2020年高考数学(文科)全国2卷高考模拟试卷(10)
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2020年高考数学（文科）全国2卷高考模拟试卷（10）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）已知全集I＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{3，4，5，6}，集合B＝{5，6，7，8}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{3，4，7，8} B．{3，4，5，6，7，8}
C．{1，2，9} D．{5，6}
2．（5分）若𝑧=𝑖2020+3𝑖1+𝑖，则z的虚部是（ ）
A．i B．2i C．﹣1 D．1
3．（5分）已知向量𝑎→=（1，2），𝑎→+𝑏→=（m，4），若𝑎→⊥𝑏→，则m＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
4．（5分）《九章算术．均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，上下人差均等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（ ）
A．43钱 B．73钱 C．83钱 D．103钱
5．（5分）已知𝛼∈(0，𝜋4)，a＝（sinα）sinα，b＝（sinα）cosα，c＝（cosα）sinα，则a，b，c的大小关系（ ）
A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a
6．（5分）直线x+y+a＝0与圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0有两个不同交点的一个必耍不充分条件是（ ）
A．﹣2＜a＜3 B．﹣1＜a＜3 C．﹣2＜a＜0 D．0＜a＜3
7．（5分）下列四个命题正确有（ ）个
（1）a∥b，b∥c⇒a∥c
（2）a⊥b，b⊥c⇒a∥c
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（3）a∥α，b⊂α⇒a∥b
（4）a∥b，b∥α⇒a∥α
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）直线l：x+√3y+m＝0与圆C：x2+y2﹣4x+1＝0交于A，B两点，若线段AB的长恰等于圆C的半径，则m值是（ ）
A．1 B．﹣5 C．1或﹣5 D．5
9．（5分）已知集合A＝{﹣1，1}，在平面直角坐标系xOy中，点集K＝{（x，y）|x∈A，y∈A}，在K中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆（x﹣2）2+（y+2）2＝10的内部的概率为（ ）
A．14 B．12 C．34 D．13
10．（5分）已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（ ）
A．√2 B．√3 C．√7 D．2√33
11．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，AB＝AD＝CD，BC∥AD，∠ABC＝60°，△PAB是等边三角形，若四棱锥P﹣ABCD体积的最大值9√3，则球O的表面积为（ ）
A．56π B．54π C．52π D．50π
12．（5分）函数𝑓(𝑥)={𝑙𝑛𝑥−𝑥2+2𝑥(𝑥＞0)4𝑥+1(𝑥≤0)的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知实数x，y满足约束条件{𝑥+𝑦−4≤0𝑥−2𝑦+2≥0𝑦≥0，则z＝x+2y的最大值为 ．
14．（5分）在等比数列{an}中，若a5+a7＝4（a1+a3），则𝑎6𝑎2= ．
15．（5分）已知a＝log223，b＝323，c＝2513，则a，b，c的大小关系是 ．
16．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）是f（x）的导函数，且f（2）＝3，f'（x）＜1，则不等式f（x）＞x+1的解集为 ．
三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
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17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB＝bsin𝐵+𝐶2．
（1）求A；
（2）若b+c＝2，求a取最小值时△ABC的面积S．
18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2√3，AC＝2√6，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC．
（1）求证：CD⊥平面PAB；
（2）若PA与平面ABC所成的角为𝜋4，求三棱锥P﹣ABC的体积．
19．（12分）某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是水养培育的品种．为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取500只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量（单位：个），制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产蛋量在[85，105]的频率为0.66．
（1）求a，b的值；
（2）估计麻鸭产蛋量的平均数和中位数（以各组区间的中点值代表该组的取值）．（所得结果保留整数）
（3）若以正常产蛋90个为标准，大于90个认为是良种，小于90个认为是次种．根据统计得出两种培育方法的2×2列联表如下，请完成表格中的统计数据，并判断是否有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关．
良种 次种 总计
旱养培育 160 260
水养培育 60
总计 340 500
附：K2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中n＝a+b+c+d．
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P（K2≥k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．（12分）已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知椭圆c：𝑥2𝑎2+𝑦23=1（a＞√10）的右焦点F在圆D：（x﹣2）2+y2＝1上，直线l：x＝my+3（m≠0交椭圆于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若𝑂𝑀→⊥𝑂𝑁→（O为坐标原点），求m的值；
（Ⅲ）设点N关于x轴的对称点为N1（N1与点M不重合），且直线N1M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
四．解答题（共2小题，满分10分）
22．（10分）已知曲线C的参数方程为{𝑥=2𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=𝑠𝑖𝑛𝛼（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）P，Q是曲线C上两点，若OP⊥OQ，求|𝑂𝑃|2⋅|𝑂𝑄|2|𝑂𝑃|2+|𝑂𝑄|2的值．
23．已知函数f（x）＝|x+t|+|x﹣1|﹣2，t∈R．
（1）当t＝1时，解不等式f（x）≥2；
（2）若不等式f（x）﹣t﹣2≥0恒成立，求实数t的取值范围．
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2020年高考数学（文科）全国2卷高考模拟试卷（10）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）已知全集I＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{3，4，5，6}，集合B＝{5，6，7，8}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{3，4，7，8} B．{3，4，5，6，7，8}
C．{1，2，9} D．{5，6}
【解答】解：∵全集I＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{3，4，5，6}，集合B＝{5，6，7，8}，
∴A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，A∩B＝{5，6}，
∴∁I（A∩B）＝{1，2，3，4，7，8，9}，
∴由图象可知阴影部分对应的集合为（A∪B）∩∁I（A∩B）＝{3，4，7，8}，
故选：A．
2．（5分）若𝑧=𝑖2020+3𝑖1+𝑖，则z的虚部是（ ）
A．i B．2i C．﹣1 D．1
【解答】解：𝑧=𝑖2020+3𝑖1+𝑖=1+3𝑖1+𝑖=(1+3𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=2+𝑖，
∴z的虚部是1．
故选：D．
3．（5分）已知向量𝑎→=（1，2），𝑎→+𝑏→=（m，4），若𝑎→⊥𝑏→，则m＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【解答】解：∵向量𝑎→=（1，2），𝑎→+𝑏→=（m，4），∴𝑏→=（m﹣1，2），
若 𝑎→⊥𝑏→，则 m﹣1+2×2＝0，∴m＝﹣3，
故选：A．
4．（5分）《九章算术．均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，
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上下人差均等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（ ）
A．43钱 B．73钱 C．83钱 D．103钱
【解答】解：设甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列{an}，公差为d．
由题意可得：a1+a2＝a3+a4+a5，a1+a2+a3+a4+a5＝10，
∴2a1+d＝3a1+9d，2a1+d＝5，
联立解得：a1=83，d=−13．
∴a2=83−13=73钱．
故选：B．
5．（5分）已知𝛼∈(0，𝜋4)，a＝（sinα）sinα，b＝（sinα）cosα，c＝（cosα）sinα，则a，b，c的大小关系（ ）
A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【解答】解：∵a∈（0，𝜋4），
∴0＜sina＜cosa＜1，
∴y＝（sinα）x单调递减；
∴（sinα）sinα＞（sinα）cosα，
∴b＜a；
∵y＝xsinα单调递增，
∴（sinα）sinα＜（cosα）sinα；
∴a＜c；
∴c＞a＞b．
故选：A．
6．（5分）直线x+y+a＝0与圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0有两个不同交点的一个必耍不充分条件是（ ）
A．﹣2＜a＜3 B．﹣1＜a＜3 C．﹣2＜a＜0 D．0＜a＜3
【解答】解：依题意，圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2，
圆心（1，﹣2），半径𝑟=√2，
