浙江专用高考数学复习第九章平面解析几何9.8曲线与方程讲义含解析

第5讲椭圆最新考纲掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

知识梳理1.椭圆的定义在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆。

这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P ＝{M|｜MF1｜＋|MF2｜＝2a｝，|F1F2|＝2c,其中a＞0，c＞0，且a，c为常数:（1）若a＞c，则集合P为椭圆;（2）若a＝c,则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1(a>b>0）错误!＋错误!＝1(a>b〉0)图形性范围－a≤x≤a－b≤x≤b1。

判断正误（在括号内打“√”或“×”）(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆。

（）（2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（）（3)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。

( )（4)方程mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）表示的曲线是椭圆.（）（5）错误!＋错误!＝1(a〉b>0）与错误!＋错误!＝1(a〉b>0）的焦距相同.( )解析(1）由椭圆的定义知,当该常数大于｜F1F2｜时,其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2｜时,其轨迹为线段F1F2，常数小于｜F1F2｜时，不存在这样的图形.(2)因为e＝错误!＝错误!＝错误!，所以e越大，则错误!越小，椭圆就越扁.答案(1)×（2)×(3）√（4)√（5）√2.（2015·广东卷）已知椭圆错误!＋错误!＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0），则m＝（）A。

2 B.3 C.4 D.9解析依题意有25－m2＝16，∵m〉0，∴m＝3.选B。

答案B3.已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为错误!，过F2的直线l交C于A，B两点.若△AF1B的周长为4错误!，则C的方程为( ）A.错误!＋错误!＝1 B。

第8讲 曲线与方程配套课时作业1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 答案 D解析 由已知知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2019·某某模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 B解析 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆．故选B.3．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y 答案 C解析 由条件知，动点M 到F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y .4．(2019·某某模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1.又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.5．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3)C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 因为|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，所以|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.所以点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.故选D.6．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 B解析 设双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，因为动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，所以圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .7．(2019·某某某某检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|QS |－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝a (定值)，∴点P 的轨迹为圆． 8．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 答案 A解析 设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.9．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 答案 C解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．10．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1 D ．x 2－y 248＝1 答案 A解析 由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴焦点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 D解析 在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1，即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点P 的轨迹为抛物线．12．(2019·某某质量检查)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 D解析 因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk 1－3k 2＝12①，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2②，由①②解得k ＝2，故选D.13．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝4解析 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，因为∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，所以∠OPB ＝30°，因为|OB |＝1，∠OBP 为直角，所以|OP |＝2，所以x 2＋y 2＝4.14．(2019·某某模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图，令内切圆与三边的切点分别为D ，E ，F ，可知|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝|AE |－|BE |＝8－2＝6<|AB |＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为________．答案x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 解析 设圆M 的半径为r 1，圆N 的半径为r 2，圆P 的半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．16．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 (1)当直线斜率k 存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．(2)当直线斜率k 不存在时，直线方程为x ＝1，由O P →＝2O F →得P (2,0)，适合y 2＝4(x －2)．综合(1)(2)，点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．17．(2019·某某质检)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，所以当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6. (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③，得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．18．(2019·某某某某模拟)已知动点M (x ，y )满足：x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝2 2.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N (－1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合)．证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．解 (1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，且 |PQ |<22，所以动点M 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b ＝1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又直线BC 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 即y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k x 1＋x 2k x 1＋x 2＋2k＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝4k 2－41＋2k 2－4k21＋2k 2－4k 21＋2k 2＋2＝－2， 所以直线BC 恒过定点D (－2,0)．19．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.20．(2019·某某模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值；(3)设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数3，求动点D 的轨迹方程．解 (1)∵椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点，∴b ＝c ＝2，∴a ＝2＋2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设A (x 0，y 0)，则OB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝0，由y ＝2，得B ⎝⎛⎭⎪⎫－2y 0x 0，2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 20＋y 20＋14＋4y 20x 2＝4＋x 24x 20＋y 2＝4＋x 24⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋2－x 22＝12， ∴1|OA |2＋1|OB |2为定值12. (3)设C (x 1，y 1)，D (x ，y )，由OC ⊥OD ，得x 1x ＋y 1y ＝0，①由点C 在椭圆上，得x 214＋y 212＝1，②联立①②，得x 21＝4y 22x 2＋y 2，y 21＝4x 22x 2＋y2.③由OC ⊥OD ，点O 到CD 的距离为3，得|OC |·|OD |＝3|CD |， ∴|OC |2·|OD |2＝3(|OC |2＋|OD |2)．将③代入得 1|OC |2＋1|OD |2＝1x 21＋y 21＋1x 2＋y2 ＝14y 22x 2＋y 2＋4x 22x 2＋y2＋1x 2＋y 2＝2x 2＋y 2＋44x 2＋y 2＝13， 化简，得点D 的轨迹方程为y 212－x 26＝1.。

基础巩固题组（建议用时:40分钟)一、选择题1.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ）A.错误!B.C。

D。

解析Q（－2，0），设直线l的方程为y＝k(x＋2），代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8）x＋4k2＝0,由Δ＝（4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2）≥0，解得－1≤k≤1.答案C2.(2017·石家庄模拟）已知P为双曲线C:错误!－错误!＝1上的点，点M满足|错误!｜＝1，且错误!·错误!＝0，则当｜错误!｜取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为（)A。

错误!B。

错误!C。

4 D。

5解析由错误!·错误!＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求｜MP｜的最小值可以转化为求｜OP|的最小值，当｜OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点（±3，0），而双曲线的渐近线为4x±3y ＝0，∴所求的距离d＝错误!，故选B。

答案B3.已知椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1（m＞0)，如果直线y＝错误!x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m 的值为（）A.2 B。

2 2 C。

8 D.2错误!解析根据已知条件得c＝错误!，则点（错误!,错误!错误!）在椭圆错误!＋错误!＝1(m＞0）上，∴错误!＋错误!＝1，可得m＝2错误!.答案B4.若双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是( )A. D。

(1，3）解析依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±错误!x,与抛物线方程联立消去y得x2±错误!x＋2＝0。

∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝错误!－8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝a2＋b2≥3a，∴e＝错误!≥3。

答案A5。

(2017·丽水调研）斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )A。

【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程练习基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A.两条直线 B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线. 答案 D2.已知点A (1，0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A. y ＝－2x B.y ＝2x C.y ＝2x －8D.y ＝2x ＋4解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1， y ＋y 12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上， ∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x . 答案 B3.设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是( ) A.y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4 C.y 2＝－2xD.(x －1)2＋y 2＝2解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2， 即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2. 答案 D4.已知点F (0，1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( ) A.x 2＝4y B.y 2＝3x C.x 2＝2yD.y 2＝4x解析 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1). 因为QP →·QF →＝FP →·FQ →，所以(0，y ＋1)·(－x ，2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y . 答案 A5. (2016·诸暨高三测试)平面直角坐标系中，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析 设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝ y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1， 所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5 ，所以点C 的轨迹为直线，故选A. 答案 A 二、填空题6.已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为__________.解析 设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |， 得（x ＋2）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0.∴P 的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆. 即轨迹所包围的面积等于4π. 答案 4π7.动点P (x ，y )到定点A (3，4)的距离比P 到x 轴的距离多一个单位长度，则动点P 的轨迹方程为________.解析 由题意知动点P 满足|PA |＝|y |＋1，即（x －3）2＋（y －4）2＝|y |＋1，当y ＞0时，整理得x 2－6x －10y ＋24＝0；当y ≤0时，整理得x 2－6x －6y ＋24＝0，变形为(x －3)2＋15＋6y ，此方程无轨迹. 答案 x 2－6x －10y ＋24＝0(y ＞0)8.在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________.解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E 、F 分别为两个切点. 则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.∴|AB |－|AC |＝22＜|BC |＝4，∴点A 的轨迹为以B ，C 的焦点的双曲线的右支(y ≠0)且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2，∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2).答案x 22－y 22＝1(x ＞2) 三、解答题9.(2016·烟台模拟)已知点C (1，0)，点A ，B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点. (1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.解 (1)连接CP ，OP ，由AC →·BC →＝0，知AC ⊥BC ， ∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9， 化简，得x 2－x ＋y 2＝4.(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1，0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，其中p2＝1.∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4得x 2＋3x －4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－4，由x ≥0， 故取x ＝1，此时y ＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).10.如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点.点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点.求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3，0)，A 2(3，0).设点A 的坐标为(x 0，y 0)；由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).①直线A 2B 的方程为y ＝ －y 0x 0－3(x －3).②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0).能力提升题组 (建议用时：15分钟)11.有一动圆P 恒过定点F (a ，0)(a ＞0)且与y 轴相交于A ，B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形，所以点P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R ，而R ＝|PF |＝（x －a ）2＋y 2， 所以|x |＝32（x －a ）2＋y 2，化简得（x ＋3a ）212a 2－y 24a 2＝1， 即点P 的轨迹为双曲线. 答案 B12.已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝－8x C.y 2＝4xD.y 2＝－4x解析 MN →＝(4，0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y ).∴|MN →|＝4，|MP →|＝（x ＋2）2＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2).根据已知条件得4（x ＋2）2＋y 2＝4(2－x ).整理得y 2＝－8x .∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x . 答案 B13.(2016·杭州模拟)坐标平面上有两个定点A ，B 和动点P ，如果直线PA ，PB 的斜率之积为定值m ，则点P 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线.试将正确的序号填在横线上：__________.解析 设A (a ，0)，B (－a ，0)，P (x ，y )，则yx －a ·yx ＋a＝m ，即y 2＝m (x 2－a 2).①当m ＝－1时，为圆；②当m ＞0时，为双曲线；③当m ＜0且m ≠－1时为椭圆；④当m ＝0时，为直线.故选①②④⑤. 答案 ①②④⑤14.(2016·宁波二中一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.解 (1)由题意知c ＝5，又c a ＝53，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设两切线为l 1，l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴，可知P (±3，±2)；②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3，设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为－1k，l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立x 29＋y 24＝1，消去y 整理得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝0，得9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0， ∴－36k 2＋4[(y 0－kx 0)2－4]＝0，∴(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0， 所以k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的一个根， 同理－1k是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的另一个根，∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝y 20－4x 20－9，得x 20＋y 20＝13，其中x 0≠±3，所以点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13(x ≠±3)，因为P (±3，±2)满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.。

第九节 曲线与方程一、基础知识1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．(1)如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0, 那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.(2)“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件.坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线． 有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．考点一 直接法求轨迹方程1．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x解析：选A 设点P (x ，y )，则Q(x ，－1)． ∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .2．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.则动点P 的轨迹方程为________________．解析：因为点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称， 所以点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)． 答案：x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)3．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为____________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2. ∵|CD |＝3，∴⎝⎛⎭⎫x 2－52＋⎝⎛⎭⎫y22＝9， 即(x －10)2＋y 2＝36， 由于A ，B ，C 三点不共线， ∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)． 答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)考点二 定义法求轨迹方程[典例精析]已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．[解题技法]定义法求曲线方程的2种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．[题组训练]如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|C Q|＋|AP |＋|B Q|＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)． 设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝3， 所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).考点三 代入法(相关点)求轨迹方程[典例精析]如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．[解] (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x ，设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0.切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212， 代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0， 由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x.代入⎩⎨⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1. 考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．[解题技法]“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．[题组训练]已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝⎛⎭⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB ―→＝－2MA ―→.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M ⎝⎛⎭⎫33，0，故MB ―→＝⎝⎛⎭⎫－33，2，MA ―→＝⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.由于MB ―→＝－2MA ―→，∴⎝⎛⎭⎫－33，2＝－2⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.∴x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝⎛⎭⎫32，－1. ∵A ，B 都在曲线E 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝⎛⎭⎫322＋b ·－12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14. ∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1. [课时跟踪检测]A 级1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：选A 设C (x ，y )，因为OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→， 所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹是直线，故选A.2.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A ­B ­C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D 当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析：选D 如图，设P (x ，y )， 圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ， 则MA ⊥P A ，且|MA |＝1， 又因为|P A |＝1，所以|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2， 即|PM |2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2P A ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP ―→＝2P A ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q(－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．5.如图所示，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线 B.圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接O Q.因为P Q 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且P Q ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|O Q|＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|O Q|＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是____________________．解析：设C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________．解析：由题意，延长F 1D ，F 2A 并交于点B ，易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ，则|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |，又O 为F 1F 2的中点，连接OD ，则OD ∥F 2B ，从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝48．(2019·福州质检)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为________．解析：因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk1－3k 2＝12，①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2，② 由①②解得k ＝2. 答案：29.如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2(1＜t ＜3)与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解：由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)， 由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．10．(2019·武汉模拟)在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP ―→＝λR Q ―→ (λ＞1)，求证：NF ―→＝λF Q ―→.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，① 直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，② 设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点， ①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*)所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP ―→＝λR Q ―→，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2， 由(1)得F (2,0)，要证NF ―→＝λF Q ―→， 即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)，只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6t t 2＋3＝0成立，即NF ―→＝λF Q ―→成立．B 级1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B.两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线解析：选D 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上异于椭圆顶点A (a,0)，B (－a,0)的一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，动圆M 与线段F 1P ，F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的( )A ．抛物线 B.椭圆 C ．双曲线的右支D ．一条直线解析：选D 如图，设切点分别为E ，D ，G ，由切线长相等可得|F 1E |＝|F 1G |，|F 2D |＝|F 2G |，|PD |＝|PE |.由椭圆的定义可得|F 1P |＋|PF 2|＝|F 1P |＋|PD |＋|DF 2|＝|F 1E |＋|DF 2|＝2a ，即|F 1E |＋|GF 2|＝2a ，也即|F 1G |＋|GF 2|＝2a ，故点G 与点A 重合，所以点M 的横坐标是x ＝a ，即点M 的轨迹是一条直线(除去A 点)，故选D.3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)4.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM ―→＝12DP ―→.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解：(1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM ―→＝12DP ―→，知P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上， ∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，得k 2＜15，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又OE ―→＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0， ∵k 2＜15，∴0＜x ＜83.11∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜83. 5.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B.抛物线 C ．椭圆 D ．双曲线的一支解析：选C 母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.6．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B.x 2＋y 2＝9C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：选B ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1. A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意； D 项，把x 2＝16y 代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1， 即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ＞0，满足题意．7．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且顶点A ，B 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________． 解析：由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10， 则|AC |＋|BC |＝10＞8＝|AB |，∴满足椭圆定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3， 则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)． 答案：x 225＋y 29＝1(x ≠±5)。