1.（2023.营口24题）在平行四边形ABCD中，∠ADB=90°,点E在CD 上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG, ∠FED=∠ADG，ADBD =DG EF=k.（1）如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系________；（2）如图2，当k=√(3)时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系,并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值2.（2023.本溪铁岭辽阳25题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G.（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系；（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=√2BC；（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值.3.(2023.大连25题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质。
已知AB=AC，∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折，同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB.”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长.”补足探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A>90°，△BDE由△ABE翻折得到.（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4，CD=3，求BE的长.问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以问题进一步拓展.问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°，AB=AC=BD=4，2∠D=∠ABD.若CD=1，则求BC的长.4.(2023.牡丹江26题)平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF.（1）当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图1，求证：AE+EC=BF；（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图2，当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图3，请猜想并直接写出线段AE，EC,BF的数量关系；（3）在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=______.5.（2023.贵州省25题）如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上.（1）【动手操作】如图2，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为______度；（2）【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD将于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.6.(2023.沈阳24题)如图1.在平行四边形纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将平行四边形ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C`，D`，射线C`E与射线AD将于点F.（1）求证：AF=EF；（2）如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______;（3）如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM 交C`D`于点N，连接AN，EN，求△ANE的面积。
2020中考数学冲刺专题：几何探究与证明（含答案）1.如图①，已知在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF⊥BD 交BC于点F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG.第1题图(1)求证：EG＝CG；(2)将图①中△BEF绕点B逆时针旋转45°，则点F落在对角线BD上，如图②，取DF中点G，连接EG，CG.问EG和CG相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由；(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，问线段EG和CG有何关系？(请直接写出答案)(1)证明：∵在正方形ABCD中，∴∠BCD＝90°.∵EF⊥BD，∴∠FED＝90°. ∵G为DF中点，∴EG＝12DF，CG＝12DF.∴EG＝CG；(2)解：EG＝CG.证明：如解图①，延长EF交CD于点H，连接GH，第1题解图①∵在正方形ABCD中，∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠EBF＝12∠ABC＝45°.∵EF⊥AB，∴∠FEB＝90°，∴∠EFB＝90°－∠EBF＝45°，∴∠EBF＝∠EFB，∴BE＝FE.∵∠BCD＝∠ABC＝∠BEF＝90°，∴四边形EBCH是矩形，∴HC＝EB＝EF，∠FHC＝90°，∴∠FHD＝180°－∠FHC＝90°. ∵CD∥EB，∴∠HDF＝∠EBF＝45°，∴∠DFH＝90°－∠HDF＝45°，∴∠HDF＝∠DFH，∴HD＝FH.∵G为DF中点，∠DHF＝45°，∴∠DHG＝12∴∠GHC＝180°－∠DHG＝135°.∵∠EFG＝180°－∠DFH＝135°，∴∠GHC＝∠EFG，∵在Rt△DHF中，G为DF中点，∴GH＝12DF＝GF，∴△EFG≌△CHG(SAS)，∴EG＝CG；(3)解：EG＝CG，EG⊥CG.【解法提示】如解图③，理由如下：第1题解图②过点F作CD的平行线并延长CG交于点M，连接EM、EC，过点F作FN 垂直于AB于点N，∵G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，又∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∴∠EFM＝180°－45°－∠BFH＝135°－∠BFH，∠EBC＝∠EBF＋∠FBH＝45°＋90°－∠BFH＝135°－∠BFH，∴∠EFM＝∠EBC，∴△EFM≌△EBC(SAS)，∴∠FEM＝∠BEC，EM＝EC，∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG.2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作射线AP⊥AB，点D是线段AC上一动点(不与点A、C重合)，连接BD，过点D作DE⊥BD，交射线AP于点E.(1)如图①，当∠BAC＝45°时，则线段AE与线段CD之间的数量关系为________；(2)如图②，当∠BAC＝30°时，猜想线段AE与线段CD之间的数量关系，并说明理由；(3)当∠BAC＝α时，直接写出线段AE与线段CD的数量关系(用含α的三角函数表示)．第2题图解：(1)AE＝2CD；【解法提示】如解图①，在BC上取一点G，使AD＝BG，连接DG，∵∠BAC＝45°，∠ACB＝90°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∴AC－CD＝BC－BG，即CD＝CG，∴△CDG是等腰直角三角形，∴DG＝2CD，∠DGC＝45°，∴∠DGB＝135°，∵AP⊥AB，∴∠BAP＝90°，∴∠DAE ＝90°＋45°＝135°，∴∠DAE ＝∠DGB ，∵DE ⊥DB ，∴∠EDB ＝90°，∴∠EDA ＋∠BDC ＝90°，∵∠BDC ＋∠DBC ＝90°，∴∠EDA ＝∠DBC ，∴△EAD ≌△DGB (ASA)，∴AE ＝DG ，∴AE ＝2CD ；(2)猜想：AE ＝2CD ，理由是：如解图②，过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，则∠FDC ＝∠BAC ＝30°，AD CD ＝BF CF ，∴AD BF ＝CD CF ，∵AP ⊥AB ，DE ⊥BD ，∴∠BAP ＝∠BDE ＝90°，∵∠ADE ＋∠BDE ＋∠BDC ＝180°，∴∠ADE ＋∠BDC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∠FDC ＝30°，∴∠DBC ＋∠BDC ＝90°，CF ＝12DF ，∴∠ADE ＝∠DBC ，∵∠DAE ＝∠BAC ＋∠BAP ，∠BFD ＝∠FDC ＋∠ACB ，∴∠DAE ＝∠BFD ，∴△DAE ∽△BFD ，∴AD BF ＝AE FD ，∴CD CF ＝AE FD ，∴DF CF ＝AE CD ，∴AE CD ＝2，即AE ＝2CD ；(3)CD ＝AE ·sin α，【解法提示】如解图③，过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，则∠FDC ＝∠BAC＝α，AD CD ＝BF CF ，∴AD BF ＝CD CF ，∵AP ⊥AB ，DE ⊥BD ，∴∠BAP ＝∠BDE ＝90°，∵∠ADE ＋∠BDE ＋∠BDC ＝180°，∴∠ADE ＋∠BDC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∠FDC ＝α，∴∠DBC ＋∠BDC ＝90°，sin ∠FDC ＝sin α＝CF DF ，∴∠ADE ＝∠DBC ，∵∠DAE ＝∠BAC ＋∠BAP ，∠BFD ＝∠FDC ＋∠ACB ，∴∠DAE ＝∠BFD ，∴△DAE ∽△BFD ，∴AD BF ＝AE FD ，∴CD CF ＝AE FD ，∴CD AE ＝CF FD ＝sin α，∴CD ＝AE ·sin α.第2题解图3.已知在正方形ABCD 中，点E 在直线AB 上，点F 在直线BC 上，连接DE 、DF ，∠EDF ＝45°.(1)如图①，点E ，点F 分别在线段AB ，BC 上时，直接写出AE ，CF ，EF 的数量关系 ；(2)如图②，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，求AE ，CF ，EF 的数量关系；(3)如图③，在(2)的条件下，若AE＝2AB＝8，求EF的长．第3题图解：(1)EF＝AE＋CF.【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如解图①：延长BA，使AM＝CF，且AD＝CD，∠C＝∠MAD，∴△AMD≌△CFD(SAS)，∴∠ADM＝∠CDF，DM＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE＋∠FDC＝45°，∴∠ADM＋∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠FDE，且DM＝DF，DE＝DE，∴△EDF≌△EDM(SAS)，∴EF＝EM，∵EM＝AM＋AE＝AE＋CF，∴EF＝AE＋CF；第3题解图①第3题解图②(2)如解图②：在AB上截取AM＝CF，∵AD＝CD，AM＝CF，∠A＝∠DCF＝90°，∴△ADM≌△CDF(SAS)，∴DM＝DF，∠ADM＝∠CDF，∵∠ADM＋∠MDC＝90°，∴∠CDF＋∠MDC＝90°，即∠MDF＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠EDF＝∠MDE＝45°，且DM＝DF，DE＝DE，∴△MDE≌△FDE(SAS)，∴EF＝EM，∵AE＝AM＋ME，∴AE＝CF＋EF；(3)∵AE＝2AB＝8，∴AB＝BC＝BE＝4，∵AE＝CF＋EF，∴CF＝8－EF，在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，∴EF2＝16＋(4＋8－EF)2，∴EF＝203.4. 在菱形ABCD中，P为直线AD上的点，Q为直线CD上的点，分别连接PC，PQ，且PC＝PQ.(1)若∠B＝60°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图①，证明：DQ＋PD＝AB；(2)若∠B＝60°，点P在线段DA的延长线上，点Q在线段CD上，如图②，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系，并给予证明；(3)若∠B＝120°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图③，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系？并给予证明．第4题图(1)证明：如解图①，在CD上取CH＝DQ，连接PH，∵PC＝PQ，∴∠PCQ＝∠PQC，∵CH＝DQ，∴△PCH≌△PQD(SAS)，∴PH＝PD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB，∠PDC＝∠B＝60°，∴△PHD是等边三角形，∴PD＝HD，∴PD＋DQ＝DH＋CH＝CD＝AB；(2)解：猜想PD－DQ＝AB.证明：如解图②，延长CA到点M，使得AM＝AP，连接PM. ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠CAD＝∠P AM＝60°，∴△P AM是等边三角形，∴AM＝PM，∠M＝∠ACD＝60°，∴PM∥CD，∴∠PCD＋∠CPM＝180°，∵PC＝PQ，∴∠PCQ＝∠PQC，∵∠PQC＋∠PQD＝180°，∴∠CPM＝∠PQD，∴△PCM≌△QPD(AAS)，∴CM＝PD，PM＝DQ＝AM，∵CM＝AC＋AM＝AB＋DQ，∴PD－DQ＝AB；(3)解：猜想：DQ－PD＝AB.证明：如解图③，在DQ上截取DM＝DP，连接PM. ∵∠B＝∠ADC＝120°，∴∠PDM＝60°，∴△PDM是等边三角形，∴PD＝PM，∠PMC＝∠PDQ＝60°，∵PC＝PQ，∴∠PCM＝∠Q，∴△PCM≌△PQD(AAS)，∴CM＝DQ，∴CD＋DM＝DQ，∴AB＋PD＝DQ，即DQ－PD＝AB.第4题解图5.在△ABC 中，已知AB ＞AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 在DC 的延长线上，且DE BD ＝k ，过点E 作EF ∥AB 交AC 的延长线于点F .(1)如图①，当k ＝1时，求证：AF ＋EF ＝AB ；(2)如图②，当k ＝2时，直接写出线段AF 、EF 、AB 之间满足的数量关系：________；(3)如图③，当DE BD ＝k 时，请猜想线段AF 、EF 、AB 之间满足的数量关系(含k )，并证明你的结论．第5题图(1)证明：如解图①，延长AD 、EF 交于点G ，当k ＝1时，DE ＝BD ，∵EF ∥AB ，∴∠BAD ＝∠EGD ，在△ABD 与△GED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠EGD ∠BDA ＝∠EDG BD ＝ED，∴△ABD ≌GED (AAS)，∴AB ＝GE ，又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴∠FGD ＝∠DAC ，∴AF ＝GF ，∵GF ＋EF ＝GE ，∴AF ＋EF ＝AB;(2)解：AF＋EF＝2AB.【解法提示】如解图②，延长AD、EF交于点G，当k＝2时，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，又∵∠BDA＝∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴GEAB ＝DEDB＝2，即GE＝2AB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠FGD＝∠DAC，∴AF＝GF，∵GF＋EF＝GE，∴AF＋EF＝2AB；(3)解：猜想：AF＋EF＝kAB.证明：如解图③，延长AD、EF交于点G，当DEBD＝k时，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，又∵∠BDA＝∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴GE AB ＝DEBD＝k，即GE＝kAB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠FGD＝∠DAC，∴AF＝GF，∵GF＋EF＝GE，∴AF＋EF＝kAB.第5题解图类型二两条线段之间的数量关系与位置关系证明6. 如图，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，DF.(1)如图①，点D在AC上，延长DF，交BC于点G，请判断线段CF，DF 有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由；(2)将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置，延长DF至G使GF＝DF，DG与AB交于点O，连接BG，CG，DC，请判断(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．第6题图解：(1)DF＝CF，DF⊥CF；理由：∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF.∵F为BE中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△GBF(AAS)，∴DE＝GB，DF＝GF.∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC ＝BC ，∴AC －AD ＝BC －GB ，∴DC ＝GC .∵∠ACB ＝90°，∴△DCG 是等腰直角三角形，∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF ，DF ⊥CF ；(2)(1)中的结论仍然成立，理由是：在△FDE 和△FGB 中，⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝FG ∠DFE ＝∠GFB EF ＝FB，∴△FDE ≌△FGB (SAS)，∴∠DEF ＝∠GBF ，DE ＝GB ，∴BG ∥DE ，如解图，延长DE 交BC 于点M ，∵DE ∥BG ，∴∠CBG ＝∠DMB ，∵∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∴∠DAC ＋∠DMC ＝180°，∴∠DMB ＝∠DAC ＝∠CBG ，在△CAD 和△CBG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BG ∠DAC ＝∠GBC AC ＝BC，∴△CAD ≌△CBG (SAS)，∴CD ＝CG ，∠DCA ＝∠GCB ，∴∠DCG ＝∠BCG ＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACB ＝90°，∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF ，DF ⊥CF .第6题解图7. 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上(与点CD不重合)，连接AE，平移△ADE使点D移动到点C得到△BCF，过点F作FG⊥BD 于点G，连接AG，EG.第7题图(1)如图①，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系和位置关系；(2)如图②，若点E在线段CD的延长线上其余条件不变时，猜想(1)中的结论是否仍然成立，请你给出证明；(3)若点E 在线段DC 的延长线上且∠AGF ＝120°，正方形ABCD 的边长为2，直接写出DE 的长度．(1)解：AG ＝EG ，AG ⊥EG ，理由如下：由平移得EF ＝CD ＝AD ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，∵FG ⊥BD ，∴∠DGF ＝90°，∴∠GFD ＋∠CDB ＝90°，∴∠DFG ＝45°，∴GD ＝GF ，在△AGD 和△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝EF ∠ADG ＝∠EFG DG ＝FG，∴△AGD ≌△EGF (SAS)，∴AG ＝EG ，∠AGD ＝∠EGF ，∴∠AGE ＝∠AGD ＋∠DGE ＝∠EGF ＋∠DGE ＝90°，∴AG ⊥EG ；(2)解：(1)中结论仍然成立．证明：由平移得EF ＝CD ＝AD ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，∵FG ⊥BD ，∴∠DGF ＝90°，∴∠GFD ＋∠CDB ＝90°，∴∠DFG ＝45°，∴GD ＝GF ，在△AGD 和△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝EF ∠ADG ＝∠EFG DG ＝FG，∴△AGD ≌△EGF (SAS)，∴AG ＝EG ，∠AGD ＝∠EGF ，∴∠AGE＝∠AGD－∠DGE＝∠EGF－∠DGE＝90°，∴AG⊥EG；(3)DE＝2 3.【解法提示】同(1)可得，AG＝EG，AG⊥EG，∴∠GEA＝45°，∵∠AGF＝120°，∴∠AGB＝∠EGF＝30°，又∵∠GFD＝45°，∴∠CEG＝∠EFG＋∠EGF＝75°，∴∠AED＝∠CEG－∠GEA＝30°，在Rt△ADE中，AD＝2，∴DE＝2 3.第7题解图8.在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在边AD上取点E，使AE＝AB，连接CE，过点E作EF⊥CE，与直线AB交于点F.猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为________；探究：如图②，当点F 在边AB 的延长线上时，EF 与边BC 交于点G .判断线段AF 与DE 的大小关系，并加以证明；应用：如图②，若AB ＝2，AD ＝5，利用探究得到的结论，求线段BG 的长．第8题图解：猜想：AF ＝DE ；【解法提示】∵∠CEF ＝90°，∴∠AEF ＋∠CED ＝90°，∵∠AFE ＋∠AEF ＝90°，∴∠AFE ＝∠CED ，∠AEF ＝∠DCE ，∵AE ＝AB ，AB ＝CD ，∴AE ＝CD ，∴在△AEF和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEF ＝∠DCE ∠AFE ＝∠EDC AE ＝CD，∴△AEF ≌△DCE ，∴AF ＝DE ；探究：AF ＝DE ，证明：∵∠A ＝∠FEC ＝∠D ＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE ，在△AEF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D AE ＝CD∠AEF ＝∠DCE， ∴△AEF ≌△DCE (ASA)，∴AF ＝DE .应用：∵△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD ＝AB ＝2，AF ＝DE ＝3，FB ＝F A －AB ＝1，∵BG ∥AD ，∴BG AE ＝FB F A ，∴BG 2＝13，∴BG ＝23.9 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点(点D 不与点B 、C 重合)，以AD 为边作等边△ADE (顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列)，连接CE .(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE，②AC＝CE＋CD；第9题图(2)如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE ＋CD是否成立？若不成立请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系并说明理由；(3)如图③，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．(1)证明：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAE AD ＝AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS)，∴BD ＝CE ；②∵BC ＝BD ＋CD ，AC ＝BC ，BD ＝CE ， ∴AC ＝CE ＋CD ；(2)解：AC ＝CE ＋CD 不成立，AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是AC ＝CE －CD . 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°， ∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAE AD ＝AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS)，∴BD ＝CE ，∵BC ＝BD －CD ，∴BC ＝CE －CD ，∵AC ＝BC ，∴AC ＝CE －CD ；(3)解：AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是AC ＝CD －CE .【解法提示】∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∵∠DAE ＝∠BAC ＝60°，∴∠DAB ＝∠EAC ，∴在△ADB 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ∠DAB ＝∠EAC AB ＝AC，∴△ADB ≌△AEC ，∵BD ＝CE ，∵CD ＝BD ＋BC ，∴BC ＝CD －CE ，∴AC ＝CD －CE .10. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点(点D 不与B 、C 重合)，以AD 为边作∠DAF ＝60°，在射线AF 上截取点F ，使AF ＝AD ，过点D 作DE ∥AF ，过点F 作EF ∥AD ，DE 、EF 交于点E ，连接CF ，(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CF；②AC＝CF＋CD；(2)如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．第10题图(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠DAF＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD 和△CAF 中⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAF AD ＝AF，∴△BAD ≌△CAF (SAS)，∴CF ＝BD ，∴CF ＋CD ＝BD ＋CD ＝BC ＝AC ，即①BD ＝CF ，②AC ＝CF ＋CD ；(2)解：AC ＝CF ＋CD 不成立，AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC ＝CF －CD ，理由是：由(1)知：AB ＝AC ＝BC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝60°， ∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAF ＋∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAF AD ＝AF，∴△BAD ≌△CAF (SAS)，∴BD ＝CF ，∴CF －CD ＝BD －CD ＝BC ＝AC ，即AC ＝CF －CD ；(3)解：AC ＝CD －CF .【解法提示】理由是：∵∠BAC ＝∠DAF ＝60°， ∴∠DAB ＝∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC∠DAB ＝∠F AC AD ＝AF，∴△BAD ≌△CAF (SAS)，∴CF ＝BD ，∴CD －CF ＝CD －BD ＝BC ＝AC ，即AC ＝CD －CF .。
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）.3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）APCDB D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 AFGCEBOD4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．BF求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值． A P CB P A D CB C B D A F PD E CB A APCB3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
