空间几何体的概念与结构

高一数学知识点总结_空间几何体的结构知识点高一数学空间几何体的结构知识点篇1空间几何体的结构知识点1、静态的观点有两个平行的平面，其他的面是曲面;动态的观点：矩形绕其一边旋转形成的面围成的旋转体，象这样的旋转体称为圆柱。

2、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的的曲面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫圆柱的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于圆柱轴的边旋转而成的面叫圆柱的侧面，圆柱的侧面又称圆柱的面。

无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫圆柱侧面的母线。

表示：圆柱用表示轴的字母表示。

规定：圆柱和棱柱统称为柱体。

3、静态观点：有一平面，其他的面是曲面;动态的观点：直角三角形绕其一直角旋转形成的面围成的旋转体，像这样的旋转体称为圆锥。

4、定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

旋转轴叫圆锥的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面成为圆锥的底面;不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫圆锥的侧面，圆锥的侧面又称圆锥的面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线。

表示：圆锥用表示轴的字母表示。

规定：圆锥和棱锥统称为锥体。

5、定义：以半直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆台。

还可以看成用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截面于底面之间的部分。

旋转轴叫圆台的轴。

垂直于旋转轴的边旋转而形成的圆面称为圆台的底面;不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫圆台侧面的母线。

表示：圆台用表示轴的字母表示。

规定：圆台和棱台统称为台体。

6、定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体，简称为球。

半圆的圆心称为球心，连接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径。

表示：用表示球心的字母表示。

专题37 空间几何体（知识梳理）一、空间几何体1、空间几何体的基本定义如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。

围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。

几何体不是实实在在的物体。

平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。

例1-1．下列是几何体的是( )。

A 、方砖B 、足球C 、圆锥D 、魔方【答案】C【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。

例1-2．判断下列说法是否正确：(1)平静的湖面是一个平面。

(×)(2)一个平面长3cm ，宽4cm 。

(×)(3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。

(×)(4)书桌面是平面。

(×)(5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。

(√)【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。

(6)平行四边形是一个平面。

(×)(7)长方体是由六个平面围成的几何体。

(×)(8)任何一个平面图形都是一个平面。

(×)(9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。

(√)(10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。

(×)(11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。

(√) 例1-3．下列说法正确的是 。

①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。

【答案】②③【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；②正确；③正确。

[多选]例1-4．下列说法正确的是( )。

A 、任何一个几何体都必须有顶点、棱和面B 、一个几何体可以没有顶点C 、一个几何体可以没有棱D 、一个几何体可以没有面【答案】BC【解析】球只有一个曲面围成，故A 错、B 对、C 对，由于几何体是空间图形，故一定有面，D 错，故选BC 。

第一章 空间几何体知识点归纳1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

简单组合体的构成形式：⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图投影：中心投影 平行投影（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体； ()13V h S S =+下台体上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

空间几何体知识点总结高三空间几何体是高中数学中的重要组成部分，特别是在高三阶段，对于空间几何体的理解和运用能力是解决高考数学题目的关键。

本文将对空间几何体的主要知识点进行总结，帮助学生巩固基础，提高解题能力。

一、空间几何体的基本概念空间几何体是指在三维空间中所占有一定体积的图形。

根据构成方式和形状的不同，空间几何体可以分为多面体、旋转体和曲面等几大类。

多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，如正方体、长方体、棱锥、棱柱等。

旋转体则是由一个平面图形绕着某一条直线旋转所形成的几何体，如圆柱、圆锥和球体等。

曲面则是由参数方程或隐函数方程所定义的几何体，如圆环面、抛物面等。

二、空间几何体的性质1. 体积与表面积对于任何一个空间几何体，其体积和表面积是基本的几何量度。

对于规则的几何体，如正方体和球体，其体积和表面积都有固定的计算公式。

而对于不规则的几何体，则需要通过积分或其他方法来求解。

2. 空间关系空间几何体之间的相互位置关系，如平行、相交、包含等，是解决空间几何问题的基础。

在解析几何中，通过坐标系可以精确地描述这些关系。

3. 几何体的对称性许多空间几何体具有一定的对称性，如正方体具有六个面的对称性，球体则具有全方位的对称性。

对称性在解决几何体的计算和证明问题时具有重要作用。

三、空间几何体的计算1. 多面体的体积与表面积对于规则的多面体，其体积和表面积可以通过公式直接计算。

例如，正方体的体积V=a³，表面积S=6a²，其中a为正方体的边长。

对于不规则的多面体，则需要利用向量、平面几何等知识，通过分割和组合的方法来求解。

2. 旋转体的体积与表面积旋转体的体积和表面积计算通常涉及到积分。

例如，圆柱体的体积V=πr²h，表面积S=2πrh+2πr²，其中r为底面半径，h为高。

对于更复杂的旋转体，如圆锥和球体，也需要通过积分来计算其体积和表面积。

3. 组合体的计算在实际问题中，经常会遇到由多个简单几何体组合而成的复杂几何体。

第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征预习课本P2～4，思考并完成以下问题1．空间几何体2．空间几何体的分类3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥( )(3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台( )答案：(1)√(2)×(3)×2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：选B棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)．(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．解析：(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．答案：(2)[典例]下列关于棱柱的说法中，错误的是( )A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形[解析] 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.[答案] C[活学活用]下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④棱柱的侧棱总与底面垂直．其中正确说法的序号是________．解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是③.答案：③[典例](1)①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)下列说法正确的有________个．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②正棱锥的侧面是等边三角形．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．[解析](1)本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．[答案] (1)A (2)0[活学活用]用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．[典例] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[活学活用]下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )解析：选C将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．层级一学业水平达标1．下面的几何体中是棱柱的有( )A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选C棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是( )A．①③B．①③④C．①②④D．①②解析：选C根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．下列图形中，是棱台的是( )解析：选C由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．答案：4 87．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．答案：5 6 98．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.答案：129．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10.如图所示是一个三棱台ABC-A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC-A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′-ABC，B-A′B′C′，A′-BCC′.(答案不唯一)层级二应试能力达标1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.2．下列说法正确的是( )A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.4．棱台不具有的性质是( )A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都相交于一点解析：选C只有正棱台才具有侧棱都相等的性质．5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A ，B ，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC ＝________.解析：将平面图形翻折，折成空间图形， 可得∠ABC ＝60°. 答案：60°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC 1A 1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A -A 1BD ；④每个面都是等边三角形的四面体，如A -CB 1D 1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A -A 1DC ，故填①③④⑤.答案：①③④⑤7.如图在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ，则每个面的三角形面积为多少？ 解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2.8.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF 把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.第二课时圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征预习课本P5～7，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、球[点睛] 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．2．简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．[点睛]要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥( )(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱( )(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台( )(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．圆锥的母线有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条答案：D3.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析：选A图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．[典例]给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．[解析](1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．[答案](1)(2)[活学活用]给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．其中正确说法的序号是________．解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．答案：①④[典例]将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥[解析]图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2包括一个圆柱、两个圆锥．[答案] D1.如图所示的简单组合体的组成是( ) A ．棱柱、棱台 B ．棱柱、棱锥 C ．棱锥、棱台D ．棱柱、棱柱解析：选B 由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成．2.如图，AB 为圆弧BC 所在圆的直径，∠BAC ＝45°.将这个平面图形绕直线AB 旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．[典例cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且PA ＝40cm ，B 1Q ＝30cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解] 将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ，在Rt △PQS 中，PS ＝80－40－30＝10(cm)， QS ＝A 1B 1＝10π(cm)． ∴PQ ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.如图，一只蚂蚁沿着长AB＝7，宽BC＝5，高CD＝5的长方体木箱表面的A点爬到D点，则它爬过的最短路程为________．解：蚂蚁去过的路程可按两种情形计算，其相应展开图有2种情形如图，在图1中AD＝AC2＋CD2＝122＋52＝13，在图2中AD＝AB2＋BD2＝72＋102＝149，∵149<13，∴蚂蚁爬过的最短路程为149.层级一学业水平达标1．如图所示的图形中有( )A．圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.2．下列命题中正确的是( )A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：选C将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.3．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台解析：选C由球的定义知选C.4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( )A．4πB．8πC．2πD．π解析：选C边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.解析：如图所示，设圆台的母线长为x cm，截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，根据三角形相似的性质，得33＋x＝r4r，解得x＝9.答案：98．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．答案：圆柱9.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？解：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B 错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C 错误．故选D.2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( ) A ．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B ．该几何体有12条棱、6个顶点C ．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D ．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形解析：选D 该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD 是它的一个截面而不是一个面．故D 说法不正确．3．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( ) A ．2 B ．2π C.2π或4π D.π2或π4解析：选C 如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr ＝4，所以r ＝2π.所以选C.4.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①⑤解析：选D 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，故选D.5．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球． 解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥． 答案：①②③⑤6．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm ，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO ＝30°，所以该地球仪的半径R ＝6cos 30°＝43 cm.答案：437．圆台的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．解：设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r .将圆台还原为圆锥，如图，则有∠ABO ＝30°. 在Rt △BO ′A ′中，rBA′＝sin 30°，∴BA ′＝2r . 在Rt △BOA 中，2rBA ＝sin 30°，∴BA ＝4r . 又BA －BA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，∴r ＝a .∴S ＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.8．圆锥底面半径为1 cm ，高为2 cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．解：圆锥的轴截面SEF 、正方体对角面ACC 1A 1如图．设正方体的棱长为x cm ，则AA 1＝x cm ，A 1C 1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ，则SO ＝2 cm ，OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ，∴AA1SO＝EA1EO，即x2＝1－22x1.∴x＝22，即该内接正方体的棱长为22cm.。

描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系'''x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。

重点记忆：直观图面积=原图形面积(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和②圆柱的表面积③圆锥的表面积2S rl rππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl Rππππ=+++⑤球的表面积24S Rπ=⑥扇形的面积公式213602n RS lrπ==扇形（其中l表示弧长，r表示半径）2、空间几何体的体积①柱体的体积V S h=⨯底②锥体的体积13V S h=⨯底③台体的体积1)3V S S h=+⨯下上（④球体的体积343V Rπ=第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

《空间几何体》知识点总结一、 空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其 中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2 ）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱.2.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。

2.2圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台 3.2圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台4.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球二、 空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2. 三视图一一正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而 画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4. 斜二测法：在坐标系 x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性 不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线 段长度减半。

三、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积① 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2② 圆柱的表面积S = 2二「I • 2二r 2 ③圆锥的表面积 S =理「I •二r 2、空间几何体的体积 ④圆台的表面积S 二rl + Tt r 2 2 2 R ⑤球的表面积S = 4二R ⑥扇形的面积公式s 扇形 360^1|r （其中I 表示弧长，r 表示半径） ①柱体的体积 v = s 底②锥体的体积 1 VjS 底 h③台体的体积 v =丄（S 上S 上 S 下 • S 下）h ④球体的体积v3 知识赠送以下资料英语万能作文（模板型）Along with the adva nee of the society more and more problems arebrought to our atte nti on, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是As to whether it is a blessing or a curse, however, people take differe nt attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。

棱柱、棱锥、棱台的结构特征【知识梳理】1．空间几何体题型一、棱柱的结构特征【例1】下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．[解析](1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．[答案](3)(4)【类题通法】有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．【对点训练】1．下列四个命题中，假命题为()A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的各个侧面都是平行四边形C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行解析：选A A错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D 是正确的.题型二、棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________．[解析](1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．[答案](2)(3)(4)【类题通法】判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：2．试判断下列说法正确与否：①由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．解：①不正确，由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱；②不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体．侧棱不一定相交于一点，所以不一定是棱台.题型三、多面体的平面展开图【例3】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．【类题通法】1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．【对点训练】3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．2C．快D．乐解析：选B由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.【练习反馈】1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．3．棱锥最少有________个面．答案：44．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．答案：①③④⑥⑤5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱？多少个面？(2)有没有一个多棱锥，其棱数是2 012？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由．解：(1)三棱锥有6条棱、4个面；四棱锥有8条棱、5个面；十五棱锥有30条棱、16个面．(2)设n棱锥的棱数是2 012，则2n＝2012，所以n＝1 006，1 006棱锥的棱数是2 012，它有1 007个面．。

第一章 空间几何体（一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

其中，这条直线称为旋转体的轴。

（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。

空间几何体的定义以空间几何体的定义为标题，我们来探讨一下什么是空间几何体以及它们的特征和性质。

在几何学中，空间几何体是指在三维空间中存在的、具有一定形状和特征的实体。

它们是由点、线、面组成的，可以用来描述和研究三维空间中的各种物体。

下面我们将介绍几种常见的空间几何体。

我们来看点。

点是空间中最基本的几何元素，它没有长度、面积和体积，只有位置坐标。

点可以用来表示物体的位置或者作为构成其他几何体的基本单位。

接下来是线。

线是由一系列相邻点连接而成的几何元素，它有长度但没有宽度和高度。

线可以是直线也可以是曲线，它们可以用来表示物体的边界或者连接两个点。

然后是面。

面是由一系列相邻的线连接而成的几何元素，它有长度和宽度但没有高度。

面可以是平面也可以是曲面，它们可以用来表示物体的表面或者分隔空间。

最后是体。

体是由一系列相邻的面连接而成的几何元素，它有长度、宽度和高度。

体可以是立体也可以是曲体，它们可以用来表示物体的实体部分或者整个物体。

在空间几何中，有一些常见的几何体，比如立方体、球体、圆柱体等。

立方体是一个有六个面的几何体，每个面都是一个正方形，它有八个顶点和十二条边。

球体是一个没有棱角的几何体，它的表面是由无数个等距离的点构成的，球体有一个中心点和无限多条半径。

圆柱体是一个由两个平行的圆面和一个连接两个圆面的侧面组成的几何体，它有两个底面、一个侧面、两个底面连接的边和两个圆心。

圆柱体也常见于日常生活中，比如水杯、筒灯等。

除了这些常见的几何体，还有一些更复杂的几何体，比如锥体、棱锥体、棱柱体等。

锥体是一个由一个顶点和一条射线连接的平面图形组成的几何体，它的底面可以是任何形状，常见的锥体有圆锥和三角锥。

棱锥体是一个由一个凸多边形的底面、一个顶点和连接底面顶点和顶点的侧面组成的几何体，它的侧面是由多条三角形构成的。

棱柱体是一个由一个凸多边形的底面、一个与底面平行的凸多边形的顶面和连接底面和顶面的侧面组成的几何体，它的侧面是由多条矩形构成的。

空间几何体的定义以空间几何体的定义为标题，我们将探讨空间几何体的概念、特征和分类。

一、空间几何体的概念空间几何体是三维空间中的物体或形状。

它们由点、线和面组成，并具有一定的形状和大小。

与平面几何体相比，空间几何体具有更多的维度，因此在研究和描述物体的位置、形态和相互关系时更加复杂。

二、空间几何体的特征1. 维度：空间几何体是三维的，具有长度、宽度和高度这三个维度。

这意味着空间几何体在空间中可以沿三个方向移动和变形。

2. 形状：空间几何体可以具有各种形状，如球体、立方体、圆锥体等。

它们的形状取决于它们的特定属性和构造。

3. 体积：空间几何体具有一定的体积，表示它所占据的空间大小。

体积可以通过不同的方法计算，如测量、积分等。

4. 表面：空间几何体具有表面，是几何体内外之间的分界线。

表面可以是平滑的、曲面的或多面体的，取决于几何体的形状和结构。

5. 边界：空间几何体具有边界，是几何体内外之间的界限。

边界可以是封闭的或开放的，取决于几何体的性质。

三、空间几何体的分类根据不同的属性和特征，空间几何体可以被分类为以下几种：1. 点：点是空间中最基本的几何体，它没有体积和形状，只有位置。

点由坐标表示，通常用(x, y, z)表示。

2. 线：线是由无数个点组成的，它是一维的，具有长度但没有宽度和高度。

根据形状和方向，线可以分为直线、曲线、射线等。

3. 面：面是由无数个线组成的，它是二维的，具有长度和宽度但没有高度。

根据形状和曲面特性，面可以分为平面、曲面、圆面等。

4. 体：体是由无数个面组成的，它是三维的，具有长度、宽度和高度。

根据形状和特征，体可以分为球体、立方体、圆柱体等。

除了以上常见的空间几何体外，还存在一些特殊的几何体，如多面体、复杂曲面等。

它们具有更复杂的形状和结构，需要更高级的数学工具和方法进行研究和描述。

总结：空间几何体是三维空间中的物体或形状，具有维度、形状、体积、表面和边界等特征。

根据不同的属性和特征，空间几何体可以被分类为点、线、面和体等。

第一章、空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一)课本知识：1．空间几何体(1)空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一局部，假设只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．类别多面体旋转体定义由假设干个围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条旋转所形成的．图形相关概念面：围成多面体的各个．棱：相邻两个面的．顶点：的公共点.轴：形成旋转体所绕的 .2．多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.如图可记作：棱柱底面(底)：两个互相平行的面．侧面：．侧棱：相邻侧面的．顶点：侧面与底面的．棱锥有一个面是，其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥底面(底)：面．侧面：有公共顶点的各个．侧棱：相邻侧面的．顶点：各侧面的．棱台用一个的平面去截棱锥，底面与截面之间的局部叫做棱台.如图可记作：棱台上底面：原棱锥的．下底面：原棱锥的．侧面：其余各面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.知识梳理：要点一棱柱、棱锥、棱台的概念1.棱柱的结构特征侧棱都相等，侧面都是平行四边形，两个底面相互平行；2．棱锥的结构特征有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形；3．棱台的结构特征上下底面相互平行，各侧棱的延长线交于同一点．典型例题1、有以下说法：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫做棱台；④棱柱的各相邻侧面的公共边互相平行．以上说法中，正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号)．反应训练1、有以下说法：①一个棱锥至少有四个面；②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；③五棱锥只有五条棱；④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．以上说法中，正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号)．典型例题2、长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两局部后，各局部形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．反应训练2、以下说法：①有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 要点三多面体的外表展开图1.绘制多面体的外表展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型，在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其外表展开图．2．假设是给出多面体的外表展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，那么可把上述过程逆推．典型例题3、请画出以下图所示的几何体的外表展开图．反应训练3、根据右图所给的几何体的外表展开图，画出立体图形1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(二)1.1.2简单组合体的结构特征课本知识：1．旋转体旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，于轴的边都叫做圆柱侧面的母线我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的所围成的旋转体叫做圆锥我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆台用平行于的平面去截圆锥，底面与截面之间的局部叫做圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为球以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径球常用球心字母进行表示，左图可表示为(1)定义：由组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)简单组合体的两种根本形式：由简单几何体而成；由简单几何体一局部而成．特别提醒：圆是一条封闭的曲线，圆面是一个圆围成的圆内平面．球是几何体，球面是指半圆沿直径旋转形成的曲面，球是旋转体．知识梳理：要点一、旋转体的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．但应注意的是：所谓旋转体就是一个平面图形绕着这个平面图形所在的平面内一条直线旋转一周所得到的几何体，因此它还含有除圆柱、圆锥、圆台、球之外的几何体．典型例题1、以下说法：①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的选项是( )A．①②B．②③C．①③D．②④反应训练1、以下说法中正确的选项是( )A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的要点二圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图把柱、锥、台体沿一条侧棱或母线展开成平面图，这样便把空间问题转化成了平面问题，对解决简单空间几何体的面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题，是很有效的方法．典型例题2、如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？反应训练2、假设本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如下图，那么它爬行的最短距离是多少？要点三简单组合体的结构特征判断实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割〞成几个简单的几何体．简单组合体有以下三种形式：1．多面体与多面体的组合体：即由两个或两个以上的多面体组合而成的几何体．2．多面体与旋转体的组合体：即由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体．3．旋转体与旋转体的组合体：即由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体．典型例题3、请描述如下图的组合体的结构特征．反应训练3、说出以下几何体的结构特征．一、选择题1．以下说法中正确的选项是( )A ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行C ．棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2．如图，D ，E ，F 分别是等边△ABC 各边的中点，把该图按虚线折起，可以得到一个( )A ．棱柱 B ．棱锥 C ．棱台 D ．旋转体3．以下三个说法，其中正确的选项是( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的局部是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB =3，AD =2，CC 1=1，一条绳子从点A 沿外表拉到点C 1，那么绳子的最短的长是( )A ．3 2 B ．2 5 C.26 D ．65．如图，以下几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何图形的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的序号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．7．在如下图的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，请连接三条线，把它分成三局部，使每一局部都是一个三棱锥．8．如下图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =2，AA 1=2，由顶点B 沿棱柱侧面(经过棱AA 1)到达顶点C 1，与AA 1的交点记为M .求：(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从B 经M 到C 1的最短路线长及此时A 1MAM的值．1．以下说法正确的选项是( )A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心2．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，那么截得的截面圆的面积为( )A．πB．2π C．3πD．4π3．以下说法正确的有( )①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段②球的直径是球面上任意两点间的连线段③用一个平面截一个球，得到的是一个圆④不过球心的截面截得的圆的半径小于球半径A．①② B．①④ C．①②④D．③④4．如下图的几何体，关于其结构特征，以下说法不正确的选项是( )A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形5．给出以下说法：(1)直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余局部是圆台(4)通过圆台侧面上一点，有无数条母线其中正确的说法是________(写出所有正确说法的序号)．6．把一个圆锥截成圆台，圆台的上下底面半径之比是14，母线长为10，那么圆锥的母线长是________．7．如图(1)所示，正三棱柱的底面边长是4cm、过BC的一个平面交侧棱AA′于D，假设AD的长为2cm，求截面△BCD的面积．图(1) 图(2)8.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如以下图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．。

高中数学空间几何体知识点总结一、空间几何体的结构。

1. 棱柱。

- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

- 分类：- 按底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。

- 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。

- 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

- 性质：- 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形。

- 直棱柱的侧面都是矩形，正棱柱的侧面都是全等的矩形。

- 棱柱的两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。

2. 棱锥。

- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

- 分类：- 按底面多边形的边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥。

- 棱锥的侧棱交于一点（顶点）。

- 正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高。

3. 棱台。

- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

- 分类：- 按底面多边形的边数可分为三棱台、四棱台、五棱台等。

- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。

- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。

4. 圆柱。

- 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。

- 性质：- 圆柱的轴截面是全等的矩形。

- 圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长等于底面圆的周长，宽等于圆柱的高。

5. 圆锥。

- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

- 圆锥的轴截面是等腰三角形。

- 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，半径等于圆锥的母线长。

6. 圆台。

- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。

- 性质：- 圆台的轴截面是等腰梯形。