2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(10)
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2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（10）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）
A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}
1−𝑡𝑖C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}
2．（5分）已知i为虚数单位，若复数𝑧=
1+𝑖在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值
范围为（）
A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）
3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（）
A．y＝x4
+2x
C．y＝2x﹣2
x﹣B．y＝2|x|
D．𝑦=𝑙𝑜𝑔
1|𝑥|−1
2
4．（5分）如图，已知F
1，F
2分别为双曲线C：𝑥2
𝑎
2−𝑦2
𝑏
2=1的左、右焦点，过F
2作垂直
于x轴的直线与双曲线C相交于A，B两点，若△F
1AB为等边三角形，则该双曲线的离
心率是（）
A．
√3B．√3
3C．
√2D．
√5
5．（5分）已知a＞0且a≠1，b＞0，则log
ab＞0是ab＞1的（）
A．充分而不必要条件
C．充要条件B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨
大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到
朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33
问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执
行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）
第1页（共22页）A．28B．56C．84D．120
7．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位相同），记该几何体的体积为V，则V＝（）
A．243
2B．243C．729
2D．729
8．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，
则函数g（x）＝Acos（φx+ω）图象的一个对称中心可能为（）
第2页（共22页）A．(−，
0)5
2B．(，
0)1
6C．(−，
0)1
2D．(−11
，
0)
6
9．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）
A．f（x）＝3x
+4×3x﹣
B．f（x）＝lgx+log
x10
D．𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥+4
𝑐𝑜𝑠𝑥C．𝑓(𝑥)=𝑥+4
𝑥
10．（5分）楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，
第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为（）
A．10B．15C．20D．24
11．（5分）焦点为F的抛物线C：y2＝8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则
当|𝑀𝐴|
|𝑀𝐹|取得最大值时，直线MA的方程为（）
B．y＝x+2
D．y＝﹣2x+2A．y＝x+2或y＝﹣x﹣2
C．y＝2x+2或y＝﹣2x+2
12．（5分）定义在R内的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）=
−𝑥
2+4𝑥，
2≤𝑥≤3
{
𝑥
2+2g（x）＝ax+1，对∀x
1∈[﹣2，0），∃x
2∈[﹣2，1]，使得g（x
2）＝f
，
3＜
𝑥＜
4
𝑥
（x
1），则实数a的取值范围为（）
1
1
A．（﹣∞，−
8]∪[，+∞）
81
1
B．[−
4，0）∪（0，]
8
C．（0，8]D．（﹣∞，−
4]∪[，+∞）
811
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知𝑎=(1，
𝜆)，
𝑏=(2，
1)，若向量2𝑎+𝑏
与𝑐=(8，
6)共线，则𝑎
在𝑏方向上
的投影为．
4𝑥−𝑦−5≤0
14．（5分）已知实数x，y满足{2𝑥+𝑦−4≥0
，则目标函数2x+y的最大值为，目
2𝑥−2𝑦+5≥0
标函数4x
2
+y2的最小值为．
15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB+btanA＝﹣2ctanB，且
a＝8，△ABC的面积为4
√3，则b+c的值为．
16．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣
BCD的外接球，BC＝3，AB＝2
√3，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的
截面，则所得截面圆面积的取值范围是．
第3页（共22页）→→
→→
→→→三．解答题（共5小题）
17．已知（1+x）+（1+x）2
+（1+x）3
+…+（1+x）n的展开式中x的系数恰好是数列{a
n}的
前n项和S
n．
（1）求数列{a
n}的通项公式；
2𝑛
（2）数列{b
n}满足𝑏
𝑛=
𝑎
𝑛，记数列{b
n}的前n项和为T
n，求证：T
n＜1．
𝑎
(2−1)(2
𝑛+1−1)𝑎
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC为正三角形，M为棱PA的中点，AB⊥AC，AC=
2BC，
平面PAB⊥平面PAC
（1）求证：平面ABC⊥平面PAC；
（2）若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为
﹣A的正弦值．√21
，求二面角Q﹣MC
71
19．2017年存节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600
元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒
中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个
红球，则打6折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折．
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒
中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单
优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更
合算．
𝑥
2𝑦
240
20．已知椭圆𝐶：
2+
2=1(𝑎＞
𝑏＞
0)的长轴长为6，且椭圆C与圆𝑀：
(𝑥−2)
2+𝑦
2=
9
𝑎
𝑏
第4页（共22页）的公共弦长为4
√10
．
3
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x
轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横
坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝2lnx﹣2mx+x2（m＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当m≥3
√2
时，若函数f（x）的导函数f′（x）的图象与x轴交于A，B两点，其横
2
坐标分别为x
1，x
2（x
1＜x
2），线段AB的中点的横坐标为x
0，且x
1，x
2恰为函数h（x）
＝lnx﹣cx
2﹣bx的零点．求证（x
1﹣x
2）h'（x
0）≥−
3+ln2．
四．解答题（共1小题）
𝑥=4+
2𝑡
22．已知直线l的参数方程为{（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半
√2
𝑦=
2𝑡
轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l与圆C交于A，B两点．
（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；
（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求△ABP的面积的最大值．
五．解答题（共1小题）
23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．
（1）求函数f（x）的值域M；
（2）若a∈M，试比较|a﹣1|+|a+1|，3
2𝑎√22
，−2𝑎的大小．
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第5页（共22页）2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（10）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）
A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}
【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，
∴A∩B＝{x∈N|1＜x＜5}＝{2，3，4}．
故选：C．
2．（5分）已知i为虚数单位，若复数𝑧=
1+𝑖在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值
范围为（）
A．[﹣1，1]
【解答】解：复数𝑧=B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）1−𝑡𝑖
1−𝑡𝑖(1−𝑡𝑖)(1−𝑖)1−𝑡𝑡+1
==−
i．
1+𝑖(1+𝑖)(1−𝑖)22
1−𝑡
＞
0
2
z在复平面内对应的点在第四象限，∴{
𝑡+1，解得﹣1＜t＜1．
−＜
0
2
则实数t的取值范围为（﹣1，1）．
故选：B．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（）
A．y＝x4
+2x
C．y＝2x﹣2
x﹣B．y＝2|x|
D．𝑦=𝑙𝑜𝑔
1|𝑥|−1
2
【解答】解：对于A，不是偶函数，不合题意；
对于B，x＜0时，函数递减，不合题意；
对于C，函数是奇函数，在（﹣∞，0）内单调递减，不合题意，
对于D，函数是偶函数，x＜0时，y＝﹣log
2（﹣x）﹣1，是增函数，符合题意，
故选：D．
4．（5分）如图，已知F
1，F
2分别为双曲线C：𝑥2
𝑎
2−𝑦2
𝑏
2=1的左、右焦点，过F
2作垂直
于x轴的直线与双曲线C相交于A，B两点，若△F
1AB为等边三角形，则该双曲线的离
心率是（）
第6页（共22页）
