第五章 命题的判断及方法

添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变；改写的句子要 完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨；改写过 程中，可以适当增加词语，切不可生搬硬套．
知识点3 命题的真假 例3 下列命题是真命题的是( A ) A.同位角相等，两直线平行 B.同角的余角互补 C.方程2x＋4＝0的解为x＝2 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
1．下列语句中，是命题的是( A ) A．有公共顶点的两个角是对顶角 B．作∠A的平分线 C．用量角器量角的度数 D．直角都相等吗
2．命题“互为相反数的两个数的和为零”是___真_____命题(填 “真”或“假”)，将其改写成“如果……那么……”的形式：如果 ___两__个__数__互__为__相__反__数_______，那么___这__两__个__数__的__和__为__零_____．
课前预习
1.命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题．命题由___题__设___和___结__论___ 两部分组成． 2．命题的真假：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做____真____命 题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做___假_____命题． 3．定理：经过推理证实的___真_____命题叫做定理．定理也可以作为继续推理 的依据． 4．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这 个推理过程叫做证明．
训练 4.判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举 出一个反例．
(1)对顶角相等； (2)三条直线两两相交，总有三个交点； (3)如果ac＝bc，那么a＝b. 解：(1)真命题． (2)假命题．反例：三条直线交于一点． (3)假命题．反例：当c＝0时，1×0＝2×0，但是1≠2.
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题 的题设，但不满足结论即可．

5．3平行线的性质5．3.2命题、定理、证明1．理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式；(重点)2．了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例．(难点)一、情境导入2015年10月，屠呦呦因发现青蒿素治疗疟疾的新疗法获诺贝尔生理学或医学奖．屠呦呦是第一位获得诺贝尔科学奖项的中国本土科学家、第一位获得诺贝尔生理医学奖的华人科学家．青蒿素是从植物黄花蒿茎叶中提取的有过氧基团的倍半萜内酯药物．其对鼠疟原虫红内期超微结构的影响，主要是疟原虫膜系结构的改变，该药首先作用于食物泡膜、表膜、线粒体、内质网，此外对核内染色质也有一定的影响．青蒿素的作用方式主要是干扰表膜－线粒体的功能．可能是青蒿素作用于食物泡膜，从而阻断了营养摄取的最早阶段，使疟原虫较快出现氨基酸饥饿，迅速形成自噬泡，并不断排出虫体外，使疟原虫损失大量胞浆而死亡．要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？二、合作探究探究点一：命题的定义与结构【类型一】命题的判断下列语句中，不是命题的是()A．两点之间线段最短B．对顶角相等C．不是对顶角不相等D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线解析：根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有D选项不是判断句．故选D.方法总结：①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．【类型二】把命题写成“如果……那么……”的形式把下列命题写成“如果……那么……”的形式．(1)内错角相等，两直线平行；(2)等角的余角相等．解：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；(2)如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等．方法总结：把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．【类型三】命题的条件和结论写出命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件和结论．解析：先把命题写成“如果……那么……”的形式，再确定条件和结论．解：把命题写成“如果……那么……”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．所以命题的条件是“两条直线都与第三条直线平行”，结论是“这两条直线也互相平行”．方法总结：每一个命题都一定能用“如果……那么……”的形式来叙述．在“如果”后面的部分是“条件”，在“那么”后面的部分是“结论”．探究点二：真命题与假命题下列命题中，是真命题的是()A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0解析：选项A中，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B中，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C中，a·b＝0可得a、b 中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或二者同时为0，是真命题．故选D.方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题；如果命题不正确，就是假命题．探究点三：证明与举反例 【类型一】 命题的证明求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．解析：按证明与图形有关的命题的一般步骤进行．要证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法来证明．解：如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被直线MN 所截，交点分别为P ，Q ，PG 平分∠BPQ ，QH 平分∠CQP ，求证：PG ∥HQ .证明：∵AB ∥CD (已知)，∴∠BPQ ＝∠CQP (两直线平行，内错角相等)．又∵PG 平分∠BPQ ，QH 平分∠CQP (已知)，∴∠GPQ ＝12∠BPQ ，∠HQP ＝12∠CQP (角平分线的定义)， ∴∠GPQ ＝∠HQP (等量代换)，∴PG ∥HQ (内错角相等，两直线平行)．方法总结：证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知与求证，然后进行证明．【类型二】 举反例举反例说明下列命题是假命题．(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；(2)若ab ＝0，则a ＋b ＝0.解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件但不满足结论即可．解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；(2)当a ＝5，b ＝0时，ab ＝0，但a ＋b ≠0.方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论．三、板书设计命题⎩⎪⎨⎪⎧概念结构真、假命题证明与举反例本节课通过命题及其证明的学习，让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例．同时让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.。

人教七下
第五章 相交线与平行线
5.3 平行线的性质 命题、定理、证明
学习目标
1.了解命题，定理的概念，并会判断命题. 2．能用符号语言写出一个命题的题设和结论． 3．了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明 的格式，能说出证明的步骤．
新课导入
问题：下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？ 哪些没有对事情作出判断？
新课讲解
（2）说明一个命题是假命题的方法：举出一个反例，这个反 例符合命题的题设，但不能满足结论。
若两个角不是对顶角，则这两个角不相等。
解：两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶 角，但是它们相等。
新课讲解
总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题 目的结论。举反例时常见的几种错误： ①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论； ②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论； ③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论。
练一练
下列命题中，是真命题的是（D）
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
假命题 假命题 假命题 真命题
新课讲解
4. 定理： 一些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命 题叫做定理。 可以说成：可以作为判定其他命题真假依据的真命题叫做定理。
理由：∵∠B=∠E， ∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）
随堂练习
1. 下列命题中，是假命题的是（ A ）
A．同旁内角互补 B．对顶角相等 C．直角的补角仍然是直角 D．两点之间，线段最短
随堂练习
2. 下列语句中，是命题的是（ C ）

课程讲授
2 真命题与假命题
归纳： 1.要判断一个命题为真命题，可以用演绎推理加以
论证； 2.要判断一个命题为假命题，只要举出一个例子，
说明该命题不成立.
课程讲授
3 定理与证明
定义：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中
总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始 依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也 称它为公理.
理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
证明几何命题的一般步骤：
1.明确命题中的_已__知___和__求__证__； 2.根据题意，_画__出__图__形__，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出_要__证__的__结__论_的途径，写出证明过程.
课程讲授
3 定理与证明
例 已知直线b∥c， a⊥b ．求证：
a⊥c．
b
c
证明：∵ a ⊥b（已知）， ∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
1
2
a
∵ b ∥ c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠2=∠1=90°（等量代换）， ∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
课程讲授
3 定理与证明
练一练：求证：内错角相等,两直线平行.
已知：如图，直线l3分别与l1，l2交于点A,点B，且∠1=∠2.
求证：l1∥l2. 证明：∵ ∠１=∠２ (已知)，
∠3=∠2 (对顶角相等)，
l3
1(
)3 B
l2
)2 A
l1
∴ ∠1=∠3 (等量代换).
∴ l１∥l２ (同位角相等,两直线平行).
随堂练习
１．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ ⑴对顶角相等； 是 ⑵画一个角等于已知角； 不是 ⑶两直线平行，同位角相等； 是 ⑷a，b两条直线平行吗？不是 ⑸温柔的李明明； 不是 ⑹玫瑰花是动物； 是 ⑺若a2＝4，求a的值； 不是 ⑻若a2＝ b2，则a＝b. 是