【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）2cos ([0,])4ρθθπ=∈，32sin ([,])44ρθθππ=∈，32cos ([,])4ρθθπ=-∈π， （2）)6π，)3π，2)3π，5)6π． 【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知 若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；专题22 坐标系与参数方程若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【答案】（1）(,)44π3π；（2）2,2222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【解析】（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =-l 与O交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈． 综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是2,cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题． 【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【答案】（1）()2240x y y -=≠；（2【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+． 设(),P x y ，由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠． 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠．（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠．联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+．故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==． 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【命题意图】能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．主要考查考生的数学运算能力和转化与化归思想的应用．【命题规律】主要考查极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化，参数方程与普通方程的互化，根据极坐标方程或参数方程求弦长、面积、最值等，其中利用直线参数方程中参数的几何意义求值，利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的距离求最值是考查的重点，以解答题的形式出现，分值10分，难度中等．【知识总结】1．极坐标和直角坐标的互化（1）互化的前提：①直角坐标系的原点与极点重合；②x轴的正半轴与极轴重合；③在两种坐标系中取相同的长度单位．（2）互化公式：设M是平面内任一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），则极坐标与直角坐标的互化公式为cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩，，可得222tan0x yyxxρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，（）．注意：把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限（即极角的终边的位置）和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一．2．简单曲线的极坐标方程3．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数． （2）如果知道变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如，x=f （t ），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t 的关系y=g （t ），那么x f t y gt =⎧⎨=⎩（），（）就是曲线的参数方程．注意：（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性．（2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．4．直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程【方法总结】1．极坐标与直角坐标互化的方法（1）将点的直角坐标（x ，y ）化为极坐标（ρ，θ）时，运用公式，tan θ=yx（x ≠0）即可．在[0，2π]范围内，由tan θ=yx（x ≠0）求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ+2k π（k ∈Z ）即可．（2）将点的极坐标（ρ，θ）化为直角坐标（x ，y ）时，运用公式x=ρcos θ，y=ρsin θ即可． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化的方法 直角坐标方程极坐标方程．3．求解与极坐标有关问题的主要方法（1）直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；（2）间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．4．将参数方程化为普通方程的方法（1）将参数方程化为普通方程时，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数基本关系式消参，如sin 2θ+cos 2θ=1等；（2）将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响，注意两种方程的等价性，避免产生增解的情况． 5．将普通方程化为参数方程的方法只要适当选取参数t ，确定x=f （t ），再代入普通方程，求得y=g （t ），即可化为参数方程x f t y gt =⎧⎨=⎩（），（）．注意参数t 的意义和取值范围．选取参数的原则：（1）曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单；（2）当参数取某一个值时，可以唯一确定x ，y 的值．一般地，与时间有关的问题，常取时间作为参数；与旋转有关的问题，常取旋转角作为参数．此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数．6．直线方程中参数t 的几何意义的应用经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：（1）t 0=122t t +； （2）|PM|=|t 0|=|122t t+|；（3）|AB|=|t 2–t 1|； （4）|PA|·|PB|=|t 1·t 2|．注意：在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M （x ，y ）到M 0（x 0，y 0）的距离，即|M 0M|=|t|．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过点()1,2P 倾斜角为135︒的直线l 与曲线C 交于M N 、两点，求22PM PN +的值． 【答案】（1）4sin ρθ=；（2）8．【解析】（1）依题意，曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=，故224x y y +=，故4sin ρθ=，故所求极坐标方程为4sin ρθ=；（2）由题意，可设直线l的参数方程为122x y t =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）， 将此参数方程代入2240x y y +-=中，化简可得230t -=，显然0∆>．设,M N 所对应的参数分别为1t ，2t，则12123t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩．∴()2222212121228PM PN t t t t t t +=+=+-=．【名师点睛】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程t 的几何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知曲线l 的参数方程为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设1(2)P ，．直线l 与曲线C 交于点A B ，．求·PA PB 的值． 【答案】（1）22(2)(2)8x y -+-=；（2）7．【解析】（1）由4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4cos 4sin ρθθ=+，∴24cos 4sin ρρθρθ=+，又cos sin x y ρθρθ==，，∴2244x y x y +=+即曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=．（2）将325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入C 的直角坐标方程，得229418255t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，∴28705t t +-＝， 设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，，∴127t t =-．则12·7PA PB t t ==． 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于常考题型．3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()106ρθπ++=．若直线l 与曲线C 相切． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成MON △，且满足6MON π∠=，求M O N △面积的最大值．【答案】（1）4sin()3ρθπ=+；（2）2．【解析】（1）由题意可知，直线l20y -+=．曲线C是圆心为)，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C相切可得2r ==．可知曲线C的直角坐标方程为(()2214x y +-=．所以曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3ρθπ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N ρθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（10ρ>，20ρ>，233θππ-<<）． 1211sin 264MON S OM ON ρρπ==△24sin sin 2sin cos 32θθθθθππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2θθ=++2sin 23θπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当12θπ=时，MON △面积的最大值为2． 【名师点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，考查了极坐标系下三角形的面积公式，考查了三角函数的最值问题，属于中档题．4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标缩短2C ，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4sin()103ρθπ++=． （1）求曲线2C 的极坐标方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 为曲线3C ：2213y x +=上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）2C ：23cos 04ρρθ--=，l：210y ++=；（2）14+． 【解析】（1）曲线1C的参数方程为12cos x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），根据图象变换可得曲线2C 的参数方程为1cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（α为参数）， 消去方程中的α可得普通方程为22304x y x +--=， 将222,cos x y x ρρθ+==代入上式得23cos 04ρρθ--=．所以曲线2C 的极坐标方程23cos 04ρρθ--=．直线l的极坐标方程为14sin 102ρθθ⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭，即2sin cos 10ρθθ++=，将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式，得210y ++=， 所以直线l的直角坐标方程为210y ++=． （2）设()cos P αα为曲线3C 上任一点，则点P 到直线l的距离d ==， ∴当sin 14απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d∴点P 到直线l． 【名师点睛】本题考查各种方程间的相互转化，在进行极坐标和直角坐标间的转化时，要注意转化公式在解题中的灵活应用．参数方程的建立便于点的坐标的选取，利用参数方程求点到直线的距离等提供了新的解题思路．5．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；（2）若P Q ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标．【答案】（1）40x y +-=，2C的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．（2）31,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】（1）由曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），消去t ，得40x y +-=，由ρ=，()2212sin 3ρθ∴+=即2222sin 3ρρθ+=，22223x y y ∴++=，即2213x y +=，2C ∴的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．（2）设曲线2C 上动点为Q),sin ϕϕ，则点Q 到直线1C 的距离：d=， ∴当sin 13ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即6ϕπ=时，d，即PQ，3621sin 62x y π⎧==⎪⎪∴⎨π⎪==⎪⎩，31,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．【名师点睛】本题考查了直角坐标方程，参数方程，及极坐标方程间的转化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了利用三角函数求最值，属于基础题．6．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E ．（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN △的面积．【答案】（1）2214x y +=；（2）85． 【解析】（1）依题意，E 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=．（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π， 所以l的参数方程为222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +，联立22,22,21,4x t y t x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=，(245240∆=-⨯⨯>，所以122t t +=MN =，所以118sin 2242525OMN S MN MO π=⋅⋅=⨯⨯=△． 【名师点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题．7．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程为3()4θρπ=∈R ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P ，求OP 的值． 【答案】（1）2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）OP = 【解析】（1）∵曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），∴所求方程为222(1)(1)2x y ++-=，∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴22cos 2sin 2ρρθρθ+-=， ∴曲线C的极坐标方程为2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．（2）联立34θπ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得220ρ--=， 设()1,M ρα，()2,N ρα，则12ρρ+=，由12||2OP ρρ+=，得OP =【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，普通方程与及坐标方程的互化，利用极径的几何意义求弦长，属于中档题．8．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）直线l 的普通方程10x y --=，曲线C 的直角坐标方程为22440x y +-=；（2）85．【解析】（1）由2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程10x y --=． 由()222cos 4sin 4ρθθ+=，得曲线C 的直角坐标方程为22440xy +-=．（2）将直线l的参数方程为2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入22440x y +-=，得2580t ++=．则125t t +=-，1285t t =．∴12AB t t =-=5==， 1285PA PB t t ⋅==．所以AB的值为5，定点P 到A ，B 两点的距离之积为85．【名师点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，参数方程转化为普通方程，直线的参数方程． 9．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，其中a 为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）B 为圆C 上一点，且B 点的极坐标为()000,,,26ρθθππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，射线OB 绕O 点逆时针旋转π3，得射线OA ，其中A 也在圆C 上，求OA OB +的最大值． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）【解析】（1）1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩2222(1)120x y x y x ⇒-+=⇒+-=， 由222,cos ,x y x ρρα=+=可得圆C 的极坐标方程2cos ρθ=．（2）由题意可知：10(,)6A ρθπ+，所以0002cos 2cos 36OA OB θθθππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,26θππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0()(,)633θπππ+∈-01cos()(,1]62θπ⇒+∈，从而OA OB +最大值为【名师点睛】本题考查了把圆的参数方程化成普通方程再化为极坐标方程问题．考查了在极坐标下，利用三角恒等变换求两极径之和最大值问题，考查了运算能力．10．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为32cos (2sin x y ααα=+=⎧⎪⎨⎪⎩为参数）． （1）写出C 的普通方程，求C 的极坐标方程；（2）若过原点的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 中点D 的极坐标为03ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求D 的直角坐标．【答案】（1）226170x y x +--+=，26cos sin 170ρρθθ--+=；（2）94⎛ ⎝⎭． 【解析】（1）C 的普通方程()(2234x y -+-=，∴226170x y x +--+=，C的极坐标方程26cos sin 170ρρθθ--+=；（2）由已知得直线l 的极坐标方程为π3θ=，代入26cos sin 170ρρθθ--+=，得29170ρρ-+=，∴294170∆=-⨯>，设12ππ33A B ρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则129ρρ+=， ∵D 是AB 中点， ∴120922ρρρ+==，∴9π99πcos sin 234234D D x y ====，， ∴D的直角坐标为94⎛ ⎝⎭． 【名师点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程间的转化和应用，属中档题．11．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 的直角坐标为()1,0，直线l的参数方程为12x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求11MA MB+的值． 【答案】（1）10x y --=和24y x =．（2）1【解析】（1）将12x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩中的参数t 消去，得：10x y --=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 4cos ρθθ=，得24y x =． ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为：10x y --=和24y x =．（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，得280t -=，设A 、B 两点对应的参数为1t 、2t ，则1MA t =，2MB t =，且12t t +=128t t =-． ∴12128t t t t +=-==，∴121111MA MB t t +=+121212121t t t t t t t t +-===． 【名师点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学】在平面直角坐标xOy 中，直线l 的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，若16AB =，求a 的值．【答案】（10x y -=，24y x =；（2）1a =．【解析】（1）∵直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）， 消去参数t 得l的普通方程为：)y x a =-0x y --=．∵24cos sin θρθ=，∴2sin 4cos ρθθ=即22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =． 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）法一：将直线l的参数方程代入曲线中得2160t a --=，∴121264(3)0316a a t t t t a ∆=+>⇒>-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩， ∴12||16AB t t =-===，解得1a =．法二：将)y x a =-代入曲线24y x =， 化简得：222(6)0x a x a -++=，∴1221264(3)032(6)a a x x a x x a ∆=+>⇒>-⎧⎪+=+⎨⎪=⎩∴||163AB ====，解得1a =． 【名师点睛】直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．13．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=．（1）求椭圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(1,)2π，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．【答案】（1）22132x y +=，1x y +=；（2． 【解析】（1）椭圆C 的普通方程为22132x y +=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入整理得：2222sin 60ρρθ+-=， ∴椭圆C 的极坐标方程为2222sin 60ρρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l 的直角坐标方程为：1x y +=； （2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，点1,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1P ，它在直线l 上． 设直线l的参数方程为212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入22132x y+=，得222316⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2560t +-=，所以125t t +=-，1265t t ⋅=-，由直线参数方程的几何意义可得：1212PA PB t t t t +=+=-==． 【名师点睛】本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程互化，还考查了直线参数方程及参数的几何意义应用，考查了韦达定理及计算能力，属于中档题．14．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程； （2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）7-．【解析】（1）∵曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程224x y x +=，即()2224x y -+=．∴曲线D 的直角坐标方程为()2224x y ++=． （2）由（1）设sin 3ρθ=-，[)0,2α∈π，直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的直角坐标方程分别为3y =-，2x =， ∴12sin 3d α=+，()2222cos 42cos d αα=--+=-，∴122sin 342cos 74d d αααπ⎛⎫+=++-=+- ⎪⎝⎭，∴12d d +的最小值为7-．【名师点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到两直线的距离和的最小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，（t 为参数，0t ≥），在以O 为原点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ，3C 的极坐标方程为242cos 05ρρθ--=，()7cos sin 5ρθθ+=． （1）判断2C ，3C 的位置关系，并说明理由； （2）若()3tan 04αα=≤≤π，1C 分别与2C ，3C 交于M ，N 两点，求MN ． 【答案】（1）圆2C 与直线3C 相交；（2）1． 【解析】（1）由224:2cos 05C ρρθ--=，可得224205x y x +--=，即2C 是圆心为()10，的圆； 又()37:cos sin 5C ρθθ+=可得705x y +-=，即3C 是一条直线， 圆心()10，到直线3C的距离d ==<，即d r <， 所以圆2C 与直线3C 相交．（2）由()3tan 04αα=≤<π，有3sin 5α=，4cos 5α=， 由()2042cos 05θαρρρθ⎧=≥⎪⎨--=⎪⎩，，得284055ρρ--=，解得12ρ=，225ρ=-（舍去）， 由()()07cos sin 5θαρρθθ⎧=≥⎪⎨+=⎪⎩，，，得347555ρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得31ρ=，故131MN ρρ=-=． 【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通直角坐标方程的互化，考查了极径的应用，属于中档题．。
