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正方体涂色规律公式
正方体涂色规律计算公式是(n-2)×(n-2)×6。
正方体一般是正六
面体，用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体，也称立
方体、正方体。
正六面体是一种侧面和底面均为正方形的直平行六面体，即棱长
都相等的六面体，正六面体是特殊的长方体，正六面体的动态定义是：由一个正方形向垂直于正方形所在面的方向平移该正方形的边长而得
到的立体图形。
在计算表面涂色的正方体时，要充分利用点、线、面、体及它们
的关系，提高学生的空间观念和解决实际问题的能力。
任何一个大正
方体可以切成5³＝125块小正方体。
把一个涂色的大正方形切成125
块小正方形后：
涂不到色的有：（5-2）³＝27块（在大正方体的内部）。
一面涂色的有：（5-2）²×6＝54块（在六个面的中间）。
二面涂色的有：（5-2）×12＝36块（在12条棱上）。
三面涂色的有：8块（八个角）。
一共有：27+54+36+8＝125块。
正多面体顶点数与面数与棱数关系正多面体是指每个面都是正多边形的多面体，它是几何学中的一个重要概念。
在本文中，将讨论正多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系。
首先，我们来探讨正多面体的特点。
正多面体的每个面都是相等的正多边形，且每个顶点都是围绕相同的边数的面而排列的。
根据欧拉公式，正多面体的顶点数、面数和棱数之间存在着一定的关系。
欧拉公式表达式如下：V - E + F = 2其中，V表示顶点数，E表示棱数，F表示面数。
根据这个公式，我们可以得出正多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系。
首先，我们来考虑最简单的正多面体——正四面体。
正四面体是由四个等边三角形组成的立体图形，因此它有四个面、四个顶点和六条棱。
代入欧拉公式可以得到：4 - 6 + F = 2通过计算可以得出，正四面体的面数F为四。
所以，正四面体的顶点数、面数和棱数之间的关系为：V=4，E=6，F=4。
这也符合我们在前面讨论的正多面体的定义。
接下来，我们来考虑正六面体（也称为立方体）。
正六面体由六个正方形组成，它有六个面、八个顶点和十二条棱。
代入欧拉公式可以得到：8 - 12 + F = 2通过计算可以得出，正六面体的面数F为八。
所以，正六面体的顶点数、面数和棱数之间的关系为：V=8，E=12，F=8。
同样地，我们可以计算出其他正多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系。
例如，正八面体（也称为八面体）由八个等边三角形组成，它有八个面、六个顶点和十二条棱。
代入欧拉公式可以得到：6 - 12 + F = 2通过计算可以得出，正八面体的面数F为六。
所以，正八面体的顶点数、面数和棱数之间的关系为：V=6，E=12，F=6。
同样地，我们可以计算出正十二面体（也称为二十面体）、正二十面体（也称为立体二十面体）和正三十面体（也称为二十面体）等正多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系。
它们的顶点数、面数和棱数分别为：正十二面体：V=20，E=30，F=12正二十面体：V=12，E=30，F=20正三十面体：V=12，E=30，F=30通过以上的计算，我们可以总结出正多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系为：正四面体：V=4，E=6，F=4正六面体：V=8，E=12，F=8正八面体：V=6，E=12，F=6正十二面体：V=20，E=30，F=12正二十面体：V=12，E=30，F=20正三十面体：V=12，E=30，F=30通过这些例子，我们可以看到，正多面体的顶点数、面数和棱数之间并没有明显的规律，它们的数值取决于多面体的形状和特征。
高三第一轮复习数学---多面体一、教学目标：了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；二、教学重点： １、欧拉公式 （如何运用） 2、割补法求体积三、教学过程：（一）主要知识：1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．２、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体． 3、表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体。
一切凸多面体都是简单多面体。
4、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．5、如果简单多面体的顶点数为Ｖ，面数为Ｆ，棱数为Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，这个公式叫做欧拉公式．6思维方式: 空间想象及转化思想特别注意: 研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥的概念和性质，而要以它们为基础去认识多面体，并讨论多面体的特点和性质．欧拉公式的适用范围为简单多面体． （二）例题分析： 例1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４(2)一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B（２）同欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝20，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°． 思考题：一个多面体，每个面的边数相同且小于6，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．（20,12,30）思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２例2: 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．说明：2,2kV E k nF E n ==条棱则过一个顶点有边形则每个面为例3： 连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是＿＿＿＿＿＿解：设正方体棱长为１，则正八面体的棱长为22，体积为6121)22(3122=⨯⨯⨯．所以体积之比为１:６．思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时．挖掘：（１）正八面体相邻两个面所成二面角的大小＿＿＿＿＿．（31arccos -π）（２）棱长为１正八面体的对角线长为＿＿＿＿＿．（2）例４：三个12×12的正方形，如图，都被连接相邻两边中点的直线分成Ａ、Ｂ两片（如图），把６片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体（如图），求此多面体的体积．解：（一）补成一个正方体，如图，V=31221⨯=864（二）补成一个直三棱锥，如图，V=V 大三棱锥-3V 小三棱锥=864．思维点拨：割补法是求多面体体积的常用方法．思考题：如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） （A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215解：D（三）巩固练习： 1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４(２)每个顶点处棱都是3条的正多面体共有________种(３)一个凸多面体的棱数为 ３０，面数为１２，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B （２）3（３）由欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝２０，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．2、已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．3、一个简单多面体，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数． 解：设每个面的边数为x ，每个点出发的棱数为y 。
正多面体的性质和计算公式正多面体是指所有的面都是相等正多边形，且每个顶点所围成的角都相等的立体图形。
正多面体具有一些独特的性质和计算公式，下面将对这些内容进行详细论述。
一、性质1. 对称性：正多面体具有高度的对称性。
它的每个面都可以通过旋转或镜像变换重合于另一个面。
这种对称性使得正多面体在美学和设计领域具有广泛应用。
2. 面数、棱数和顶点数的关系：设正多面体的面数为F，棱数为E，顶点数为V。
根据多面体的性质，有以下关系式：F + V = E + 23. 欧拉公式：欧拉公式是指正多面体的面数、棱数和顶点数之间的关系。
根据欧拉公式，有以下等式成立：F + V - E = 24. 边长和面积：正多面体的边长可以通过计算每个面的边长来获得。
每个面上的正多边形的边长相等。
正多面体的表面积可以通过计算每个面的面积来获得，然后将各个面的面积求和。
5. 角度：正多面体的每个顶点所围成的角都相等。
不同正多面体的内角度度数不同，具体计算需要注意。
6. 对角线和体积：正多面体的对角线是连接不相邻顶点的线段。
正多面体的体积可以通过计算其底面积与高的乘积来获得，其中高是从底面到顶点的垂直距离。
二、计算公式1. 正多面体的边长计算：假设正多面体的面是正n边形，则正多面体的边长L可以通过以下公式计算：L = S / n其中，S表示正多面体的面积。
2. 正多面体的面积计算：正多面体面积的计算公式取决于具体的形状。
常见的正多面体包括立方体、正四面体、正六面体等，它们的面积计算公式如下： - 立方体的面积：A = 6a^2，其中a表示边长。
- 正四面体的面积：A = √3a^2，其中a表示边长。
- 正六面体的面积：A = 6 √3 a^2，其中a表示边长。
3. 正多面体的体积计算：正多面体体积的计算公式也取决于具体的形状。
常见的正多面体体积计算公式如下：- 立方体的体积：V = a^3，其中a表示边长。
- 正四面体的体积：V = a^3 / 6√2，其中a表示边长。
高一数学多面体知识点总结多面体是立体几何的重要内容之一，在高中数学中起着重要的作用。
本文将对高一数学中涉及到的多面体的相关知识进行总结。
一、多面体的定义和基本特征多面体是由平面多边形构成的立体图形。
它的基本特征包括：面、棱和顶点。
面是多面体的表面部分，由若干个平面多边形组成；棱是面的交线段，连接两个相邻的顶点；顶点是棱的两个端点的集合。
二、常见的多面体及其特征1. 三棱柱三棱柱是一种具有三个矩形侧面和两个底面的多面体。
它的特点是底面为一个三角形，且三个侧面均为矩形。
三棱柱的面积和体积的计算通常需要根据图形特征运用相应的公式进行计算。
2. 四棱锥四棱锥是一种具有四个三角形侧面和一个底面的多面体。
它的特点是底面为一个正方形，且侧面均为三角形。
计算四棱锥的面积和体积时需要运用相应的公式，通常需要先计算出棱长等相关数据。
3. 正五边形棱镂空正五边形棱镂空是一种具有一个正五边形底面和五个等边三角形侧面的多面体。
它的底面是一个正五边形，侧面均为等边三角形。
计算正五边形棱镂空的面积和体积时需要根据具体情况选择合适的公式进行计算。
4. 八面体八面体是一种具有八个等边三角形面的多面体。
它的特点是八个面均为等边三角形，且都相互连接。
计算八面体的面积和体积时需要考虑到其特殊的几何特征，运用相应的公式进行计算。
5. 十面体十面体是一种具有十个等边三角形面的多面体。
它的特点是十个面均为等边三角形，且都相互连接。
计算十面体的面积和体积时也需要考虑到其特殊的几何特征，选择合适的公式进行计算。
三、多面体的性质和应用1. 多面体的性质多面体具有一些基本的性质，如：多面体的棱数加上顶点数减去面数等于2，即棱数+顶点数-面数=2；多面体的每个顶点相交的棱数相等；多面体的每个面相交的棱数相等等。
2. 多面体的应用多面体在实际生活和工作中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要考虑到各种多面体的几何特征，如体积和表面积，以便合理规划建筑空间和结构；在游戏设计中，多面体的概念也经常被运用，如骰子、拼图等游戏道具。
正立方体六个面的着色问题图解Pólya计数法Mr. Thursday不知道各位阅读一篇blog的时候都是什么样子的时间？刚吃饱饭？刚做完剧烈运动？还是深夜还没睡觉的时候？也许各位只有10分钟左右的注意力可以阅读这篇文章，但是数学相关的内容常常需要很多血液在大脑才能了解，在各位读者大脑缺血的状态下，硬是要大家脑充血，实在是有点残酷。
不过这篇文章有另外一个尝试，就是使用图解的方式，让大家可以用比较轻松的方式了解还满有难度的Pólya计数法。
各位读者不必学过很难的定理，只要会「加法」、「乘法」、以及对三度空间有一些些想象力，就可以了解！愿意试试看吗？让我们往下继续阅读吧！开始之前先把Pólya本尊以及他发明的公式列在下面，今天的目标就是让各位经松了解这个公式，甚至一辈子都不会忘记喔！加法原理和乘法原理不知道各位是否还记得中学时候学到的排列组合。
在这部分我们稍微有些直觉上的复习。
首先让我们注意到如果今天有一个瓷砖，然后我们有两种颜色，但是瓷砖一次只能上一种颜色，那么有几种着色法呢? 我想大家应该都会回答是两种。
譬如说下面这张图：问号代表一个还没上色的瓷砖。
右手边代表这两种可能的着色方法：红色、「或是」蓝色。
接下来让我们推广到两个瓷砖的时候。
如果有两种颜色(红色、蓝色)，分别涂在两个瓷砖上面，总共有几种着色呢？让我们可视化这个问题的答案：所以我们可以看到，有四种着色方法。
在继续讨论之前，我们想做一件事，就是跨越「符号化」的鸿沟。
首先，上面四种着色方法，我们如果用中文来念，分别就是：「红红」、「红蓝」、「蓝红」、「蓝蓝」。
如果我们用英文来代表呢？红色是Red，所以用字母R来代表，蓝色是Blue，所以用B来代表，那么刚才四种着色方法，用英文字母来表示，就变成RR、RB、BR、BB了！跨越符号化的鸿沟之后，我们要开始进入这一段的重点：加法原理和乘法原理。
我想各位应该都知道加法，譬如说1＋1 = 2。
染色问题的求解方法某伞厂所生产的伞品种齐全，其中品牌为"太阳伞"的伞的伞蓬都由太阳光的七种颜色组成，这七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对的区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞至多有（ ）种（A ）40320 （B ）5040 （C ）20160 （D ）2520答案：B一、区域染色问题对区域的染色问题一般是（1）直接根据两个基本原理求解；（2）根据所用的颜色的种数分类；（3）根据某两个区域同色或不同色分类；（4）根据相间区域使用的种类分类。
用四种颜色给四川、青海、西藏、云南四省（区）的地图染色，每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同的染色方法有多少种？ 分析：给四川染色有4种方法，给青海染色有3种方法，给西藏染色有2种方法，给云南染色有2种方法，根据分步计数原理共有482234=⨯⨯⨯种方法。
点评：本例是直接利用两个基本原理来解决。
（2003全国）16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 ________种。
（以数字作答）答案：72解法一:合并单元格法 分析：颜色相同的区域可能是②④，③⑤。
下面分情况讨论：（ⅰ）当②④颜色相同且③⑤颜色不同时，将②④合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于四个元素②④、①、③、⑤的全排列数44A 。
（ⅱ）当②④颜色不同且③⑤颜色相同时同情形（ⅰ）有44A 种着色方法。
（ⅲ）当②④及③⑤分别同色时，分别将②④及③⑤合并，这样仅有三个单元格，即②④、③⑤、①，从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，即有3334A C 种方法。
由分类计数原理知，不同的着色方法共有7224482333444=+=+A C A （种）。
解法二：由题意可知至少要选三种颜色，依着色的种数分类：（ⅰ）当选用三种颜色时，区域②与④必须同色，区域③与⑤必须同色，故有34A 种。
立体几何同步训练14多面体及欧拉公式欧拉公式是在立体几何中一个非常重要的定理，它描述了一个多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。
欧拉公式的形式可以用如下的式子表示：V-E+F=2其中，V代表多面体的顶点数，E代表多面体的边数，F代表多面体的面数。
多面体是指一个由平面多边形所围成的立体体积，根据多边形的数量和形状不同，可以得到不同的多面体，例如正多面体、凸多面体和凹多面体等。
首先，我们来讨论一些常见的多面体。
1.正多面体：所有的面都是相等的正多边形，且每个顶点都相等，例如正方体、正八面体和正二十面体等。
所有的正多面体都具有着完全相同的顶点、边和面的数量。
2.非正多面体：所有的面不都是相等的正多边形，例如长方体、八面体和十二面体等。
相比于正多面体，非正多面体的顶点、边和面的数量可以有所不同。
3.凸多面体：多面体内部的所有点都位于多面体表面的同一侧。
一个常见的例子是立方体，它是一个边相等、面相等且角相等的凸多面体。
4.凹多面体：多面体内部的一些点位于多面体表面的两侧。
一个常见的例子是镂空的球。
根据欧拉公式，我们可以通过任意两个量确定多面体的第三个量。
假设我们知道多面体的顶点数和面数，我们就可以通过欧拉公式计算出边数。
同样地，如果我们知道多面体的边数和面数，我们也可以计算出顶点数。
例如，我们考虑一个正四面体。
它有4个面，因此F=4、每个面都是一个等边三角形，有3条边，所以E=3x4/2=6、通过欧拉公式，我们可以计算出这个正四面体有多少个顶点：V-6+4=2，因此V=4同样地，我们可以计算其他正多面体的顶点数、边数和面数。
欧拉公式在立体几何中有着广泛的应用。
它不仅可以用来计算多面体的未知量，还能帮助我们理解多面体的结构和性质。
在数学研究和实际应用中，欧拉公式发挥着重要的作用，例如在蛋白质结构的研究中，欧拉公式可以用来计算蛋白质的拓扑特性。
总结起来，欧拉公式是立体几何中的一个重要定理，它描述了多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。
Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(5), 540-548Published Online May 2020 in Hans. /journal/pmhttps:///10.12677/pm.2020.105066Seven Different Types of Coloring Formulas for Regular PolyhedronsRenbing XiaoSchool of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming YunnanReceived: Apr. 25th, 2020; accepted: May 18th, 2020; published: May 25th, 2020AbstractIn this paper we obtain the coloring formulas of vertex, edge, surface, point edge, point surface, edge surface, and point edge surface of regular polyhedrons by using Pólya theorem. Our method is to use the knowledge of permutation groups. First we determine the rotation groups of all regu-lar polyhedrons, and then we determine the permutation types and the numbers of elements in the induced permutation groups. Then the formulas are obtained by considering the actions of the groups on the set.KeywordsRegular Polyhedron, Rotation Group, Coloring Formula, Pólya Theorem正多面体的七种不同类型的着色公式肖仁兵云南师范大学数学学院，云南昆明收稿日期：2020年4月25日；录用日期：2020年5月18日；发布日期：2020年5月25日摘要本文我们研究正多面体的顶点、边、面、点边、点面、边面和点边面的着色公式。
我们通过考虑正多面体的自同构群(旋转群)在正多面体点、边、面等个体集合上的作用，先求出所有正多面体的旋转群，进而得到这些旋转群在正多面体点、边、面等个体集合上的诱导作用及旋转群中元素的置换类型及个数，然后利用Pólya定理得出正多面体的顶点、边、面、点边、点面、边面和点边面的着色公式。
肖仁兵关键词正多面体，旋转群，着色公式，Pólya 定理Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 引言图着色问题是图论和组合数学中的一个经典问题，着色问题的研究极大地促进了图论和组合数学的发展。
近年来，用代数方法研究图着色问题是解决这一古老问题的重要途径。
所谓正多面体的顶点着色问题如下：用m 种颜色给对一个正多面体的顶点着色，如果两种着色方法经过对正多面体进行一次对称旋转能互相重合，则认为这两种着色本质上是一样的，问本质上有多少种不同的着色？定义详见文献[1]，同时文献[1]中还给出了正六面体的着色公式。
此外叶载良，韩冬在文献[2]中利用Burnside 定理给出了其它四种正多面体的顶点着色公式，本文我们利用Pólya 定理给出五种正多面体的顶点、边、面、点边、点面、边面和点边面的着色公式。
2. 预备知识这一节中我们先给出本文需要的一些预备知识，本文中涉及图着色的概念可参见文献[1]，涉及置换群与群作用的概念和内容可参见文献[3]。
定义1.1 [4]设A 是一个n 元集，G 是A 上的一个置换群，g G ∈，如果g 的轮换分解式中含有()1,2,,i b i n = 个长为i 的轮换(122n b b nb n +++= )，则称g 是一个型为(12,,,n b b b )的n 元置换，或称g 是一个型为1212n b b b n 的n 元置换。
定义1.2 [4]设G 是n 元集A 上的一个置换群，12,,,n x x x 是n 个未定元，对每个g G ∈，以()i b g (1,2,,i n = )表示g 的轮换分解式所含有的长为i 的轮换的个数，令()()()()1212121,,,n b g b g b g G n n g GP x x x x xx G∈=∑()12,,,G n P x x x 称为A 上的置换群(G ，。
)的轮换指标。
定理1 (Pólya 定理) [5]设有限群作用在n 个对象组成的集合W 上。
G 中元素g 在上的置换表示记作ˆg。
用m 种颜色给W 里的n 个对象染色，则真正不同的染色方案的个数r 为：()ˆ1r g g Gr m G∈=∑其中()ˆr g是ˆg 的轮换表示中轮换的个数(包括1-轮换)。
定理2 (Burnside 引理) [5]设有限群G 在有限集合Ω上有一个作用，用F (g )表示g 的不动点集，即()F g x g x x =∈Ω=则轨道条数r 为()1g Gr F g G∈=∑肖仁兵即轨道条数等于平均被G 的一个元素保持不动的点的数目。
参考文献[6]，三维空间中总共有五个正多面体，分别为：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，具体如下表1。
Table 1. Number of vertices, sides, number of faces and shape of regular polyhedron 表1. 正多面体的顶点数，边数，面数和面的形状正多面体 顶点数 边数 面数 每个面的形状 正四面体 4 6 4 正三角形 正六面体 8 12 6 正方形 正八面体 6 12 8 正三角形 正十二面体 20 30 12 正五边形 正二十面体123020正三角形3. 主要结果我们的讨论的主要依赖于对正多面体的旋转轴的分类。
下面我们依次对正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体确定其旋转轴的类型，然后确定在相应子图上的诱导作用，最后利用Pólya 定理得到这些正多面体的着色公式。
1) 正四面体：由表1知正四面体的顶点数、边数及面数分别为4，6，4。
图形结构如图1所示。
我们给图形顶点标上数字标号，4个顶点如图依次记为1，2，3，4；6条边依次记为：()112e ，()213e ，()314e ，()423e ，()524e ，()634e 。
4个面依次记为：()1123u ，()2124u ，()3134u ，()4234u 。
Figure 1. Regular tetrahedron structure diagram图1. 正四面体结构图正四面体的旋转轴可分为两类：I 类为过一顶点与底面中心的连线为轴，旋转120˚和240˚，取旋转群中元素为通过顶点1和其对面()4234u 中心的连线旋转120˚，其点置换()1()234是1131型置换，对应的边置换为()123e e e ()465e e e 是32型置换，对应的面置换为()4u ()123u u u 是1131型置换，有四条类似轴，两种转角，共8个元素； Ⅱ类为过两条对边中点连线的轴，旋转180˚，以()112e 与其对边()634e 的中点连线为轴旋转180˚为例，其点置换()12()34是22型置换，求得对应的边置换为()1e ()6e ()25e e ()34e e 是1222型置换，对应的面置换为()12u u ()34u u 是22型置换，有三组对边，一种转角，共3个元素。
加上单位元，点置换群4V 有14型1个，1131型8个，22型3个；边置换群4E 有16型1个，32型8肖仁兵个，1222型3个；面置换群4U 有14型1个，1131型8个，22型3个；对每个类型置换计算不动点数，由Pólya 定理即可得到正四面体的m 种颜色的顶点、边、面着色公式为：()44211112V N m m =+, ()464213812E N m m m =++, ()44211112U N m m =+ 如果我们考虑正四面体旋转群G 作用在包含正四面体顶点和边的集合{}1234561,2,3,4,,,,,,e e e e e W e =上，导出的群称为点边置换群4VE ，则I 类旋转为过一顶点与底面中心的连线为轴，旋转120˚和240˚，取G 中元素1g 为通过顶点1和其对面u 4 (2 3 4)中心的连线旋转120˚，作用在集合W 上，得到的置换表示称为点边置换，得到()()1ˆ1234g= ()123e e e ()465e e e 是1133型置换，有四条类似轴，两种转角，共8个元素；II 类旋转为过两条对边中点连线的轴，旋转180˚，取G 中元素2g 为以()112e 与其对边()634e 的中点连线为轴旋转180˚，得到()()2ˆ1234g= ()1e ()6e ()25e e ()34e e 是1224型置换，有三组对边，一种转角，共3个元素；加上单位元，则点边置换群4VE 有110型1个，1133型8个，1224型3个。
由Pólya 定理即可得到正四面体的m 种颜色的点边着色公式为：()4106413812VE N m m m =++ 所以我们可以类似的得出正四面体的点面置换群4VU 有18型1个，1232型8个，24型3个；边面置换群4EU 有110型1个，1133型8个，1224型3个；点边面置换群4VEU 有114型1个，1234型8个，1226型3个；由Pólya 定理即可得到正四面体的m 种颜色的点面、边面和点边面着色公式分别为：()48411112VU N m m =+, ()4106413812EU N m m m =++, ()4148613812VEU N m m m =++2) 正六面体：由表1知正六面体的顶点数、边数及面数分别为8，12，6。
图形结构如图2所示。
