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空域滤波原理及算法

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空域滤波和自适应波束形成的关系

空域滤波和自适应波束形成的关系

空域滤波和自适应波束形成的关系
空域滤波和自适应波束形成之间存在着密切的关系。

首先，让
我们从空域滤波开始讨论。

空域滤波是一种信号处理技术，用于处
理传感器接收到的信号，以改善信号质量或提取所需的信息。

在雷
达和通信系统中，空域滤波通常用于抑制杂波、抑制干扰或者增强
目标信号。

空域滤波的基本原理是通过对接收到的信号进行加权求和，以抑制不需要的信号成分或者增强感兴趣的信号成分。

而自适应波束形成是一种利用阵列天线接收到的信号进行波束
形成的技术。

它通过对每个阵列天线的接收信号进行加权和相位调控，使得阵列在特定方向上形成波束，从而实现对特定方向上信号
的增强，同时抑制其他方向上的干扰信号。

自适应波束形成的关键
在于根据接收到的信号动态地调整每个阵列天线的权重，以适应信
号环境的变化。

这两种技术之间的关系在于，空域滤波可以被视为自适应波束
形成的一种特例。

空域滤波可以被看作是一种固定的波束形成，其
中各个天线的权重是固定的，不会根据接收到的信号动态调整。

而
自适应波束形成则是空域滤波的进一步发展，它允许根据实时接收
到的信号动态地调整每个阵列天线的权重，以适应复杂的信号环境，
实现更好的信号增强和干扰抑制效果。

因此，可以说自适应波束形成是空域滤波的一种更加灵活和高级的形式，它充分利用了空域滤波的基本原理，并在此基础上进行了进一步的优化和改进。

在实际应用中，自适应波束形成常常能够比传统的空域滤波技术更好地适应复杂的信号环境，提高信号处理的性能和效果。

实验三 图像的空域滤波

实验三 图像的空域滤波
subplot(3,3,3), imshow(I2), title('¸ß˹ÔëÉùÖÐÖµÂ˲¨ºóͼÏñ');
subplot(3,3,4), imshow(I3,[ ]), title('¸ß˹ÔëÉù¾ùÖµÂ˲¨ºóͼÏñ');
subplot(3,3,5), imshow(K), title('¼Ó½·ÑÎÔëÉùͼÏñ');
subplot(1,3,3), imshow(I2, [ ]), title('均值滤波后图像');
模版尺寸为[10，10]，对加有高斯噪声的图像进行均值滤波
I=imread('pout.tif');
J=imnoise(I,'gaussian', 0.02);
h=fspecial('average', 10);
2、分别采用不同大小的模板对加有噪声的图像进行均值滤波，用一个图像处理对话框显示原图像、加有噪声的图像及均值滤滤波，用一个图像处理对话框显示原图像、加有噪声的图像及中值滤波的图像。比较结果。
4、采用大小相同的模板对加有噪声的图像分别进行均值滤波和中值滤波，用一个图像处理对话框显示原图像、加有噪声的图像、均值滤波的图像及中值滤波的图像。比较结果。
J=imnoise(I,'gaussian', 0.02);
h=fspecial('average', 3);
I2=filter2(h, J);
subplot(1,3,1), imshow(I), title('原图像');
subplot(1,3,2), imshow(J), title('加高斯噪音后的图像');

空域平滑滤波矩阵计算方法

空域平滑滤波矩阵计算方法

空域平滑滤波矩阵计算方法1 空域平滑滤波矩阵基础在数字图像处理领域，空域平滑滤波是常用的一种滤波方法，它可以去除图像中的噪声，平滑图像轮廓，并且可以使图像更加清晰。

在此文章中，我们将会探究什么是空域平滑滤波矩阵计算方法。

2 空域平滑滤波原理空域平滑滤波的原理基于图像的局部像素值之间的平均值。

其目的在于使图像变得更加平滑，这样有助于减少图像中的噪声，同时使得图像的边缘线更加明显。

一种常见的空域平滑滤波方法是均值滤波，其使用的滤波器是一个方框，框中所有的像素点都会取平均值。

而矩阵则是带有权重参数，使得滤波器会根据像素离滤波器中心的距离来分配不同的权重进行滤波，这也正是该方法之所以比均值滤波方法更精细和更加适用于不同场景中的原因。

3 空域平滑滤波矩阵的计算方法对于一张图像I(x, y)，空域平滑滤波矩阵的计算方法如下：1. 定义滤波器的大小n×n，其中n是奇数。

2. 定义规范化参数k，其值为1除以滤波器中的所有值之和。

3. 对于每个像素(x, y)，将滤波器中心放在该点，对于滤波器中的每个点(i, j)，计算权重w(i, j)，并将其与I(x+i-[(n-1)/2],y+j-[(n-1)/2])值相乘后相加，最后乘以规范化参数k，得出滤波后的值。

这种方法虽然看起来比较繁琐，但是它的计算结果却很精细，可以很大程度地保留图像的细节。

4 空域平滑滤波矩阵的应用空域平滑滤波矩阵的应用范围非常广泛。

它可以用于医学影像处理、航空影像处理、人脸识别等多个领域，使图像更加清晰、减少噪声和模糊。

在人脸识别中，空域平滑滤波矩阵可以使角度变化较大的人脸图像更加清晰，并且能够取得更精确的识别结果。

在医学中，它可以减少影像中因为背景噪声引起的错误判别，并且可以使医生更加精确地诊断病情。

5 结论空域平滑滤波矩阵是一种非常常用的图像处理技术，可以有效减少图像中的噪声，并使图像更加清晰平滑。

它虽然涉及到一些复杂的计算方法，但是其应用非常广泛，在医学影像处理、航空影像处理、人脸识别等多个领域中都有着重要的作用。

空域滤波和频域滤波的关系

空域滤波和频域滤波的关系

空域滤波和频域滤波的关系空域滤波是一种基于像素级别的滤波方法，它通过直接处理图像中的像素值来实现滤波效果。

具体而言，空域滤波是基于图像的空间域进行操作，通过对图像中的像素进行加权平均或非线性处理，改变像素之间的关系来达到滤波的目的。

常见的空域滤波方法包括均值滤波、中值滤波和高斯滤波等。

频域滤波则是一种基于图像的频域进行操作的滤波方法，它通过对图像进行傅里叶变换，将图像从空域转换到频域，然后在频域中对图像进行滤波操作，最后再通过傅里叶反变换将图像转换回空域。

频域滤波方法主要利用了傅里叶变换的性质，通过滤波器的频率响应对图像的频谱进行调整，达到滤波的效果。

常见的频域滤波方法包括低通滤波、高通滤波和带通滤波等。

空域滤波和频域滤波有着密切的关系。

事实上，它们本质上是同一种滤波方法的不同表现形式。

在空域滤波中，滤波器直接作用于图像的像素值，通过对像素值进行处理来实现滤波效果；而在频域滤波中，滤波器则直接作用于图像的频谱，通过调整频谱的幅度和相位来实现滤波效果。

从这个角度来看，频域滤波可以看作是空域滤波在频域中的表现。

空域滤波和频域滤波各有其优点和适用场景。

空域滤波方法简单直观，易于理解和实现，适用于对图像的局部特征进行处理，例如去除噪声、平滑边缘等。

而频域滤波方法则适用于对图像的全局特征进行处理，例如图像增强、频谱分析等。

频域滤波方法通过傅里叶变换将图像转换到频域，可以更好地分析和处理图像的频域信息，对于频谱特征较为明显的图像处理问题具有较好的效果。

尽管空域滤波和频域滤波在原理和应用上有所差异，但它们并不是对立的关系。

事实上，这两种滤波方法常常结合使用，相互补充，以实现更好的滤波效果。

比如，在图像处理中，可以先使用空域滤波方法去除图像中的噪声和干扰，然后再将处理后的图像转换到频域进行进一步的滤波和增强。

这样的组合使用可以充分发挥两种滤波方法的优势，提高图像处理的效果和质量。

空域滤波和频域滤波是图像处理中常用的两种滤波方法。

8.1 空间滤波的基本原理

8.1 空间滤波的基本原理
第二步 各衍射斑发出的球面次波在像平面(x'，y')上相干 迭加产生干涉，像就是干涉场（合成过程）。
1.基本光路
光
物平面
光
频谱面
像平面
阿 贝 波 特 实 验
2.基本原理
物函数为 g (x, y) 频谱面的光振动分布为
e G( ,) g( x, y) 2i(xy) dxdy
, 为频谱面坐标，称为空间频率.
应用：采用低通滤波器，可以滤掉高频噪声，去掉图 片上的污迹，图4-4-4显示了这一过程。
(a)
(b)
(c)
图4-4-4 应用低通滤波器消除图片污迹 (a)原物 (b)低通滤波器 (c)处理后的像
当然，这种滤波器的缺点是将物的高频成分也滤掉， 使得像与无噪声的物并不完全相同，像的分辨率有 所降低。
利用低通和高通滤波器对任意具有非周期结构的 输入图像分别进行了低通和高通滤波处理，输出结果 如图所示。
从噪声中提取信号、图象复原、特征提取（特征识别）等。
历史背景
1873年，德国科学家阿贝（Abbe）创建了二次 衍射成像理论（显微镜成像理论）；
1935年，物理学家泽尼克发明了相衬显微镜；
1963年，范德拉格特（A. Vander Lugt）提出 了复数空间滤波的概念，使光学信息处理进入了 一个广泛应用的新阶段；
(a)
(b)
(c)
图4-4-7 普通非周期结构图像的滤波处理结果. (a) 输入图像；(b) 低通输出；(c) 高通输出.Fra bibliotek学习要点
1.什么是光学信息处理？光学信息处理的分类； 2.空间滤波的基本原理：“分频”和“合成”的概
念； 3.阿贝滤波实验（实验光路、实验现象）。
第八章 光学信息处理

LabVIEW中的像处理滤波和增强

LabVIEW中的像处理滤波和增强

LabVIEW中的像处理滤波和增强LabVIEW中的图像处理滤波和增强LabVIEW（Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench）是一款功能强大的图形化编程环境，广泛应用于科学研究、工程设计、图像处理等领域。

在LabVIEW中，图像处理滤波和增强是常见而重要的任务，通过使用LabVIEW的图像处理工具箱，可以实现对图像的滤波和增强操作。

一、图像处理滤波1. 空域滤波在LabVIEW中，空域滤波是一种基于像素点的运算，通过对图像中每个像素点进行计算，达到滤波的效果。

常见的空域滤波算法包括均值滤波、中值滤波、高斯滤波等。

（这里可以继续详细介绍每种滤波算法的原理和在LabVIEW中的实现方法，可以配图示例）2. 频域滤波频域滤波是一种将图像从时域转换到频域进行处理的方法，通过对图像的频谱进行操作，可以实现滤波的效果。

常见的频域滤波算法包括快速傅里叶变换（FFT）、高通滤波、低通滤波等。

（同样可以详细介绍每种滤波算法的原理和LabVIEW中的实现方法，并配以图例）二、图像处理增强1. 灰度级转换LabVIEW提供了多种灰度级转换函数，可以实现将图像的灰度级进行转换的操作。

灰度级转换常用于增强图像的对比度、亮度等特征，常见的灰度级转换方法包括线性变换、非线性变换等。

（在这里可以展示LabVIEW中的灰度级转换函数的使用方法，并给出实际示例）2. 直方图均衡化直方图均衡化是一种通过重新分配图像的灰度级来增强图像对比度的方法。

LabVIEW中提供了直方图均衡化的函数，可以方便地对图像进行增强操作。

（类似地，可以给出直方图均衡化函数的使用范例）总结：通过LabVIEW中的图像处理工具箱，我们可以方便地实现图像的滤波和增强操作。

通过空域滤波和频域滤波，可以对图像进行模糊、锐化等处理，而灰度级转换和直方图均衡化则可以增强图像的对比度和亮度。

LabVIEW的图像处理功能的强大性和易用性使得它成为了科学研究和工程设计中不可或缺的工具之一。

空域滤波器与频域滤波器的关系

空域滤波器与频域滤波器的关系频域滤波和空域滤波有着密不可分的关系。

频域滤波器是通过对图像变化频率的控制来达到图像处理的⽬的，⽽空域滤波器是通过图像矩阵对模板进⾏卷积运算达到处理图像的效果。

由卷积定理可知，空域上的卷积数值上等于图像和模板傅⾥叶变换乘积的反变换。

也就是说如果将空域上的模板进⾏离散傅⾥叶变化得到频域上的模板，那么⽤空域模板进⾏空域滤波和⽤得到的频域模板进⾏频域滤波最后结果是⼀样的，两种⽅法有时可以互换。

但需要注意的⼀点是，将原始图像与空域模板进⾏卷积运算，得到卷积结果的长度要⽐原来的图像长，就算对图像和模板进⾏填充，得到的卷积结果的第⼀位也不是模板在原始图像第⼀个像素处的卷积。

⽐如假设p位原始图像长度为P，q为卷积模板长度为Q，则由卷积的运算公式易得不产⽣混淆下图像的最⼩填充后尺⼨为P+Q-1，填充后p，q为运⾏如下程序import numpy as np# 保留效数点后三位np.set_printoptions(precision=3)# 不使⽤科学计数法np.set_printoptions(suppress=True)p = np.array([[1,2,3,0,0],[4,5,6,0,0],[7,8,9,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]])q = np.array([[1,1,1,0,0],[1,-8,1,0,0],[1,1,1,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]])pp = np.fft.fft2(p)qq = np.fft.fft2(q)tt = pp*qqt = np.fft.ifft2(tt)print('p\n', p)print('q\n', q)print('t\n', t.real)利⽤卷积定理可以得到卷积后的结果t为从上述运⾏结果可知，虽然进⾏零填充可以有效避免混淆，但⽆法改变的⼀点是，卷积后图像的尺⼨会变⼤。

数字图像处理 空域滤波 实验报告

subplot221imshowxsubplot222imshowyy1fspecialaveragesubplot223imshowxsubplot224imshowy1椒盐噪声大小是002左侧两图是原图右上是中值滤波右下是均值滤波椒盐噪声大小是010左侧两图是原图右上是中值滤波右下是均值滤波发现中值滤波对图像边缘的噪声无能为力而均值滤波则可以较好地去除边缘噪声
%%3×3的邻域平均模板(7×7的邻域平均模板h=fspecial(‘gaussian’,[7,7]))
y=imfilter(x,h);
subplot(121);
imshow(x);
subplot(122);
imshow(y);
模板大小为[3,3]，左为原图，右为处理后效果
模板大小为[7,7]，左为原图，右为处理后效果
x=imread(‘cameraman.tif’);
h=fspecial(‘average’);
%h=fspecial(‘average’,[7,7]);
y=imfilter(x,h);
figure(1);
imshow(x)
figure(2);
imshow(y)
原图：
滤波效果：
2.改变模板大小重试
x=imread('cameraman.tif');
一般的模板为3×3或5×5大小，其权值分布如下图：
若使用3×3模板，则计算公式如下:
g(x,y)={f(x-1,y-1)+f(x-1,y+1)+f(x+1,y-1)+f(x+1,y+1)+[f(x-1,y)+f(x,y-1)+f(x+1,y)+f(x,y+1)]*2+f(x,y)*4}/16;

空域滤波的过程和原理

空域滤波的过程和原理
空域滤波是一种图像处理技术，它通过对图像中每一个像素的数值进行操作，来改变图像的外观和质量。

以下是空域滤波的过程和原理：
1. 图像平滑：空域滤波常用于图像平滑操作，这是通过将每一个像素的数值与其周围像素的数值进行平均或加权平均来实现的。

这样可以减少图像中的噪声和细微变化，使图像更加平滑。

2. 图像增强：空域滤波也可以用于图像的增强操作。

这是通过将每一个像素的数值与其周围像素的数值进行比较，并进行一定的算术操作，如加法或乘法来实现的。

这样可以增加图像的对比度和亮度，使图像更加清晰和鲜明。

3. 模糊和锐化：空域滤波还可以用于图像的模糊和锐化操作。

模糊操作通过在图像中每一个像素周围取平均数或加权平均数来实现，可以降低图像的细节和清晰度，使图像看起来更加模糊。

锐化操作则是通过增加图像中每一个像素的值与其周围像素的差值来实现，可以使图像的轮廓更加清晰和锐利。

4. 过滤器选择：在空域滤波中，选择合适的过滤器是很重要的。

过滤器是一个矩阵，用于定义每一个像素与周围像素之间的操作。

常用的过滤器包括平均滤波器、高斯滤波器、中值滤波器等。

不同的过滤器可以实现不同的效果，如平均滤波器可以平滑图像，高斯滤波器可以去除噪声，中值滤波器可以去除椒盐噪声等。

总的来说，空域滤波通过对图像中每一个像素的数值进行操作，实现图像平滑、增强、模糊和锐化等效果。

选择合适的过滤器可以实现不同的图像处理目标。

matlab图像的空域滤波实验

其实filter2和conv2是等价的。MATLAB在计算filter2时先将卷积核旋转180度，再调用conv2函数进行计算。
Fspecial函数用于创建预定义的滤波算子，其语法格式为：
h = fspecial(type)
h = fspecial(type,parameters)
参数type制定算子类型，parameters指定相应的参数，具体格式为：
除了对噪声有上述假定之外，该算法还基于这样一种假设：图象是由许多灰度值相近的小块组成。这个假设大体上反映了许多图象的结构特征。（2）式表达的算法是由某像素领域内各点灰度值的平均值来代替该像素原来的灰度值。
可用模块反映领域平均算法的特征。对模版沿水平和垂直两个方向逐点移动，相当于用这样一个模块与图像进行卷积运算，从而平滑了整幅图象。模版内各系数和为1，用这样的模版处理常数图象时，图像没有变化；对一般图象处理后，整幅图像灰度的平均值可不变。
type='average'，为均值滤波，参数为n，代表模版尺寸，用向量表示，默认值为[3,3]。
type= 'gaussian'，为高斯低通滤波器，参数有两个，n表示模版尺寸，默认值为[3,3]，sigma表示滤波器的标准差，单位为像素，默认值为0.5。
type= 'laplacian'，为拉普拉斯算子，参数为alpha，用于控制拉普拉斯算子的形状，取值范围为[0,1]，默认值为0.2。
中值滤波很容易推广到二维的情况。二维窗口的形式可以是正方形、近似圆形的或十字形的。在图像增强的具体应用中，中值滤波只能是一种抑制噪声的特殊工具，在处理中应监视其效果，以决定最终是福才有这种方案。实施过程中的关键问题是探讨一些快速算法。
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2
N
W2*
WN*
图3.1
4
写成矢量的形式：
x1 t
X
t
x2 t
M
s
t
e
jt
1
j 2 d sin
e M
st a
xNtຫໍສະໝຸດ ej2 N
1d
sin
称 a 为 方 向 矢 量 或 导 向 矢 量 （ Steering
Vector）。在窄带条件下，只依赖于阵列的 几何结构（已知）和波的传播方向（未知）。
模糊。 14
按定义的方向图
权向量作FFT的结果
类似于时域滤波，天线方向图是最优权的傅立叶变换
15
均匀圆阵（UCA）
R
z
x
其中k 2 / 为圆阵的半径
以均匀圆阵的中心为参考
第m个阵元与x轴的夹角记为：
m 2 m / M
则M元均匀圆阵的导向矢量：
y
e jkRsin cos(0 )
aUCA
第三章 空域滤波：原理及算法
目的： 介绍空域波束形成的概念，自适应
控制最优准则及最优权的稳态解，以及 最优权的求解算法（梯度算法、递推算 法）。
1
§3.1波束形成的基本概念
波束形成：用一定形状的波束来通过有用信号或 需要方向的信号，并抑制不需要方向的干扰。
阵列天线的波束形成可以采用模拟方式，也
可以采用数字方式，采用数字方式在基带实现滤 波的技术称为数字波束形成(DBF)，是空域滤波的 主要形式，在通信中也称之为智能天线。
7
对于 X t 实际上是空域采样信号，波束形成实现
了对方向角 的选择，即实现空域滤波。这一点
可以对比时域滤波，实现频率选择。
等距线阵情况：
若要波束形成指向 0 ，则可取 W a0 ，波束
形成：
P W H a a 0 H a
e N
j
2
d
i1
sin
sin
0
i1
1 e j
2 dN
sin
sin
0
1 e j
2
d
sin
sin
0
8
sin N 0
则： P
2
sin 0
,
2
sin 0 sin0
上式表示的波束图有以下特点：
❖波束成 sin x / x 形状，其最大值为N。波束主瓣半
功率点宽度为：B
0.886
Nd /
(rad )
50.8
Nd /
(o)
。根据
Fourier理论，主瓣宽度正比于天线孔径的倒数。
e jkRsin cos(1) M
e jkRsin cos(M1)
16
波束指向： , / 4
17
§3.2自适应波束形成技术
§3.2.1 普通波束形成的优缺点
优点：是一个匹配滤波器，在主瓣方向信号相干积累，
实现简单，在白噪声背景下它是最优的，在色噪声背景 下，维纳滤波是最优的。
缺点：
数据独立波束形成
波束形成的分类 最佳波束形成
自适应波束形成
2
§3.1波束形成的基本概念
1. 阵列信号的表示
空间平面波是四维函数，
g t,r Aexp j 2
ft kT r
简化：
窄带条件：同时刻采集信号，所有阵元上信号的复
包络相同，只需考虑相位的变化，而它只依赖于阵
列的几何结构。对于等距线阵，则更简单，只依赖
19
§3.2.3 最优波束形成
最优波束形成的一般形式：
minW W
H
R
X
W
s.t. f W 0
最优滤波的准则： 1.SNR（信噪比）最大准则 在相同条件下是等价的 2.均方误差最小准则(MSE) 3.线性约束最小方差准则(LCMV) 4.最大似然准则
20
1.SNR（信噪比）最大准则
若阵列信号为： X t X s t X n t
D/ D/
其中D为天线的有效孔径，可见波束宽度与天线
孔径成反比。
❖分辨力
目标的分辨力是指在多目标环境下雷达能否将两 个或两个以上邻近目标区分开来的能力。
波束宽度越窄，阵列的指向性越好，说明阵列的 分辨力随阵元数增加而变好，故与天线孔径成反 比。
12
13
d /2
d 2
可见当阵元间距 d / 2 时，会出现栅瓣，导致空间
1) 波束宽度限制了方向角的分辨。 2) 存在旁瓣，强干扰信号可以从旁瓣进入。 3) 加窗处理可以降低旁瓣，但同时也会展宽主瓣。
总之，普通波束形成依赖于阵列几何结构和波达 方向角，而与信号环境无关，且固定不变，抑制干扰 能力差。
18
§3.2.2 自适应波束形成
自适应波束形成是将维纳滤波理论应用于空 域滤波中，它的权矢量依赖于信号环境。
对某个方向0 的信号同相相加时得 PW 0 的模
值最大。
6
❖ 阵列的方向图
阵列输出的绝对值与来波方向之间的关系称为 天线的方向图。方向图一般有两类：
静态方向图：阵列输出的直接相加（不考虑 信号及来波方向），其阵列的最大值出现在 阵列法线方向（即 0 ） 带指向的方向图：信号的指向是通过控制加 权相位来实现，即常说的相控阵列
5
2. 波束形成（Beamforing）
基本思想：通过将各阵元输出进行加权求和，在 一时间内将天线阵列波束“导向”到一个方向上， 对期望信号得到最大输出功率的导向位置给出了 波达方向估计。即输出可以表示为：
yt W H X t stW H a
目的是：增强特定方向信号的功率。
我们记：PW W H a ，称为方向图。当 W
如果信号分量 X s t 与噪声分量 X n t 统计无关，且
一般框架： 波束形成：y t W H X t
对于平稳随机信号，输出信号功率为：
E
y
t
2
E W H
X
t
WH
X t
H
E W H X t X H t W
W H E X t X H t W
定义：阵列信号相关矩阵，RX E X t X H t
它包含了阵列信号所有的统计知识（二阶）。
于与x轴的夹角。如图3.1
3
如前所述的窄带信
号的空域表示：
s t, r s t e j trT
1
若以阵元1为参考点，
d
则各阵元接收信号可 写成：
W1*
x1 t s t e jt
x2
t
s
t
e e jt
j 2 d sin
M
xN
t
s
t
e e jt
j 2 N 1d sin
❖最大副瓣为第一副瓣，且为-13.4dB。这种副瓣
电平对于很多应用来说都太大了，为了降低副瓣，
必须采用幅度加权（又称为加窗）。
9
天线方向图，来波方向指向 0 0o
10
N=8
N=32
可见随着阵元数的增加，波束宽度变窄，分辨力 提高，这是因为：
11
❖波束宽度
在DOA估计中，线阵的测向范围为 90o，90o 即对于均匀线阵，波束宽度为：BW 51o 0.89 rad