讲义九

初三上数学培优专题讲义九AB 相似三角形提高训练一.相似三角形中的几个基本图形：两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：二、典例分析：考点（一）-------有关三角形的内接矩形或正方形的计算问题例题1、已知：如图，正方形DEFG 内接于△ABC ，AM ⊥BC 于M 交DG 于N ，BC=18，AM=12。

求正方形边长.变式：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，试比较图中正方形CDEF 和正方形PQRS 的面积的大小考点（二）------ 两个三角形相似的判定 例题2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由.(2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.变式：如图,⊿ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD 与BE 相交于点F.(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE。

(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗?说说你的理由。

(3)BD 2=AD·DF 吗?请说明理由。

考点（三）------相似三角形中的面积问题EF AFFC FD +例题3. 如图，在□ABCD 中，E 为CD 中点，AE 与BD 相交于点O ，S △DOE ＝12cm 2，求S △AOD 、 S △AOB ．变式：（2011•丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，求S △DPQ ：S △ABC ．考点（四）------作平行线构造相似三角形例题4.如图，E 是ABC ∆中线AD 上的一点，CE 交AB 于F ，已知AE ：ED=1：2，求AF ：BF 的值。

变式：如图，已知△ABC 中，AE:EB=1:4,BD:DC=2:1，AD 与CE 相交于F.求： 的值.考点（5）------利用相似三角形测高例5. 某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.5米，标杆为3米，且BC=1米，CD=6米，求电视塔的高ED 。

一次函数与三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性例1. 如图，直线233+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是x 轴上的动点， 若使△ABP 为等腰三角形，则点P 的坐标是例2、如图，直线y=x+3与y 轴交于点A ，与直线x=1交于点B ，点P 是直线x=1上的动点，若使△ABP 为等腰三角形，则点P 的坐标是例3、如图，直线l 1：y=x+4分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点C 为x 轴上任意一点，直线l 2：y=﹣x+b 经过点C ，且与直线l 1交于点D ，与y 轴交于点E ，连结AE ．问：是否存在点C ，使△ACE 是等腰三角形？ 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．AE=CE,b=±9/4(负数舍去), AE=AC, b=0(舍去),b=-2/7 CE=AC, b=9,b=-1类型二、等腰直角三角形存在性例4、如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．当点D位于直线y=2x-6上时，分三种情况：①点A为直角顶点，结合图形可知，此种情况显然不合题意；②点D为直角顶点，分两种情况：1、点D在矩形AOCB的内部时，设D（x，2x-6）；则OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F；则△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：12-2x=8-x，x=4；∴D（4，2）；2、点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x-6）；则OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；同1可知：△ADE≌△DPF⇒AE=DF，即：2x-12=8-x，x=；∴D（，）；③点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；设点D（x，2x-6），则CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；易证得△APB≌△PDF，得：AB=PF=8，PB=DF=x-8；故BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；联立两个表示BF的式子可得：2x-12=16-x，即x=；∴D（，）；综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；且D点的坐标为：（4，2），（4，14），（，），（，）．例5、如图，点M是直线y=2x+3在第二象限上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N，在y轴的正半轴上求点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标．如图1，当M运动到（-1，1）时，ON=1，MN=1，∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，△MNP为等腰直角三角形；如图2，当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，设点M（x，2x+3），则有：-x=-（2x+3），解得：x=-3，所以点M坐标为（-3，-3）．若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3），则有-x=-1/2（2x+3），化简得-2x=-2x-3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的M点；如图2，∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP=1/2M′N′，∴有-x=1/2（2x+3），解得：x=-3/4，∴M′（-3/4，3/2），综上，符合条件的点M坐标是（-3，-3），（-1，1），（-3/4，3/2）练习：1、如图，直线343-+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是线段AB 上的动点， 若使△OAP 为等腰三角形，求点P 的坐标P 点的坐标是（-28/25，46/25）、（2，3/2）或（36/5，-12/5）．2、如图，在平面直角坐标系中，过点A 的两条直线分别交y 轴于B （0，3）、C （0，﹣1）两点，且∠ABC=30°，AC ⊥AB 于A ．（1）求线段AO 的长，及直线AC 的解析式；（2）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，直线BD 上是否存在点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．3、直线131+=x y 与x 轴，y 轴分别交于A,B 两点，C 是第二象限点，则求使△ABC 是等腰直角三角形的C 点坐标4、如图1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A （5，5）为第一象限内一点，点B 在x 轴正半轴上，且∠AOB=45°，OA=OB ．（1）求点B 的坐标；（2）动点P 以每秒2个单位长度的速度，从点O 出发，沿x 轴正半轴匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒，△ABP 的面积为S ，请用含有t 的式子表示S （S ≠0），并直接写出t 的取值范围；（3）如图2，在（2）的条件下，点D 坐标为（2，0），连接AD ，AK ⊥AD ，过点B 作x 轴的垂线交AK 于点K ，过点A 作x 轴的平行线a ，在点P 的运动过程中，直线a 上是否存在一点R ，使△PKR 是以PR 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．。

九年级人教版数学讲义你好！欢迎使用九年级人教版数学讲义。

下面我将详细介绍该讲义的主要内容。

一、目录九年级人教版数学讲义主要包括以下内容：第一章：实数与数轴第二章：一次函数第三章：三角形第四章：四边形第五章：圆第六章：统计初步第七章：数学思想方法二、主要内容1. 实数与数轴：本章主要介绍实数的概念和性质，以及数轴的表示方法和基本性质。

通过本章的学习，学生可以更好地理解实数与数轴上的点之间的对应关系。

2. 一次函数：本章主要介绍一次函数的概念、性质和图像，以及一次函数在生活中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握一次函数的基本思想和解题方法。

3. 三角形：本章主要介绍三角形的边角关系、三角形的分类（等腰三角形、直角三角形、一般三角形）、三角形的稳定性在实际中的应用等。

通过本章的学习，学生可以掌握三角形的基本性质和解题方法。

4. 四边形：本章主要介绍平行四边形、矩形、菱形、正方形等基本概念和性质，以及它们在实际中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握四边形的基本性质和解题方法。

5. 圆：本章主要介绍圆的基本概念、性质和定理，以及圆在实际中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握圆的性质和解题方法，并提高空间想象能力。

6. 统计初步：本章主要介绍数据的收集、整理、描述和分析方法，以及统计在生活中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握统计的基本思想和解题方法。

7. 数学思想方法：本章主要介绍数学思想和方法，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，以及这些思想和方法在解题中的应用。

通过本章的学习，学生可以提高数学思维能力和解题能力。

三、作业与练习九年级人教版数学讲义提供了大量的作业与练习，包括选择题、填空题、解答题等，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

学生可以通过完成这些作业与练习，加深对所学内容的理解，并提高应用所学知识解决实际问题的能力。

四、教学建议教师在教学过程中，可以根据学生的实际情况和教材内容，适当调整教学进度和难度，注重培养学生的数学思维能力和解题能力。

九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。

1. 定义。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 举例：x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=- 3。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。

- 例如：(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，x = 1±2，即x = 3或x=-1。

- 配方法。

- 步骤：先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。

- 例如：x^2+4x - 1 = 0，x^2+4x = 1，x^2+4x + 4 = 1+4，(x + 2)^2=5，x=-2±√(5)。

- 公式法。

- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0，a = 2，b=-3，c = - 1，代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。

- 因式分解法。

- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式，则mx + n = 0或px + q = 0。

- 例如：x^2-3x + 2 = 0，分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

- 当Δ<0时，方程没有实数根。

- 例如：对于方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1；对于方程x^2+1 = 0，Δ = 0 - 4×1×1=-4<0，方程没有实数根。

人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法探求点1 用因式分解法解一元二次方程情形激疑直接开平方法解方程比拟复杂,配方法、公式法十分费事，运算量较大，有没有复杂的解一元二次方程的方法呢?知识解说(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是应用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法。

因式分解法就是先把方程的左边化为0,再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的方式,那么这两个因式的值就都有能够为0,这就能失掉两个一元一次方程,这两个一元一次程的解,都是原一元二次方程的解,这样也就把原方程停止了次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的效果了(数学转化思想)。

(2)因式分解法解一元二次方程的普通步骤：①移项,使方程的左边为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式区分为零,失掉两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。

留意 运用因式分解法解一元二次方程时,方程的左边化为两个一次因式的乘积的方式,左边一定要化为0,否那么求得的解是错误的。

如:把方程化为(x+3)(x-2)=5,那么x+3=0,或x-2=0得原方程的解为2,321=-=x x 是错误的。

典例剖析例1 用因式分解法解方程:(1)4x2=11x；(2)(x-2)2=2x-4.解析(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得-2x+4,提取因式-2,即—2(x-2),再提取公因式x-2,便可到达分解因式的目的,一边为两个一次式的乘积,另一边为0的方式。

答案 (1)移项,得4x2-11x=0.因式分解,得x(4x-11)=0于是,得x=0,或4x-11=0,(2)移项,得(x-2)2-2x+4=0,(x-2)2-2(x-2)=0因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0.整理,得(x-2)(x-4)=0于是,得x-2=0,或x-4=0,规律总结用因式分解法解一元二次方程的普通步骤:一移(方程的左边为0);二分(将方程左边停止因式分解);三化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程);四写(写出原方程的解)。

ABC相似一．图形的相似1.相似图形的定义我们把具有相同形状的图形称为相似图形。

理解概念时应注意以下几点：① 相似图形是指形状相同、大小不一定相同的两个图形； ② 相似的图形不仅指平面图形，也可以是立体图形； ③ 全等是相似的特殊情况； ④ 图形的拉伸和压缩不是相似。

2.成比例线段（1）两条线段的比在同一长度单位下，量得的两条线段的长度的比值就叫做这两条线段的比。

（2）成比例线段对于四条线段,d c b a 、、、如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =()d c b a ::=或，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

此时也称这四条线段成比例。

即：两条线段的比等于另外两条线段的比。

若线段d c b a 、、、成比例，即d c b a ::=，那么其内项乘积等于外项乘积，即,c b d a ⋅=⋅其他的比例性质也都适用。

如果,cbb a =那么b 叫做c a 、的比例中项，也可以写成.2ac b = （3）黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段,AC CB ()AC CB >，若ACCBAB AC =， 则称线段被点C 黄金分割，618.0215≈－＝AB AC . （4）比例性质： ① 若dcb a =，则bc ad =，反之也成立； ② 若a cb d =，则a bc db d ±±=； ③ 若(0)a c m b d n b d n ===+++≠L L ，则a c m a b d n b+++=+++L L二．相似三角形1．相似三角形的定义及表示如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（1）相似三角形用“∽”表示，例如ABC ∆和'''C B A ∆相似，记作ABC ∆∽'''C B A ∆；读作“相似于”。

（2）用“∽”表示两个图形相似时，对应顶点写在对应位置上，这样容易找到对应角、对应边． （3）两个三角形相似，对应边的比叫做相似比。

部编版六年级语文上册知识点总结精析9.竹节人一、生字组词豁（豁口豁出性命）凛（威风凛凛凛冽）疙（疙瘩）瘩（疙瘩）棍（木棍冰棍）裁（别出心裁裁判）筹（技高一筹筹划）橡（橡皮橡胶）雕（雕刻雕梁画栋）跺（跺脚）颓（颓然颓废）沮（沮丧）屉（抽屉）趴（趴在桌上趴下）二、词语威风凛凛疙瘩疲倦呆头呆脑冰棍豁开别出心裁技高一筹橡皮跺脚大步流星卡住怒气冲冲颓然暴露无遗沮丧念念有词雕刻忘乎所以心满意足轻手轻脚趴下恍然大悟三、形近字、同音字：别出心裁．-三年五载．筹．划-仇．恨-丝绸．-惆．怅四、易错音、字。

蹲dūn着风靡mǐ豁huō开裂缝fèng 嵌qiàn入威风凛凛lǐn 疙瘩gē dā金箍gū棒窦dòu尔敦偃yǎn月刀俨yǎn然叱咤chì zhà别出心裁cái 技高一筹chóu 盔kuī甲跺duò脚一哄hòng而散屏píng风虎视眈眈dān 破绽zhàn 颓tuí然赫赫hè伟绩鏖áo战犹酣hān 沮jǔ丧冬锵qiāng 悻xìng悻然抽屉tì叉chǎ腿一绺liǔ笨拙zhuō攒cuán着磕(kē)飞一模（mú）一样挨（ái）揍卡住qiǎ五、多音字攒cuán(攒集人头攒动) zǎn(积攒攒钱)哄hōng哄动哄抢hǒng哄人哄骗hòng起哄缝féng缝补裁缝fèng缝隙裂缝屏píng 屏风屏障bǐng屏息屏弃丧sāng丧事丧礼 sang 丧失丧气六、多义字：哄1、[hōng]好多人同时发声：～传（chuán ）。

～动。

2、哄[hǒng]说假话骗人：～人。

～弄。

～骗。

用语言或行动逗人喜欢：～逗。

～劝。

～小孩儿。

3、哄[hòng]吵闹，搅扰：起～。

～抢。

一～而起。

七、近义词新鲜一新奇风靡一盛行俨然一仿佛全神贯注一聚精会神鏖战一激战沮丧一颓丧前功尽弃一功亏一篑别出心裁一别具匠心嵌入一镶入疲倦一疲乏威风凛凛一八面威风技高一筹一棋高一着大步流星一健步如飞怒气冲冲一火冒三丈心满意足一如愿以偿观摩一观察八、反义词新鲜→陈旧沮丧→振奋怨恨→感激新鲜→陈旧热闹→安静大步流星→举步维艰怒气冲冲→喜气洋洋念念有词一沉默寡言一无所获→满载而归津津有味→索然无味别出心裁→如法炮制前功尽弃→大功告成得意扬扬→垂头丧气威风凛凛→萎靡不振九、解释：[豁开]裂开。

数量关系系统课讲义第二章 经典题型第九节 经济利润问题基本经济利润 （1）列表法成本 定价 售价 利润 销量 总利润（2）方程法 （3）赋值法 分段问题 （1）画图法 （2）分段计算注意：在【资料分析】中，毛利率=利润/营业收入【例 1】甲商店购入 400 件同款夏装。

7 月以进价的 1.6 倍出售，共售出200 件；8 月以进价的 1.3 倍出售，共售出 100 件； 9 月以进价的 0.7 倍将剩余的 100 件全部售出，总共获利 15000 元。

问这批夏装的单件进价为多少元？（ ）A ．125B ．144C ．100D ．120 0.6N*200+0.3N*100-0.3N*100=15000→N=1252.分段计费问题分段计费问题主要涉及水电、资费、提成等通常分段计费问题。

解题关键在于找到分段节点，分区间讨论计算。

− 1 售价成本= 售价− 成本 成本= 利润 成本利润率 =1.利润折扣问题：总成本=单个成本×进口量；总售价＝单价×销售量；利润＝售价-成本；总利润＝总售价-总成本【例 2】一款手机按 2000 元单价销售，利润为售价的 25%。

若重新定价，将利润降至新售价的 20%，则新售价是（）？A．1900 元B．1875 元 C．1840 元 D．1835 元(2000-N)/2000=25%→N=1500(M-1500)/M=20%→M=1875【例 3】某产品售价为 67.1 元，在采用新技术生产节约10%成本之后，售价不变，利润可比原来翻一番。

则该产品最初的成本为元。

A.51.2B.54.9C.61D.62.52*(67.1-N)=67.1-0.9N→N=61【例4】甲用1000 万元购买了一件艺术品并卖出，获利为买进价格的10%，随后甲用艺术品卖出价格的90%买入一件珠宝，并以珠宝买进价格的九折卖出，若上述交易中的其他费用忽略不计，则甲最终（）。

A.盈亏平衡B.盈利1 万元C.盈利9 万元D.亏损1.1 万元(1000*10%)+[(1000*10%+1000)*90%*(90%-1)]=100-99=1【例5】商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫500 件，并以每件120 元的价格销售了400 件，要达到盈利45%的预期目标，剩下的衬衫最多可以降价（）。