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（三）力对轴之矩力对任一z轴之矩是一代数量，其表达式为M z (F)=mo(Fxy)= ±Fxyd式中正、负号用右手法则确定(图4-1-4)。
显然，当力F与矩轴Z共面(包括平行或相交)时，力对该轴之矩等于零。
力对轴之矩的单位与力矩相同。
若取矩心O为直角坐标系的原点，则力对点O之矩可由力对轴之矩来计算，即m o (Fxy)= mx(F)i+ m y(F)j+ m z(F)k汇交力系的合成与平衡汇交力系合成结果有两种可能：其—，是一个合力R，合力矢为R=∑F i合力作用线通过汇交力系的汇交点；其二，合力R等于零，即R=0 或∑F i=0这是汇交力系平衡的必要与充分条件。
求解汇交力系的合成与平衡问题各有两种方法，即几何法和解析法，如表4—1—2所示。
对于空间汇交力系，由于作图不方便，一般都采用解析法。
表4—1—2 求解汇交力系的两种方法合力R 平衡条件R=0几何法R的大小和方位由力多边形的封闭边决定，指向是首力的始端至末力的终端原力系构成的力多边形自行封闭解析法平面R=(∑Xi)i+(∑Yj)j ∑Xi=0∑Yj=0有两个独立方程，可解两个未知量空间R=(∑Xi)i+(∑Yj)j+(∑Zk)K ∑Xi=0∑Yj=0∑Zk=0有三个独立方程，可解三个未知量四、力偶理论（一）力偶两个等值、反向、不共线的平行力组成的力系称为力偶，记为(F 、F ’)。
力偶只能引起物体的转动而不能使物体移动，力偶中两个力对任一根轴的投影之和恒等于零。
由此可知，力偶没有合力。
既不能与一个力等效，也不能与一个力相平衡。
力偶只能与力偶等效或相平衡。
（二）力偶矩力偶的转动效应决定于力偶矩，它的计算如表4—1—3所述。
表中，F 为组成力偶的力的大小，d 为力偶中两力作用线间的垂直距离，并称为力偶臂。
力偶矩的单位为N ·m(牛·米)或kN ·m(千牛·米)。
应当注意，力偶矩矢与矩心位置无关，这一点与力对点之矩是不同的。
理论力学第一节静力学静力学是研究物体在力作用下的平衡规律的科学。
所谓平衡，一般是指物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态。
使物体保持平衡的作用力系称为平衡力系。
一、静力学基本概念（一）力的概念力是物体间的相互作用，这种作用使物体的运动状态或物体的形状发生改变，前者称为力的外效应，后者称为力的内效应。
理论力学只讨论力的外效应。
力对物体的效应取决于力的大小、力的方向和力的作用点，因而力是一矢量。
集中力的单位是N(牛顿)或kN(千牛)。
（二）刚体所谓刚体，就是在力的作用下不变形的物体。
在静力学中，所研究的物体都是指刚体。
（三）静力学公理公理一二力平衡公理作用在同一刚体上的两个力，使刚体平衡的必要和充分条件是：这两个力等值、共线、反向。
受两力作用而平衡的构件或直杆分别称为二力构件或二力杆。
公理二加减平衡力系公理在作用于刚体上的任意一个力系中，加上或去掉任何一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
应用公理一与公理二可以得出一个推论，力的可传性；作用于刚体上的力可沿其作用线移动，而不改变该力对刚体的效应。
故作用于刚体上力的三要素可表述为：力的大小、作用线和指向。
因而，力矢是滑动矢量。
公理三力的平行四边形法则作用于物体上同一点的两个力，可以合成为作用于该点的一个合力，它的大小和方向由这两个力的矢量为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示(图4—1—1a)。
亦可用图4—1—1b所示的力三角形ABC表示，并将其称为力三角形法则。
合力R与分力F1、F2的矢量表达式为R=F1+F2公理四作用与反作用定律两物体间相互作用的一对力，总是等值、反向、共线，并分别作用在这两个物体上。
公理五刚化原理当变形体在已知力系作用下处于平衡时，若将此变形体转换成为刚体，则其平衡状态不变。
此公理表明，刚体静力学的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非是充分条件。
（四）三力平衡定理一刚体受不平行的三力作用而处于平衡时，此三力的作用线必共面且汇交于一点。
三、点的合成运动点的合成运动这部分内容，主要是应用运动的合成与分解的概念，研究同一动点相对于两个不同参考系的运动之间的关系。
从而建立了点的速度合成定理和加速度合成定理。
（一）静系·动系固结于某一参考体上的坐标系Oxyz称为静坐标系，简称静系。
通常如不加说明，则以固结于地球表面上的坐标系作为静系。
固结于相对静系运动的参考体上的坐标系O’x’y’z’称为动坐标系，简称动系。
（二）三种运动·三种速度·三种加速度动点相对于静系的运动称为绝对运动。
在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的相对轨迹、相对速度和相对加速度，并以va 和aa分别表示此速度和加速度。
动系相对静系的运动称为牵连运动。
在某一瞬时，动系上与动点相重合的一点称为动点在此瞬时的牵连点。
牵连点的速度和加速度称为动点在该瞬时的牵连速度和牵连加速度，并分别以vr和ar表示之。
上述三种运动的关系如图4—2—8所示。
即动点的绝对运动可视为相对运动与牵连运动的合成运动。
反之，动点的绝对运动也可分解为牵连运动和相对运动。
（三）点的速度合成定理可以证明，动点的三种速度va ，ve，vr之间有如下关系式：va=ve+vr即动点的绝对速度等于它的牵连速度和相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
根据此定理可知va ，ve，vr构成一速度平行四边形，其对角线为绝对速度va。
由于每个速度矢量包含大小和方向二个量，因此上式总共含有六个量，当已知其中任意四个量时，便可求出其余两个未知量。
应当指出，由于存在相对运动，所以不同瞬时，动系上与动点相重合的那一点即牵连点，在动系上的位置也随之而变化的。
（四）点的加速度合成定理动点的加速度合成与牵连运动的性质有关，当牵连运动为平动或转动时，动点的加速度合成定理如下：牵连运动为平动：aa =ae+ar牵连运动为转动：aa =ae+ar+ak式中 ak 称为科氏加速度。
它是由于牵连运动与相对运动相互影响而产生的。
（三）例题有一刚架，所受荷载及支承情况如图 4 -1-12 ( a ）所示，试求支座 A 及B 处的反力。
【 解 】 画出刚架的示力图如图 4-1-12b 。
图中已将铰支座 A 处的反力分解成为水平的及铅直的分力 X A 、 Y A , 所有反力的指向都是假设的。
本题中有一个力偶荷载。
由力偶的性质可知（ l ）因力偶的两个力大小相等，方向相反，两个力的投影之和为零，故写投影方程时不必考虑力偶。
（2）力偶对于任一点的矩都等于力偶矩，故写力矩方程时，可直接将力偶矩 m 列人。
首先以 A 点为矩心，写力矩方程由此得然后以水平方向为x 轴，铅直方向为y 轴，写投影方程于是得梁的一端牢固地插入墙内，另一端悬空，如图 4-1-14 。
这样的梁称为悬臂梁，插入墙内的一端称为插入端或固定端.设梁上受集度为 q 的匀布荷载，并在 B 端受一集中力 P 。
试求 A 端的约束力.【解】现在回到图 4-1-14 所示的悬臂梁。
作梁 AB 的示力图如图 4-1-16 。
为了下面计算方便，首先将梁上的匀布荷载合成为一个合力 Q , Q 的大小为 Q = q l，方向与匀布荷载方向相同，作用点在 AB 的中点。
由梁的平衡条件得到三个平衡方程:将 Q= q l代人，解得图所示为一三铰刚架，其顶部受沿水平方向均匀分布的铅垂荷载的作用，荷载集度为Q=8kN／m。
已知：l=12m；h=6m；a=2m，求支座A、B的的反力。
刚架自重不计。
【解】以整体为研究对象，受力图如图4—1—126所示。
列平衡方程为取BC部分为研究对象，受力图如图4—1—12b所示。
列平衡方程为负号表示XB的指向与图中假设相反。
再以整体为对象，列平衡方程物重Q=12kN，由三杆AB、BC和CE所组成的构架及滑轮E支持，如图4—1—13a所示。
已知：AD=DB=2m，CD=DE=1．5m。
不计杆及滑轮的重量，求支座A和B的反力以及BC杆的内力。
[解] 以整体为对象，其受力图如图4-1-13^所示。
静力学1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图的受力图F Ax F A y F B (a) (a) F A FB F B F D F D F Bx F By F Bx F C F B F C F By 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图所示刚体系整体合格构件的受力图F AxF A y F DF ByF AF BxF B F AF Ax F A y F DxF Dy WT E F CxF C yWF AxF A yF BxF B yCxF C yF DxF DyF Bx F ByT EN’BF DFN FF D为研究对象，受力如图所示：为研究对象，受力如图所示： 62ABF BC CD60o F 130o F 2 F BC 45o F 2F BCF AB B45o y x F CD C60o F 1 30o F BCx y 4503010aCBAOF BF A θθBF F AF O CC坐标如图所示，各力可表示为: : 3i F F =2， j F F 233-= ： F 3333x y F RM AF R dx F RM AF R d y PB F BxP。
选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程：。
选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程：a]arccos[lG F M AF Bx F ByF AxF A yM APF Ax F A yP AN AN DD,432×c 2×思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？对该刚体独立的平衡方程数目是几个？图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。
已知力成o45角，OA=AD 。
试求各支撑杆所受的力。
222 2(22 S2-33均质杆AB 长40cm 40cm，其中，其中A 端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子CD 保持平衡，如图所示。
设cm AD cm BC 25,15==，平衡时a 角的最小值为o 45。
试求均质杆与墙之间的静摩擦因数sf 。
（二）任意力系的合成 1．合成的一般结果
以O 点为简化中心，任意力系合成的一般结果为
力矢R ’称为原力系的主矢，它的大小和方向与简化中心位置无关；力偶矩矢M 0(或力偶矩M 0)称为原力系对简化中心O 点的主矩，一般地说与简化中心位置有关。
2．合成的最后结果
任意力系(包括空间和平面)向一点简化后，其最后合成结果可能出现表4—1—5所列出的几种情况
.
表中，中心轴是指组成力螺旋的力的作用线。
因平面任意力系是空间任意力系的特殊情况，其向O 点简化的主矩可视为垂直于力系作用平面的一个主矩矢，因此上表4-1-5(除力螺旋外)所述亦可适用于平面任意力系。
当任意力系合成为一合力R 时，则有
即合力对任一点(或任一轴如z 轴)之矩，等于力系中各力对同一点(或同一轴)之矩的矢量和(或代数和)，并称之为合力矩定理。
对于平面力系，合力矩定理可表示为
在计算力对坐标轴之矩时，应用合力矩定理，常可使计算简化。
这时，可先将原力沿坐标轴分解为三个分力，然后计算各分力对坐标轴之矩。
由于平行力系是任意力系的特殊情况，故任意力系的合成结果也适用于平行力系。
（三）力系的平衡条件与平衡方程
任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢与力系对任一点的主矩都等于零，即
据此得出表4—1-6所列出的各组平衡方程。
但应当指出，在空间任意力系和空间平行力系的平衡方程组中，其投影方程亦可用对轴的力矩方程来替代。
当然，该力矩方程必须是独立的平衡方程，即可用它来求解未知量的平衡方程。
3．平行分布的线荷载的合成
沿物体中心线分布的平行力，称为平行分布线荷载，简称线荷载。
沿单位长度分布的线荷载称为线荷载集度，以q表示。
其单位为N／m(牛／米)或kN／m(千牛／米)。
同向线荷载合成结果为一合力R，该合力的大小和作用线位置可通过求积分的方法和合力矩定理求得。
均匀分布和线性分布的线荷载的合成结果如图4—1—10所示。
六、物体系统的平衡
（一）静定与静不定问题
若未知量的数目等于独立平衡方程的数目，则应用刚体静力学的理论，就可以求得全部未知量，这样的问题称为静定问题，如图4-1-11a。
若未知量的数目超过独立平衡方程的数目，则单独应用刚体静力学的理论就不能求出全部未知量，这样的问题称为静不定问题，如图4—1—11b。
（二）物体系统平衡问题的解法和步骤
1．判断物体系统是否属于静定系统。
物体系统是否静定，仅取决于系统内各物体所具有的独立平衡方程的个数以及系统未知量的总数，而不能由系统中某个研究对象来判断系统是否静定。
若由n个物体组成的静定系统，且在平面任意力系作用下平衡，则该系统总共可列出3n个独立平衡方程以解出3n个未知量。
当然，若系统中某些物体受其他力系作用时，则其独立平衡方程数以及所能求出的未知量数均将相应变化。
2．选取研究对象的先后次序的原则是便于求解。
根据已知条件和待求量，可以选取整个系统为研究对象，也可以是其中的某些部分或某一物体为研究对象；
3．分析研究对象的受力情况并画出受力图。
在受力图上只画外力而不画内力。
在各物体的拆开处，物体间的相互作用力必须符合作用与反作用定律。
画物体系统中某研究对象的受力图时，不能将作用在系统中其他部分上的力传递、移动和合成。
