题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体棱锥高考要求1要使学生理解棱锥、正棱锥的意义，掌握棱锥、正棱锥的性质，会求其侧面积及体积结合例题讲清求体积的常用方法2以棱锥为载体，训练计算能力、想象能力和逻辑推理能力 知识点归纳1棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）． 2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 4．棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面5．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形题型讲解例1 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A =AB =2，BC =a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD（1）当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ?试证明你的结论 （2）当a =4时，求D 点到平面PBC 的距离（3）当a =4时，求直线PD 与平面PBC 所成的角分析：本题主要考查棱锥的性质，直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算 解：（1）以A 为坐标原点，以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 当a =2时，BD ⊥AC ， 又P A ⊥BD ，故BD ⊥平面P AC故a =2（2）当a =4时，D （4，0，0）、C （0，2，0）、C （4，2，0）、P （0，0，2）、FB =（0，2，－2），BC =（4，0，0）设平面PBC 的法向量为n ，则n ·PB =0，n ·BC =0， 即（x ，y ，z ）·（0，2，－2）=0，（x ，y ，z ）·（4，0，0）=0， 得x =0，y =z ，取y =1， 故n =（0，1，1）则D 点到平面PBC 的距离d =|||n DC n |⋅=2 （3）DP =（4，0，2），cos 〈DP ，n 〉=||||DP n DP n ⋅=1010>0， 证〈，n 〉=α，设直线PD 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ=sin （2π－α）=cos α=1010所以直线PD 与平面PBC 所成的角为arcsin 1010例2 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点 ⑴求证：AE ⊥平面PCD ；⑵若AD =AB ，试求二面角A －PC －D 的正切值； ⑶当ADAB为何值时，PB ⊥AC ？ ∆PAD 是⑴证： 设N 为AD 中点，Q 为BC 中点，则因为正三角形，底面ABCD 是矩形， 所以，PN AD ⊥，QN AD ⊥， 又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以，PN ABCD ⊥面，QN PAD ⊥面， 以N 为坐标原点，NA 、NQ 、NP 所在直线分别为,,x y z轴如图建立空间直角坐标系 设1AD =，ABa =，则P ⎛ ⎝⎭，1,,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0,02D ⎛⎫-⎪⎝⎭，14E ⎛-⎝⎭ ∴34AE ⎛=-⎝⎭，1,0,2PD ⎛=- ⎝⎭，()0,,0DC a=，∴3104242AE PD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0AE DC ⋅=所以，,AE PD AE DC ⊥⊥ 又PDDC D =，,PD DC PDC ⊂面，所以，AE ⊥平面PCD⑵当1a =时，由（2）可知：34AE ⎛=- ⎝⎭是平面PDC 的法向量； 设平面PAC 的法向量为()1,,n x y z =，则1n PA ⊥，1n AC ⊥，即1022x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，取1x =，可得：1,y z == 所以，131,1,3n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭向量AE 与1n 所成角θ的余弦值为：1131||||4cos 3n AE n ACθ-+⋅===⋅所以，tan θ=又由图可知，二面角A －PC －D 的平面角为锐角， 所以，二面角A －PC －D ⑶1,,22PB a ⎛=-⎝⎭，()1,,0AC a =-，令0PB AC ⋅=，得2102a -=，所以，2a = 所以，当ADAB=PB ⊥AC 例3 如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ．底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3．点E 在棱PA 上，且PE=2EA ．（Ⅰ）求异面直线PA 与CD 所成的角； （Ⅱ）求证：PC ∥平面EBD ； （Ⅲ）求二面角A —BE —D 的大小．解：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系B —xyz,(0,3,0),(0,0,3),(3,3,0)(,0,0),BC a A P D C a =设则(3,3,0),(3,3,3),CD a PD =-=- ,0,3(3)90. 6.CD PD CD PD a a ⊥∴⋅=-+=∴=即(3,3,0),(0,3,3),CD PA =-=-1cos ,.2||||3CD PA PA CD CD PA ⋅∴<>===⋅60.CD AP ∴异面直线与所成的角为（Ⅱ）连结AC 交BD 于G ，连结EG ，11,,.//.22,//.AG AD AE AG AEPC EG GC BC EP GC EPEG EBD PC EBD PC EBD ∴===∴=∴⊄∴又又平面平面平面Ø（Ⅲ）设平面BED 的法向量为1(,,1),(0,2,1),(3,3,0),n x y BE BD ===因为由1111,0,210,112,,(,,1).330,1220,.2x n BE y n x y n BD y ⎧=⎧⎪⋅=+=⎧⎪⎪=-⎨⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎪⎩得所以于是 又因为平面ABE 的法向量2(1,0,0)n =12,cos,6n n <>==所以 所以所求二面角A —BE —D 的大小为例4 如图，正四棱锥P —ABCD 中，AB=2，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角为60° （1）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的大小；（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使得AE ⊥PC ，若存在，试确定点E 的位置，并加以证明，若不存在，请说明理由解（1）如图O 为底面ABCD 的中心则∠PAO 为PA 与底面所成的角，∴∠PAO=60° ∵2=AO ∴PO PA ==过O 作OM ⊥BC 于M，连PM 由三垂线定理得BC ⊥PM∴∠PMO 为侧面与底面所成二面角平面角． ∵OM=1，PO=,6tan PMO ∴∠=即侧面与底面所成角为（2）如图，建立空间直角坐标系，(0,A C P B 则,,,(,0,).11PB E E PB E γγγ++假设在上存在一点满足条件设分的比为则26(,2,),(0,2,11AE PC γγγ∴==++,0,AE PC AE PC ⊥∴⋅=620, 2.1rγ∴-==+解得 ,2,E E PB AE PC ∴⊥存在点且点分的比为时满足例5 四棱锥P —ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC =2，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，CD ∥AB ，AB =4，CD =1，点M 在PB 上，且MB =3PM ，PB 与平面ABC 成30°角，（1）求证：CM ∥面P AD ；（2）求证：面P AB ⊥面P AD ；（3）求点C 到平面P AD 的距离 分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法如下图，建立空间直角坐标系O —xyz ，C 为坐标原点O ，突破点在于求出相关的向量所对应的坐标（1）证明：如图，建立空间直角坐标系∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，即∠PBC =30°∵|PC |=2，∴|BC |=23，|PB |=4得D （1，0，0）、B （0，23，0）、A （4，23，0）、P （0，0，2） ∵|MB |=3|PM |， ∴|PM |=1，M （0，23，23）， CM =（0，23，23），DP =（－1，0，2），DA =（3，23，0）设CM =x DP +y DA （x 、y ∈R ），则（0，23，23）=x （－1，0，2）+y （3，23，0）⇒x =43且y =41， ∴CM = 43DP + 41DA ∴CM 、DP 、DA 共面又∵C ∉平面P AD ，故CM ∥平面P AD （2）证明：过B 作BE ⊥P A ，E 为垂足 ∵|PB |=|AB |=4，∴E 为P A 的中点∴E （2，3，1），BE =（2，－3，1）又∵BE ·DA =（2，－3，1）·（3，23，0）=0， ∴BE ⊥DA ，即BE ⊥DA 而BE ⊥P A ，∴BE ⊥面P AD∵BE ⊂面P AB ，∴面P AB ⊥面P AD （3）解：由BE ⊥面P AD 知， 平面P AD 的单位向量0n =||BE BE =221（2，－3，1） ∴CD =（1，0，0）的点C 到平面P AD 的距离 d =|0n ·CD |=|221（2，－3，1）·（1，0，0）|=22例6 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F（1）证明：P A ∥平面EDB ；（2）证明：PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小 解法一：（向量法） 如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点设DC =a （1）证明：连结AC 交BD 于G 连结EG依题意得A （a ，0，0），P （0，0，a ），E （0，2a ，2a ） ∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为（2a ，2a，0） 且PA =（a ，0，－a ），EG =（2a ，0，－2a） ∴PA =2EG 这表明P A ∥EG而EG Ø平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB（2）证明：依题意得B （a ，a ，0），PB =（a ，a ，－a ） 又DE =（0，2a ，2a）， A故PB ·DE =0+22a －22a =0∴PB ⊥DE由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE =E ，∴PB ⊥平面EFD（3）解：设点F 的坐标为（x 0，y 0，z 0），PF =λPB ， 则（x 0，y 0，z 0－a ）=λ（a ，a ，－a ） 从而x 0=λa ，y 0=λa ，z 0=（1－λ）a ∴FE =（－x 0，2a －y 0，2a－z 0） =［－λa ，（21－λ）a ，（λ－21）a ］由条件EF ⊥PB 知FE ·PB =0，即 －λa 2+（21－λ）a 2－（λ－21）a 2=0， 解得λ=31 ∴点F 的坐标为（3a ，3a ，32a ）， 且FE =（－3a ，6a ，－6a ），FD =（－3a ，－3a ，－32a）∴PB ·FD =－32a －32a +322a =0，即PB ⊥FD故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角∵FE ·FD =92a －182a +92a =62a ，且|FE |=61·a ，|FD |=32·a ，∴cos ∠EFD21a=21∴∠EFD =3π∴二面角C —PB —D 为3π 解法二：（几何法）（1）证明：连结AC 交BD 于O 连结EO∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在△P AC 中，EO 是中位线，∴P A ∥EO而EO ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥DC ∵PD =DC ，可知△PDC 是等腰直角三角形而DE 是斜边PC 的中线， ∴DE ⊥PC ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，A∴BC ⊥平面PDC而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE ② 由①和②推得DE ⊥平面PBC 而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB又EF ⊥PB 且DE ∩EF =E ，所以PB ⊥平面EFD（3）解：由（2）知PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角 由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB设正方形ABCD 的边长为a ，则PD =DC =a ，BD =2a ， PB =22BD PD +=3a ，PC =22DC PD +=2a ，DE =21PC =22a在Rt △PDB 中，DF =PB BD PD ⋅=aaa 32⋅=36a在Rt △EFD 中，sin ∠EFD =DF DE=a a3622=23，∴∠EFD =3π∴二面角C —PB —D 的大小为3π小结：1空间向量是是立体几何问题代数化的桥梁，学习时，要给予重视2在解答棱锥的综合练习时，要善于联想，灵活运用柱、锥的性质和线面关系，善于揭示一类问题的共同特征，掌握基本方法，对于正棱柱问题借助空间坐标系或向量的运算或许更容易理解、掌握 学生练习1棱锥的底面积为S ，高位h ，平行于底面的截面面积为S '，则截面与底面的距离为( A )A(S －S ')hSB(S ＋S ')hSC(S －S ')hSD(S ＋S ')hS2三棱锥P －ABC 的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( B ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 3三棱锥P －ABC 的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的(B ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 4三棱锥P －ABC 的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( A ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心5三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( C ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心6三棱锥V －ABC 中，VA ＝BC ,VB ＝Ac ,VC ＝Ab ，侧面与底面ABC 所成的二面角分别为α、β、γ(都是锐角)，则cos α＋cos β＋cos γ＝(A ) A 1B 2C 12D 137四面体的四个面中，下列说法错误的是( C ) A 可以都是直角三角形 B 可以都是等腰三角形 C 不能都是顿角三角形 D 可以都是锐角三角形8正n 棱锥侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成角为β，则tan α∶tan β＝( B ) Asin πnBcos πnCsin 2πn Dcos 2πn9若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_______（结果用反三角函数值表示）解析：取BC 的中点D ，连结SD 、AD ，则SD ⊥BC ，AD ⊥B C∴∠SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α在平面SAD 中，作SO ⊥AD 与AD 交于O ，则SO 为棱锥的高AO =2DO ，∴OD =323又V S —ABC =31·21AB ·BC ·sin60°·h =1， ∴h =43∴tan α=DO SO =33243=83∴α=arctan 83答案：arctan 8310过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为__________解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S 侧1∶S 侧2∶S 侧3= 1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5答案：1∶3∶511已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H 设四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于A 91B 94C 41D 31 解析：如图所示，正四面体ABCD 四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ， ∴四面体EFGH 也是正四面体 连结AE 并延长与CD 交于点M ， 连结AG 并延长与BC 交于点N ∵E 、G 分别为面的中心，∴AM AE =AN AG =32∴MN GE =32又∵MN =21BD ，∴BD GE =31 ∵面积比是相似比的平方，∴S T =91答案：A12在三棱锥S —ABC 中，∠ASB =∠ASC =∠BSC =60°，则侧棱SA 与侧面SBC 所成的角的大小是_____________答案：arccos33 13三棱锥一条侧棱长是16 cm ，和这条棱相对的棱长是18 cm ，其余四条棱长都是17 cm ，求棱锥的体积解：取AD 的中点E ，连结CE 、BE ，∵AC =CD =17，DE =8，CE 2=172－82=225，BE =CE ，∴取BC 的中点F ，连结EF ，EF 为BC 边上的高，EF =22CF CE -=22915-=12 ∴S BCE ∆=108∵AC =CD =17cm ，E 为AD 的中点，CE ⊥AD ，同理BE ⊥AD ， ∴DA ⊥平面BCE∴三棱锥可分为以底面BCE 为底，以AE 、DE 为高的两个三棱锥 ∴V A －BCD =V A —BCE +V D —BCE =2·31S BCE ∆·AE =2×31×108×8=576（cm 3） 14如图，正三棱锥S —ABC 中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M 是BC 的中点求：（1）SMAM的值； （2）二面角S —BC —A 的大小； （3）正三棱锥S —ABC 的体积 解：（1）∵SB =SC ，AB =AC ，M 为BC 的中点，∴SM ⊥BC ，AM ⊥BC 由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即 3×21BC ×SM =2×21BC ×AM ，得SM AM =23 （2）作正三棱锥的高SG ，则G 为正三角形ABC 的中心，G 在AM 上，GM =31AM ∵SM ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角 在Rt △SGM 中， ∵SM =32AM =32×3GM =2GM ，∴∠SMA =∠SMG =60°， 即二面角S —BC —A 的大小为60°（3）∵△ABC 的边长是3，∴AM =233，GM =23，SG =GM tan60°=23·3= 23 ∴V S —ABC =31 S ABC ∆·SG =31·439·23=839 15已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ABC BAD ，⊥PA 平面ABCD ，PA=AD=3BC=3，AB=2（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）若点M 分PA 的比为2，求二面角M —CD —A 的正切值解：以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立坐标系（1）过D 作,,,DQ AC Q PA DQ DQ PAC ⊥⊥∴⊥于平面DQ ∴就是D 到平面PAC 的距离 设()(2,1,0),AQ mAC m AB BC m ==+=(0,3,0)(2,1,0)(2,3,0),DQ DA AQ m m m ∴=+=-+=- 由23,4(3)0,5DQ AQ DQ AQ m m m m ⊥⋅=+-=∴=得6||(5DQ == （2）过A 作,(2,2,0).AK DC K DK DC λλ⊥==-于点设则(2,32,0).AK AD DK λλ=+=-3,0,,4AK AD AK DK λ⊥∴⋅=∴= 3||(AK ∴== ,.MA ABCD MK CD ⊥∴⊥平面 MKA ∴∠就是M —CD —A 的平面角 ||2tan 3||MA MKA AK ∴∠== 课前后备注。
