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b2 A
c2
a2
可得
2bc
（1）若a²=b²+c²，则A为直角；
（2）若a²<b²+c²，则A为锐角；
（3）若a²>b²+c²， 则A为钝角；
6、三角形面积：
S 1底 h 2
S 1absinC1acsinB1bcsinA
2
2
2
S
1、 A B C 中 ， A 4 5 , C 3 0 , c 1 0 ， 求 B , a , b . 解： B 1 8 0 A C 105
a
b
c
s i n A 2 R,s i n B 2 R,s i n C 2 R ,
a:b:c sinA: sinB:sinC.
正弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知两角一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
4、余弦定理：
a2=b2+c2－2bccosA b2= c2+a2－2cacosB
解：由 a b ，
sin A sin B
得 sin B b s in A 6 3 sin 30 3
a
6
2
B = 60或120，
a
∵ 在 ABC中,ab
C b
∴ ∠A < ∠B
A
B
B
B = 60或 120都 成 立 ，
当 B = 6 0时 C 9 0， 当 B = 1 2 0时 C 3 0。
cos A= 1 ,
2
∴∠B 2 3 sin 45 3
b
22
2
A=60或 120，ca,0 A90,
∴∠Ａ＝60°.
此题用余弦定理解题不用对角讨论，用 正弦定理解需要对角进行讨论。
7. 在⊿ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S
2ab
222
余弦定理的推论：
c2 =a2+ b2－2abcosC
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B c2 a2 b2
可以解决的问题是 :
(1)已知三,边 求三个;角
cos C
2ca a2 b2 c2
(2)已知两边和它们的夹角 ,
2ab
求第三边和其它两个角 .
5.由a2=b2+c2－2bccosA，cos
根 据 正 弦 定 理 ，a c sinAsinC
a
c sinC
sinA
10 sin30
sin45
10
2
根 据 正 弦 定 理 ，b c sinBsinC
b c sinB 10
sinC
sin30
sin105
5
6+5
2
2、在 AB中C，已知 a6,b63,A30，求C。
2
6、在△ＡＢＣ中，
已 知 a 2 3 ,c 6 2 ,B = 4 5 ， 求 b 及 A 。
解 ： 根 据 余 弦 定 理 , b ２ c2a22cacosB
(6 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 2 (6 2 ) ( 2 3 ) c o s 4 5
c b sinC20 2,
S
1
sinB
bcsin A
12020
100 3100 2sin105
(cm2).
2
2
7. 在⊿ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S
（3）已知三边的长分别为a=2cm,b=2cm,c=2 3 cm.
解 ： 根 据 余 弦 定 理 的 推 论 ， 得
cosCa2b2c2 2222(2 3)2 1,
3.已知b=8,c=3,A=60°，求a.
解： ∵a2= b2+c2－2bccosA，
=64+9－2×8×3cos60°=49
a=7
4 、 A B C 中 ， b 6 , c 3 , B 4 5 ， 解 三 角 形 。
解 ： 根 据 正 弦 定 理 ，bc
sinBsinC
sinC sinBc sin 45
b
6
3 1 ， C30或 150
2
∵b>c，三角形中，大边对大角， B C , C =30,
A 1 8 0 B C 1 0 5 ,
根 据 正 弦 定 理 ，a c sinAsinC
a c sinA 3 sin105 2 3 6 2
sinC
sin 30
4
3 2 6
2
5 、 A B C 中 ， b 2 , c 3 , B 4 5 ， 解 三 角 形 。
解 ： 根 据 正 弦 定 理 ，bc sinBsinC
当 得 aC sin sC6 in0 bB时 ssi， inbnB AA c s7 22i5 n s42,i5n由 7 正 53 弦 2 3定 6 2理 2siC nb B6 0s或 ina12 A 0， 当 得 aC 1 si2 nb0 B时 s， in AA 2 1 225 s ,i n由 1 5正 弦 6定 2 理 2 s。inbBsinaA，
624312(12246)2 2
20431243 8 , b 2 2,
求Ａ即可利用余弦定理，也可利用正弦定理。
方法一：余弦定理
cos A= b 2 c 2 a 2 (2 2)2( 6 2)2(2 3)2
2bc
22 2( 6 2)
a 2 3 ,c 6 2 ,B = 4 5 ， b 2 2 ,
章解三角形
1、三角形的元素：
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边 a,b,c叫做三角形的元素。
2、解三角形： 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解 三角形。
3、正弦定理 ：
a b c 2R sinA sinB sinC
a 2 R s i n A ,b 2 R s i n B ,c 2 R s i n C ,
(1)已知a=14cm,c=20 3 cm,B=120°; 解 ： (1)应 用 S1casinB,得 S1 1 4 2 0 23 sin1 2 02 1 0 (cm 2)
(2)已知2 B=30°,C=45°,b=20cm;
解 ： 根 据 正 弦 定 理 ， b c , sinBsinC
