苏科版八年级下册数学第12章 二次根式第1节《二次根式(1)》课件

二次根式（第一课时）1教学内容苏科版《义务教育教科书﹒数学》八年级下册第十二章第一节“二次根式（第一课时）”。

二次根式是继整式与分式之后，是初二数学的最后一章，属于数与代数的范围有关的式子，是学习锐角三角函数、一元二次方程和二次函数等内容的重要基础，与已学的实数、整式和勾股定理密切相关。

在各地中考中，主要以选择题，填空题、计算题的形式出现，重点考查二次根式的有关概念，性质及运算，要特别注意其中的隐含条件及化简求值等。

2011年版《义务教育数学课程标准》也提出：了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。

2教学目标（1）在理解二次根式与数的开平方运算之间联系的基础上，知道二次根式的概念，体会二次根式是数、代数式及其运算的发展；（2）会运用不等式的知识探究二次根式有意义的条件；（3）掌握二次根式的性质：当a≥0时，（a）2＝a. 并能运用这一性质进行简单的计算；（4）通过概念、性质的探究，渗透从特殊到一般的数学思想，培养学生的符号意识。

3教学重点、难点重点：二次根式有意义的条件及二次根式的性质。

难点：运算中的符号问题。

4 教学过程设计问题情境问题1：你能把上面的表格补充完整吗问题2：你能给4、b2、b2＋2b＋1、3、8、s、s＋1这些式子分分类吗问题3：像3、8、s、s＋1这样的式子有什么共同特征预案：学生可能会有两种回答：其一是4、3、8分为一类，b2、b2＋2b＋1、s、s＋1分为一类；另一种是4、b2、b2＋2b＋1分为一类，3、8、s、s＋1分为一类。

根据学生的回答合理追问，你是如何分类的引导学生思考，哪种分类更符合今天的需要概念生成二次根式概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，其中，a叫被开方数．补充：这里有两点补充：①a≥0；②a≥0，为什么会有这样的结果，最本质的原因是算术平方根的定义。

概念辨析活动1 辨一辨：（1）35（2）－(－3)（3）4（4）32（5）xy（x、y异号）（6）b2＋1（7）t＋2（8）－x2问题：上面哪些式子是二次根式为什么活动2 练一练：要使下列各式有意义，字母应是怎样的实数（1）t＋5（2）2m－5（3）－3b＋5（4）x2＋2（5）－y2－1（6）13－2x探究性质活动1 算一算：（1）（12）2 （2）（23）2 （3）（3）2 （4）（错误!）2（1）你是如何思考的（2）请你再写5个类似的例子。

−13
2
+ −13 ＝11 + 13＝24．
课堂练习
用代数式表示：
10．
（1）面积为 S 的圆的半径；
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 2∶3 的长方形的长和宽．
解：（1）设圆的半径为 r，则
所以 S＝πr²，则 r ＝±
思考：当a＜0时， a 2 = -a ？
a(a＜0) 平方
运算
-2
-0.1
2

...3
a2
4
算术平
方根
0.01
4
...9
观察两者有什么关系？
a2
2
0.1
2
...3
探究新知
的性质：
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典型例题
例2 化简：
1
3
2 4 ；
3
3
探究新知
( a ) 2 ( a 0) 的性质：
2
(
a
)
一般地，
＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 a 有
意义的前提条件.
典型例题
例1 计算：
2
(2)( 5) 2
3
1 2
(1)( )
2
(2)可以用到幂
的哪条基本性
质呢？
”．
典型例题
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32;
(2) 6;
(3)
(5)
xy x, y异号 ; (6)
12;

2.化简：
9
2
3. 3表示 __________
a 表示 ___________
a (a≥0)

a a
-a(a＜0)
2
获取新知
探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) 4 25=
10
5
2___×___=____;
(2) 9 16
3
4
12
___×___=____;
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 a 2 =|a|
把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 .
针对练习
化简：
(1) 49 121;
2 3
(4) 16ab c .
A. 3×2 3=6 3
B.5 3×5 2=5 6
C.4 3×2 2=6 5
D.4 3×2 2=8 6
3.下列各式化简后的结果为3 2的是( C )
A. 6
B. 12
C. 18
D. 36
达标检测
4. 16 × 9=_____， 9 × 125 =______.
5. 128=______， 98=______， (−4) × (−9)=______.
(1)
1
×
2
32；
(3)6 8×（﹣3 2）
(2)4 ×
1
；

(4)3 5×2 10．
【点睛】当二次根式根号外的因数不为1时，
可类比单项式乘单项式的法则计算，
即 m a n b mn ab a 0, b 0

(2)利用上面的规律，计算：
21＋1＋
1 3＋
＋ 2
1 4＋
3＋…＋
1 2 025＋
； 2 024
【解】原式＝ (
2＋12)－( 12－1)＋(
3＋
3－ 2)(
2 3－
＋ 2)
(
4＋
4－ 3)(
3 4－
3)＋…＋(
2 025＋
2 025－ 2 024)(
2 024 2 025－
2 024)
＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3)＋…＋( 2 025－ 2 024)
∴1x＞1y＞0.∴x＜y.
7 [2023·苏州中学月考]观察下列一组等式，然后解答问题： ( 2＋1)( 2－1)＝1， ( 3＋ 2)( 3－ 2)＝1， ( 4＋ 3)( 4－ 3)＝1， ( 5＋ 4)( 5－ 4)＝1，….
(1)观察以上规律，请写出第n个等式： ___(__n_＋__1_＋____n_)(__n__＋__1_－___n_)_＝__1___(n为正整数)；
14＋
13>0，∴
1 15＋
14<
1 14＋
， 13
∴ 15－ 14＜ 14－ 13.
6 已知 x＝ n＋3－ n＋1，y＝ n＋2－ n，比较 x，y 的 大小：_____x_＜__y____．
【点拨】
1x＝
1 n＋3－
n＋1＝
n＋3＋ 2
n＋1，1y＝
1 n＋2－
＝ n
n＋2＋ 2
n .
∵ n＋3＋ n＋1＞ n＋2＋ n＞0，
与 2 99的大小．
【解】 100＋ 98－2 99＝( 100－ 99)－( 99－ 98)