直角三角形总复习教学设计
【教学目标】
1、掌握直角三角形的性质，从基本图形入手灵活应用性质解决问题；
2、学会在综合图形中添加辅助线来解决直角三角形的相关问题；
【教学重点、难点】
重点：直角三角形性质的综合运用；
难点：如何将综合图形分解成基本图形，从而解决问题.
【教学过程】
【考点梳理1】
一．锐角三角比 sinA= ,cosA= ,tanA= .
二．特殊角的三角比
1.（2013广东）在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=___.
2.(2013乐山)如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标
是(3，m)，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是 ，则sin α的值为( )
A. B. C. D. 34
4
55
33554
3.(2012.济南)如图,在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB值为( )
A. B. C. D．
3
【考点梳理2】
三．解直角三角形的定义：___________________叫做解直角三角形。
解直角三角形的依据：
（1）边边关系：_______________。
（2）角角关系：∠A+∠B＝_____。
（3）边角关系： .
四.直角三角形的性质定理（中考的高频考点）
【1】直角三角形中，30?角所对的直角边等于斜边的一半
【2】直角三角形斜边上的中线
【3】勾股定理及勾股数组
【4】直角三角形的两锐角互余；等腰直角三角形的两锐角都是45?. 【5】角平分线
【6】垂直平分线
【7】基本图形
B
A
C
30
B
A
C
D
1.（201
2.梧州）如图，∠AOC=∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，
PE ⊥OB 于点E 。若OD=8，OP=10，则PE 的长为（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
2.如图∠AOE=∠BOE=15°,EF ∥OB,EC ⊥OB 若EC=1,则EF=______.
3.（2013?资阳）如图，点E 在正方形ABCD 内，满足 ，AE=6，BE=8，
则阴影部分的面积是_____. A.48 B.60 C. 76 D.80
4.（2010.梧州）如图，边长为6的正方形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋
转30°后得到正方形EBGF ，EF 交CD 于点H ，则FH 的长为
(结果保留根号)． 30A B C D E
F
G H
O
C B D
E P B O A
C E F
5.(2013.杭州）在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA= ,
则斜边上的高等于（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，
AC= ，求AB.
【考点梳理3】
五．解直角三角形的应用： 如图（2）仰角是________,俯角是_________。
如图（3）方向角：OA ：____，OB ：____，OC ：____，OD ：____。
如图（4）AB 的坡度i AB ＝___，∠α叫___，tan α＝i ＝__。
（一）单纯的解直角三角形
例 ： ?ABC 中，∠B=45?，AB=3，∠C=60? ，求BC 及?ABC 的面积。
（二）俯角、仰角问题
1.如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以
30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，
45°
30°C B A
32
此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两
侧A ，B 两点间的距离为 米．
2.如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔
前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高。
3．如图，两个建筑物AB 和CD 的水平距离为30 m ，张明同学住在建
筑物AB 内10楼P 室，他观测建筑物CD 楼的顶部D 处的仰角为30°，
测得底部C 处的俯角为45°，求建筑物CD 的高度．(结果保留根号)
【基本类型】
在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三
角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的基本图形有如
下几种：
1.不同地点看同一点
2.同一地点看不同点
3.利用反射构造相似
4. [2012·凉山] 某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：
小明：我站在此处看树顶仰角为45°.
小华：我站在此处看树顶仰角为30°.
小明：我们的身高都是1.6 m.
小华：我们相距20 m.
请根据对话，计算这棵汉柏树的高度．(结果保留根号)
（三）坡角、坡度问题
1.(2012广安)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的
坡比是1： ，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长
度是（ ）
A ．100m
B ．100 m
C ．150m
D ．50 m
3
33
2.（2012湖南衡阳）如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，根据图中数据，求坝底宽AD．
（四）方位角问题(通常是航海问题)
1.[2012·常德] 如图一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可船，正在以12海里/小时的速度向西北方向航行. 我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船．问我渔政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)
2.(2014·临沂)如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船
在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处
观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之
间的距离为( )
A.20海里
B.10 海里
3
C.20 海里
D.30海里
3.如图，海中有一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行。你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？请说明理由。
【课堂小结】
完善知识网络
通过本节课你有什么收获？
【布置作业】
1.如图，梯形ABCD中，∠A=∠B=90o，AB=5 ，E在AB上，∠AED=45o，DE=6,CE=7。求：AE的长及sin∠BCE的值。
2.如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE ＝CD＝1，连接DE，则DE＝ .
3.如图，某同学在楼顶的A处测得池塘的一段B处的俯角为30o，池塘另一端D与点C、B在同一条直线上，已知AC=32米，CD=16米。求池塘宽BD为多少米？
4.如图，△ABC中，∠C=90o，点D在AC上，已知∠BDC=45o，BD =10 ，AB=20．求∠A的度数为 .
5.如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．
《解直角三角形总复习》学情分析
九年级的学生，进入了全面复习阶段，由于是农村的学校，当时学新课时学生水平就参差不齐，复习阶段水平拉的更大。所以，在过程与方法目标上，从基础入手，边梳理边练习，并通过将千变万化的实际问题转化为数学问题来提高学生解决问题的能力，要求学生善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，培养学生用数学的意识。
《解直角三角形总复习》效果分析
直角三角形总复习，我从基础知识入手，边梳理边练习，大部分学生掌握较好。直角三角形的应用部分，分析其实质就是解直角三角形的现实应用，关键是如何将实际问题转化为数学几何问题，学生充分理清了思路，不再觉得应用题多神秘、多难了。而且，我还对这部分的习题进行了分类处理，最后将知识点和基本图形归纳了几类，学生不仅学了知识，还学习了学习和复习的方法。但是对于一些综合性的题目，部分学生理解起来仍有一定难度，对此应加强后续练习。
《解直角三角形总复习》教材分析
直角三角形是在学习了等腰三角形、等边三角形后又一种特殊的三角形，它除了具备有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，反映了直角三角形中角与角、边与角之间的关系，主要作用是解决直角三角形中的有关计算问题。本节课的要求是掌握直角三角形的性质并会利用直角三角形的性质进行计算和证明，并完善本章的知识体系。
教材主要研究了如何利用解直角三角形的有关知识解决有关的实际
问题。比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。从这些问题中，我们要理解解直角三角形的方法，了解方向角、仰角、俯角、坡度等相关名词的意义，掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法，从而达到灵活运用数学知识解决实际问题的最终目的。
《解直角三角形总复习》评测练习
1.如图，梯形ABCD中，∠A=∠B=90o，AB=5 ，E在AB上，∠AED=45o，DE=6,CE=7。求：AE的长及sin∠BCE的值。
3.如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE ＝CD＝1，连接DE，则DE＝ .
3.如图，某同学在楼顶的A处测得池塘的一段B处的俯角为30o，池塘另一端D与点C、B在同一条直线上，已知AC=32米，CD=16米。求池塘宽BD为多少米？
4.如图，△ABC中，∠C=90o，点D在AC上，已知∠BDC=45o，BD =10 ，AB=20．求∠A的度数为 .
5.如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．
《解直角三角形总复习》课后反思
（1）整节课能以学生为主，始终让学生带着浓厚的兴趣、强烈的求知欲望去学习。许多学生在探索问题的过程中，学会了如何获取知识、
如何用所学的知识解决问题。在教学过程中，学生的回答很踊跃，说明它们对这节课兴趣很大，从各个角度发表他们的想法。
（2）本节课教学内容从课内向课外扩展，教学程序的设计充分体现了以学生为本的新理念，关注过程教学，注重师生互动，不仅传授数学知识，而且教会学生数学方法和技能。
（3我也在思考：这节课用多媒体等进行教学，使教学内容更加形象、生动，学生更容易接受所学知识。另外随着计算机技术日益融入生活的各个方面，学生们也需要学习全新的生活技能。所以我考虑在以后的教学过程中师生共同收集资料，共同制作演示文稿和网站，让学生认识到掌握科学知识的重要性，也为他们在未来的学习工作中自觉地综合应用多种知识来解决问题奠定基础。
《解直角三角形总复习》课标分析
中考要求及命题趋势：每年都考查解直角三角形的知识。解直角三角形为命题的热点，特别是与实际问题结合的应用题。
1、会由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角；
2、知道解直角三角形的含义，会解直角三角形；
3、能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；
4、会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题，
5、能用锐角三角函数解直角三角形，并能综合运用直角三角形的性质相关知识解决一些简单的实际问题．
直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 （3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC
考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3
解直角三角形说课稿 各位老师：大家好！ 今天我说课的题目是《解直角三角形及其应用》的第一课时，源自人教版数学九年级下册第28章第二节。下面我将从教材分析，教法与学法，教学过程及教学评价四个方面进行阐述。 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 本节课在掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等知识的基础上解直角三角形。它既是前面所学知识的运用，也是高中阶段解斜三角形的重要预备知识。本节课的学习，是让学生学会用直角三角形的有关知识去解决一些实际问题。 （二）教学目标分析 1、知识与技能：本节课的目标是使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个边角关系式解直角三角形，培养学生分析和解决问题能力。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识”。 2、过程与方法：通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决。其依据是新课标关于学生的学习观——“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”。 3、情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展”。
（三）教学重点 由直角三角形中的已经知道元素，正确利用边角关系解直角三角形。 （四）教学难点 选择合适的关系式解直角三角形是本节课的难点。 二、教法设计与学法指导分析 本节课采用了“自学探究式”教法。在以最简洁的方式回顾原有知识的基础上，创设问题情境，引导学生自学理解解直角三角形的定义和方法。接着通过尝试巩固练习，让学生主动探索解直角三角形所需的最简条件。学生在学习过程中克服困难，发展了自己的观察力、想象力和思维力，培养团结协作的精神，可以使他们的智慧潜能得到充分的开发，使其以一个研究者的方式学习，突出了学生在学习中的主体地位。 三、教学过程设计 本节课我将围绕课前复习、创设情景、自学探究、尝试练习、巩固练习、归纳总结、提高练习、课堂小结、布置作业这九个环节展开我的教学，具体步骤是： （一）课前复习 本环节的设计其目的有二，一是温故而知新，二是让学生养成堂堂课回顾旧知识的习惯。 （二）创设情景 这一环节以如何测量珠穆朗玛峰的高度，使学生产生学好本节课的兴趣。 （三）自学探究 本环我抛出问题让学生自学得出解直角三角形的定义，结合以前学过的知识初步体会解直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数），其依据是课程标准中的教是为了不教和让学生由“学生”向“会学”的转变。 （四）尝试练习和巩固练习
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
教材分析 饶河二中薛怀杰 本节内容是在学生学习了直角三角形三边的关系以及锐角三角函数的基础上进行的。本节知识既是前面所学知识的运用，又是高中继续学习三角函数和解斜三角形的严重知识储备，在整个数学教学体系中起着承上启下的作用。另外由于解直角三角形在实际生活中的应用比较广博，同时蕴含着建模、转化、化归的数学思想方法，所以学习本节知识对学生而言具有严重的意义。 直角三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，它对全面、深入地理解解直角三角形有着极其严重的作用。由直角三角形的判定定理可知：对于直角三角形，如果已知除直角外的两个元素分别相等（其中至少有一个是边），那么这两个三角形全等。从而一个直角三角形的大小由三边和两个锐角中的两个元素（其中至少有一个是边）唯一确定，因此从理论上说我们就可以利用一边和另一个元素求其余元素。有了锐角三角函数知识，并结合直角三角形的两个锐角互余及勾股定理，就可以进一步地由这两个元素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角形。可见解直角三角形与直角三角形全等的判定定理、勾股定理等已学知识有着密切的联系。从联系的角度看待数学知识，加强数学知识之间的联系，对于养成优良的学习习惯，感悟数学学习、研究方法，培养分析和解决问题的能力，积累数学活动经验有着严重作用。本节课要通过加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移。 教材中首先通过确定比萨斜塔倾斜程度问题引出解直角三角形的概念，接着通过一个“探究”栏目提出问题：在直角三角形中，除直角以外的五个元素之间有哪些关系？知道五个元素中的几个，就可以求其他元素了？将这个栏目中真正需要探究的第二个问题的思考过程完全留给学生，而直接给出结论：利用边、角之间的相互关系，知道三边和两个锐角中的两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的元素（俗称“知二求三”）；进而给出“知二求三”解直角三角形的例题示范；并安排相当数量的练习题，使学生对“知二求三”的可行性以及详尽求解方法有充分体验，获得较多的感性认识，让学生进一步感受到了数形结合的思想方法。
第一单元《声音》教材和学情分析 1.听听声音 【教材简析】 《听听声音》是《声音》单元的起始课，声音对学生来说并不陌生。教科书通过“听听周围的声音”和“描述你听到的声音”这两个活动展开，引导学生关注声音，关注身边的声音世界。 “听听周围的声音”板块，主要是通过学生认真倾听，感受我们生活在一个充满声音的世界里，我们虽然看不到它，但能感受到它。 “描述你听到的声音”板块，通过用科学的词汇将听到的声音描述出来，并能对声音进行简单分类。通过对声音的描述，可以了解学生对声音原有的认识，激发学生想要更多的了解声音的问题，为后面声音问题的研究做好铺垫。 【学情分析】 我们生活在一个充满声音的世界里，声音对学生来说非常熟悉。他们随时随地都能感受到声音的存在，这对本课学习打下了良好的生活基础。 对于声音，虽然学生非常熟悉，但并没有真正思考过关于声音的问题。没有思考过他们听到的声音有什么不同，这些声音又是通过什么物体发出来的，这是本节课学习的障碍。 2.声音是怎样产生的 【教材简析】 《声音是怎样产生的》是教育科学出版社《科学》四年级上册《声音》教学单元第二课时的内容，是继《听听声音》之后，进行的又一项关于声音的研究。当一个物体在力的作用下，不断重复地做往返运动，这个物体就是一个振动物体，声音就是由物体振动产生的。当我们观察一个发声物体时，我们常常看不到这个物体的振动。本课通过引导学生观察多个物体发声时的状态，为学生提供观察发声物体振动的机会。 聚焦板块围绕“这些声音是怎样发生的?”这个问题，开展全班讨论，了解学生对声音是如何产生的前概念。
探索板块，主要通过两个活动，实践揭示声音的本质。活动1:观察橡皮筋发出声音的状态，初步理解“振动”的含义，并初步在物体发出声音和物体的振动之间建立联系；活动2:观察钢尺、鼓、音叉等更多物体发声时的状态，进一步确认振动与物体发声的关系，物体振动时会发出声音，停止振动时就不会发出声音。 研讨板块，先通过问题引导研讨,用证据支持自己的观点，突出科学的本质。然后猜测吹竖笛的时候是什么在振动，来进一步拓展学生对振动的认识。 拓展板块，以阅读资料《我们的发声器官》来介绍人的发声器官声带，以及声带的发声原理，拓展学生的知识。 【学情分析】 学生对声音都有一定的了解，对声音的产生有着不同的生活经验。物体由于振动产生声音对于学生来说是一个比较模糊的概念，根据学生已有的生活经验和认知水平，他们觉得敲打、碰撞、摩擦……是物体发出声音的直接原因，他们关注的是什么动作使物体发出了声音，而不是发声物体的变化，缺乏深入的探究声音现象的本质。所以在设计整个探究活动的过程中要关注学生的认知特点、理解水平。 3.声音是怎样传播的 【教材简析】 《声音是怎样传播的》是教科版四年级上册第一单元《声音》的第三课。教材分为四部分。第一部分：聚焦。教材通过让同学们听鼓声，观察鼓面振动，提出今天的核心问题，声音是怎样传播的。第二部分：探究。通过对比真空和空气状态下同学们的声音体验，知道声音能够在空气中传播。通过比较靠近桌面听到的声音和不靠近桌面听到的声音，知道声音能够在固体中传播。通过观察音叉在水中的现象，听在水槽璧上的声音，知道声音也能在水中传播。第三部分：研讨。通过几个小问题，和同学们一起探讨，加深对于声音在物质中传播途径的掌握和理解。第四部分：拓展。通过制作土电话，玩土电话的活动，让同学们加深对于声波的理解，感知声音以波的形式传播，当声波遇到物体时，会使物体产生振动，声音就是这样通过各种物质，从一个地方传播到另外一个地方的。 【学情分析】
一、直角三角形的性质： 1、两个锐角互余 ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∵∠C=90°∠A=30°∴ BC= 2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD= 2 1 AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ ：22 2 a b c +=还可以变形为2 2 2 a c b =-，2 2 2 b c a =-． 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数 1、锐角三角函数定义：在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，由同学们自行归纳 2、锐角三角函数的有关性质： （1）当 °<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > （2）在0° 90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、cot ）的值，随角度的增大而减小。 3、同角三角函数的关系： A C B D
第二单元 1、教材分析： 本组教材围绕“丰富多彩的学校生活”这一专题整体安排教学内容。“同学之间、课堂内外发生过许多难忘的事,学校生活多么丰富多彩呀!”简短的导语首先点出本组的专题──学校生活;然后安排了集中识字课———识字2,其内容是关于学校生活的十二个词语;接着,《一株紫丁香》《我选我》《一分钟》《难忘的一天》四篇课文,从各个不同方面反映学生的学习生活,学生从中可以受到爱老师、爱学习、爱集体、爱劳动以及要珍惜时间的教育。本组最后的《语文园地二》中,“我的发现”是引导学生发现“熟字加偏旁”的识字方法和汉字的构字特点。“学习查字典”则是一项新的教学内容,在学生明白部首含义的基础上,重在掌握部首查字典的一般方法。“口语交际”是与课文《我选我》结合安排的内容,讨论班里改选干部,自己会不会选自己。“展示台”则让学生展示新学到的本领。围绕一个专题整体安排教学内容,体现了课标避免烦琐、加强整合的思想,便于开展语文实践活动,提高学生的语文综合素养。 2、教学目的： 通过学习与学校有关的词组，诗歌、故事，结合生活实际，感悟，发现学校生活的丰富多彩。随文和生活中会认57个生字，会写46个生字。学习部首查字法，学会按部首个汉字归类，认识部首。 3、重点难点：通过学习与学校有关的词组，诗歌、故事，结合生活实际，感悟学校生活的丰富多彩，会认57 个生字，会写46 个生字。学习部首查字法，学会按部首个汉字归类，认识部首。 识字2 教学目标： 1、会认11个生字，会写八个生字。 2、正确流利地朗读课文，积累词语体会词语的节奏。 3、留心观察校园生活，体会校园生活的多彩多姿。 教学重点：认字、写字。正确流利地朗读课文。 教学难点：积累词语体会词语的节奏，留心观察校园生活，体会校园生活的多彩多姿。 教学准备：ppt、录音 教学时间：2课时 教学过程： 第一课时 一、看图引入
《中考总复习——解直角三角形的应用》说课稿 茂山中学杨发涌 一、教材分析： 教材安排解直角三角形时，首先从测量入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的边、角关系，最后利用勾股定理及锐角三角函数的知识来解决实际中提出的。注重联系学生的生活实际。同时还有利于数形结合，即把图形语言、文字语言与数学符号语言有机地结合起来。 主要研究了如何利用解直角三角形的有关知识解决与直角三角形有关的实际问题。比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。从这些问题中，我们要理解解直角三角形的方法，了解方向角、仰角、俯角、坡度等相关名词的意义，掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法，从而达到灵活运用数学知识解决实际问题的最终目的。 二、教学目标： 〈一〉知识与技能目标： 1、弄清解直角三角形的含义，理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理， 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、利用构造直角三角形的方法解决与之相关的实际问题。本课着重解决方向角问 题。 3、通过变成题的训练，提高学生的解题能力，并使学生从中体会到学数学、用数学 的乐趣。 〈二〉过程与方法目标： 作为一名数学教师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想，数学意识，所以在过程与方法目标上，体现在让学生学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决的能力，要求学生善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，培养学生用数学的意识。 〈三〉情感目标： 通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识，能应用于社会实践，通过选式的诀窍，可简便计算，从而体会探索，发现科学的奥秘和意义。〈四〉教学重点： 使学生学会将简单的实际问题转化为数学问题，并能选用适当的锐角三角函数关系式解
现代文阅读之语言赏析教学设计 设计思想： 在语文教材中，现代文阅读始终占据着绝对的比重，是当代中学教育的一个重点，在中考中现代文阅读试题占据很大的比重，但始终是得分率偏低的一个部分。，因此，现代文阅读教学也成了初中语文教学的一个难点。首先以近五年中考语文试题中语言赏析类所考的频率和所占分值导入新课、再以近五年中考现代文阅读语言赏析类试题看题型，又以朱自清《春》中描写春花的一段赏析从而得出赏析角度，再辅以中考真题演练巩固，使学生在语言赏析题养成良好的答题习惯，规范他们的答题语言，提升答题能力 教学目标： 1、掌握现代文文本阅读中赏析语言的方法。 2、在赏析佳句中品味语言之美，体味作者的情感。
在语文教材中，现代文阅读始终占据着绝对的比重，是当代中学教育的一个重点，在中考中现代文阅读试题占据很大的比重，但始终是得分率偏低的一个部分。，因此，现代文阅读教学也成了初中语文教学的一个难点。现代文阅读并不仅仅以鉴赏好的文学作品为目的，也关系着学生认知能力、理解能力、思维能力和文学素养等多种能力和素质的培养。但是由于缺乏良好的现代文阅读习惯，缺少阅读技巧和阅读积累，大部分初中生的现代文阅读能力
都不是很强。影响的不仅仅是初中生的语文成绩和升学质量，作为认知能力、理解能力、思维能力和文学素养等多种能力和素质的基础，提高初中生的现代文阅读能力意义重大。我校学生在现代文阅读能力阅读习惯好阅读爱好方面或多或少的存在一定的问题，阅读范围狭窄，阅读兴趣不高，存在识字、理解障碍以及受劣质书籍毒害严重等问题为了提升学生的阅读教学质量，特别是针对初三临近毕业的学生为了能在中考甚至未来的高考中取胜，一定要养成良好的答题习惯，规范他们的答题语言，提升答题能力而加强这方面的训练，给予一定的方法指导。 《现代文阅读之语言赏析》效果分析 这节课突出了“以学生为主体”的课程理念。下面，我从教师的基本教学技能、学生的学习效果等方面，谈一谈这节课的优点。 一、基本教学技能 1.教学设计、教学理念 (1)整节课设计流畅，切合学生实际。脉络清晰，教学环节完整。 (2)教师创设问题引导学生自主学习，使学生始终处于积极参与的状态。 2.教学手段、教学策略 在教学中运用各种方法激发兴趣、引发质疑，丰富了课堂。使不同学习风格、不同学习水平的学生，都能在原有基础上有所进步。 3.教态、语言 (1)教师教态从容、亲切自然，与学生互动融洽。 (2)语调抑扬顿挫，有亲和力。提出的问题简练，发挥了“启发、引导、过渡、总结、激励”的作用。 二、学习效果 1.学生情感表现 (1)学生学习的兴趣浓厚，从学习活动中获得合作交流的乐趣。 (2)学生是课堂的主人，发挥了主体作用。 (3)学生参与度广，多数同学在小组活动、发言等方面体验到成功的喜悦，增强了自信心。2.学生能力培养 (1)思考能力。通过自主学习，发现问题从而使学生养成良好的思维习惯。 (2)表达能力。学生能积极回答教师提出的问题，表述规范、有条理。 三、令人遗憾之处 1、丰富的教学资源没能充分利用。 2、学习评价机制有效性低。 在语文教材中，现代文阅读始终占据着绝对的比重，是当代中学教育的一个重点，在中考中现代文阅读试题占据很大的比重，但始终是得分率偏低的一个部分。，因此，现代文阅读教学也成了初中语文教学的一个难点。现代文阅读并不仅仅以鉴赏好的文学作品为目的，也关系着学生认知能力、理解能力、思维能力和文学素养等多种能力和素质的培养。但是由于缺乏良好的现代文阅读习惯，缺少阅读技巧和阅读积累，大部分初中生的现代文阅读能力都不是很强。影响的不仅仅是初中生的语文成绩和升学质量，作为认知能力、理解能力、思维能力和文学素养等多种能力和素质的基础，提高初中生的现代文阅读能力意义重大。针对初三临近毕业的学生为了能在中考甚至未来的高考中取胜，一定要养成良好的答题习惯，规范他们的答题语言，提升答题能力而加强这方面的训练，给予一定的方法指导。
《解直角三角形应用举例教材分析、学法指导》-----福州江南水都中学魏文勋 一、教材分析 (一)、教材的地位与作用 本节是在掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等有关知识的基础上，能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形。通过本小节的学习，主要应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题。从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的严重预备知识。它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法(数学建模、转化化归)，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。 (二)教学重点 本节先通过一个实例引出在直角三角形中，已知两边，如何求第三边，再引导学生如何求另外的两个锐角，这样一是为了巩固前面的知识，二是如何让学生正确利用直角三角形中的边角关系，逐步培养学生数形结合的意识，从而确定本节课的重点是：由直角三角形中的已经知道元素，正确利用边角关系解直角三角形。 (三)、教学难点 由于直角三角形的边角之间的关系较多，学生一下难以烂熟运用，因此选择适合的关系式解直角三角形是本课的难点。 (四)、教学目标分析 1、知识与技能：本节课的目标是使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个边角关系式解直角三角形，培养学生分析和解决问题能力。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的严重数学知识”。
2、过程与方法：通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决。其依据是新课标关于学生的学习观——“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的严重方式”。 3、情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和大凡能力方面都能得到充分发展”。 二、学法指导 (一)、教法分析 本节课采用的是“探究式”教法。在以最简短的方式回顾原有知识的基础上，创设问题情境，引导学生从实际应用中建立数学模型，引出解直角三角形的定义和方法。接着通过例题，让学生主动探索解直角三角形所需的最简条件。学生在过程中克服困难，发展了自己的观察力、想象力和思维力，培养结合协作的精神，可以使他们的智慧潜能得到充分的开发，使其以一个研究者的方式学习，突出了学生在学习中的主体地位。 教法设计思路：通过例题讲解，使学生熟悉解直角三角形的大凡方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题能力。 (二)、学法分析 通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况。通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为解直角三角形的问题。 学法设计思路：自主探索、合作交流的学习方式能使学生在这一过程中主动获得知识，通过例题的实践应用，能提高学生分析问题，解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力。
教学设计 教学内容： 青岛版六年级下册数学第五单元68——71页 教材简析： 本单元在统计表以及条形统计图、折线统计图的基础上编排。扇形统计图不仅表示各个部分数量的多少，而且侧重于用同一个圆里的大大小小的扇形，表示各个部分数量与总数量之间的关系，表示各个部分数量分别占总数量的百分之几。教学扇形统计图，要使学生认识它的特点。了解它的用处，能够看懂统计图所呈现的数据信息，能够利用统计图给出的百分数解决实际问题。体会条形图、折线图、扇形图的不同，体会根据数据内容合理选择统计图的必要性。 小学数学不要求制作扇形统计图。因为制作扇形统计图需要扇形的知识，要计算扇形的圆心角，而小学数学只简单认识扇形，不教学画扇形，所以小学生不具备制作扇形统计图的知识与能力。况且，人们已经很少手工制作扇形统计图了，利用计算机画出扇形统计图，既方便又准确，而且十分美观。 教学目标： 1.认识扇形统计图，知道扇形统计图表示的意义，了解扇形统计图的作用。 2.经历数据的整理、描述和分析的过程，感受统计在现实生活中的作用，发展统计观念。教学准备： 课件、直尺、每人一份导学案、完成预习案中的题目 教学过程： 一、课前预习 让学生完成预习案中的三个问题，包括： 1.我们之前学过哪些统计图？分别说出每种统计图的特点和作用。 2.了解关于奥运会的知识 3.根据第三十届奥运会金牌榜数据整理完成以下统计表。 填表说明： 水上项目包括：游泳、花样游泳、水球、跳水等 重竞技项目包括：拳击、跆拳道、举重、柔道、摔跤等 以上未列举的都统计到“其他”里面。项目射击水上球类竞技体操重竞技其他数量
二、复习导入 师：“之前我们学过哪几种统计图？分别有什么作用？”（指名回答） 学生边回答，课件边出示条形统计图和折线统计图的图例比较。 师：“条形统计图可直观的看出数量的多少，折线统计图可以看出数量发展变化情况。” （总结） 师：“课前让同学们对奥运会的知识做了一定了解，谁来说一下自己所了解到的知识？”（指名回答） 师：“我国举行过奥运会吗？哪年在哪里举行的？老师带来几项奥运会项目，同学们边看边说出名称”（课件出示奥运项目图片以及中国奥运金牌榜统计表） 师：“共获得几枚金牌？” 指名同学说统计表数据，课件出示，统一答案 师：“根据统计表是否能完成一幅条形统计图？拿出导学案，完成条形统计图。” 三、自主探究 1.学生自主完成条形统计图。（教师巡视，了解学生做图情况。） 2.小组长带领学生检查统计图是否准确完整。 师：“请小组长汇报一下自己小组作图时，发现什么问题？”（小组长汇报）学生会发现，当数据不正好在格子上时，不好确定具体位置，针对这一问题，集体顶正时，带领学生思考准确作图的方法。 师：“请作图不准确的修改一下。” 3.引入扇形统计图的学习 师：“如果我想知道球类项目的金牌数占总金牌数的百分之几，该怎么计算？（课件出示问题）指名回答 生：球类项目的数量除以总数量 师：如果计算水上项目的百分比呢？（指名回答） 师：“有一种统计图，可以直观的呈现每一部分占整体的百分之几，（课件出示扇形统计图）这种统计图叫做扇形统计图。这节课我们一起来学习扇形统计图！”板书课题 4.自主学习，合作探究 师：“现在同学们拿出导学案，依据探究案中的四个问题自学课本69——70页，自学完成后，小组长带领大家谈论问题的解答，语言组织要简练，汇报时每组2号同学汇报。” 学生自主学习，教师巡视指导。
在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，。 二、 锐角三角函数的有关性质： 1、 当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > 2、 在0°--90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、 cot ）的值，随角度的增大而减小。 三、 同角三角函数的关系： 22sin cos 1A A += t a n c o t 1A A = sin tan cos A A A = c o s c o t sin A A A = 常用变形：2 sin 1cos A A =- 2c o s 1s i n A A =- 四、 正弦与余弦，正切与余切的转换关系： 如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a A B A c = ==?- 同理可得： sin cos(90)A A =?- cos sin(90)A A =?-tan cot(90)A A =?- c o t t a n (90A A =?- 五、 特殊角的三角函数值： 三角函数 sin α cos α tan α cot α 30° 12 32 33 3 45° 22 22 1 1 60° 32 12 3 33 六、 解直角三角形的基本类型及其解法总结： 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A = ，cos b c A = 60° 30° 32 1 B C A 45° 22 2 B C A
棉花姑娘课堂实录教材分析学情分析
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棉花姑娘 杏东小学韩亚颖 一、教材分析： 棉花姑娘病了,叶子上长满了蚜虫。燕子只会捉空中飞的害虫，啄木鸟只能捉树干里的害虫,青蛙也只能捉田地里的害虫,他们都是“心有余而力不足”,看来谁也帮不了她。正当蚜虫们得意地吸食棉花姑娘的汁液时，七星瓢虫来了，把这些害虫一扫而光。棉花姑娘快乐地成长,吐出了雪白的棉花。 本课通过棉花姑娘请求燕子、啄木鸟等给自己治病的故事,告诉我们燕子、啄木鸟、青蛙和七星瓢虫分别吃什么地方害虫的科学常识。全文共六个自然段,第一段讲故事的起因，第二、三、四、五段讲棉花姑娘请求燕子、啄木鸟、青蛙给自己治病和七星瓢虫吃掉蚜虫的经过，第六段讲故事的结果。 课文采用童话的形式,寓生物常识于生动形象的故事之中，语言符合儿童特点,对学生了解科学知识有较强的启发作用。 二、学情分析 从学生已有的基础知识来看。(识字、写字）孩子们经过将近一年的学习,基本掌握了汉字的基本笔画及书写规律,但自主识字的能力有待提高。开始学写合体字，初步了解合体字的构字特点,但间架结构和田字格占位掌握度不高。（朗读与交际上）同时,孩子们喜爱读童话，说童话，演童话,这为本课朗读与交际奠定了良好的基础。? 从已有的生活经验来看，学生的学习渠道很多，在生活中他们对益虫、
益鸟就有了一定的了解,搜集资料很感兴趣。 三、教学目标 1、运用一定的识字方法，学习“姑、娘”等7个生字,并写好“只、星”等6个字。 2、学习复述课文,学会说祈使句“请你吧！”。 3、正确、流利地朗读课文。 ４、了解不同动物消灭害虫的不同本领,认识一些对人类有用的鸟类和益虫 四、教学重难点 1、教学重点： （1）运用一定的识字方法，学习“姑、娘”等７个生字，并写好“只、星”等６个字。 (2）学习复述课文,学会说祈使句“请你吧！”。 2、教学难点： 了解不同动物消灭害虫的不同本领,认识一些对人类有用的鸟类。 五、教学实录 课前三分钟：师:同学们,上课前,和老师一起来做个小游戏,你们会学小动物的叫声吗？ 生:会。 师:那我说小动物的名字,你们用叫声来回答我，好吗? 生:好。
第一单元教材分析及学情分析 教材分析： 本单元主要教学并梳理混合运算的顺序。混合运算前面学生已经学会按从左往右的顺序计算两步式题，并且知道小括号的作用，这里主要教学含有两级运算的运算顺序，并对所学的混合运算的顺序进行整理。主要内容有：整理同级运算的顺序，教学并整理含两级运算的顺序及含有小括号的运算顺序、有关0的运算。 三步计算文字题是在两步计算文字题的基础的扩展，以提高学生理解数学语言并用算式表达的能力和列综合算式的能力，进一步强化运算顺序。计算三步文字题时，要着重从分析文字叙述人手，先确定最后一步是什么运算，再根据数量关系向前推导，确定出先算什么，再算什么，哪一部分在前，哪一部分在后，以及括号怎样使用等，直到列出综合算式。 应用题是本单元的重点，其中两步计算的连乘和连除应用题与第六册学习过的连乘和连除应用题有所不同，特点是未知量可以随两个量的变化而变化。教学时，要从求未知量与两个已知量的联系人手，分析数量关系，得出两种解题思路，进而列式解答。连乘应用题与连除应用题从解题思路上是互逆的，教学时，应加强两种类型题的联系，通过对比练习强化数量关系，并要求会用两种方法解答，能列综合算式解答。 应用题部分还安排了比较容易解答的三步计算应用题，这是原来两步计算应用题的发展。这部分内容离学生生活实际较近，数量关系
简单，学生利用两步应用题的基础，通过类推，可以比较容易掌握三步应用题的分析解答方法。 如一年级上册和二年级上册出现的“加减混合”，二年级上册出现的乘加、乘减，二年级下册出现的含有小括号的加减混合运算，等等。使学生在解决现实问题的过程中，初步理解混合运算的作用，体会运算顺序。在中年级时，再结合解决现实问题，较为系统的介绍四则混合运算及运算顺序。这样的编排通过较丰富的现实素材，使学生逐步体会、理解混合运算及运算顺序，同时，在丰富的感性经验的基础上，四年级出现比较抽象的运算顺序，符合学生数学学习的认知规律，并可促进学生思维水平的提高。 2、在后面的教材中还会安排“混合运算”的单元吗？ 在本套课标教材中，我们只在本册安排了“四则运算”这个单元，来教学和梳理整数四则混合运算的顺序，在后面的教材中不会再安排“混合运算”的单元了。小数四则混合运算和分数四则混合运算的顺序也都是在此单元总结的基础上，让学生进行迁移类推。因此，教师在教学这一单元时，根据《课程标准》的精神，应该让学生在经历解决问题的过程中，感受混合运算规定的必要性，从而系统地掌握混合运算的顺序，并为后续学习做好准备。 3、在九年义务教育数学教材第八册“整数四则运算”单元对四则运算的意义进行系统的概括和总结，在课标教材这一相应的单元“四则运算”中，为什么没有？ 九年义务教育数学教材是根据九年义务教育数学大纲中“理解四则运
解直角三角形 一、锐角三角函数 （一）、锐角三角函数定义 在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即 sin A = c a , （2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即 cos A = c b , （3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即 tan A =b a ， (4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即 a A A A b 的对边的邻边cot =∠∠= 锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。 这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系
注意:锐角三角函数的定义应明确(1) c a ， c b ，b a ，a b 四个比值 的大小同△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的； （2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样； （3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系 （1）平方关系： 12 2 s i n =?+C O S α (2)倒数关系：tan ａ cota=1 (3)商数关系：? ? =???= sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注 意它们的变形公式。 (2)()??sin sin 2 2 是 的简写，读作“?sin 的平方”，不能将 ??2 2 sin 写成sin 前者是a 的正弦值的平方，后者无意义； （3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,12 2 3030 cos sin 2 2 =?=? +? ，而 1cos sin 2 2 =+ ?β就不一定成立。 （4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。 （三）余角的函数关系式 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它
《解直角三角形》说课稿 尊敬的领导，各位老师，亲爱的同学们大家好！我是来自商丘师院数学系的杨露，今天我说课的内容是九年义务教育课本九年级数学第二学期第二十八章第二节的内容《解直角三角形》。下面我将从以下四个环节对本节课的教学设计进行说明：（ 一、教材分析二、教法学法三、教学过程四、板书设计 一、教材分析 教材分析可分为教材的地位和作用，教学目标和教学重难点 1、教材的地位和作用 《解直角三角形》是九年义务教育课本九年级数学第二学期第二十四章第二节的内容。本节课 是在锐角三角函数的基础上学习的。让学生通过简单的问题情境，利用锐角三角函数的内容来研究 直角三角形的边、角关系，最后利用勾股定理及锐角三角函数的知识来解决实际中提出的问题。这 些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系。通过这一部分内容的学习，学生将 进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。 2、教学目标 作为一名教师除了把知识教给学生，更重要的是应该教给学生学习的方法，培养他们的自主探究、合作创新的意识，使他们会学。因此根据新课标的要求、教材的特点及学生的实际情况，我制 定了如下目标： 【知识目标】 弄清解直角三角形的含义，理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 【能力目标】 通过观察、猜想等数学活动过程，培养学生的逻辑推理能力。体验数形之间的联系，并能运用数 形结合的思想来解决问题， 【情感目标】 培养学生的发现意识和探究能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。认识知识的独立性。 3.教学重点、难点 基于以上对教材和教学目标的分析，本着课程标准，在吃透教材基础上，我得出本节课的重点与 难点。 教学重点：能选用适当的三角函数关系式来解直角三角形。 教学难点：将实际问题抽象为数学问题，利用数形结合来解决实际问题。 下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈： 二、教法学法
解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC= 2 1AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1 AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ?CD=AC ?BC 锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A a b cot =∠∠= 的对边的邻边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 A C B D
锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1 （3）弦切关系 tanA= A A cos sin cotA=A A sin cos （4）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) 特殊角的三角函数值 说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）