解三角形
知识点梳理
1.正弦定理
a b c 2R(其中R为ABC外接圆的半径) sin A sinB sinC
正弦定理的变形：
(1)a 2R sin A，b 2R sin B , c 2R sinC ;
(2). a : b : c sin A : sin B : sinC ;
(3). sin A a , sinB b , sinC c ;
sin A 1 cos2 A 15 4
abc
a 8 15
sin A sin B sinC sin A 15
例2.在ABC中，已知sin A : sin B : sinC k : (k 1) : 2k, 则k的取值范围是（( 1 , ) ）
2
解 ： 有 正 弦定 理 得a : b : c sin A : sin B : sinC k : (k 1) : 2k 又 根 据三 角 形 两 边之 和大
2ab
4
C是最大角钝角 5 c2 0c 5 4
ab c c 3 5 c 3
二、三角形解的个数的确定
解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件 应用 定理
一般解法
一边和两角 正弦 由A+B+C=180求出角A；根据正弦
(如a、B、C)
定理求出b与c;在有解时只有一解
两边和夹角 余弦 由余弦定理求出c；由正弦定理求 (如a、b、C) 正弦 出A、B；在有解时只有一解
(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(8)在ABC中，A B a b sin A sinB.
(9)sin sin 或 若、是三角形的内角则有
正余弦推论的应用
三角形解的个数的确定
a2 c2 b2
a2 b2 c2
cos A
; cosB
; cosC
.
2bc
2ac
2ab
当A、B、C分 别 为90时 ， 上 面 的 关 系 式 分 别化 为 a2 b2 c2; b2 a2 c2; c2 a2 b2
3.三角形面积公式
(1)S
1 2
aha (ha表示a边上的高)
k k 1 2k
与 第 三边 得k 1 2k k k 2k k 1
解 得k 1 由 两 边 2
之 差 小于 第 三 边 解得k 1 k范 围 是( 1 , )
2
2
例3. 钝角ABC中，a 1, b 2,则最大边c的取值 范围是 5 k 3
解 ： 由 余 弦 定 理 得cosC a2 b2 c2 5 c2
(2)S 1 absinC 1 acsinB 1 bcsin A
2
2
2
(3)S 1 r(a b c)(r为内切圆半径) 2
(4)S abc 4R
4.三角形中的常见结论
(1)A B C
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边
2R
2R
2R
(4). a b , b c , c a ; sin A sin B sin B sinC sinC sin A
2.余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cos B
c2 a2 b2 2abcosC
余弦定理的变形：
b2 c2 a2
(4)有关三角形内角的三角函数式
sin(A B) sinC;
cos(A B) cosC;
tan(A B) tanC; sin A B cos C ;
2
2
cos A B sin C ;
2
2
tan A B cot C
2
2
(5)在ABC中，tan A tanB tanC tan A tanB tanC
三边 余弦 由余弦定理分别求出A、B；由内角 (a、b、c) 定理 和是180求出C;有解时只有一解
两边和其中 正弦 由正弦定理求出B；由内角和为180
一边的对角 定理 求出C；由正弦定理求出c;可有两
(如a、b、A)
解，一解或无解
在已知a、b、A时判断三角形解的个数有三 种方法：
（1）几何作图法
c
C
b=22
a=11
c
b=20
A
B
DA
B
A
解法二：(1)2 2 2 3 2 6 ABC有两解 2
(2)11 22 1 ABC有一解 (3)A 150 ABC无解 2
解 法 三: a2 b2 c2 2bc cos A
(1) 2
2
2 2
32 c2 22
3 c cos 45
c2 2 6c 4 0.解 得c 6 2 ABC有 两 解
(2) 112 222 c2 2 22 c cos 30
c2 22 3c 363 0. 解 得c 11 3 ABC有 一 解
(3) 182 202 c2 2 20 c cos 150 c2 20 3c 76 0. 解得c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无解
（2）用正弦定理确定另一边的对角
（3）利用余弦定理整理后是以c为未知数的 一元二次方程。因为c是三角形的边长，必 有c>0。所以，所给定的三角形的解就取决 于满足方程的未知数c正实数值得存在情况
在三角形中，已知a、b和A时解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或 直角
图 形
关 a<bsin a=bsin bsinA<a< a>b
求角
解
求三角形中基本量
求边
三 角
求面积
形
判断三角形形状
解三角形中的交汇问题 解三角形的实际应用
测量距离 测量高度 测量角度
一、正余弦定理推论的应用
例1. 在ABC中 ， 已 知cos A 1 , b 1, c 2,则 4
abc
( ).
sin A sinB sinC
解 ： 由 余 弦 定 理 得a b2 c2 2bc cos A 2
系A
A
b或式ຫໍສະໝຸດ a=b解 无解 一个解 两个解 一个解
个 数
a<b a>b 或
a=b
一 无解 个 解
例4.根据下列条件，判定三角形解的情况.
（1）a 2 2, b 2 3, A 45;
（2）a 11, b 22, A 30;
（3）a 18, b 20, A 150
解法一：（几何作图法）分别如下图①、②、③
