整数规划案例一
案例二
案例三
动态规划
案例四:某开发区养老保险定量分析模型
养老保险属于社会保障系统的重要内容，社会保障系统作为一个国家社会制度的重要组成部分，其内容、形式和其中所使用的各种计算方法不仅关系到国民的自身利益，而且对一个国家的政治和社会经济的发展具有重要的作用。
社会保障系统中所包含的定量分析和计算是多种多样的，主要包括三个方面：第一，对社会保障基金提取量的测算；第二，对职工享受社会保障待遇的标准测算；第三，对社会保障基金各阶段收付额的预测。
基本养老保险金的提取比例一般是一年或若干年调整一次，从数学模型的角度看两者并无实质性区别，这里定义一年为一个阶段。
考虑到养老保险制度是一个长期制度，具体年限并不确定，因而阶段数可以根据实际问题的研究目标制定。
如：要确定10年内各年的提取比例，则阶段数就定为10；也可以将老龄化程度最高、养老保险金支付额最大的年份作为决策过程的终止年。
不失一般性，将整个决策过程定义为n个阶段。
状态变量x k定义为阶段k开始时的储备基金，M是最大储备金额。
为阶段k基本养老保险金按工资总额提取的比例，这一比例也决策变量u
k
应在一定范围之内。
按照国际标准，提取比例达到20%时即为社会预警线，29%即达到社会承受的极限，因此我们设定R为提取的最大比例，若s
为阶段k的
k
工资总额，则有：
d k -x
k
≤s
k
•u
k
≤min{s
k
•R,d
k
+d
k+1
+…+d
n
+A-x
k
}
其中s
k
•R就是基本养老保险金所能提取的最大金额。
已知阶段k开始时的储备基金是x k，阶段k的基本养老保险金收入额为s k•
u k ，支付额是d
k。
假定储备基金的年增值率为i
k
，考虑资金的时间价值，则阶
段末即阶段k+1的初始储备基金为：
x k+1=（1+i
k
）x
k
+s
k
•u
k
-d
k
，即状态转移方程。
可以看出，k+1阶段的储备基金x
k+1完全由k阶段的储备基金x
k
和基本养老
保险金的提取比例u
k
所决定，与前面的状态和决策无关，即满足无后效性。
设单位资金的管理费用为L，则阶段k的管理费用为：L•s
k •u
k
；设储备基金
的机会损失率为j
k
，，则阶段k时储备基金的机会损失额为：
j k •x
k+1
=j
k
[（1+i
k
）x
k
+s
k
•u
k
-d
k
]，于是可写出阶段效益的表达式：
r k (x
k
,u
k
)=L•s
k
•u
k
+j
k
[（1+i
k
）x
k
+s
k
•u
k
-d
k
]
目标函数为各阶段效益之和，即
在此基础上，即可写出动态规划基本方程：
根据这一模型得到的阶段k的提取比例u k对于全过程而言是最优的。
值得注意的是s
k 、d
k
、j
k
都是利用预测技术得出的今后若干年的预测值，它
们本身的准确程度会受到就业率、工资增长率，人口死亡率、退休率、生活费指数，各种投资利率等的影响，必须进一步进行理论分析以提高预测的准确程度。
根据开发区职工年龄结构上的特点是以中青年为主和职工平均年龄30岁的抽样统计结果，开发区在25年后养老保险金的支付将达到一次高潮。
因而在计算过程中选择整个计划期为25年，共分为5个阶段，每个阶段代表5年。
根据开发区各年龄段人数（见表4-1），期望寿命按70岁计算，推算出今后25年中各阶段的退休人数；结合开发区未来25年发展规模及经济增长速度，预测出各阶段新增职工人数和新增职工退休人数，在此基础上计算出开发区25年中各阶段退休职工人数，见表4-2。
表4-1 开发区职工按年龄段分布人数
表4-2 开发区25年中各阶段退休职工人数
各阶段每个职工平均养老保险金支付额的计算以年平均工资4800元为基数，分90%，80%，70%三个档次计算。
各期职工年平均工资分别按年平均工资增长率5%、10%来计算。
由于开发区内大多数企业属于电子及化工行业，查这两类企业平均投资利润率为14%，按银行三年整存整取利率10.8%计算，年机会损失率为3.2%，基金
管理费按缴纳量的5%提取。
选取支付额占工资90%，年平均工资增长率5%的
计算结果为代表，见表4-3。
表4-3 支付额占工资90%，年平均工资增长率5%的计算结果
动态规划模型从开发区整体出发，以退休人员养老保险金的支付额来确定应从在职职工中按工资总额提出养老保险金的比例，并在保证各阶段最大提取比例限制条件基础上，使得整个计划期内总的费用或损失最小。
实际应用中，还结合其它模型的计算进行对比和综合调整，进一步进行了可行性分析和提出相应的政策建议。
案例五:利用最短路算法确定自动充气站位置
电缆的气压维护是保障通讯完好畅通的重要手段，某城市经调查分析，并结合电缆分布情况确定安装14个传感器，建立相应的14个遥测点。
在选定的测试头上有3处可供建立自动充气站，见图5-1所示。
在详细分析了技术上的要求之后，最终将问题抽象成如何确定自动充气站位置，使以充气站为起点，所需建设的遥测点总线路最短的问题。
已知建立遥测点每100M的造价是1200元，因此归结为一个使总造价最省的问题。
试进行讨论分析自动充气站位置应如何确定?
追踪该案例的研究实施过程与结果,得知,原计划要进行一周的调查、定线工作，现经计算并结合现场情况略加修正，仅用1天半的时间就确定了方案，费用比原计划至少节省了16800元，且缩短了工期，提前使自动充气站投入运行。
案例六:某厂运输网络改善方案设计
v1、v2、v3为某工厂下属三个分厂所在地。
已知三个分厂的产品生产能力各为40、20、10个单位，产品每天均需运往车站仓库v t。
现有的运输网络如图8-3所示，箭杆边的数字为相应运输线路的日运输能力。
由于目前的运输网络不能保证每天将所有的产品及时运送到仓库，试分析原因何在？为了改善目前的运输状况，该厂计划在车站新建一个仓库，并考虑开通
的单方向行驶运输道路（图8-3中虚线所示），对于新开通的运输通道设计运输能力要求如何确定才能保证每天将所有的产品及时运送到车站仓库？单行道方向如何确定？通过分析计算，对该厂改善运输状况的计划作简单评论，并提出一些有益的设想和建议。
图8-3 案例6运输网络
目标规划案例七
案例八
运输问题
【案例九】向市场运送木材
【案例十】南方某百泥矿合理配车问题的研究
南方某白泥矿是一个南北狭长的露天矿，划分为北区、中区、南区三个开采区，主要开采生产盆、碗用的白泥，在采矿场附近设有5个排土场。
由于开采条件日趋恶化，矿山运输设备效率又不高，人们普遍认为运输问题已成为影响生产的主要矛盾，希望通过改善管理，挖掘运输潜力，提高经济效益。
全矿共有4种型号的运输车辆34台，当前的平均单位运费为0.6490元/t,运输车辆的数量和使用费见表3-1,核定的标准定额见表3-2。
表3-1运输车辆的数量及使用费
表
3-2 运输标准定额表
由于不同型号的汽车在各类采区运输不同类型的采剥物时效率和成本均不相同，于是可以考虑按不同型号的汽车分配运输任务。
现有4类型号的汽车进行4类不同的作业，可以归结为“指派问题”，使运输作业的总成本最小。
根据表3-1和表3-2的数据，用各种型号汽车的使用费与核定的不同作业标准定额相除即可得到单位运输成本，见表3-3。
表3-3 单位运输成本表
讨论给出使单位总运费最小最优分配车方案，请注意运输汽车必须是整数，该如何建模优化？
【案例十一】
为呼叫中心配备工作人员
【案例十二】自动装配。
