第15章 刚体的平面运动

第15章刚体的平面运动工程力系学习指导第15章 刚体的平面运动本章以刚体平移和定轴转动为基础，应用运动分解与合成的方法，研究工程中常见而又比较复杂的运动——刚体平面运动，同时介绍平面运动刚体上各点速度和加速度的计算方法。

本章也是工程运动学的重点内容，同时也是理论力学的基础。

15.1 教学要求与学习目标1. 正确理解有关平面运动的各种概念，如平面图形、运动的分解、基点、角速度、瞬心等。

能根据给定的约束条件建立平面运动的运动方程式。

2. 能够熟练应用基点法、速度投影法和瞬心法进行速度分析。

3. 能够熟练应用基点法进行加速度分析。

4. 能够根据约束条件或者所给定的运动要素确定速度瞬心的位置。

15.2 理 论 要 点15.2.1 刚体平面运动的特点在运动过程中，刚体上任意点与某一固定平面（例如Oxy 平面）的距离始终保持不变。

刚体的这种运动称为平面运动。

刚体平面运动时，其上各点的运动轨迹各不相同，但都是平行于某一固定平面的平面曲线。

15.2.2 刚体平面运动的运动方程为了确定直线AB 在平面Oxy 上的位置，需要三个独立变量，一般选用广义坐标),,(ϕA A y x q =。

其中，线坐标A x 、A y 确定点A 在该平面上的位置，角坐标ϕ确定直线AB 在该平面中的方位。

所以，作平面运动的刚体有三个自由度。

刚体平面运动的运动方程为()()()123A A x f t y f t f t ϕ=== 这一方程完全确定了平面运动刚体的运动规律，也完全确定了该刚体上任一点的运动性质（轨迹、速度和加速度等）。

其中平面运动刚体的角速度ω和角加速度α分别为)(3t f ′==ϕω ，)(3t f ′′==ϕα 15.2.3 平面运动分解为平移和转动图15-1 刚体平面运动的分解由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的A 点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果线段AB 的方位不变（即ϕ=常数），则刚体将作平移。

由此可见，平面图形的运动可以看成是平移和转动的合成运动。

设在时间间隔t Δ内，平面图形由位置Ι运动到位置Ⅱ，相应地，图形内任取的线段从AB 运动到B A ′′，如图15-1所示。

在点A 处假想地安放一个平移坐标系y x A ′′，当图形运动时，令平移坐标系的两轴始终分别平行于定坐标轴Ox 和Oy ，通常将这一平移动系的原点A 称为基点。

于是，平面图形的平面运动便可分解为随同基点A 的平移（牵连运动）和绕基点A 的转动（相对运动）。

即：平面图形上线段AB 随A 点平行移动到位置B A ′′′，再绕A ′由位置B A ′′′转动1ϕΔ角到达位置B A ′′；若取B 点为基点，则线段AB 随B 点平行移动到位置A B ′′′，再绕B ′点由位置A B ′′′转动2ϕΔ角到达位置B A ′′。

当然，实际上平移和转动两者是同时进行的。

由图15-1可知，取不同的基点，平移部分一般来说是不同的（参见图中曲线AA ′和BB ′轨迹），其速度和加速度也不相同。

于是有结论：平面运动分解为平移和转动时，其平移部分与基点选择有关。

但对于转动部分，由图可见，绕不同基点转过的角位移1ϕΔ=2ϕΔ=ϕΔ（大小、转向均相同），且平面图形的角速度为10lim t t ϕωΔ→Δ==Δ=ΔΔ→Δt t 20limϕt t t d d lim 0ϕϕ=ΔΔ→Δ对时间求二阶导数，得平面图形的角加速度也相同，从而可知：平面运动分解为平移和转动时，其转动部分与基点的选择无关。

由图15-1可以看出，在t 瞬时，平面图形S 上直线AB 相对于平移系y x A ′′ 的方位用角度ϕ表示，而在同一瞬时，AB 相对于定系Oxy 的方位是角度a ϕ，且有)()(a t t ϕϕ= 从而有)()(a t t ωω=)()(a t t αα=即由于平移系相对定系无方位变化，故其相对转动量与其绝对转动量相等，正因为如此，以后凡涉及到平面运动图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。

15.2.4 速度分析1. 基点法图15-2 速度分析的基点法在作平面运动的刚体上任选基点，建立平移动系y x A ′′，动系上的A 点随平面图形S 上的A 点一起运动。

在平移动系y x A ′′上观察平面图形S 的运动为定轴转动，动系自身又作平移，因此，平面图形S 的运动可视为平移和转动的合成。

考察图15-2所示平面图形S 。

已知在t 瞬时，S 上点A 的速度A v 和S 的角速度ω，为求S 上点B 在该瞬时的速度，可以点A 为基点，建立平移系y x A ′′，将S 的平面运动分解为跟随y x A ′′的平移和相对它的转动。

这样，点B 的绝对运动就被分解成牵连运动为平移和相对运动为圆周的运动。

根据速度合成定理，并沿用刚体运动的习惯符号，有a e r B ==+v v v v式中，牵连速度即基点的速度A v v =e （平移系上各点速度均相同）。

B 点相对平移系的速度r v 记为BA v ，由定轴转动的速度公式，v r BA B′=×ω，B r ′为相对矢径。

几何上，由以A v 和BA v 为边的速度平行四边形，可求得B 点速度B v ，即B A BA A B′=+=+×v v v v r ω 上述矢量式表明，平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点相对于基点的相对速度的矢量和。

这种确定平面图形上任意一点速度的方法称为基点法。

图15-2中还画出一平面图形上任一线段AB 之各点的牵连速度A v v =e 与相对速度r i ′=×v r ω（i 为AB 上任一点）的分布。

不难看出，AB 上各点的牵连速度均相同，而相对速度则依该点至基点A 的距离呈线性分布。

总之，用基点法分析平面图形上点的速度，只是速度合成定理的具体应用而已。

此方法概念清楚，既可求平面图形上各点的速度又可求平面图形的角速度，但有时在计算上较以下两种方法复杂。

2. 速度投影定理法图15-3 速度分析的速度投影法将矢量式中各项分别向A 、B 两点连线AB 上投影。

由于BBA r ωv ′×=始终垂直于线段AB （图15-3），因此得B A A B s v v ββco cos =式中，角A β、B β分别为速度A v 、B v 与线段AB 的夹角。

该式表明，平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等，这称为速度投影定理。

此方法计算简单，但只能求平面图形上各点的速度，无法求平面图形的角速度。

3. 瞬时速度中心法若已知平面图形在t 瞬时的速度瞬心*C 与其角速度ω，则可以*C 点为基点，建立平移系，分析图形上点的速度。

此时，基点速度0*=C v ，前面的矢量式变为 **v v r B BC C B ==×ω式中，B C *r 为自*C 点至B 点所引的位矢。

这一表达式表明，此情形下，图形上待求速度点B 的牵连速度等于零，绝对速度等于相对速度。

如图15-4所示，线段*C B 上各点的速度大小依照该点至点*C 的距离呈线性分布，其速度方向垂直于线段*C B ，指向与图形的转动方向相一致。

图中，线段*C A 与*C C 上各点的速度亦与上同。

可见，就速度分布而言，图形在该瞬时的运动与假设它绕点*C 作瞬时定轴转动相类似。

图15-4 速度分析的速度瞬心法另一方面，表征平面图形运动的物理量是随时间变化的，即)(t v A ，)(t ω。

因此，速度瞬心在图形上的位置也在不断变化，即在不同瞬时，平面图形上有不同的速度瞬心。

这又是它与定轴转动的重要区别。

因此，速度瞬心概念对运动比较复杂的平面图形给出了清晰的运动图像：平面图形的瞬时运动为绕该瞬时的速度瞬心作瞬时转动，其连续运动为绕图形上一系列的速度瞬心作瞬时转动。

此方法为分析平面图形上点的速度与图形的角速度提供了一种有效方法。

若已知图形的速度瞬心与角速度ω，则图形上各点的速度均可求出。

4. 瞬时速度中心的确定图15-5 几种情形下速度瞬心的确定寻找图形在某一瞬时的速度瞬心，是应用瞬时速度中心法求解平面图形上各点速度和平面图形角速度的关键。

图15-5中给出了四种不同情形：图15-5a 为已知图形上两点A v 和B v 的方向，且此二速度不相平行。

若过该两点分别作A v 与B v 的垂线，则二垂线的交点即为其速度瞬心*1C ；图15-5b 为已知图形上A 、B 两点的速度A v 与B v 的大小与方向，两速度平行、同向且均垂直于该两点的连线AB ，则AB 与两速度矢端的连线与延长线交点就是该情形的瞬心*2C ；图15-5c 为已知图形上A 、B 两点的A v 与B v ，两速度平行反向且均垂直于该两点的连线AB ，则AB 与两速度矢端连线的交点就是该情形的瞬心*3C ；图15-5d 中，已知A v 与B v 的方向，两速度平行但均不垂直于两点连线AB ，则两速度的垂线平行，此时必有A v =B v ，平面图形的角速度ω = 0 ，此情形称平面图形作瞬时平移。

注意到，图15-5a 中的瞬心*1C 位于平面图形上，而图15-5b 中的*2C 却位于图形的边界以外，可以认为它位于图形的扩展部分上。

15.2.5 平面图形上各点的加速度分析图15-6 加速度分析的基点法如图15-6所示，已知平面图形S 上点A 的加速度A a 、图形的角速度ω与角加速度α。

与平面图形上各点速度分析相类似，选点A 为基点，建立平移系y x A ′′，分解图形的运动，从而也分解了图形上任一点B 的运动。

由于动点B 的牵连运动为平移，可应用动系为平移时的加速度合成定理的公式，并采用刚体运动的习惯符号，有t n a e r r B ==++a a a a a式中，a e = a A ，t t r BAAB ==×a a αr ，n nr ()BA AB ==××a a ωωr ，BA a 为点B 相对于平移系作圆周运动的加速度，而t BA a 与nBA a 分别为其中的相对切向加速度与相对法向加速度，AB r 是由基点A 引向点B 的位矢，故点B 的加速度为：t nB A BA A BA BA =+=++a a a a a a上述矢量式表明，平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度与该点相对基点的相对切向和相对法向加速度的矢量和。

15.2.6 运动学综合应用工程中的机构都是由数个物体组成的，各物体间通过连接点而传递运动。

为分析机构的运动，首先要分清各物体都作什么运动，要计算有关连接点的速度和加速度。

为分析某点的运动，如能找出其位置与时间的函数关系，则可直接建立运动方程，用解析方法求其运动全过程的速度和加速度。

当难以建立点的运动方程或只对机构某些瞬时位置的运动参数感兴趣时，可根据刚体各种不同运动的形式，确定此刚体的运动与其上一点运动的关系，并常用合成运动或平面运动的理论来分析相关的两个点在某瞬时的速度和加速度。