2000考研数二真题与解析

Born to win

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)

(1) 30arctanlim.ln(12)xxxx

(2) 设函数()yyx由方程2xyxy所确定，则0.xdy

(3) 2.(7)2dxxx

(4) 曲线1(21)xyxe的斜渐近线方程为.

(5) 设1000230004500067A，E为4阶单位矩阵，且1()()BEAEA则

1()EB.

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设函数()bxxfxae在(,)内连续，且lim()0,xfx则常数,ab满足 ( )

(A)0,0.ab (B)0,0.ab

(C)0,0.ab (D)0,0.ab

(2) 设函数()fx满足关系式2()[()]fxfxx，且(0)0f，则 ( )

(A)(0)f是()fx的极大值.

(B)(0)f是()fx的极小值.

(C)点(0,(0))f是曲线()yfx的拐点.

(D)(0)f不是()fx的极值，点(0,(0))f也不是曲线()yfx的拐点.

(3 ) 设(),()fxgx是大于零的可导函数，且'()()()'()0,fxgxfxgx则当axb 时，有 ( )

(A)()()()()fxgbfbgx (B) ()()()()fxgafagx Born to win

(C)()()()()fxgxfbgb (D) ()()()()fxgxfaga

(4) 若30sin6()lim0xxxfxx，则206()limxfxx为 ( )

(A)0. (B)6. (C)36. (D).

(5) 具有特解123,2,3xxxyeyxeye的3阶常系数齐次线性微分方程是 ( )

(A)0.yyyy (B)0.yyyy

(C)61160.yyyy (D)220.yyyy

三、(本题满分5分)

设ln(1)(ln)xfxx，计算()fxdx.

四、(本题满分5分)

设xoy平面上有正方形(,)01,01Dxyxy及直线:(0)lxytt.若()St表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求0(),(0)xStdtx.

五、(本题满分5分)

求函数2()ln(1)fxxx在0x处的n阶导数(0)(3)nfn.

六、(本题满分6分)

设函数0()|cos|xSxtdt，

(1)当n为正整数，且(1)nxn时，证明2()2(1)nSxn；

(2)求()limxSxx.

七、(本题满分7分)

某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为6V，流入湖泊内不含A的水量为6V，流出湖泊的水量为3V，已知1999年底湖中A的含量为05m，超过国家规定指标.为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过0mV.问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至0m以内(注：设湖水中A的浓度是均匀的)

八、(本题满分6分)

设函数()fx在0,上连续，且00()0,()cos0fxdxfxxdx，试证明：在(0,) Born to win

内至少存在两个不同的点12,，使12()()0.ff

九、(本题满分7分)

已知()fx是周期为5的连续函数，它在0x的某个邻域内满足关系式

(1sin)3(1sin)8()fxfxxx

其中()x是当0x时比x高阶的无穷小，且()fx在1x处可导，求曲线()yfx在点(6,(6))f处的切线方程.

十、(本题满分8分)

设曲线2(0,0)yaxax与21yx交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线2yax围成一平面图形.问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？

十一、(本题满分8分)

函数()fx在[0,)上可导，(0)1f且满足等式

01()()()0,1xfxfxftdtx

(1)求导数()fx；

(2)证明：当0x时，成立不等式()1xefx成立

十二、(本题满分6分)

设11012,,0,,2180TTAB.其中T是的转置，

求解方程22442BAxAxBx

十三、(本题满7分)

已知向量组12301,2,1110ab与向量组1231392,0,6317

具有相同的秩，且3可由123,,线性表出，求,ab的值.

Born to win

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题

(1)【答案】16

【详解】33ln1222232322000011arctanarctan11limlimlimlim266ln1261xxxxxxxxxxxxxxxxx:洛

(2)设函数()yyx由方程2xyxy所确定，则0.xdy

【答案】(ln21)dx

【详解】

方法1：对方程2xyxy两边求微分，有

2ln2().xyxdyydxdxdy

由所给方程知，当0x时1y. 将0x，1y代入上式，有ln2dxdxdy.

所以，0(ln21)xdydx.

方法2：两边对x求导数，视y为该方程确定的函数，有

2ln2()1.xyxyyy

当0x时1y，以此代入，得ln21y，所以0(ln21)xdydx.

(3)【答案】3

【详解】由于被积函数在2x处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.

作积分变量替换，令22,22,xtxtdxtdt

02202122arctan.(9)33323(7)2dxttdtttxx

(4)【答案】21yx

【公式】ykxb为()yfx的斜渐近线的计算公式：lim,lim[()]xxxxxxykbfxkxx Born to win

【详解】11limlim(2)2,xxxykexx

10122lim(2)lim[(21)2]lim()uuxxuxebyxxexuexu 令

002(1)2lim()1lim()211uuuuuueueeueuu:

所以，x方向有斜渐近线21yx. 当x时，类似地有斜渐近线21yx.

总之，曲线1(21)xyxe的斜渐近线方程为21yx.

(5)【答案】1000120002300034

【详解】先求出1()EB然后带入数值，由于1()()BEAEA，所以

11111()()()()()()()12()()22000100024001200104600230200680034EBEEAEAEAEAEAEAEAEA－１－１－１

二、选择题

(1)【答案】D

【详解】排除法：

如果0a，则在(,)内()fx的分母bxae必有零点0x，从而()fx在0xx处不连续，与题设不符.不选()A，若0b，则无论0a还是0a均有lim(),xfx与题设lim()0xfx矛盾，不选()B和()C.故选()D.

(2)【答案】C Born to win

【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数()fx在0x出具有二阶导数且0()0fx，0()0fx，那么：(1) 当0()0fx时，函数()fx在0x处取得极大值；

(2)当0()0fx时，函数()fx在0x处取得极小值；

【详解】令等式2()[()]fxfxx中0x，得2(0)0(0)0ff，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.

再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：

2()(())12()()fxxfxfxfx

以0x代入，有(0)1f，所以

00()(0)()(0)limlim10xxfxffxfxx.

从而知，存在0x去心邻域，在此去心邻域内，()fx与x同号，于是推知在此去心邻域内当0x时曲线()yfx是凸的，在此去心临域内0x时曲线()yfx是凹的，

点(0,(0))f是曲线()yfx的拐点，选(C).

(3)【答案】A

【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数. 题设中已知'()()()'()0,fxgxfxgx 想到设函数为相除的形式()()fxgx.

【详解】

设()()()fxFxgx，则2'()()()'()()0,()fxgxfxgxFxgx

则()Fx在axb时单调递减，所以对axb，()()()FaFxFb，即

()()()()()()fafxfbgagxgb

得 ()()()(),fxgbfbgxaxb，()A为正确选项.

(4)【答案】()C

【分析】本题有多种解法：(1)将含有()fx的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或