例说中考一次函数问题

中考一次函数应用题

近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由

于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例，

也许对你有所帮助。

例 1 已知雅美服装厂现有 A 种布料 70 米，B 种布料 52 米，现计划用这两种布料生产 M，N两种型号

的时装共 80 套。已知做一套 M型号的时装需要 A 种布料 0. 6 米，B种布料 0. 9 米， 可获利润 45 元；做

一套 N型号的时装需要 A种布料 1. 1 米，B 种布料 0. 4 米，可获利润 50 元。若设生产 N种型号的时装

套数为 x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为 y 元。

（1）求 y 与 x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当 N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多

少？

例 2 某市电话的月租费是 20 元，可打 60 次免费电话（每次 3 分钟），超过 60 次后，超过部分每次

0. 13 元。

（1）写出每月电话费 y （元）与通话次数 x之间的函数关系式；

（2）分别求出月通话 50 次、 100 次的电话费；

（3）如果某月的电话费是 27. 8 元，求该月通话的次数。

例 3 荆门火车货运站现有甲种货物 1530 吨，乙种货物 1150 吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，

这列货车可挂 A、B两种不同规格的货厢 50 节，已知用一节 A 型货厢的运费是 0. 5 万元，用一节 B 型

货厢的运费是 0. 8 万元。

（1）设运输这批货物的总运费为 y （万元），用 A 型货厢的节数为 x（节），试写出 y 与 x之间的

函数关系式；

（2）已知甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，可装满一节 A 型货厢，甲种货物 25 吨和乙种货物 35

吨可装满一节 B型货厢，按此要求安排 A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。

1 / 20 专题一次函数中的动点问题与实际问题

【例题精讲】

题型一、角度问题

例1. 【2019·莆田市期末】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足√𝑚−6+（n-12）2=0．

（1）求直线AB的解析式及C点坐标；

（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；

（3）如图2，点E（0，-2），点P为射线AB上一点，且∠CEP=45°，求点P的坐标．

【答案】见解析.

【解析】

解：（1）∵√𝑚−6+（n-12）2=0，

∴m=6，n=12， 2 / 20 ∴A（6，0），B（0，12），

设直线AB解析式为y=kx+b，

则：b=12，6k+b=0，

解得：k=-2，b=12，

∴直线AB解析式为y=-2x+12，

∵直线AB点C（a，a），

∴a=-2a+12，

∴a=4，

∴点C坐标（4，4）．

（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图所示，

设直线CD解析式为y=12x+n，边点C（4，4）代入得到n=2，

即直线CD解析式为y=12x+2，

∴点D坐标（-4，0）．

（3）如图，过点C作CF⊥CE交直线EP于点F，

∵∠CEF=45°，

∴CE=CF， 3 / 20 过C作x轴垂线l，分别过F、E作FM⊥l，EN⊥l，

则△FMC≌△CNE，

则FM=CN=6，CM=EN=4，

即F点坐标为（-2,8），

由E(0,-2)，得直线EF的解析式为：52yx

联立52yx，y=-2x+12，得：

x=143，y=643，

即点P坐标为：（143，643）.

题型二、面积问题

例1. 【2019·高密市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．

一次函数

一、正比例函数的概念

一般地，形如y=kx

（k

是常数，k≠0

）的函数，叫做正比例函数，其中k

叫做正比例系数．

二、一次函数

1.一次函数的定义

一般地，形如y=kx+b(k

，b

为常数，且k≠0)

的函数叫做x

的一次函数.

特别地，当一次函数y=kx+b

中的b=0

时，y=kx

（k

是常数，k≠0

）．这时， y

叫做x

的正比例函数．

2.一次函数的一般形式

一次函数的一般形式为y=kx+b

，其中k

，b

为常数，k≠0

．

一次函数的一般形式的结构特征：（1

）k≠0

，（2

）x

的次数是1

；（3

）常数b

可以为任意实数.

3.注意

（1

）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.

（2

）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.

（3

）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b

（k≠0

）的形式.

三、一次函数的图象及性质

1．正比例函数的图象特征与性质

正比例函数y=kx

（k≠0

）的图象是经过原点（0

，0

）的一条直线．

k

的符号

函数图象

图象的位置

性质

k>0 图象经过第一、三象限 y

随x

的增大而增大

k <0 图象经过第二、四象限 y

随x

的增大而减小

2.一次函数的图象特征与性质

（1

）一次函数的图象

一次函数的图象

一次函数y=kx+b(k≠0)

的图象是经过点(0

，b)

和(

-b

k，0)

的一条直线

图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)

的图象可由正比例函数

y=kx(k≠0)

的图象平移得到；b>0

，

向上平移b

个单位长度；b<0

，向下平移|b|

个单位长度

图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象

时，只要取两点即可

（2

）一次函数的性质

函数

字母取值

图象

经过的象限

函数性质

y=kx+b

(k≠0) k>0

，b>0

一、二、三

y

随x

的增大而增大

k>0

，b<0

一、三、四

y=kx+b

(k≠0) k<0

，b>0

一、二、四

专题50 函数的应用

聚焦考点☆温习理解

1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．

2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；

(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；

(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；

(4)利用函数的性质解决问题；

(5)写出答案．

3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．

名师点睛☆典例分类

考点典例一、一次函数相关应用题

【例1】 (2015.陕西省，第21题，7分)（本题满分7分）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费。假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人。

（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y（元）与x（人）之间的函数

关系式；

（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，

帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。

【答案】（1）甲旅行社：x85.0640y=x544.

乙旅行社：当20x时，x9.0640y=x576.

当x>20时，20)-x0.75640209.0640y（=1920x480. （2）胡老师选择乙旅行社.

【解析】

×人数；

乙总费用y=20个人九折的费用+超过的人数×报价×打折率，列出y关于x的函数关系式，

（2）根据人数计算出甲乙两家的费用再比较大小，哪家小就选择哪家.

考点：一次函数的应用、分类思想的应用．

【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．