【中小学资料】北京市丰台区2017届高三数学5月综合练习(二模)试题 文

丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．05 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(43)-，10．0 11．2425- 12．4 13．2ln2- 14．12 ；23三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B =， ..………………2分 因为0πB <<，所以sin 0B >，从而2sin 1A =， ..………………3分所以1sin 2A =. 因为锐角ABC △， 所以π6A =. ..………………6分（Ⅱ）πcos(cos()6B C B A C -+-+ ..………………7分s i n c o s BB + ..………………9分π=2sin(+)6B ..………………11分当π3B =πcos()6B C -+有最大值2，与锐角ABC △矛盾，πcos()6B C -+无最大值 ..………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）5⨯300⨯30=300015（件）， .………………3分 答：产品A 的月销售量约为3000件. .………………4分（Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为P 93==155. .………………5分X 可取0，2，4，6 ， .………………6分(=)()P X 3280==5125， 123336(=2)()P X C 2==55125，2233254(=4)()P X C ==55125， 3327(=6)()P X ==5125，8分所以836542745018()02461251251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. ..……………10分 （Ⅲ）产品D . ……………13分 17.（本小题共14分）（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ． 所以EF //BG ，且=EF BG ， 故四边形EFBG 为平行四边形,所以EG //FB . ………………2分 因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ，所以EG //平面BDF ．………………4分解：（Ⅱ）因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF平面ABCD DC =，DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==，所以由余弦定理，得BD所以AD BD ⊥． ………………5分 在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==. 如图,以D 为原点，以DA DB DE，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间坐标系，………………6分 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ， (0,0,1)E ，B ，1(2F - ， 所以(1,0,1)AE =-，1(2DF =-，DB =. yx设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，由00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n ………………7分所以0102x y z =⎨-+=⎪⎩，取1z =，则2,0x y ==，得(2,0,1)=n ． ………………8分 设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ， 则sin cos ,AE AE AE θ⋅=〈〉=⋅n n n，………………9分 所以AE 与平面BDF . ………………10分 （Ⅲ）线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ．证明如下： ………………11分假设线段FC 上存在点H ，设1()(01)2H t t -≤≤， 则1()2DH t =-． 设平面HAD 的法向量为(,,)a b c =m ，由0,0.DA DH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0102a a tc =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取1c =，则0,a b ==，得(0,,1)=m ． ………………12分 要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需0⋅=m n ，………………13分即200110⨯⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ． ………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ） ()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分因为e a =，所以()e e(ln 1)x f x x =-+，所以e()e x f x x '=-. …………………2分因为(1)0f =，(1)0f '=， …………………3分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =. …………………4分（Ⅱ） 因为0e a <<,所以()e x a f x x '=-在区间(,1)ea上是单调递增函数. …………………5分因为e ()e e 0eaaf '=-<，(1)e 0f a '=->， …………………6分所以0(,1)eax ∃∈,使得00e =0x a x -. …………………7分所以0(,)eax x ∀∈，()0f x '<；0(,1)x x ∀∈，()0f x '>， …………………8分故()f x 在0(,)eax 上单调递减，在0(,1)x 上单调递增， …………………9分所以()f x 有极小值0()f x . …………………10分因为00e 0x ax -=,所以000001()=e (ln 1)(ln 1)x f x a x a x x -+=--. …………………11分 设1()=(ln 1)g x a x x --，(,1)e ax ∈，则2211(1)()()a x g x a x x x +'=--=-， ………………12分 所以()0g x '<，即()g x 在(,1)ea上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． ………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a ==，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为22143x y +=...………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线P A , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分 即1212044y y x x +=++， 通分得122112(4)(4)0(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x yy kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=，所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分 代入①，得 1k =. ..………………14分20.（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质“(3,2,0)P ”，所以30n n a a +-=，2n ≥.由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =. ..………………2分 因为67818a a a ++=，所以610a =，即310a =. ..………………4分 （Ⅱ）{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………5分设等差数列{}n b 的公差为d ，由 12b =，38b =，得2826d =-=，所以3d =，故31n b n =-. ..………………6分 设等比数列{}n c 的公比为q ，由 32c =，18c =， 得214q =，又0q >，所以12q =，故42n n c -=， ..………………7分 所以4312n n a n -=-+.若{}n a 具有性质“(2,1,0)P ”，则20n n a a +-=，1n ≥. 因为29a =，412a =，所以24a a ≠，故{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………8分 （Ⅲ）因为{}n a 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n i n a a d +-=，2n ≥.①因为{}n a 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n ≥.② 因为*N i j ∈,，i j <，i j ,互质，所以由①得1m ji m a a jd +=+；由②，得2m ij m a a id +=+， ..………………9分所以12m m a jd a id +=+，即21jd d i =. ..………………10分②-①，得211n j n i j ia a d d d i++--=-=，2n ≥， ..………………11分 所以1n j i n j ia a d i+---=，2n i ≥+， ..………………12分 所以{}n a 具有性质“1(,2,)j iP j i i d i--+”. ..………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

丰台区2017年高三统一练习（二）数学（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知向量a =（1，k ），=b （2，1），若a 与b 的夹角为︒90，则实数k 的值为A ．12-B ．12C ．2-D ．22．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ）A ．相切B ．直线过圆心C ．直线不过圆心但与圆相交D ．相离3．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（-1，1），若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 极坐标的是（ ）A ．34π）B ．54π-）C ．114π）D ．4π-） 4．设p 、q 是简单命题，则""p q ∧为假是""p q ∨为假的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设12,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有A ． 12x x =，12s s <B ． 12x x =， 12s s >C ． 12x x >， 12s s >D ． 12x x =， 12s s =6．已知函数2()log f x x =，若()1f x ≥，则实数x 的取值范围是（ ）A ． 1(,]2-∞ B ． [2,)+∞ C ． 1(0,][2,)2+∞ D ． 1(,][2,)2-∞+∞ 7．设f(x)、g(x)是R 上的可导函数，''(),()f x g x 分别是f(x)、g(x)的导函数，且''()()()()0f x g x f x g x +<，则当a x b <<时，有（ ）A ． f(x)g(x)>f(b)g(b)B ． f(x)g(a)>f(a)g(x)C ． f(x)g(b)>f(b)g(x)D ． f(x)g(x)>f(a) g(a)8．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===，点G 与E 分别为线段11A B 和1C C 的中点，点D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点。

北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}|2=>M x x 与{}|13N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A ．{}|2x x <B ．{}|12x x <<C ．{}|3x x >D ．{}|1x x ≤2. 已知向量()()1,2,,4a b x ==，且a b ⊥，那么x 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．8-D ．16-3. 下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）A ．()sin f x x =B ．()1f x x =+C ．()f x x =-D ．()cos f x x =4. 在平面直角坐标系中，不等式组02x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，所表示的平面区域的面积为（ ）A ．1B ．2 C. 4 D ．85. 已知,x y ∈R ，那么“>x y ”的充分必要条件是（ ）A ．22x y >B ．lg lg x y > C.11x y> D ．22x y > 6.已知直线()0x y m m +=>与圆221x y += 相交于,P Q 两点，且120POQ ∠=（其中O 为原点），那么m 的值是（ ）A ． 7. 日晷是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”.通常由铜制的指针和石制的圆盘组成，铜制的指针叫做“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，石制的脚盘叫做“晷面”，它放在石台上，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻.利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久，下图是一位游客在故宫中拍到的一个日晷照片，假设相机镜头正对的方向为正方向，则根据图片判断此日晷的侧(左）视图可能为（ ）A ．B ． C. D ． 8. 已知甲、乙两个容器，甲容器容量为x ，装满纯酒精，乙容器容量为z ，其中装有体积为y 的水（,x y z <：单位：L ）.现将甲容器中的液体倒人乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过()n n N*∈次操作之后，乙容器中含有纯酒精n a （单位：L ），下列关于数列{}n a 的说法正确的是（ ）A ．当x y a ==时，数列{}n a 有最大值2a B ．设()1n n n b a a n N *+=-∈，则数列{}n b 为递减数列C.对任意的n N *∈，始终有n xy a z ≤D ．对任意的n N *∈，都有n xy a x y≤+ 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知ABC ∆三内角,,A B C 对应的边长分别为,,a b c ，且23B π=，又边长3b c =，那么sinC = ．10. 已知11ni 1i 2=-+，其中n 是实数，i 虚数单位，那么n = ．11. 下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填 ，y 的位置应填 ．12.已知双曲线G 以原点O 4），且以抛物线2:4C y x =的焦点为右顶点，那么双曲线G 的方程为 ．13.已知函数()ln 26f x x x =+-的零点在区间()1,22k k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内，那么k = ． 14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为对角线1B D 上一点，,M N 为对角线AC 上的两个动点，且线段MN 的长度为1.(1)当N 为对角线AC 的中点且DE =时，则三棱锥E DMN -的体积是 ；（2）当三棱锥E DMN -的体积为13时，则DE = ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在等差数列{}n a 中，1122,20a a =-=.（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）若12...n n a a a b n+++=，求数列{}3n b 的前n 项和. 16. 函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最大值为2，它的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()cos g x x f x =⋅，求()g x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. 某单位附近只有甲、乙两个临时停车场，它们各有50个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场，在某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：如果表中某一时刻剩余停车位数低于该停车场总车位数的0010，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报.（1）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；（2）从这六个时刻中任选一个时刻,求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；（3）当乙停车场发出饱和警报时，求甲停车场也发出饱和警报的概率.18. 如图，在四棱柱 1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A 和侧面11CDD C 都是矩形，//,BC AD ABD ∆是边长为2的正三角形，,E F 分别为11,AD A D 的中点.（1）求证： 1DD ⊥平面ABCD ；（2）求证：平面1A BE ⊥平面11ADD A .（3）若//CF 平面1A BE ，求棱BC 的长度.19. 设函数()(),x f x x a e a R =-⋅∈.（1）当1a =时，试求()f x 的单调增区间；（2）试求()f x 在[]1,2上的最大值；（3）当1a =时，求证：对于[)()565,,5x f x x e∀∈-+∞++≥-恒成立.20. 已知椭圆22:1(0)E mx y m +=>.（1）若椭圆E 的右焦点坐标为，求m 的值；（2）由椭圆E 上不同三点构成三角形称为椭圆的内接三角形.若以(0,1)B 为直角顶点的椭圆E 的内接等腰直角三角形恰有三个，求m 的取值范围.。

北京市丰台区2017届高三5月综合练习（二模）文综试题第Ⅰ卷（选择题共140分）本卷共11个小题，每小题4分，共44分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

读图1,回答第1-3题.1.图中（）A.夏至日甲地区有极昼现象B.冰川南北端相距大约3千米C.冰川大致向西南方向移动D.乙地地势高，为冰川最高点2.阿拉斯加州（）A.山地垂直带谱复杂多样B.地域辽阔，畜牧业发达C.环境人口容量主要受矿产资源的影响D.对外联系以海洋运输和航空运输为主3.阿拉斯加州南部沿海地区比北部地区气候温暖，主要是因为（）①纬度相对较低②山脉阻挡来自西部冷空气侵入③沿岸暖流增温④海岸线曲折，利于东南风深入A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③我国北方某城市大气污染物主要来自汽车尾气。

读图2，回答第4题。

4.该城市大气污染最严重的时段是（）A.0-4时B. 6-10时C. 12-16时D. 16-20时图3为某年10月8日、9日20时海平面气压分布图（单位“百帕”）。

读图，回答第5-7题。

5.由8日20时到9日20时，图中（）A.甲地气压升高，风力减弱B.乙地气温随天气系统的移动而升高C.丙地湿度增大，持续雾霾D.低压中心P向东北方向移动并增强6.此时段，我国黄河流域可能出现的景象是（）A.春山谷雨前，并手摘芳烟B.露从今夜白，月是故乡明C.叶落暮昏霞，寒露洗清秋D.燕将明日去，秋向此时分7.此时段前后，我国下列地区需重点预防的自然灾害是（）A.华南地区的霜冻B.东南沿海地区的台风C.江淮地区的伏旱D.西北地区的高温热浪图4为我国茶叶生产重心移动方向图。

读图，回答第8、9题。

丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（理科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B =（A ）(24),（B ）(24,]（C ）[1+),∞（D ）(2),+∞2. 下列函数中，既是偶函数又是()0+∞,上的增函数的是 （A ）3x y -=（B ）xy 2=（C ）12y x =（D ）3log ()y x =-3. 在极坐标系中，点(2)4,π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（A ）22（B ）2 （C ）322（D ）24. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x =±的是（A ）2214yx -= （B ）2214xy -=（C ）2214yx -= （D ）2214xy -=5. 已知向量31()22=，a ，(31)=-，b ，则，a b 的夹角为 （A ）π4（B ）π3（C ）π2（D ）2π36. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为 （A ）1（B ）2 （C ）3（D ）27. ()S A 表示集合A 中所有元素的和，且{}12345A ⊆,,,,，若()S A 能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是 （A ）10（B ）11（C ）12（D ）138. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的个数是 12111侧视图俯视图正视图①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 ③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数34ii+对应的点的坐标为 ．10. 执行右图所示的程序框图，若输入6=x 的值为6，则输出的x 值为 ．11. 点A 从(10),出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B的坐标是34()55,-,记AOB α∠=,则sin 2α= ．12. 若x ，y 满足11，，，y y x x y m ≥≤-+≤⎧⎪⎨⎪⎩且22z x y =+的最大值为10，则m = ．13. 已知函数f (x )的定义域为R . 当0<x 时，()ln()f x x x =-+；当e e x -≤≤时，()()f x f x -=-；当1x >时，(2)()f x f x +=，则(8)f = ．14. 已知O 为ABC △的外心，且BO BA BC λμ=+.①若90C ︒∠=，则λμ+= ；②若60ABC ︒∠=，则λμ+的最大值为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在锐角ABC △中，2sin a B b =. （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）求3sin cos()6B C π-+的最大值.16.（本小题共13分）某社区超市购进了A ,B ,C ,D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为12315i a i =,,,,,）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）： 顾 客 产 品1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15aA 1 1 1 1 1 B1 1 1 1 1 1 1 1 C 1 1 1 1 1 1 1 D111111（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ， 求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）17.（本小题共14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，22AB AD ==，60DAB ∠=︒60︒，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF ⊥平面ABCD . （Ⅰ）若点G 是棱AB 的中点，求证：EG ∥平面BDF ； （Ⅱ）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC 上是否存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ？若存在，求FHHC的值；若不存在，说明理由.18.（本小题共13分）已知函数()e ln xf x a x a =--.（Ⅰ）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于(0e)a ∀∈,，()f x 在区间()e,1a 上有极小值，且极小值大于0.19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线PA ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.20.（本小题共13分）若无穷数列{}n a 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.（Ⅰ）若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ； （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，GADEFBC132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由； （Ⅲ）设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j iP j i i d i --+,,”.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．05一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(43)-， 10．0 11．2425- 12．4 13．2ln2- 14．12；23三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B =，..………………2分因为0πB <<，所以sin 0B >，从而2sin 1A =， ..………………3分所以1sin 2A =. 因为锐角ABC △，所以π6A =. ..………………6分（Ⅱ）因为πcos(cos()6B C B A C -+-+ ..………………7分cos B B + ..………………9分π=2sin(+)6B ..………………11分当π3B =πcos()6B C -+有最大值2， 与锐角ABC △矛盾，故πcos()6B C -+无最大值 ..………………13分16.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）5⨯300⨯30=300015（件）， .………………3分答：产品A 的月销售量约为3000件. .………………4分（Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为P 93==155. .………………5分X可取，2，4，6 ， .………………6分(=)()P X 3280==5125， 123336(=2)()P X C 2==55125，2233254(=4)()P X C ==55125， 3327(=6)()P X ==5125，所以X 的分布列为：.………………8分所以836542745018()02461251251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. ..……………10分 （Ⅲ）产品D . ……………13分17.（本小题共14分）（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ． 所以EF //BG ，且=EF BG ， 故四边形EFBG 为平行四边形, 所以EG //FB . (2)分因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ， 所以EG //平面BDF ．………………4分解：（Ⅱ）因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF平面ABCD DC =，DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==，所以由余弦定理，得BD = 所以ADBD ⊥． ………………5分在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==.如图,以D 为原点，以DADB DE ，，所在直线分别为,,x y z 轴， 建立空间坐标系， ………………6分则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ， (0,0,1)E ，B ，1(2F - ，所以(1,0,1)AE =-，1(2DF =-，(0,DB =.设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，由00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n ………………7分 yx所以0102x y z =⎨-++=⎪⎩，取1z =，则2,0x y ==，得(2,0,1)=n ． ………………8分设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ， 则sin cos ,AE AE AE θ⋅=〈〉=⋅n n n，………………9分所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为. ………………10分 （Ⅲ）线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ．证明如下： ………………11分假设线段FC 上存在点H ，设1()(01)2Ht t -≤≤，则1()2DH t =-．设平面HAD 的法向量为(,,)a b c =m ，由0,0.DA DH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0102a a tc =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取1c =，则0,a b ==，得(0,,1)=m ． ………………12分 要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需0⋅=m n ， ………………13分即200110⨯⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ． ………………14分18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分因为e a =，所以()e e(ln 1)x f x x =-+，所以e()e x f x x'=-. …………………2分 因为(1)0f =，(1)0f '=， …………………3分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =. …………………4分（Ⅱ） 因为0e a <<,所以()e x a f x x '=-在区间(,1)ea上是单调递增函数. …………………5分因为e ()e e 0eaaf '=-<，(1)e 0f a '=->， …………………6分所以0(,1)ea x ∃∈,使得00e =0x ax -. …………………7分 所以0(,)ea x x ∀∈，()0f x '<；0(,1)x x ∀∈，()0f x '>， …………………8分故()f x 在0(,)ea x 上单调递减，在0(,1)x 上单调递增， …………………9分所以()f x 有极小值0()f x .…………………10分因为00e 0x ax -=, 所以000001()=e (ln 1)(ln 1)x f x a x a x x -+=--. …………………11分设1()=(ln 1)g x a x x --，(,1)e ax ∈，则2211(1)()()a x g x a x x x+'=--=-， ………………12分所以()0g x '<，即()g x 在(,1)e a上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． ………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a =+，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程为22143x y +=...………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线PA , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++， 通分得122112(4)(4)0(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分 联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=， 所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分代入①，得1k =. ..………………14分20.（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质“(3,2,0)P ”，所以30n n a a +-=，2n ≥.由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =. ..………………2分因为67818a a a ++=，所以610a =，即310a =. ..………………4分（Ⅱ）{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………5分设等差数列{}n b 的公差为d ，由 12b =，38b =， 得2826d =-=，所以3d =，故31n b n =-. ..………………6分设等比数列{}n c 的公比为q ，由 32c =，18c =， 得214q =，又0q >，所以12q =，故42nn c -=， ..………………7分 所以4312n n a n -=-+.若{}n a 具有性质“(2,1,0)P ”，则20n n a a +-=，1n ≥. 因为29a =，412a =，所以24a a ≠， 故{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………8分（Ⅲ）因为{}n a 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n i n a a d +-=，2n ≥.①因为{}n a 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n ≥.② 因为*N i j ∈,，i j <，i j ,互质， 所以由①得1m ji m a a jd +=+；由②，得2m ij m a a id +=+， ..………………9分所以12m m a jd a id +=+，即21jd d i=. ..………………10分②-①，得211n j n i j ia a d d d i++--=-=，2n ≥， ..………………11分所以1n j i n j ia a d i+---=，2n i ≥+， ..………………12分所以{}n a 具有性质“1(,2,)j iP j i i d i--+”. ..………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2017年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x＞2}，那么A∪B=（）A．（2，4） B．（2，4]C．[1，+∞）D．（2，+∞）2．（5分）下列函数中，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y=﹣x3B．y=2|x|C．y=D．y=log3（﹣x）3．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A．B．C．D．24．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=15．（5分）已知向量=（，），=（，﹣1），则，的夹角为（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（）A．1 B．C．D．27．（5分）S（A）表示集合A中所有元素的和，且A⊆{1，2，3，4，5}，若S （A）能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是（）A．10 B．11 C．12 D．138．（5分）血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是（）①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=6的值为6，则输出的x值为．11．（5分）点A从（1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B，若点B 的坐标是，记∠AOB=α，则sin2α=．12．（5分）若x，y满足且z=x2+y2的最大值为10，则m=．13．（5分）已知函数f （x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x；当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞1时，f（x+2）=f（x），则f（8）=．14．（5分）已知O为△ABC的外心，且．①若∠C=90°，则λ+μ=；②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在锐角△ABC中，2asinB=b．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）求sinB﹣cos（C+）的取值范围．16．（13分）某社区超市购进了A，B，C，D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a i，i=1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）17．（14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=e x﹣alnx﹣a．（Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于∀a∈（0，e），f（x）在区间上有极小值，且极小值大于0．19．（14分）已知椭圆E的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点M在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设P（﹣4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，求k的值．20．（13分）若无穷数列{a n}满足：∃k∈N*，对于，都有a n+k ﹣a n=d（其中d为常数），则称{a n}具有性质“P（k，n0，d）”．（Ⅰ）若{a n}具有性质“P（3，2，0）”，且a2=3，a4=5，a6+a7+a8=18，求a3；（Ⅱ）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c3=2，b3=c1=8，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质“P（2，1，0）”，并说明理由；（Ⅲ）设{a n}既具有性质“P（i，2，d1）”，又具有性质“P（j，2，d2）”，其中i，j∈N*，i＜j，i，j互质，求证：{a n}具有性质“”．2017年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x＞2}，那么A∪B=（）A．（2，4） B．（2，4]C．[1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x＞2}，那么A∪B={x|x≥1}=[1，+∞），故选：C2．（5分）下列函数中，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y=﹣x3B．y=2|x|C．y=D．y=log3（﹣x）【解答】解：解：对于A，是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，不正确；对于B，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数，正确，对于C，非奇非偶函数，不正确；对于D，非奇非偶函数，不正确，故选B．3．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A．B．C．D．2【解答】解：点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的直角坐标方程为x﹣y﹣1=0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离为，故选：A．4．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．5．（5分）已知向量=（，），=（，﹣1），则，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（，），=（，﹣1），∴=﹣=||•||•cosθ=1•2cosθ，求得cosθ=，∴θ=，故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为2，底面正方形的对角线的长为2，四棱锥的4个侧面面积分别为：=；=；=；=．最大侧面面积为：．故选：C．7．（5分）S（A）表示集合A中所有元素的和，且A⊆{1，2，3，4，5}，若S （A）能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：由题意得符合条件的非空集合A有：{3}，{1，2}，{1，5}，{2，4}，{4，5}，{1，2，3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共有11个．故选：B．8．（5分）血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是（）①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用，故正确；④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（4，﹣3）．【解答】解：复数==﹣3i+4对应的点的坐标为（4，﹣3）．故答案为：（4，﹣3）．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=6的值为6，则输出的x值为0．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=6执行循环体，y=4，x=4不满足条件x≤1，执行循环体，y=2，x=2不满足条件x≤1，执行循环体，y=0，x=0满足条件x≤1，退出循环，输出x的值为0．故答案为：0．11．（5分）点A从（1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B，若点B 的坐标是，记∠AOB=α，则sin2α=﹣．【解答】解：由题意可得：sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故答案为：﹣．12．（5分）若x，y满足且z=x2+y2的最大值为10，则m=4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；则k＞1，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方由图象知，O到A的距离最大，∵z=x2+y2的最大值为10，由，解得A（m﹣1，1），则OA==即m2﹣2m+2=10，即m2﹣2m﹣8=0，解得m=4或m=﹣2（舍），故m=4，故答案为：4．13．（5分）已知函数f （x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x；当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞1时，f（x+2）=f（x），则f（8）=2﹣ln2．【解答】解：∵当x＞1时，f（x+2）=f（x），∴当x＞1时，f（x）的周期为2．∴f（8）=f（2），∵当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2）=﹣f（﹣2），∵当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x，∴f（﹣2）=ln2﹣2，∴f（8）=f（2）=2﹣ln2，故答案为：2﹣ln2．14．（5分）已知O为△ABC的外心，且．①若∠C=90°，则λ+μ=；②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为．【解答】解：①若∠C=90°，则O是斜边AB的中点，如图①所示；∴=，∴λ=，μ=0，∴λ+μ=；②设△ABC的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，∵∠ABC=60°，∴AOC=120°，设A（1，0），C（﹣，），B（x，y），则=（1﹣x，﹣y），=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），∵，∴，解得，∵B在圆x2+y2=1上，∴（）2+（）2=（λ+μ﹣1）2，∴λμ=≤（）2，∴（λ+μ）2﹣（λ+μ）+≥0，解得λ+μ≤或λ+μ≥2，∵B只能在优弧上，∴λ+μ≤，即λ+μ得最大值为．故答案为：（1），（2）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在锐角△ABC中，2asinB=b．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）求sinB﹣cos（C+）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）利用正弦定理化简b=2asinB，得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=．（Ⅱ）∵=sin（﹣C）﹣cos（C+）=sin（C+）﹣cos（C+）=2sinC，又∵A=，△ABC为锐角三角形，可得：＜C＜，∴＜sinC＜1，∴=2sinC∈（，2）．16．（13分）某社区超市购进了A ，B ，C ，D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a i ，i=1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）【解答】解：（I ）由题意可得：5××30=3000（件）．因此产品A 的月销售量约为3000（件）．（II ）一位顾客购买两种以上（含两种）新产品的概率==．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的个数为ξ，则ξ～B （3，）．P （ξ=k ）=．随机变量X=2ξ的分布列为：EX==．（III）某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐B种新产品．17．（14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（I）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，∴CD=AB﹣2ADcos60°=1，即CD=AB．∵CD EF，CD AB，又BG=AB，∴EF BG，∴四边形EFBG是平行四边形，∴EG∥BF，又EG⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴EG∥平面BDF（II）解：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD==，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，DE⊥CD，∴DE⊥平面ABCD．以D为原点，以直线DA，DC，DE为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：则A（1，0，0），E（0，0，1），B（0，，0），D（0，0，0），F（﹣，，1）∴=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（﹣，，1），设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1得=（2，0，1），∴cos＜＞===﹣，设直线AE与平面BDF所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=．（3）解：设H（﹣，，h），（0≤h≤1）当h=0时，显然平面BDF与平面HAD不垂直，则=（﹣，，h），=（1，0，0），设平面HAD的法向量为=（x，y，z），则，，∴，令y=得=（0，，﹣）．假设存在点H，使得平面BDF⊥平面HAD，则，∴=﹣=0，方程无解．∴线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD．18．（13分）已知函数f（x）=e x﹣alnx﹣a．（Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于∀a∈（0，e），f（x）在区间上有极小值，且极小值大于0．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=e x﹣alnx﹣a，x＞0，由a=e，则f（x）=e x﹣e（lnx﹣1），求导f′（x）=e x﹣，由f（1）=0，f′（1）=0，∴y=f（x）在（1，f（1））处切线方程为y=0，（Ⅱ）由a∈（0，e），则导f′（x）=e x﹣，在（，1）上是单调递增函数，由f′（）=﹣e＜0，f′（1）=e﹣a＞0，则∃x0∈（，1）使得﹣=0，∴∀x∈（，x0），f′（x0）＜0，∀x∈（x0，1），f′（x0）＞0，故f（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，∴f（x）有极小值f（x0），由﹣=0，则f（x0）=﹣a（lnx0+1）=a（﹣lnx0﹣1），设g（x）=a（﹣lnx﹣1），x∈（，1），g′（x）=a（﹣﹣）=﹣，∴g（x）在（，1）上单调递减，∴g（x）＞g（1）=0，即f（x0）＞0，∴函数f（x）的极小值大于0．19．（14分）已知椭圆E的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点M在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设P（﹣4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，求k的值．【解答】解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则椭圆的焦点为（﹣1，0），（1，0），即c=1，点M在椭圆E上，由椭圆的定义可得2a=+=+=4，即a=2，b==，则椭圆方程为+=1；（2）由P在x轴上，直线PA，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，可得k PA+k PB=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=0，即有x1y2+4y2+x2y1+4y1=0，由y1=kx1+1，y2=kx2+1，可得2kx1x2+（x1+x2）（4k+1）+8=0，①由直线y=kx+1代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，判别式△=64k2+32（3+4k2）＞0显然成立，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，代入①，可得2k•（﹣）+（﹣）（4k+1）+8=0，解得k=1．20．（13分）若无穷数列{a n}满足：∃k∈N*，对于，都有a n+k ﹣a n=d（其中d为常数），则称{a n}具有性质“P（k，n0，d）”．（Ⅰ）若{a n}具有性质“P（3，2，0）”，且a2=3，a4=5，a6+a7+a8=18，求a3；（Ⅱ）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c3=2，b3=c1=8，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质“P（2，1，0）”，并说明理由；（Ⅲ）设{a n}既具有性质“P（i，2，d1）”，又具有性质“P（j，2，d2）”，其中i，j∈N*，i＜j，i，j互质，求证：{a n}具有性质“”．【解答】（Ⅰ）解：∵{a n}具有性质“P（3，2，0）”，∴a n﹣a n=0，n≥2．+3由a2=3，得a2=a5=a8=3．由a4=5，得a7=5．∵a6+a7+a8=18，∴a6=10．即a3=10；（Ⅱ）解：{a n}不具有性质“P（2，1，0）”．设等差数列{b n}的公差为d，由b1=2，b3=8，得2d=8﹣2=6，则d=3．∴b n=3n﹣1．设等比数列{c n}的公比为q，由c3=2，c1=8，得，又q＞0，∴q=，故．∴a n=b n+c n=3n﹣1+24﹣n．﹣a n=0，n≥1．若{a n}具有性质“P（2，1，0）”，则a n+2∵a2=9，a4=12，∴a2≠a4，故{a n}不具有性质“P（2，1，0）”．（Ⅲ）证明：∵{a n}具有性质“P（i，2，d1）”，∴a n﹣a n=d1，n≥2．①+i﹣a n=d2，n≥2．②∵{a n}具有性质“P（j，2，d2）”，∴a n+j∵i，j∈N*，i＜j，i，j互质，=a m+jd1，由②得a m+ij=a m+id2．∴由①得a m+ji∴a m+jd1=a m+id2，即．②﹣①得：，n≥2，∴，即{a n}具有性质“”．。

丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（理科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B =U （A ）(24),（B ）(24,]（C ）[1+),∞（D ）(2),+∞2. 下列函数中，既是偶函数又是()0+∞,上的增函数的是 （A ）3x y -=（B ）xy 2=（C ）12y x =（D ）3log ()y x =-3. 在极坐标系中，点)4,π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（A（B（C（D ）24. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x =±的是（A ）2214yx -= （B ）2214xy -=（C ）2214yx -= （D ）2214xy -=5. 已知向量1)2=，a，1)=-b ，则，a b 的夹角为 （A ）π4 （B ）π3（C ）π2（D ）2π36. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为 （A ）1（B（C（D ）27. ()S A 表示集合A 中所有元素的和，且{}12345A ⊆,,,,，若()S A 能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是 （A ）10 （B ）11 （C ）12 （D ）138. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的个数是 ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个第二部分 （非选择题 共110分）侧视图俯视图正视图二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在复平面内，复数34i i+对应的点的坐标为 ．10. 执行右图所示的程序框图，若输入=x 的值为6，则输出的x 值为 ．11. 点A 从(10),出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B的坐标是34()55,-,记AOB α∠=,则sin 2α= ．12. 若x ，y 满足11，，，y y x x y m ≥≤-+≤⎧⎪⎨⎪⎩且22z x y =+的最大值为10，则m = ．13. 已知函数f (x )的定义域为R . 当0<x 时，()ln()f x x x =-+；当e e x -≤≤时，()()f x f x -=-；当1x >时，(2)()f x f x +=，则(8)f = ．14. 已知O 为ABC △的外心，且BO BA BC λμ=+u u r u u r u u r.①若90C ︒∠=，则λμ+= ；②若60ABC ︒∠=，则λμ+的最大值为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在锐角ABC △中，2sin a B b =. （Ⅰ）求∠A 的大小；cos()6B C π-+的最大值.16.（本小题共13分）某社区超市购进了A ,B ,C ,D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为12315i a i = ,,,,,）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ， 求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）17.（本小题共14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，22AB AD ==，60DAB ∠=︒60︒，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）若点G 是棱AB 的中点，求证：EG ∥平面BDF ； （Ⅱ）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC 上是否存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ？若存在，求FHHC 的值；若不存在，说明理由.18.（本小题共13分）已知函数()e ln xf x a x a =--.（Ⅰ）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于(0e)a ∀∈,，()f x 在区间()e ,1a上有极小值，且极小值大于0.19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线PA ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.20.（本小题共13分）若无穷数列{}n a 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.（Ⅰ）若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ； （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由；（Ⅲ）设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j iP j i i d i--+,,”.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．05GAD EFBC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(43)-，10．0 11．2425- 12．4 13．2ln2- 14．12 ；23三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B =， ..………………2分因为0πB <<，所以s i B >，从而2s i A =， ..………………3分所以1sin 2A =. 因为锐角ABC △，所以π6A =. ..………………6分（Ⅱ）因为πi n c o s ()=6B C B A C -+-+..………………7分cos B B + ..………………9分π=2sin(+)6B ..………………11分当π3B =πcos()6B C -+有最大值2， 与锐角ABC△矛盾，故πcos()6B C -+无最大值 ..………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）5⨯300⨯30=300015（件）， .………………3分答：产品A 的月销售量约为3000件. .………………4分（Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为P 93==155. .………………5分 X 可取0，2，4，6 ， .………………6分 (=)()P X 3280==5125， 123336(=2)()P X C 2==55125，2233254(=4)()P X C ==55125， 3327(=6)()P X ==5125，.………………8分所以836542745018()02461251251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. ..……………10分（Ⅲ）产品D . ……………13分 17.（本小题共14分）（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ． 所以EF //BG ，且=EF BG ，故四边形EFBG 为平行四边形, 所以EG //FB . (2)分因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ， 所以EG //平面BDF ．解：（Ⅱ）因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF 平面ABCD DC =，DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==， 所以由余弦定理，得BD = 所A ⊥．在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==如图,以D 为原点，以DA DB DE ，，所在直线分别为建立空间系， 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ， (0,0,1)E ，B ，(F 所以(1,0,1)AE =- ，1(2DF =- ，DB = 设平面B D 的法向量为00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n ………………7分 所以0102x y z =⎨-++=⎪⎩，取1z =，则(2,=n ． ………………8分设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin cos ,AE AE AE θ⋅=〈〉=⋅n n n，=………………9分所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为. ………………10分 （Ⅲ）线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ．证明如下： ………………11分假设线段FC 上存在点H ，设1()(01)2H t t -≤≤， 则1()2DH t =- ． 设平面HAD 的法向量为(,,)a b c =m ，由0,0.DA DH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以0102a a tc =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取1c =，则0,a b ==，得,1)． ………………12分 要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需， ………………13分 即200110⨯⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段FC 上不存在点H ，使平面B D F ⊥平面………………14分13分） ：（Ⅰ）()f x 的定义域为0+∞， …………………1分y因为e a =，所以()e e x f x x =-+，所以e()exf x x'=-. …………………2分 因为(f =，(1)0f '=， …………………3分所以曲线()y f x =在点(1,(f 处的切线方程为0y =. …………………4分 （Ⅱ） 因为0e a <<,所以()e x a f x x '=-在区间(,1)ea上是单调递增函数. …………………5分因为e()e e 0ea a f '=-<，(1)e 0f a '=->， …………………6分所以0(,1)ea x ∃∈,使得00e =0x a x -. …………………7分所以0(,)eax x ∀∈，()0f x '<；0(,1)x x ∀∈，()0f x '>， …………………8分故()f x 在0(,)ea x 上单调递减，在0(,1)x 上单调递增， …………………9分所以()f x 有极小值0()f x .…………………10分因为00e 0x ax -=,所以1()=x f x ax -+=. …………………11分设1()=(ln 1)g x a x x --，(,1)eax ∈，则2211(1)()()a x g x a x x x +'=--=-， ………………12分所以()0g x '<，即()g x 在(,1)e a上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． ………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a =+，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=，所以椭圆E的方程为22143x y +=...………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线PA , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BPk k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++， 通分得122112(4)(4)0(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=， 所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分代入①，得1k =. ..………………14分20.（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质“(3,2,0)P ”，所以30n n a a +-=，2n ≥. 由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =. ..………………2分因为6718a a a ++=，所以610a =，即310a =. ..………………4分（Ⅱ）{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………5分设等差数列{}n b 的公差为d ，由 12b =，38b =，得2826d =-=，所以3d =，故31n b n =-. ..………………6分设等比数列{}n c 的公比为q ，由 32c =，18c =， 得214q =，又0q >，所以12q =，故42n n c -=， ..………………7分所以4312n n a n -=-+.若{}n a 具有性质“(2,1,0)P ”，则20n n a a +-=，1n ≥. 因为29a =，412a =，所以24a a ≠， 故{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………8分（Ⅲ）因为{}n a 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n i n a a d +-=，2n ≥.①因为{}n a 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n ≥.②因为*N i j ∈,，i j <，i j ,互质， 所以由①得1m ji m a a jd +=+；由②，得2m ij m a a id +=+， ..………………9分所以12m m a jd a id +=+，即21jd d i=. ..………………10分②-①，得211n j n i j ia a d d d i++--=-=，2n ≥， ..………………11分所以1n j ij ia a d i+---=，2n i ≥+， ..………………12分所以{}n a 具有性质“1(,2,)j iP j i i d i--+”. ..………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（理科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}{}142, A x x B xx =≤≤=>，那么A B =U（A ）(24),（B ）(24,]（C ）[1+),∞（D ）(2),+∞2. 下列函数中，既是偶函数又是()0+∞,上的增函数的是 （A ）3xy -= （B ）xy 2=（C ）12yx =（D ）3lo g ()yx =-3. 在极坐标系中，点)4,π到直线co s sin 10ρθρθ--=的距离等于（A 2（B（C 2（D ）24. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12yx=±的是（A ）2214yx-= （B ）2214xy-= （C ）2214yx-= （D ）2214xy-=5. 已知向量1)22=，a ，1)=-b，则，a b 的夹角为 （A ）π4（B ）π3（C ）π2（D ）2π36. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（A ）1（B（C（D ）27.()S A 表示集合A 中所有元素的和，且{}12345A⊆,,,,，若()S A 能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是 （A ）10（B ）11（C ）12（D ）138. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的个数是 ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 ③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在复平面内，复数34i i+对应的点的坐标为 ．10. 执行右图所示的程序框图，若输入=x 的值为6，则输出的x 值为 ． 11. 点A 从(10),出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是34()55,-,记A O Bα∠=,则sin 2α= ．12. 若x ，y满足11，，，y y x x y m ≥≤-+≤⎧⎪⎨⎪⎩且22z x y =+的最大值为10，则m = ．13. 已知函数f (x )的定义域为R . 当0<x时，()ln ()f x x x=-+；当e e x -≤≤时，()()f x f x -=-；当1x >时，(2)()f x f x +=，则(8)f =．14. 已知O 为A B C △的外心，且B O B A B Cλμ=+uu r uu ruu r. ①若90C ︒∠=，则λμ+=； ②若60A B C ︒∠=，则λμ+的最大值为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在锐角A B C △中，2sin a B b=.（Ⅰ）求∠A 的大小；in c o s ()6B C π-+的最大值.16.（本小题共13分）某社区超市购进了A ,B ,C ,D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为12315ia i =,,,,,）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ， 求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）17.（本小题共14分）如图所示的几何体中，四边形A B C D 为等腰梯形，A B ∥C D ，22ABAD ==，60D A B ∠=︒60︒，四边形C D E F 为正方形，平面C D E F⊥平面A B C D .（Ⅰ）若点G 是棱A B 的中点，求证：E G ∥平面BD F ； （Ⅱ）求直线A E 与平面BD F 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段F C 上是否存在点H ，使平面B D F⊥平面H A D？若存在，求F H H C的值；若不存在，说明理由.18.（本小题共13分）已知函数()eln xf x a x a=--.（Ⅰ）当ea=时，求曲线()yf x =在点(1(1)),f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于(0e )a ∀∈,，()f x 在区间()e ,1a 上有极小值，且极小值大于0.19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x=的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线P A ,PB 均与圆)0(222>=+r r yx 相切，求k 的值.20.（本小题共13分）若无穷数列{}n a 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.（Ⅰ）若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ；（Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n na b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由；（Ⅲ）设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j i P j i i d i--+,,”.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．05二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(43)-， 10．0 11．2425-12．4 13．2ln 2- 14．12；23三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B=， ..………………2分因为0πB <<，所以sin 0B >，从而2sin 1A =， ..………………3分所以1sin 2A =.因为锐角A B C △，所以π6A =. ..………………6分（Ⅱ）πcos()=cos()6B C B A C -+-+ ..………………7分s i n c o s B B +..………………9分π=2sin (+)6B ..………………11分当π3B=πc o s()6B C -+有最大值2，与锐角A B C △矛盾，πc o s()6B C -+无最大值 ..………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）5⨯300⨯30=300015（件）， .………………3分答：产品A 的月销售量约为3000件. .………………4分 （Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为P93==155. .………………5分X 可取0，2，4，6 ， .………………6分(=)()P X 3280==5125，123336(=2)()P X C 2==55125，2233254(=4)()P X C ==55125，3327(=6)()P X ==5125，.………………8分 所以836542745018()02461251251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. ..……………10分（Ⅲ）产品D . ……………13分17.（本小题共14分）（Ⅰ）证明：由已知得E F //C D ，且=E F C D .因为A B C D 为等腰梯形，所以有B G //C D . 因为G 是棱A B 的中点，所以=B G C D ． 所以E F //B G ，且=E F B G ， 故四边形E F B G 为平行四边形,所以E G //F B . ………………2分 因为F B⊂平面B D F ，E G⊄平面B D F ，所以E G //平面B D F ． ………………4分解：（Ⅱ）因为四边形C D E F 为正方形，所以E DD C⊥.因为平面C D E F ⊥平面A B C D ，平面C D E F平面A B C D D C=，D E ⊂平面C D E F ，所以E D ⊥平面A B C D .在△A B D 中，因为60D A B ︒∠=，22ABAD ==，所以由余弦定理，得B D =所以A DB D⊥． ………………5分在等腰梯形A B C D 中，可得1D C C B ==.如图,以D 为原点，以D A D B D E ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间坐标系， ………………6分则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(0,0,1)E ，(00)B ，1(22F -，所以(1,0,1)A E=-，1(22D F=-，(00)D B=.设平面B D F的法向量为(,,)x y z =n ，由00.D B D F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n (7)分所以01022x y z =⎨-++=⎪⎩，取1z =，则2,0x y ==，得(2,0,1)=n． ………………8分设直线A E 与平面B D F 所成的角为θ，则s in c o s ,A E A E A E θ⋅=〈〉=⋅nn n10=…………9分所以A E 与平面B D F 10………………10分（Ⅲ）线段F C 上不存在点H ，使平面B D F ⊥平面H A D ．证明如下：………………11分假设线段F C 上存在点H ，设1()(01)22H t t -≤≤，则1()22D Ht =-．设平面H A D 的法向量为(,,)a b c=m ，由0,0.D A D H ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0122a a tc =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取1c=，则0,ab ==-，得(0,,1)=-m． ………12分要使平面BD F ⊥平面H A D ，只需0⋅=mn ，………………13分即200110⨯-⨯+⨯=， 此方程无解．所以线段F C 上不存在点H ，使平面B D F ⊥平面H A D ． ………………14分18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分因为ea =，所以()e e (ln 1)xf x x =-+，所以e ()e xf x x'=-. …………………2分因为(1)0f =，(1)0f '=， …………………3分所以曲线()yf x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =. …………………4分（Ⅱ） 因为0ea <<,所以()e xa f x x'=-在区间(,1)e a 上是单调递增函数. …………………5分因为e ()e e 0eaa f '=-<，(1)e 0f a '=->， …………………6分所以0(,1)ea x ∃∈,使得0e =0x a x -. …………………7分所以0(,)e a x x ∀∈，()0f x '<；0(,1)x x ∀∈，()0f x '>， …………………8分故()f x 在0(,)ea x 上单调递减，在0(,1)x 上单调递增， …………………9分所以()f x 有极小值0()f x . …………………10分因为0e 0xa x -=, 所以00001()=e (ln 1)(ln 1)x f x a x a x x -+=--. …………11分设1()=(ln 1)g x a x x--，(,1)ea x ∈，则2211(1)()()a x g x a xxx+'=--=-， ……………12分所以()0g x '<， 即()g x 在(,1)ea 上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． ………………13分19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x=的焦点坐标为(1,0),所以1c=,..………………1分所以3242a =+=，..………………3分 即2a=.因为222413ba c =-=-=，所以椭圆E 的方程为22143xy+=..………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线P A , PB 与圆222x yr+=(0)r >相切，所以0A PB P k k +=， .………………7分即1212044y y x x +=++，通分得122112(4)(4)(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0k x x k x x +++++=，整理，得12122(41)()80k x x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x yy k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x k x ++-=，所以12122288,3434kx x x x kk+=-=-++，..………………11分 代入①，得1k=. ..………………14分20.（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质“(3,2,0)P ”，所以3n n a a +-=，2n≥.由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =. ..………………2分 因为67818a a a ++=，所以610a =，即310a =. ..………………4分（Ⅱ）{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………5分设等差数列{}n b 的公差为d ，由 12b =，38b =，得2826d=-=，所以3d=，故31n b n =-...………………6分设等比数列{}n c 的公比为q ，由 32c =，18c =，得214q =，又0q>，所以12q =，故42nnc -=， ..………………7分所以4312nna n -=-+.若{}n a 具有性质“(2,1,0)P ”，则20n n a a +-=，1n ≥.因为29a =，412a =，所以24a a ≠，故{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………8分 （Ⅲ）因为{}n a 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n in a a d +-=，2n ≥.① 因为{}n a 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n≥.②因为*N i j ∈,，i j<，i j ,互质，所以由①得1m ji m a a jd +=+；由②，得2m ijm a a id +=+， ..………………9分所以12mm a jd a id +=+，即21j d d i =...………………10分 ②-①，得211n j n i j i a a d d d i++--=-=，2n≥， ..………………11分所以1n j in j i a a d i+---=，2n i ≥+， ..………………12分所以{}n a 具有性质“1(,2,)j i P j i i d i--+”. ..………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（文科）2017.5一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.解：（Ⅰ）ππ()sin2cos cos2sin sin(2)555f x x x xπ=-=-，所以()f x的最小正周期2ππ2T==.{周期公式1分，结果1分}因为siny x=的对称轴方程为ππ,2x k k=+∈Z，令ππ2π,52x k k-=+∈Z，得7π1π,202x k k=+∈Z()f x的对称轴方程为7π1π,202x k k=+∈Z.或者：ππ22π52x k-=+和ππ22π,52x k k-=-+∈Z}，即7ππ20x k=+和3ππ,20x k k=-+∈Z {若少一组给1分}（Ⅱ）因为π[0,]2x∈，所以2[0,π]x∈，所以ππ4π2[,]555x-∈-，所以，当ππ252x-=，即7π20x=时，()f x在区间π[0,]2上的最大值为1.16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为24(1)n n S a =+，所以，当1n =时，2114(1)a a =+，解得11a =，所以，当2n =时，2224(1)(1)a a +=+，解得21a =-或23a =， 因为{}n a 是各项为正数的等差数列，所以23a =， 所以{}n a 的公差212d a a =-=，所以{}n a 的通项公式1(1)21n a a n d n =+-=-.（Ⅱ）因为24(1)n n S a =+，所以22(211)4n n S n -+==，所以277(21)22n n S a n n -=--2772n n =-+2735()24n =--所以，当3n =或4n =时，72n n S a -取得最小值172-.17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)⨯1%=12(人)；选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)⨯1%=8(人). (Ⅱ)(ⅰ)当缴纳费用S=4000时，(,)x y 只有两种取值情况：(2,0),(1,2);(ⅱ)设事件:A 若选择G 课程的同学都参加科学营活动，缴纳费用总和S 超过4500元.在“组M ”中，选择F 课程和G 课程的人数分别为3人和2人.由于选择G 课程的两名同学都参加，下面考虑选择F 课程的3位同学参加活动的情况.设每名同学报名参加活动用a 表示，不参加活动用b 表示，则3名同学报名参加活动的情况共有以下8种情况：aaa ，aab ，aba ，baa ，bba ，bab ，abb ，bbb . 当缴纳费用总和S 超过4500元时，选择F 课程的同学至少要有2名同学参加，有如下4种：aaa ，aab ，aba ，baa .所以，41()82P A ==.18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BD ⊥, 因为底面ABCD是菱形，所以BD AC ⊥， 因为PCAC C =，所以BD ⊥平面PAC .（Ⅱ）设AC 与BD 交点为O ，连接OE ， 因为平面PAC平面BDE OE =，//PC 平面BDE ，所以//PC OE ，又由ABCD 是菱形可知O 为AC 中点， 所以，在PAC ∆中，1AE AOEP OC==， 所以AE EP =.（Ⅲ）在PAC ∆中过点E 作//EF PC ，交AC 于点F ， 因为PC ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD .由ABCD 是菱形可知ABD BDC S S ∆∆=，假设存在点E 满足13A BDE P BDC V V --=，即13E BDA P BDC V V --=，则 13EF PC =， 所以在PAC ∆中，13AE EF AP PC ==， 所以23PE PA =.19.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由3211()+2132f x x x x =-+ 得2'()+2(1)(2)f x x x x x =-=+-，令'()0f x =，得122,1x x =-=， (),'()f x f x 的情况如下表：A所以函数()f x 的单调区间为(,2),(1,)-∞-+∞，单调减区间为(2,1)-.{说明：三个单调区间一个1分，如果没有阐述导数符号，也没有画导函数图像说明，仅是直接写出正确的三个单调区间，给2分}（Ⅱ）由3211()+2132f x x x x =-+可得13(2)3f -=. 当2a -<-即522a ≤≤时，由（Ⅰ）可得()f x 在[,2)a --和(1,]a 上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以，函数()f x 在区间[,]a a -上的最大值为max{(2),()}f f a -，又由（Ⅰ）可知513()()23f a f ≤=， 所以13max{(2),()}(2)3f f a f -=-=；当2,1a a -≥-≤，即01a <≤时，由（Ⅰ）可得()f x 在[,]a a -上单调递减，()f x 在[,]a a -上的最大值为32()2132a a f a a -=-+-+. 当2,1a a -≤->，即12a <≤时，由（Ⅰ）可得()f x 在[,1)a -上单调递减，在(1,]a 上单调递增，所以，函数()f x 在区间[,]a a -上的最大值为max{(),()}f a f a -，法1：因为22()()(6)03f a f a a a --==-->，所以32max{(),()}()2132a a f a f a f a a -=-=-+-+.法2：因为21a -≤-<-，12a <≤所以由（Ⅰ）可知19()(1)6f a f ->-=，10()(2)6f a f ≤=， 所以()()f a f a ->，所以32max{(),()}()2132a a f a f a f a a -=-=-+-+.法3：设32()()()43g x f x f x x x =--=-+，则2'()24g x x =-+，(),'()g x g x 的在[1,2]上的情况如下表：所以，当02x <<时，()(0)0g x g >=， 所以()()()0g a f a f a =-->，即()()f a f a ->所以max{(),()}()f a f a f a -=-322132a aa =-+-+.综上讨论，可知：当522a ≤≤时，函数()f x 在区间[,]a a -上的最大值为133；当02a <<时，函数()f x 在区间[,]a a -上的最大值为32()2132a a f a a -=-+-+.20.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得231a -=，所以24a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）由题意可设(2,),(2,)A m B n -， 因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，即3mn = ① (ⅰ) 因为11AF BF ⊥，所以当1ABF ∆为等腰三角形时，只能是11||||AF BF = 化简得228m n -= ② 由①②可得3,1,m n =⎧⎨=⎩或3,1,m n =-⎧⎨=-⎩所以1111||||52ABF S AF BF ∆===. (ⅱ)直线:(2)4n mAB y x m -=++， 化简得()42()0n m x y m n --++=，由点到直线的距离公式可得点1F , 2F 到直线AB 距离之和为12d d +=+因为点1F , 2F 在直线AB 的同一侧，所以12d d += 因为3mn =，所以2226m n mn +≥=，12d d +=所以12d d +=当m n =m n ==时，点1F , 2F 到直线AB 距离之和取得最小值。

丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（文科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在 答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B =U （A ）(24),（B ）(24,] （C ）[1+),∞（D ）(2),+∞ 2. 下列函数中，既是偶函数又是(0+)∞,上的增函数的是 （A ）3y x =（B ）x y 2=（C ）2y x =-（D ）)(log 3x y -=3. 某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 （A ）14，9.5（B ）9，9（C ）9，10（D ）14，94. 圆22(1)1x y ++=的圆心到直线1y x =-的距离为（A ）1（B ）2（C （D ）25. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入x 的值为（A ）2-（B ）16（C ）2-或8（D ）2-或166. 已知向量1)(1)2，==a b ，1)1)2，，=-a b ，则，a b 的夹角为 （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2（D ）2π37. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则最长侧棱（不包括底面的棱）的长度为 （A ）2（B （C）（D ）8. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的是 （A ）首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用（B ）每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 （C ）每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用（D ）首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 双曲线2214xy -=的焦点坐标为 ．10. 已知复数(1i)(i 2)z =--，则z =．侧视图俯视图正视图11. 在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，csin cos B b A =，则角A 的大小为 .12. 若实数x y , ，x y , 满足约束条件00x y x x y a ≥≤++≤⎧⎪⎨⎪⎩，，，且y x z 3+=的最大值为4，则实数a 的值为 ．13. 已知函数2(1)21()11 1.,,,x x f x x x--+≤=+>⎧⎪⎨⎪⎩下列四个命题：①((1))(3)f f f >；②0(1)x ∃∈+∞,，01()3f x '=-；③()f x 的极大值点为1x =；④12(0)，,x x ∀∈+∞，12()()1f x f x -≤其中正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）14. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与点O 重合，称射线OM 与圆221x y +=的交点N 为点M 的“中心投影点”.（1）点M (1的“中心投影点”为________；（2）曲线2213y x -=上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题共13分）已知等比数列{}n a 的公比2q =，前3项和是7，等差数列{}n b 满足13b =，2242b a a =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2(21)n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .16.（本小题共13分）已知函数2π()sin sin()2f x x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．17.（本小题共14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面PAB， AD //BC ，12BC CD AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：CE //平面PAB ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面CEF ；（Ⅲ）写出三棱锥D CEF -与三棱锥P ABD -的体积之比.（结论不要求证明）18.（本小题共13分）某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析. 将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩(单位：分)绘成折线图如下：FEB CDPA（Ⅰ）若第一段抽取的学生编号是006，写出第五段抽取的学生编号；（Ⅱ）在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；（Ⅲ）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由.19.（本小题共14分） 已知椭圆C ：22143xy+=，点P (40),，过右焦点F 作与y 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：以坐标原点O 为圆心与P A 相切的圆，必与直线PB 相切.20.（本小题共13分） 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x<恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞，恒有()1f x <.丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习高三数学（文科）参考答案及评分参考2017．05一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(50)±, 10 11．π612．2- 13．①②③④ 14．1(2；4π3三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）由已知，得1237a a a ++=，且等比数列{}n a 的公比2q =，所以111247a a a ++=，解得11a =， ……………………1分所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=。