电阻串并联及其等效变换1

i1
i1
'
1 i12
'
R1
R31
R3 i3 R2
R12 R23
i3 i31
'
'
3
i2
2
i23
'
i2
'
2
3
（a）
（b）
设在它们对应端子间有相同的电压u12、 u23 、 u31。 如果它们彼此等效，那么流入对应端子的电流必须分别相 ' ' ' 等。应当有： i1 i1 , i2 i2 , i3 i3
解：
Req 40 // 40 30 // 30 // 30
40 30 30 2 3
40
30
Req
40
30
30
30
例4.
100 的电阻与120V的电源串联，为了使电阻上的功率不超过 100W，至少应再串入多大的电阻R？电阻R上消耗的功率是多少？
i
120V
R
解： 未接电阻R时 2 120 p 144 100W 100
KVL
Req R1 R2 .... Rn RK K 1
n
电阻 Req 称串联电阻的等效电阻。 等效电阻与这些串联电阻所引起的作用完全一样。 这种替代称等效替代。
结论： 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
3. 功率关系
p1 R1 i
2
p2 R2 i
2
.....
2
2
pn Rn i
（1）
i3 i31 i23
' ' '
1
i1
R1
对Y ，端子间的电压分别为：

k 1
n
顺之者正，逆之者负。
2、串联： is1 is2
isn
is = is1= is2 = isn is
(1)电流相同的电流源能串联，但每个电源中的电压不确定。 (2)电流不相等，则不能串联，否则，违背KCL。 3、电流源is 和R、 us的串联： us is + – + u1 – R 注意：电压变化了。
第二章 电阻电路的等效变换
§2-1 引言
线性电路：由线性无源元件（R、L、C·）、线性受控 · · 源和独立电源组成。 线性电阻电路：由线性电阻、线性受控源和独立电源组成。 直流电路：独立电源为直流电源的线性电阻电路。
§2-2 电路的等效变换
一、等效的概念：
R R R1 §2-2 电路的等效变换 1 1 R2 i + R4 u R _ 3 ,
解：用电源变换法。受控源和独立源一样可以进行电源转换。 R i R _ + uR_ i R + uR + + ic + uc _ uS R _uS _
uc Ric 2 2 uR 4uR
Ri + Ri + uc = us
2uR 4uR us us uR 2V 6 在进行电源变换时，为避免出错控制量一般不要转换掉!
i2
i3
i3
u31 u23 R31 R23
R1u23 R3u12 R1R2 R2 R3 R3 R1 R1R2 R2 R3 R3 R1
R2u31 R1u23 R1R2 R2 R3 R3 R1 R1R2 R2 R3 R3 R1
由Y : R R R2 R3 R3 R1 R12 1 2 R3 R1R2 R2 R3 R3 R1 R23 R1 R R R2 R3 R3 R1 R31 1 2 R2

3V
R7 R5
I5 R34
3 6
2
R61
（2-8）
解 可以利用电阻串联与并联的特征对电路进行简化
I
R12
I12
I7
1
3V
R7 R5
I 5 R34
3 6
2
I
3V
R6 1 (a)
I I7
R12 I12 1
R 1•5
3V
R7 3
R 3456 2
(c)
(b)
（2-9）
由(c)图可知
I
R 1•5
,
解： 2
2
4A
1A
4 I 1
2
+ 8V
- 1A
2
4 I 1
I
2A
1A
1
3A
4
4
I 2 3A 2A 21
I 2 1
（2-18）
讨论题
+ 10V -
I
2 2A
I ?
? 哪 I 10 5 A
个
2
答 案 对
? I 10 2 7 A 2
? I 10 4 3 A 2
10V + -
2 +
I1
R2 R1 R2
I
I2
R1 R1 R2
I
（2-6）
• 并联时，各支路具有相同的电压。 • 并联电阻愈多总电阻就愈小，总电阻小于其
中任一电阻。
• 并联时，一电阻中的分得的电流
与该电阻成反比。
（2-7）
例题2.1
计算图中所示电阻电路的等效电阻R，并 求电流 I 和I5 。
I
R12 I12
I7 1

R1 R1 R2
u
u2
R2 R1 R2
u
1.4 电路的分析方法
（2）电阻的并联
i
a + u
b
i1 R1
i2 R2
…
in Rn
N1
i = i1+ i2++ in
= G1u+G2u++ Gnu
=（G1+ G2+… +Gn）u
第一章 电路的基本概念、定律与分析方法
i
a +
u b
Req
N2
i = Gequ
1.4 电路的分析方法
电阻的等效变换
（1）电阻的串联
i R1 R2 Rn
aБайду номын сангаас+
bu
+ u1 + u2 + un
N1
u = u1 + u2 ++ un =R1i+R2i+ +Rni =(R1+R2+ +Rn)i
第一章 电路的基本概念、定律与分析方法
i
a
+
bu
Req
N2
u = Reqi
n
Req Rk R1 R2 Rn k 1
…
in Rn
N1
Req
R1 R2 R1 R2
两个电阻并联时
i1
R2 R1 R2
i
i2
R1 R1 R2
i
1.4 电路的分析方法
第一章 电路的基本概念、定律与分析方法
例1 求解端口ab的等效电阻 。
a
解：1.找到并联电阻进行等效。

ERA
等效电阻的定义
等效电阻是指一个电阻或电阻网络的输出电压或电流与另一个电阻或电阻网络的输 出电压或电流相等时，这两个电阻或电阻网络可以互相替换。
等效电阻具有相同的输入电压和电流，但内部结构可能不同。
等效电阻的概念在电路分析和设计中非常重要，可以帮助简化电路分析和计算。
等效电阻的计算方法
串联等效电阻
的增加而减小。
实验结论
并联电路中，总电压保 持不变，总电流等于各
支路电流之和。
等效电阻的测量与计算等源自电阻定义在电路中，两个或多个电阻可 以等效为一个电阻，其阻值等
于各电阻阻值之和或之积。
等效电阻的测量方法
使用万用表测量等效电阻的阻 值。
等效电阻的计算方法
根据串并联电路的特性，利用 欧姆定律计算等效电阻的阻值 。
串联和并联电路及等效电
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
阻
• 串联电路 • 并联电路 • 等效电阻 • 串联和并联电路的比较 • 实验与演示
目录
CONTENTS
01
串联电路
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
串联电路的定义
当两个或多个电阻串联连接时， 总电阻等于各个电阻之和。公式 为：R_eq = R1 + R2 + ... + Rn。
并联等效电阻
当两个或多个电阻并联连接时，总 电阻的倒数等于各个电阻倒数之和。 公式为：1/R_eq = 1/R1 + 1/R2 + ... + 1/Rn。
星形等效电阻
将三角形连接的三相电阻等效为星 形连接的三个单相电阻，每个单相 电阻的值为原三角形连接的三相电 阻的平均值。

a
10
10 10 10
b
10
Rab=5
b
10
§2-3 电阻的串联和并联 求解等效电阻时必须注意：
* 首先搞清对何处等效；
* 分清串、并联关系；
* 可改画电路，原则是电阻相互联接关系不能改 变，但电阻位置可变，尽量缩短无阻支路，逐 步等效，逐步化简。 * 等电位点可以短路，电流为零的支路可以开路。 特别注意电路中有无平衡电桥电路。
-
2
§2-5 电压源、电流源的串联和并联 4. 电流源与任意支路串联
iS R i + 1
+
uS
iS + u
1
u
-
2 iS
1
-2
+
u
-
2
§2-5 电压源、电流源的串联和并联 5. 举例
【例1】化简电路。
iS1 =1A
-ห้องสมุดไป่ตู้
+
uS1=2V
1
+
uS2=2V
R1=1
iS2=1A
R2=1
2
§2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
2
2
iS
iS iS1 iS2 iSn
iS1 iS 1 iS2 iSn
显然只有电流源 电流相等时，才允 2 许串联。
iS iS1 iS2 iSn
§2-5 电压源、电流源的串联和并联 3. 电压源与任意支路并联
+
uS
i R 1
+
uS
1 iS i
-
2 1
2
+
uS
i
3 R3 i3
i1

例：
如图所示, 用一个满刻度偏转
电流为50μA, 电阻Rg为2kΩ的表头制成 量程为 50mA的直流电流表, 应并联多大 的分流电阻R2? 解：由题意已知, I1=50μA,
R1=Rg=2000Ω, I=50mA, 由分流公式得：
R2 50 50 103 2000 R2
解得
R2 2.002
解：图中（a）、（b）、（c）图经过星-三角等效变换， 可得到图（d）、（e）、（f）所示的对应电路。
例:求电压Uab
10
a
8
4A
+
10
U ab
b
a
5
2
4A
+
U ab
b
Req
例 :
图示电路中, 已知Us=225V, R0=1Ω, R1=40Ω,
R2=36Ω, R3=50Ω, R4=55Ω, R5=10Ω, 试求各电阻的电流。
u
-
Rp
iS
诺顿电路
电流源电流方向指向电压源正极性端
例1：求图示二端电路的等效电路。
+ 10V 2Ω
5A
2
方向关系和数值关系同等重要！
实际电源两种模型间的等效变换常用于对电路进行化简。
例2：求图示二端网络的最简等效电路。
+
2
30
14
50V
20
1A
+
42V
等效电路
例3：用电源模型等效变换的方法求图（a）所示电路的 电流I1和I2。
一、电阻星形 （ Y） 和三角形 （Δ）连接的等效变换 （Y－Δ等效变换）
Y形联结
形联结
a
R1
Rac

第十五页，共十五页。
P1 P2
N1 1 N2
接入系数 出
版 社
2
2
RL '
V VL
RL
N1 N2
RL
1 p 2 RL
(xìshù)
p
VL V
N2 N1
1
第九页，共十五页。
《
高 频
(ɡāo pín)
电 2. 自耦合变压器
子
线
路
》
（
+
第 四
C
P +
C
L
R L V
版 ）
RL VL
张 肃
-
a)
—
-
b)
—
文
主 编 高
V2 P1 RL'
等 教
绍。首先，讨论负载电阻的部分接入问题。
育
出
版
社
第八页，共十五页。
《
高 频
电 子
1.
变压器耦合连接
线 (liánjiē)
路
》 （
+L
第
四 版 ）
Is
Rp
C VL
P2 RL
P1
Is
Rp C
张 肃 文
—
(a)
(b)
主
编
+
R L V
—
高
V2
等 教
P1 RL'
育
功率 守恒 P2
VL 2 RL
(gōnglǜ)
线
路
C1
》
P
（
+
第 四
C2 RL VL
版
）
-
张
a)

电路中有两处或两处以上接地线，则除了影响电路中各点的
电势外，还将改变电路结构，接地点之间认为是接在同一点 . 2.电路等效的常用方法
（ 1 ） 电流分支法：先将各节点标上字母，判定各支路
元件的电流方向，按电流流向，自左向右将各元件、节点、 分支逐一画出，加工整理即可. （ 2 ） 等势点排列法：标出节点字母，判断出各节点电 势的高低，将各节点按电势高低自左向右排列，再将各节点
能力升华
电路等效简化的原则与方法 例 对图53-1甲、乙所示的电路进行简化，并指出各电
表测量的对象.
甲 图53-1
乙
【解析】用等效电路法分析时，要考虑到安培表的内阻 是很小的，分压作用小，在电流表上几乎没有电压降.对于
图53-1甲，R1的一端与R2、R3的一端通过
相连，可认为R1、
R2、R3的一端等势，同理R1、R2、R3的另一端通过 也是等势的，故R1、R2、R3并联，
(2)并联电路的总电阻小于其中任意 一个电阻 . 任意一个电阻变大时，并联 的总电阻变 大 .
(3)串联电路电流相等，具有分压作 用；并联电路电压相等，具有分流作用.
(4)无论是串联还是并联，其总功率 都等于各个用电器的功率之和，即 P 总 =P1+P2+…+Pn.
二、简单的电路分析 1.首先将电路等效成由几部分组成的串 联电路，按串联电路的特点将电压、功率分 配到各部分. 2.再对具有支路的某一部分按并联电路 的特点，将电流、功率分配到各支路. 3.在分析电路中物理量变化时，应先分 析电阻值不变的那部分电路，再由串、并联 电路的特点分析电阻值变化的那部分电路.
即： ． (5)串联电路功率与电阻成 正比 ，即：
Pn P1 P2 I2 R1 R2 Rn Un U1 U 2 I R1 R2 Rn

总Байду номын сангаас本次课内容5分
重点和难点
重点：电阻的串联电路，电阻的并联电路。
难点：电阻的串联电路、并联电路的分析。
复习思考题，作业题
P60：第3题；第4题。
如有答疑、质疑请记录
教案
授课日期：年月日教案编号：2-2
教学安排
课型：理实一体化
教学方式：启发式讲授法
教学资源
多媒体课件、教材
授课题目（章、节）
项目2直流电阻电路的测试与分析
任务2.1简单电路的测试分析与电阻间的等效变换
2.1.1电阻串并联等效变换（二）
教学目的与要求
掌握电阻混联电路的等效电阻的化简方法；能应用电阻串、并联电路的特点分析和计算简单电路。
教学内容和时间安排
授课内容
回顾和复习上次课的重要知识点：电阻的串联电路、并联电路的特点；习题讲解。30分钟
2.1.1电阻串并联等效变换（二）
任务2.2基尔霍夫定律的研究与应用
2.2.1基尔霍夫定律
教学目的与要求
掌握基尔霍夫两个定律及有关计算。
教学内容和时间安排
授课内容
回顾和复习上次课的重要知识点：电阻的Y形网络和Δ形网络的等效变换；习题讲解。20分钟
2.2.1基尔霍夫定律
1．实训2-2：基尔霍夫定律的研究（课外预习时学生先做，课堂上老师分析）15分
回顾和复习上次课的重要知识点：基尔霍夫两大定律。10分钟
2.2.2支路电流法
1．支路电流法分析方法和步骤（理解、掌握）10分
2．分析例题与学生练习（掌握）45分
3．实训2-3：验证支路电流法（掌握）20分
总结本次课内容5分
重点和难点
重点：用支路电流法求解支路电流及其他电路参数。

i
R1
+
u
R2
-
VAR:
i + u VAR：
R=R1+R2
注意：当电路中的某一部分用其等效电路替代后，未被替代部分的电压电流均 应保持不变，即“对外等效”。
§2-1 引言
三、等效法
1、等效法：将复杂电路进行等效化简，从而求出各i. u, p的一种分析方法
2、本章内容
电阻的等效变换 电源的等效变换
第二章 电阻电路的等效变换法
R4
Rg
R2
R3
若R1 R3=R2 R4
R1
R4
则电桥平衡
或者
R2
R3
R1
R4
x
R2
R3
第二章 电阻电路的等效变换法
§2-3 Y—△等效变换
一、电阻的Y、△联接 1、为什么需Y—△变换 2、Y形联接
Байду номын сангаас
§2-3 Y—△等效变换
3、△形联接 a
4、举例： 上图：R1.R2.R3 R3.R4.R5——△ R1.R3.R4 R2.R3.R5——Y
+
i
+
US -
U
R0 -
i
+
US R0
R0
U
-
§2-5 两种实际电源的等效变换
2、实际电流源——实际电压源
iS R0
+
i
iSR0 -
R0
3、说明： 注意极性 等效对外电路等效，内部不等效 举例说明其应用 受控源也可以同样等效（但不能将受控变掉）
§2-5 两种实际电源的等效变换
+
U1
-
R0

A
A
C
D
RO
RO
C
D
B B
有一些电阻连接方式既不符合电阻串联的方式，也不符 合电阻并联的方式。为了对此类电路分析，引入电阻的星形 连接和三角形连接。
17
二、电阻星形连接和三角形连接的等效变换
I1
1
R1
I2 I3 2 R2
Y-等效变换 R3
3
电阻Y形联结
I1 1
R12
R31
I2
I3 2 R23
3
电阻形联结
11 1
R R1 R2
R R1R2 R1 R2
令：G =1 / R 电导
G G1 G2
等效电导等于并联的各电导之和。
电导单位：（S）
6
2. 电阻的并联
I
+ I1 I2
U
R1 R2
R R1R2 R1 R2
U RI R1R2 I R1 R2
–
I1
U R1
R2 R1 R2
I
分流公式
40V_ 2A
+ _30V
I 30 60 1.5A 10 6 4
6 I
4
+
6A
10
30V _
10 + _ 60V
6 I 4
+ 30V_
38
课堂练习
作业
39
谢谢聆听
40
R =R1+R2
I U U R R1 R2
U1
IR1
R1 R1 R2
U
U2
IR2
R2 R1 R2
U
分压公式
–
特点:(4)串联电阻上电压的分配与电阻成正比。

第五讲 电阻电路的串、并联等效变换和星形—三角形等效变换 电压源与电流源的等效变换；时间：2学时重点和难点：无源电路的等效化简。

目的：让学生掌握电阻的连接方式及等效计算、变换；掌握电源的等效变换方法和无源电路的等效化简。

教学方法：多媒体演示、课堂讲授主要教学内容：一、电阻的串、并联等效变换1、电阻的串联：1）串联等效电阻图示为n 个电阻的串联等效电路，其特点是电路没有分支，通过各电阻的电流相同。

根据KVL 和欧姆定律有 n u u u u +++= 21i R i R i R n +++= 21()i R R R n ++=21Ri =其中 ：∑==+++==n k k n R R R R i u R 121 R 称为n 个串联电阻的等效电阻。

可见，串联电阻的等效电阻等于各个串联电阻之和，其等效条件是在同一电压作用下电流保持不变。

图a ）、（b ）两个电路的内部结构虽然不同，但是，它们在a 、b 端钮处的u 、i 关系却完全相同，即它们在端钮处对外显示的伏安特性是相同的，所以称图（b ）为图（a ）的等效电路，这种替代称为等效变换。

2）串联电路分压公式在电阻串联电路中，各电阻上的电压为u RR i R u k k k == 可见，电路中各个串联电阻的电压与电阻值成正比，上式称为串联电路分压公式。

3）串联电路功率222221Ri i R i R i R ui p n =+++==上式表明，n 个电阻串联吸收的总功率，等于各个电阻吸收的功率之和，等于等效电阻吸收的功率。

2、电阻的并联1）并联等效电阻图所示电路为n 个电阻的并联电路，其特点是各并联电阻两端具有相同的电压，即互相并联的各电阻接在同一对节点之间。

根据KCL 和欧姆定律有n i i i i +++= 21u G u G u G n +++= 21u G G G n )(21+++=Gu =其中 ：∑==+++==n k k n G G G G u i G 121 或写成： ∑==+++=n k kn R R R R R 12111111 上式称为n 个并联电阻的等效电导，其倒数为等效电阻。

4
Rab＝10
15 10
a b
a b
7
20
15
3
返 回
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例 2-8 求图 2-5电路 a b 端的等效电阻。
Req (2 // 2 (4 // 4 2) // 4) // 3 (1 4 // 4) // 3 1.5
21
复习
1、电阻的串联 等效电阻、分压
23
例2－4 图2－7所示电路每个电阻都是2Ω, 求a, b两端的等效电阻
解：
c
d
e
根据电路的对称性, 可知 c, d, e三点等电位, 故可用导线短接。
8 2 8 2 16 3 3 2 Req [(2//1) 2]// 2//1 2 // 2 8 2 3 3 15 3 3
26
R12 ( R23 + R31 ) R12 + R23 + R31
i1
i1
i3
i2
i3
i2
R12 R31 R12 + R23 + R31 R23 R12 R12 + R23 + R31 R31 R23 R12 + R23 + R31
27
同理,令i1=0, 可得: R23 ( R12 + R31 ) R2 + R3 = R12 + R23 + R31 同理,令i2=0, 可得:
25
二、 等效变换：保证伏安特性相同
对应端口电压、电流分别相等
i1
u12 = f1 ( i1 , i2 , i3 ) u23 = f 2 ( i1 , i2 , i3 ) u31 = f3 (i1 , i2 , i3 )

将三个串联的电阻等效为一个电阻，其电阻为
R R2 R1 R3 4 2 6 12
由图(b)电路可求得电阻RL的电流和电压分别为：
i uS 15V 1A R RL 12 3
u RLi 3 1A 3V
例2－3电路如图2－7(a)所示。已知iS1=10A, iS2=5A, iS3=1A, G1=1S, G2=2S和G3=3S，求电流i1和i3。
u2

R3i1

(R2

R3
)i2

对电阻三角形联接的三端网络，外加两个电流源i1 和i2，将电流源与电阻的并联单口等效变换为一个
电压源与电阻的串联单口，得到图(b)电路，由此得
到
i12

R31i1 R23i2 R12 R23 R31
uu12

R31i1 R31i12 R31 (i1 i12 ) R23i12 R23i2 R23 (i2 i12 )
例2－2 图(a)所示电路。已知uS1=10V, uS2=20V, uS3=5V, R1=2, R2=4, R3=6和RL=3。求电阻RL的电流和电压。
解:为求电阻RL的电压和电流，可将三个串联的电压 源等效为一个电压源，其电压为
uS uS2 uS1 uS3 20V 10V 5V 15V
R3

R12
R23 R31 R23
R31
(2 13)
由此 解得
R2

R12
R12 R23 R23

R31

(2 14)
R2

R3

R23 (R12

R31 )

u31
i2

R1 R2

R1 R2 R3

R3 R1
u23

R1 R2

R3 R2 R3

R3 R1
u12
i3

R1 R2

R2 R2 R3

R3 R1
u31

R1 R2

R1 R2 R3

R3 R1
u23
18
对于电路
i12

u12 R12
i23

u23 R23
i1'
i31
Rsh 1k
14
当K与2相接时分流电阻为R2+R3 ，可测10mA的电流
Ig

I2
( R2

R2 R3 R3 ) (R1

Rg )

I2
R2 R3 Rsh Rg
10A 10m A R2 R3
Ig
RgIg
111.11 1000
R2+R3 =11 .11
R3
R2 R1
R1i1=R2i2 且 R4i4=R3i3
i1=i4 i2=i3
i1 R1 c
R4 i4
a
Ig
b
R2
R3
i2
d +
i3
则： R1 R2 或 R4 R3
根据平衡电桥的特点:
R1R3=R2R4
uS 电桥平衡条件
Ig =0，可将c、d间开路； ucd =0（等电位），可将c、d短路，最后计算的结果相同。
i3'
21
2）形等效为Y形，有：
R1

4.电阻的串并联(混联) 4.电阻的串并联(混联) 电阻的串并联
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联， 电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，这种 连接方式称电阻的串并联(混联) 连接方式称电阻的串并联(混联)。 计算图示电路中各支路的电压和电流。 例1 计算图示电路中各支路的电压和电流。 i1 5Ω
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
②等效电阻 i i1 + u R1 R2 _ 由KCL:
i i2 Rk ik Rn in 等效 + u _ Req
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in =u/R1 +u/R2 + …+u/Rn =u(1/R1+1/R2+…+1/Rn) =u(G1+G2+…+Gn)=uGeq
Geq = G1 + G2 +L+ Gn = ∑Gk > Gk
k =1 n
1 Req = Geq
结论
并联电路等效电阻的倒数等于并联的各电阻倒数 之和。 之和。即： 1 1 1 1
Req
=
R 1
+
R2
+L+
Rn
即 Req < Rk
并联电路的等效电导等于并联的各电导之和。 或：并联电路的等效电导等于并联的各电导之和。 即： G = G1 + G2 +L+ Gn 即 G > G
表明
电阻串联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比； ① 电阻串联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比； 等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功率的总和。 ② 等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功率的总和。