sin B ( （3） 在∆ABC 中， A + B + C = ，所以①sin (A + B )= sin C ；② cos (A + B )= -cos C ；3. 设V ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若b cos C + c cos B = a sin A , 则V ABC 的形状为( )A. 锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4. 若△ABC 的三个内角满足sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7 ，则△ABC ()3考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用 考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3 3 33 3 14 15 3 14 15考点四：利用正余弦定理求角2 考点三：利用正余弦定理求三角形的面积A. 一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.DBAB在△DAB 中，由正弦定理，得sin ∠DAB ＝sin ∠ADB ，cos A bAB ·sin ∠DAB 5(3＋\r(3))·sin 45°5. 在∆ABC 中，若cos B ＝a ，则△ABC 是()A. 等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6. 在∆ABC 中， AB =, AC = 1 , ∠A = 30︒ ，则∆ABC 面积为() ∴DB ＝sin ∠ADB ＝ sin 105°5(3＋\r(3))·sin 45°＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝2＝10 3(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝20 3(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBCA.B.C.或 D ．或 12424 2＝300＋1 200－2×10 3×20 3×2＝900， 7. 已知∆ABC 的三边长a = 3, b = 5, c = 6 ，则∆ABC 的面积为() ∴CD ＝30(海里)，A ．B ． 2C ．D ． 2 30∴需要的时间 t ＝30＝1(小时)．故救援船到达 D 点需要 1 小时．8. 在锐角中∆ABC ,角 A , B 所对的边长分别为a , b .若2a sin B = 3b ,则角等于 ()三、高考真题赏析A.B.C.D.1．（2016 年ft 东）在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知tan A tan B126 4 3 2(tan A + tan B ) = + cos B .cos A9．在△ABC 中，若 a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( )（Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求 cos C 的最小值.A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定1【解析】(Ⅰ)由2(tanA + tanB) = tanA tanB+ 得10. 在∆ABC ,内角 A , B , C 所对的边长分别为a , b , c . a sin B cos C + c sin B cos A = ∠B = ()b , 且a > b ,则2 2 ⨯ sinC =sinA cosB+ sinB cosA， A.B.C. 2D. 5cosAcosB cosAcosB cosAcosB 2sin C = sin B + sin C a + b = 2c633 6所以，由正弦定理，得．a 2 +b 2 -c 2 (a + b )2 - 2ab - c32c 3c 23 1（Ⅱ）由cos C == = - 1 ≥ - 1 = - 1 = ．11. 如图：A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3 + 3 )海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东45︒ ，B 点2ab2ab2ab 2( a + b )2 2 2 2北偏西60︒ 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60︒ 且与 B 点相距20 船立即前往营救，其航行速度为每小时 30 海里，该救援船到达 D 点需要多长时间？解 由题意知 AB ＝5(3＋ 3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，1海里的 C 点的救援所以cos C 的最小值为 ．22．（2016 年四川）在△ABC 中，角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,且cos A + cos B = sin C. a b c3 3 5 3(\r(3)＋1)3＋1 考点五：正余弦定理实际应用问题（I）证明：sin A sin B sin C ；3 3 Ctan tan tan 5（II ）若b 2 + c 2 - a 2 = 6bc ，求tan B .5∆ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC ， ∆ABD 面积是∆ADC 面积的 2 倍．a =b =c (Ⅰ) 求sin ∠B ；(Ⅱ)若 AD = 1 ， DC =2 ，求 BD 和 AC 的长．【解析】（I ）证明：由正弦定理 sin A sin Bsin C 可知sin ∠C2cos A + cos B = sin C = 1原式可以化解为 sin A sin B sin C∵ A 和 B 为三角形s i 内n A 角sin , B ∴sin A sin B ≠ 0 则，两边同时乘以，可得sin B cos A + sin A cos B = sin A sin B 由和角公式可知， sin B cos A + sin A cos B = sin (A + B )= sin (- C )= sin C原式得证。

必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理1.正弦定理a b c:si nAsin B si nC J'或变形：a: b:c s iri A:sin B:sin CcosAb 2 2 c2a2bc2 222a2 2b c2bccos AcosB ac b2acb 22 2 a c2accosBcosCb 2 2 a 2 c2 c 2 2 b a 2 •余弦定理：2bacosC 或2ab3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B)A B C ABC AB C sincos ,cossin ,ta n cot — 2 2 22 225 •解题中利用 ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的cosC, tan(A B) tanC,1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( )A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形•2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2b=2,sinB+cosB= 、 2 ,则角A的大小为( )A - B. _ C - D.—2 3 463.在厶ABC中，a 7,b 4、.3,c.13 ,则最小角为A—B、一 C 、— D 、364124.已知ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC ()A. 13B. 13C.5D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（）bA. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,26.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （）23A. 2B.4C.3D.47.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则cA 10、6 B、75C、55D、4 98.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则AA 30o B、60o C、120o D、150o9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则ABC的面积为cosB b10.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x512 . ABC中，AB 1,BC 2则角C的取值范围是__________________知识点二：判断三角形的形状问题C1.在ABC 中，若cos A cos B sin2—，则ABC 是（）2A.等边三角形B •等腰三角形C .锐角三角形D.直角三角形A、一定是直角三角形C、可能是锐角三角形tan A3. 已知在△ABC中，tan B a b4. 在ABC 中，若cosA cosBA .等腰直角三角形5. 在△ ABC 中，若2cosBsinA = sinC,y^ ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6. △ ABC 中，B 60°, b2 ac,则厶ABC - -定是( )A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形7. 若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是()A .直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D . 等腰直角三角形8.在厶ABC中，已知2ab c2sin A sin BsinC，试判断厶ABC的形状。

高中数学解三角形方法解三角形是高中数学中的重要内容之一，它涉及到了三角函数、三角关系等知识点。

本文将介绍常见的解三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、正切定理以及解决特殊三角形的方法。

通过学习和掌握这些方法，我们可以准确地解决各类三角形相关题目。

1. 正弦定理正弦定理是解三角形常用的方法之一。

它适用于已知一个角和两边的情况下，求解其他两个角或边的长度。

正弦定理的表达式为：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$其中，$a$、$b$、$c$ 分别表示三角形的边长，$A$、$B$、$C$ 表示对应的角度。

2. 余弦定理余弦定理也是解三角形中常用的方法之一。

它适用于已知三边的长度，求解其中一个角的情况。

余弦定理的表达式为：$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$$$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$$$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$3. 正切定理正切定理也是解三角形的一种方法，它适用于已知一个角和边长的情况下，求解其他两个角的大小。

正切定理的表达式为：$$\tan A=\frac{a}{b}$$$$\tan B=\frac{b}{a}$$$$\tan C=\frac{a}{c}$$4. 解决特殊三角形的方法在解三角形问题中，有时会遇到特殊的三角形，如等腰三角形和直角三角形。

对于这些特殊的三角形，可以利用其特点来简化解题过程。

（1）等腰三角形：等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。

在解决等腰三角形问题时，可以利用等边性质得出两个角相等。

例如，已知等腰三角形的底边长度和顶角，可以利用等边性质求解其他两个角。

（2）直角三角形：直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

在解决直角三角形问题时，可以利用勾股定理求解三个边的长度。

通过掌握上述解三角形的方法，我们可以灵活运用并解决各类三角形相关题目。

高中数学的解三角形方法大全(总9页) 解三角形的题目在高一数学中是一个重要的内容，以下是一些解三角形题目的技巧：
1.利用三角形内角和定理：三角形内角和为180度。

当已知部分角度时，可以通过180度减去已知角度的和，得到未知角度。

2.利用三角形的相似性：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

利用三角形的相似性可以通过已知的比例关系求解未知的边长或角度。

3.利用三角形的正弦、余弦和正切定理：根据三角形的边长关系和对应的角度，可以利用正弦定理、余弦定理和正切定理计算未知边长或角度。

4.利用勾股定理：如果一个三角形是直角三角形，可以利用勾股定理（a²+b²=c²）求解未知边长。

5.利用海伦公式：如果已知三角形的三个边长，可以使用海伦公式（面积=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s为半周长）求解三角形的面积。

6.利用角平分线定理：通过角平分线定理，可以求解三角形内部的角度或边长。

7.利用相似三角形的高度比：如果两个三角形相似，可以利用相似三角形的高度比来求解未知高度。

以上是一些常用的解三角形的技巧，根据题目的具体内容选择合适的方法。

在解题时，注意将所给的条件和已知信息合理应用，
进行逻辑推理和计算。

多进行练习和积累经验，逐步提高解题的能力。

可编辑修改精选全文完整版解三角形题型及解题方法归纳总结三角形是数学中最基础、最重要的几何图形之一，掌握三角形的结构特征及解题方法对于学生来说非常重要。

下面我们就以三角形的结构特征及解题方法来归纳总结一下。

首先，三角形的基本特征有三边、三角形内心、三条对角线以及三个角。

在三角形的结构特征里，最重要的是三角形的三个角，其中有一些理论概念，如两边之和大于第三边、两边之积等于第三边的高乘以底边的一半等。

其次，根据三角形的特性，学生在解决三角形题目时，应该先领会三角形题目给出的条件，确定出题目给出的条件，然后根据解三角形题目所使用的公式，按照正确的求解步骤求解三角形题目，最后根据求解得到的结果检查答案是否正确。

接下来，我们来看看具体的解三角形的步骤分为三个步骤：1.据三角形的边长确定三角形形状，分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形。

2.据三角形形状确定求解方法，分为直接求解、相似三角形求解、余弦定理求解、正弦定理求解和余切定理求解。

3.据给出的公式求解三角形的边长、角的大小、面积等，并检查答案的正确性。

最后，我们还要重点强调以下几点：1.掌握三角形的特征，如：三条边的关系、三角形的三个角的关系等，并要熟练掌握相应的理论公式，以便能够解决具体的解三角形题目。

2.解决三角形问题时，要根据问题形式确定求解方法，并要求正确掌握解题步骤和运算公式，以便能够准确答题。

3.解决三角形问题时，我们还要特别注意一下两边之和大于第三边及两边之积等于第三边的高乘以底边的一半这两条关系，这些关系在解题中起到很重要的作用。

综上所述，三角形是数学中最基础的几何图形，掌握三角形的结构特征及解题方法对于学生来说至关重要。

要正确掌握解三角形题型与解题方法，首先应学习三角形的基本特征，了解常见的解三角形的方法，熟练掌握解三角形问题所应用的各种理论公式，其次要正确理解具体的解三角形题目给出的条件，按照正确的求解步骤求解三角形题目，最后再检查所得结果的正确性。

完整版)解三角形知识点归纳总结第一章解三角形一、正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 sinA/a = sinB/b = sinC/c = 2R （其中R是三角形外接圆的半径）。

变形：1) sinA/sinB/sinC = (a/b/c)/(2R)，化边为角；2) a:b:c = = sinA/sinB，化角为边；3) a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC，化边为角；4) sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，化角为边。

利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，求解：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c。

②已知两边和其中一个角的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A，求解：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再使用正弦定理求出c边。

4.在△ABC中，已知锐角A，边b，则①a<bsinA时，B无解；②a=bsinA或a≥b时，B有一个解；③bsinA<a<b时，B有两个解。

二、三角形面积1.SΔABC = absinC = bcsinA = acsinB；2.SΔABC = (a+b+c)r，其中r是三角形内切圆半径；3.SΔABC = p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2；4.SΔABC = abc/4R，R为外接圆半径；5.SΔABC = 2R²sinAsinBsinC，R为外接圆半径。

三、余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 a² = b² + c² -2bccosA，b² = a² + c² - 2accosB。