2018届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 课件(全国通用)

17 又S△ABC＝2，则ac＝ . 2 由余弦定理及a＋c＝6得 b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) 17 15 ＝36－2× ×1＋17＝4. 2 所以b＝2.
[类题通法]
三角形面积公式的应用原则
1 1 1 (1)对于面积公式S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A，一般 2 2 2 是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理 进行边和角的转化．
答案：A
2．若tan 20° ＋msin 20° ＝ 3，则m的值为________．
3－tan 20° 解析：由于tan 20° ＋msin 20° ＝ 3，所以m＝ sin 20° 3cos 20° －sin 20° ＝ ＝ sin 20° cos 20° 4sin60° －20° ＝ ＝4. sin 40°
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2A －sin2B＝ 3sin Bsin C，sin C＝2 3sin B，则A＝________.
解析：根据正弦定理可得a2－b2＝ 3bc，c＝2 3b， 解得a＝ 7b. b2＋c2－a2 b2＋12b2－7b2 3 根据余弦定理cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2 2×b×2 3b 得A＝30° .
❷
[解答示范] (一)搭桥——找突破口 (2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求 b. 第 ❸ ❹ (1)问：欲求 cos B 的值，要么 求 B 的值，要么找关于 cos B 的关系 (一)搭桥——找突破口 式，即变换已知条件列方程求解；
第(2)问：欲求 b 的值，需列关于 b 的方程，应借助 余弦定理、三角形的面积公式，再找其所需条件求解．

第2讲三角恒等变换与解三角形（文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1）边、角、面积的计算;（2）有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱（理科)年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10Ⅱ卷17解三角形求角和周长的12（文科）KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一三角恒等变换错误!错误!错误!错误!三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β。

(2）cos(α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β。

(3)tan(α±β)＝错误!。

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α。

（2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.（3）tan 2α＝错误!.3．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）（其中tan φ＝错误!)典错误!错误!错误!典例1（1)（2020·全国Ⅱ卷模拟）cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝（A)A．错误!B．错误!C．错误!＋错误!D．错误!(2)(2020·宜宾模拟）已知α∈错误!,且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝（A)A．1B．－错误!C．－错误!或1D．－1（3）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin2错误!－错误!.①求f（x)的单调递增区间;②若x∈错误!，f（x)＝错误!,求cos 2x的值．【解析】（1）原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10°＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!cos 60°＝34。

1t＋anta2nα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝－121.
[规律方法] 1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)， 化简求值． 2．解决条件求值问题的三个关注点： (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知 角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已 知角的三角函数值来表示．
因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－275.
(2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π)．
又因为 cos(α＋β)＝－ 55.
所以 sin(α＋β)＝
1－cos2（α＋β）＝2
5
5 .
因此 tan(α＋β)＝－2.
因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatannα2α＝－274， 因 此 ， tan(α － β) ＝ tan[2α － (α ＋ β)] ＝
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin α sin β .
(3)tan(α±β)＝1∓ttaann
α±tan β α tan β
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α －sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
所以 S＝12ac·sin B≤12×3× 23＝343.
所以△ABC
面积的最大值为3
4
3 .
命题视角 应用正、余弦定理解决实际问题 【例 2－2】 某气象仪器研究所按以下方案测试一 种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在 C 处(点 C 在水平地面下方，O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点) 进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点 A，B 两 地相距 100 米，∠BAC＝60°，其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米．A 地测得该仪器在 C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点 H 的仰角为∠HAO＝30°，则该 仪器的垂直弹射高度 CH 为( )

解析 因为 α 为锐角且 cosα＋π6 ＝45>0，
所以 α＋π6 ∈π6 ，π2 ，所以 sinα＋π6 ＝35.
所以 sin2α＋π12＝sin2α＋π6 －π4
＝sin 2α＋π6 cos
－17，故 cos2π4 －α＝1＋cos2π2 －2α＝1＋si2n 2α＝12＋
sin
α cos
α，其中
sin
αcos
α
＝
sin αcos α sin2α＋cos2α
＝
tatna2nαα＋1＝－570，故12＋sin αcos α＝295.
答案
9 25
2．设 α 为锐角，若 cosα ＋π6 ＝45，则 sin2α ＋π12 的值为________．
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)其中tan

φ
＝ba.
3．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ ＋cos2θ ＝
tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α ＋2cos2α ＝(sin2α
＋cos2α )＋cos2α ，α ＝(α－β)＋β 等．
17 2 50
3．(2018·浙江)已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始 边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P－35，－45.
(1)求 sin(α＋π )的值； (2)若角 β 满足 sin(α＋β)＝153，求 cos β 的值．
解析 (1)由角 α 的终边过点 P－35，－45得 sin α ＝－45，所以 sin(α＋π)＝－sin α＝45.
答案 C
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．