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认识多面体多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体．它有三个相关的定义，在传统意义上，它是一个三维的多边形，而在更新的意义上它是任何维度的多边形的有界或无界推广．将后者进一步一般化，就得到拓扑多面体．定义及特征由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点．面与面之间仅在棱处有公共点，且没有任何两个面在同一平面上．一个多面体至少有四个面．经典多面体在经典意义上，一个多面体是一个三维形体，它由有限个多边形面组成，每个面都是某个平面的一部分，面相交于边，每条边是直线段，而边交于点，称为顶点．立方体，棱锥和棱柱都是多面体的例子．多面体包住三维空间的一块有界体积；有时内部的体也视为多面体的一部分．一个多面体是多边形的三维对应．多边形，多面体和更高维的对应物的一般术语是多胞体．正多面体所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角．例如，正四面体（即正棱锥体）的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有三个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的．正多面体的种数很少．多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种．其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体．有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体．古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究，并将研究成果拿到柏拉顿学校教授．故而，西方数学界也将这五种正多面体称为柏拉顿立体．类型面数棱数顶点数每面边数每顶点棱数正四面体 4 6 4 3 3正六面体 6 12 8 4 3正八面体8 12 6 3 4正十二面体12 30 20 5 3正二十面体20 30 12 3 5多面体。
第1讲空间几何体一、空间几何体1、空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。
如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
2、多面体和旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。
这条定直线叫做旋转体的轴。
多面体旋转体圆台圆柱-圆锥圆柱+圆锥圆台+大圆锥-小圆锥二、柱、锥、台、球的结构特征1.棱柱定义图形表示分类性质有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。
用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1。
棱柱的分类一(底面）：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……棱柱的分类二(根据侧棱与底面的关系）：斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱.直棱柱: 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(1)上下底面平行,且是全等的多边形。
(2)侧棱相等且相互平行。
(3) 侧面是平行四边形。
三棱柱四棱柱五棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱2.棱锥定义图形表示性质分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥Ｓ－ＡＢＣ侧面是三角形，底面是多边形。
按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等等，其中三棱锥又叫四面体。
特殊的棱锥－正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心三棱锥四棱锥五棱锥直棱锥用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
空间几何中的正三十二面体与正三十二面体正三十二面体与正二十面体是空间几何中的两个重要多面体。
它们有着特殊的性质和美学价值，并广泛应用于科学、艺术和设计领域。
本文将为您介绍正三十二面体与正二十面体的特点、性质和应用。
1. 正二十面体正二十面体是由等边五边形构成的多面体，共有20个面、30条边和12个顶点。
每个顶点周围都连接着3个五边形，每个五边形都与其他两个五边形共享一个边。
因为它的边和面都是相等的，所以被称为“正”二十面体。
正二十面体具有高度对称性，它的对称群是五十面体的旋转群。
这使得它在对称性研究、立体几何学和立体设计中具有重要意义。
正二十面体的表面可以细分成许多小三角形，这为创建复杂的立体结构提供了灵感。
在科学领域，正二十面体广泛应用于材料科学、纳米技术和晶体学。
由于其稳定性和结构特点，正二十面体被用作纳米颗粒、催化剂载体和高效能材料的基础。
在艺术和设计领域，正二十面体的美学特点和独特的形状使其成为建筑、雕塑和珠宝设计的重要元素。
2. 正三十二面体正三十二面体是由等边三角形构成的多面体，共有32个面、90条边和60个顶点。
它是空间几何中最复杂的多面体之一。
正三十二面体的每个顶点周围都连接着4个三角形，每个三角形都与其他三个三角形共享一个边。
正三十二面体具有非常高的对称性，它的对称群是四面体的旋转群。
它的形状和结构在数学、化学和物理学中具有重要的研究价值。
正三十二面体的表面可以细分成许多小四边形和小三角形，这为模拟生物分子和研究材料性质提供了方便。
在科学研究中，正三十二面体被广泛应用于寻找新的晶体结构和物质组合。
它还在纳米技术、光学和化学反应动力学等领域发挥着重要作用。
在艺术和设计领域，正三十二面体的复杂性和美学价值使其成为建筑、雕塑和艺术装置设计的理想选择。
综上所述，正三十二面体与正二十面体是空间几何中的两个重要多面体。
它们都具有独特的形状和结构，以及各自的特殊性质和应用价值。
它们在科学、艺术和设计领域发挥着重要作用，为人们带来了无尽的探索和创造的可能性。
浅议正多面体我们知道正多面体有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
那么为什么只有五种呢？下面我用高中现有的知识给出解释。
正多面体定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体。
由定义不难得到如下结论：一、正多面体的面（正多边形）只有三种：正三角形、正方形、正五边形。
从多面体一顶点起的棱至少是三条，要成为凸多面体正多面体的每个面（正多边形）的内角小于120°，正多边形中内角小于120°的只有正三角形、正方形、正五边形。
1、当正多面体的面为正三角形时，从正多面体一顶点起的棱数可为3、4、5。
因为正三角形的内角为60°，３×60°=180°、4×60°=240°和5×60°=300°都小于360°，而若棱数Ｅ大于5时、Ｅ×60°≥360°。
2、当正多面体的面为正方形、正五边形时，从正多面体一顶点起的棱数只可为3。
因为正方形的内角为90°，正五边形的内角为108°，３×90°=270°、３×108°=324°，而若棱数Ｅ大于4时、Ｅ×90°≥360°Ｅ×108°≥360°。
结论：正多面体的面（正多边形）只有三种：正三角形、正方形、正五边形。
二、正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
由上面结论可知依照正多面体的面以及从一顶点起的棱数的情况，可将正多面体分为五类。
①、正多面体的面为正三角形且从正多面体一顶点起的棱数为3；②、正多面体的面为正三角形且从正多面体一顶点起的棱数为４；③、正多面体的面为正三角形且从正多面体一顶点起的棱数为５；④、正多面体的面为正方形且从正多面体一顶点起的棱数为３；⑤、正多面体的面为正五边形且从正多面体一顶点起的棱数为３。
正多面体的旋转体积计算和几何性质正多面体是一个几何形体，具有特定的面数、边数和顶点数。
它的特点是每个面都是相等的正多边形，并且每个顶点都是由相同数目的面相交而成的。
在数学中，正多面体有着丰富的几何性质和应用。
本文将讨论正多面体的旋转体积计算方法及其几何性质。
一、旋转体积计算正多面体可以通过绕着某个轴进行旋转而形成旋转体。
对于一个具有面数为n的正多面体，我们可以计算出其旋转体的体积。
首先，我们需要确定旋转轴的位置和方向。
在计算中，可以选择以正多面体的一个顶点作为旋转轴，并选择旋转方向为顺时针或逆时针。
接下来，我们需要确定旋转的角度。
对于正多面体来说，它的每一个面都是相等的正多边形，因此，我们可以计算出这个正多边形的中心角，然后将中心角乘以面数n，得到旋转的总角度。
在确定了旋转轴和旋转角度之后，我们可以利用旋转体的几何性质进行计算。
以正多面体某一面的中心点为例，我们可以画出一个平行于旋转轴的剖面截面。
由于正多面体的对称性，这个截面形状与旋转轴的关系是相同的。
因此，我们可以计算出这个截面的面积，并乘以旋转角度得到一个小体积。
通过对所有截面体积求和，就可以得到旋转体的总体积。
二、几何性质正多面体具有多个几何性质，其中包括体积、表面积、对称性等。
1. 体积：我们已经讨论了如何计算正多面体的旋转体积，这是正多面体的一个重要几何性质。
通过求解体积，我们可以了解正多面体的空间占据情况，并且在应用中有重要的作用。
2. 表面积：正多面体的表面积指的是正多面体所有面的总和。
由于每个面都是相等的正多边形，我们可以计算出每个面的面积，并乘以面数n来得到表面积的总和。
3. 对称性：正多面体具有高度的对称性，即通过旋转、翻转或镜像可以得到相同的形状。
根据对称性，我们可以判断出正多面体的对称轴和对称面。
正多面体有五种常见的形状，它们分别是四面体、六面体（立方体）、八面体、十二面体和二十面体。
每种形状都有其独特的几何性质和特点。
空间正多面体高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学第八节空间正多面体前面几节我们学习了五种正多面体，以及它们在化学中的应用。
此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。
何为正多面体，顾名思义，正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。
对顶点来说，每个顶点也是等价的，即有顶点引出的棱的数目是相同的，相邻棱的夹角也应是一样的。
那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢？【例题1】利用欧拉定理（顶点数－棱边数＋面数＝2），确定三维空间里的正多面体。
【分析】从两个角度考虑：先看每个面，正多边形可以是几边形呢？我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。
因此最多只可以是正五边形，当然还有正三角形和正方形；再看顶点，每个顶点至少引出三条棱边，最多也只有五条棱边（六条棱边时每个角应小于60°，不存在这样的正多边形）。
因此，每个面是正五边形时，三棱共顶点；正方形时，也只有三棱共顶点（四个正方形共顶点是平面的）；正三角形时，可三棱、四棱、五棱共顶点（六个正三角形共顶点也是平面的），当然也可以说，一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面；一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面；一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况，是否各种情况都存在呢？（显然是，各种情况前面均已讨论）我们用欧拉定理来计算。
①正三角形，三棱共顶点：设面数为x，则棱边数为3x/2（一面三棱，二面共棱），顶点数为x（一面三顶点，三顶点共面），由欧拉定理得x－3x/2＋x＝2，解得x＝4，即正四面体；②正三角形，四棱共顶点：同理，3x/4－2x＋x＝2，解得x＝8，即正八面体；③正三角形，五棱共顶点：同理，3x/5－3x/2＋x＝2，解得x＝20，即正二十面体；④正方形，三棱共顶点：同理，4x/3－2x＋x＝2，解得x＝6，即正方体；⑤正五边形，三棱共顶点：同理，5x/3－5x/2＋x＝2，解得x＝12，即正十二面体。
初中数学什么是正多面体和正多面体的体积公式正多面体是一类特殊的立体，它的所有面都是相等的正多边形，并且每个顶点都以相同的方式连接着相同数量的棱和面。
在本文中，我们将详细讨论正多面体的定义、性质以及它们的体积公式。
一、正多面体的定义和性质：1. 正多面体的定义：正多面体是一个具有特殊性质的几何体，它的所有面都是相等的正多边形，每个顶点都以相同的方式连接着相同数量的棱和面。
2. 正多面体的性质：- 正多面体的面：正多面体的面是由相等的正多边形构成的。
- 正多面体的棱：正多面体的棱是连接面的边的线段。
- 正多面体的顶点：正多面体的顶点是连接面的顶点的点。
- 正多面体的边长：正多面体的边长是正多边形的边长。
二、常见的正多面体：1. 正四面体：正四面体是一种具有四个面的正多面体，每个面是一个正三角形。
它有四个顶点、六条棱和四个面。
2. 正六面体：正六面体是一种具有六个面的正多面体，每个面是一个正方形。
它有八个顶点、十二条棱和六个面。
3. 正八面体：正八面体是一种具有八个面的正多面体，每个面是一个正正方形。
它有六个顶点、十二条棱和八个面。
4. 正十二面体：正十二面体是一种具有十二个面的正多面体，每个面是一个正五边形。
它有二十个顶点、三十条棱和十二个面。
5. 正二十面体：正二十面体是一种具有二十个面的正多面体，每个面是一个正三角形。
它有十二个顶点、三十条棱和二十个面。
三、正多面体的体积公式：1. 正四面体的体积公式：正四面体的体积可以通过以下公式来计算：体积= (1/3) × 底面积× 高其中，底面积是正三角形的面积，高是从底面到顶点的垂直距离。
2. 正六面体的体积公式：正六面体的体积可以通过以下公式来计算：体积= 边长³其中，边长是正方形的边长。
3. 正八面体的体积公式：正八面体的体积可以通过以下公式来计算：体积= (2/3) × 边长³其中，边长是正正方形的边长。
正多面体的性质和计算公式正多面体是指所有的面都是相等正多边形，且每个顶点所围成的角都相等的立体图形。
正多面体具有一些独特的性质和计算公式，下面将对这些内容进行详细论述。
一、性质1. 对称性：正多面体具有高度的对称性。
它的每个面都可以通过旋转或镜像变换重合于另一个面。
这种对称性使得正多面体在美学和设计领域具有广泛应用。
2. 面数、棱数和顶点数的关系：设正多面体的面数为F，棱数为E，顶点数为V。
根据多面体的性质，有以下关系式：F + V = E + 23. 欧拉公式：欧拉公式是指正多面体的面数、棱数和顶点数之间的关系。
根据欧拉公式，有以下等式成立：F + V - E = 24. 边长和面积：正多面体的边长可以通过计算每个面的边长来获得。
每个面上的正多边形的边长相等。
正多面体的表面积可以通过计算每个面的面积来获得，然后将各个面的面积求和。
5. 角度：正多面体的每个顶点所围成的角都相等。
不同正多面体的内角度度数不同，具体计算需要注意。
6. 对角线和体积：正多面体的对角线是连接不相邻顶点的线段。
正多面体的体积可以通过计算其底面积与高的乘积来获得，其中高是从底面到顶点的垂直距离。
二、计算公式1. 正多面体的边长计算：假设正多面体的面是正n边形，则正多面体的边长L可以通过以下公式计算：L = S / n其中，S表示正多面体的面积。
2. 正多面体的面积计算：正多面体面积的计算公式取决于具体的形状。
常见的正多面体包括立方体、正四面体、正六面体等，它们的面积计算公式如下： - 立方体的面积：A = 6a^2，其中a表示边长。
- 正四面体的面积：A = √3a^2，其中a表示边长。
- 正六面体的面积：A = 6 √3 a^2，其中a表示边长。
3. 正多面体的体积计算：正多面体体积的计算公式也取决于具体的形状。
常见的正多面体体积计算公式如下：- 立方体的体积：V = a^3，其中a表示边长。
- 正四面体的体积：V = a^3 / 6√2，其中a表示边长。
正多面体体积公式正多面体体积公式一、引言正多面体是数学中的一个重要概念，是指所有面都是相等正多边形的多面体。
它们的特点是对称美丽，具有高度的几何完美性。
在立体几何领域，求解正多面体的体积一直是个热门话题。
本文将介绍正多面体体积的计算公式，帮助读者更好地理解和应用。
二、正多面体的定义正多面体是指所有面都是相等正多边形的多面体。
常见的正多面体有四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。
它们分别有4、6、8、12和20个面，对应的顶点数分别为4、8、6、20和12个。
三、正多面体体积公式正多面体的体积公式可以通过推导得到。
下面以四面体、六面体和八面体为例进行介绍。
1. 四面体（tetrahedron）体积公式：四面体的体积公式为：V = (a^3 * √2) / 12其中，a代表四面体的边长。
2. 六面体（hexahedron）体积公式：六面体的体积公式为：V = a^3其中，a代表六面体的边长。
3. 八面体（octahedron）体积公式：八面体的体积公式为：V = (√2 / 3) * a^3其中，a代表八面体的边长。
四、应用与推广正多面体体积公式在实际应用中有很多场景，比如建筑、工程和数学研究等领域都可以得到应用。
对于建筑设计师来说，正多面体是一种常见的设计元素，了解正多面体的体积公式可以帮助他们更好地规划和布局建筑物的空间。
在工程领域，正多面体的体积公式可以应用于计算材料的用量，提高资源利用效率。
而对于数学研究者来说，正多面体体积公式是探索数学内涵的一个途径，也可以用于解决一些几何问题。
五、结论正多面体体积公式是求解正多面体体积的重要工具，通过简单的公式计算可以得到正多面体的体积。
本文介绍了四面体、六面体和八面体的体积公式，并简要介绍了应用场景和推广价值。
希望读者通过本文的阅读，对正多面体体积公式有更深入的理解，并能够灵活运用于实际问题中。
克莱姆(Cramer)法则的几何表述与代数证明的简化韩国涛;宋玉靖【摘要】给出了线性方程组的几何直观解释,并利用十分简明的几何关系,给出了克莱姆法则的几何表述,即:系数矩阵为满秩方阵的线性方程组的各个解,是某些特定对应平行多面体之间的有向体积之比.利用行列式几何意义的一个通俗说明,直接导出了克莱姆法则的代数形式.抛开几何直观的解释和验证,借助于对方程组关系的直观洞察,可以简化克莱姆法则中关于方程组解的形式表达式的纯代数证明.目前,常见的2种克莱姆法则的证明,要么是借助于行列式关于其代数余子式的展开,要么是利用逆矩阵和伴随矩阵,而本文简化之后的证明,仅利用行列式的基本性质就可以了.【期刊名称】《辽宁师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(041)004【总页数】6页(P450-455)【关键词】线性方程组;有向体积;克莱姆法则;行列式【作者】韩国涛;宋玉靖【作者单位】辽宁农业职业技术学院信息工程系,辽宁营口 115009;辽宁师范大学数学学院,辽宁大连 116029【正文语种】中文【中图分类】O151.2克莱姆法则是线性方程组理论中一个重要的定理,但是几乎所有的教材都只给出其代数形式的结论及其代数(纯逻辑)证明[1-2],许多进一步的讨论也局限于代数证明[3-4].对于绝大多数的学习者来说,其结论和证明都显得十分抽象,很难真正理解这个结论背后的空间形式关系.事实上,如果能够看清背后的几何关系, 克莱姆法则所表现的本质内容，对于不高于三维的空间而言,就是一个十分简单的初等几何关系；而对于高维空间来说,也不过是低维空间几何关系的简单形式推广而已.本文首先从向量角度出发,对于线性方程组给出一个初等几何关系的解释;然后利用这个解释和初等几何的关系,对于方程组的解,给出一个十分直观简明的几何表达;并根据文献[5]中关于行列式几何意义的说明，直接导出了克莱姆法则的代数形式表述. 抛开几何语言，若对线性方程组的几何背景有了深入理解之后，可以想到克莱姆法则中关于方程组解的形式一个简化代数证明.1 线性方程组的几何解释一般的n元线性方程组都可以表示为如下形式：(1)引入如下列向量的表示：则方程组(1)可以记作：(2)由此可以看出，所谓的解方程组(1)，其实就是对于给定的一个向量寻找n元向量组的所有可以表示向量的线性组合.根据克莱姆法则所讨论的情况，现假设这个n维向量组是线性无关组(即线性方程组的系数矩阵是满秩的).由向量空间的基本定理可知，存在唯一的线性组合,也就是有唯一的一组数{x1,x2,…,xn}使得式(2)成立.这组数也称为由坐标架确定的仿射坐标.事实上，从几何意义上解释线性方程组，还有一些其他的角度,这些解释也有其意义.但是本文的目的仅在于揭示克莱姆法则所表示的空间关系，所以就不再做其他的说明.2 克莱姆法则的几何表述本节先介绍一些相关的概念.为了直观与初等化，首先分别以二维或三维空间为例，从初等几何所揭示的基本关系导出克莱姆法则所给出的结论,然后再对一般情况作推广.以下提到向量,都被理解为向量的几何表示,即一个向量就是一个有向线段.2.1 n维体积概念一个线段的长度,称为一维体积;一个平面图形的面积称为二维体积;通常所说的立体体积,就是三维体积.对于高维的体积,可以类推，本文不再详述.2.2 n维欧氏空间的常规定向记n维直角坐标空间的n个坐标轴依次是x1,x2,…，xn轴.对于每个i,分别在xi轴上取定一个单位长度的有向线段ei,其方向与xi轴的正方向一致.于是依照坐标轴的序号，本文采用符号D({e1,e2,…,en})表示空间的一个定向，并且规定为正向.记为D({e1,e2,…,en})=1.{e1，e2,…,e n} 也称为n维空间的标准正向坐标架.另外，记Wi是由向量组{e1,e2,…,ei}所生成的i维空间(n维直角坐标空间的一个子空间).假设有该空间的一个线性无关向量组这n个向量也可以构成空间的坐标架(仿射坐标)，于是也表示空间的一个定向.一个自然的问题是在什么情况下D({e1,e2,…,en})与表示的是同一个定向呢？设所有这些向量都是以空间的原点作为起始点的有向线段(下同)，从几何的角度讲，可以按照如下操作作出判断：假设通过若干次旋转变换(或者偶数次反射变换)，使得对于每个i∈{1,2,…,n}，都满足①⊆Wi；②向量的正向与ei的正向所成夹角不大于那么这2组标架给出的定向就是一致的.作为定向的表示，即有如果无论如何旋转变换，都无法满足上述条件，那么这两个定向就是相反的，即从线性代数的角度表述这种关系，就是在利用线性变换将依顺序变换为{e1,e2,…,en}的时候，即将变换为ei，其变换矩阵的行列式如果为正数，那么两组有序标架的定向就是一致的；假设变换矩阵的行列式为负值的时候，两组标架的定向就是相反的.例1 (1)给定的一个非0实数a, 由于实数集也就是一维欧氏空间，a可表示为一个一维向量，于是向量组{α}也构成这个1维空间的一个坐标架.若α是正实数，则定向D({α})为正；若α是负数，则D({α})为负.(2)给定2维空间2个不共线向量如果从正向到正向的逆时针转角小于π，那么为正，否则为负.(3)在3维向量空间中，给定3个不共面的向量如果按照它们之间的正向夹角，依顺序构成一个右手系，那么为正，否则为负.2.3 n维平行多面体的有向体积以上说明，对于一个n维欧式空间，可以确定2个不同的定向.根据特定的定向，对于由n个有向线段(向量)为相邻棱边的n维平行多面体以及它们的体积，也可以定义其方向.可能的方向只有2个，一正，一负.下面举例说明常规的定向.例2 (1)实数轴是1维欧式空间，按照实数轴的正方向定向.如果有向线段的方向与实轴的方向一致，那么该线段的长度就是它的有向1维体积；如果其方向与实轴相反，那么它的长度的负值就是它的有向1维体积.(2)给定了直角坐标平面，则逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向.现在假设有2个不平行的有向线段按照常规约定，这2个有向线段的夹角是小于π的.我们用符号表示由为邻边所作平行四边形的有向体积(面积).如果按照逆时针方向从转动到的角小于π，那么为正值，且等于所作平行四边形的面积,反之则为负值.所以，容易知道，(3)给定直角坐标系的立体空间，按照3个坐标轴的顺序和方向形成右手系规定为正向,左手系便是相反定向(负向).给定不共面向量类似的，用符号表示由这3个有向线段为邻边所形成的平行六面体的有向体积，其取值方式如下:按照3个向量正向夹角，依的顺序转动,如果以上过程形成右手系，则是平行六面体的体积(正值)；如果形成一个左手系，则是该平行六面体体积的负值.以上规定与向量混合积的结果是完全统一的.很显然，对这3个向量做一次对换，有向体积的符号就会变化一次.对于一般的高维空间的平行多面体，其有向体积按照如下公式确定：由为邻边构成的n维平行多面体的体积(正实数)记为则(3)根据有向体积定义方式，很容易得到如下关系式:(4)引入符号它表示由标架为相邻棱边构成的有向n维平行多面体.其定向也是由确定.2.4 克莱姆法则的几何表述与直观推导现在讨论线性方程组先考虑n=2和n=3时的情况.当n=2时，见图1和图2所示(注：均为平面图形).图1 有向面积相等(1)Fig.1 Equal directed area(1)图2 有向面积相等(2)Fig.2 Equal directed area(2)注意到,如果关系式成立,则无论是哪种情况,平行四边形与都具有相同的底和高以及相同的定向,所以也有相等的有向面积. 再根据前面的式(4)所揭示的关系，便可得到：类似可得：当n=3时，如图3，如果有成立,图3 有向体积相等Fig.3 Equal directed volume则平行六面体与有相同的底面和相同的高,并且有相同的定向,于是有即类似可得考察n大于3的情况.由于高维多面体的体积计算方式与2维、3维完全一致(都是底的n-1维体积乘以高),再由向量加法的几何意义(平行四边形法则)，如果成立.那么对于任意的i,下面2个n维平行多面体与都具有相同的底，相同的高，并且有相同的定向，所以具有相同的有向体积，即这便得到克莱姆法则的几何表示形式：对于每个i∈{1,2,…,n},有3 关于行列式的几何意义与克莱姆法则的代数表示形式在很多教材中，会提到行列式的几何意义是平行多面体的有向体积[6]，但基本上都没有详细阐述. 虽然对于二维和三维空间来说，可以利用向量的内积或外积运算推导出这个结论，但是对于高维的情况，很多学习者便看不清楚了.因为想从代数角度推导一般的高维情况，看上去显得很复杂.事实上，绝大多数线性代数的学习者，甚至对于低维空间情况，也很少留下印象.在文献[5]中，作者利用行列式的运算法则和初等变换，对于行列式的几何意义做出了十分通俗易懂的揭示.本文不再详述，感兴趣的读者可参阅该文.参阅文献[5]的解释以及本文关于平行多面体有向体积的表示，如果将行列式的第i 列，用列向量表示，立刻可以得到行列式与有向体积之间的关系式：(5)于是方程组(1)的解便是：对于每个i∈{1,2,…,n},有这便是克莱姆法则的基本结论.4 克莱姆法则代数证明的简化假设抛开上述借助于几何直观的验证,在了解克莱姆法则背后的几何意义的基础上,可以给出克莱姆法则主体结论(方程组解的表达式)一个具有构造性的纯粹代数证明. 注意到平行多面体有向体积之间的如下关系：易于想到下面的代数证明方法.考虑线性方程组(2)，假设有n个实数x1,x2,…,xn满足如下等式:则有行列式的等式关系：若不为0，则有相对于目前常见的克莱姆法则中关于方程组(2)解的形式的两种证明，这个证明既不需要行列式对于其代数余子式的展开规则，也不需要逆矩阵和伴随矩阵，仅仅知道行列式的基本性质就可以了，因此在形式上要简明得多.20年前，著名数学家陈省身先生和项武义先生都曾经倡导将线性代数与解析几何课程统一起来.尽管为此也产生了一些相关的教材，有些教材也颇有新意[6].但是多数教材，仅仅将两部分理论拟合在一起，并没有让两个理论有机地统一起来,以至于陈先生的倡议并没有在较大范围实现.本文的意义，当然不在于给出更具有学术价值的新证明，而是为相关内容(包括整个线性代数理论)的学习者或者教学者提供一个参考,也是将解析几何与线性代数一部分内容有机结合的一个尝试.参考文献：【相关文献】[1] 黄廷祝、成孝予．线性代数与空间解析几何[M]．2版.北京：高等教育出版社，2003:70-74.[2] 库洛什A Γ．高等代数教程[M]．北京:高等教育出版社,1956:108-112.[3] 陈治中．线性代数与解析几何[M]．北京：北京交通大学出版社，2003:78-79.[4] 陈希镇．Cramer法则的行列式证明[J]．高等数学研究,2006,9(4):23-24.[5] 谢琳，张静.从几何直观理解行列式与Cramer法则[J]．高等数学研究,2009,12(1):61-63.[6] 陈志杰．高等代数与解析几何(上)[M]．北京：高等教育出版社，2002:96-104．。
