必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案(全)

第八章 立体几何初步8.4.1 平面一、基础巩固1．下列命题的符号语言中，不是公理的是（ ） A ．a α⊥，b a b α⊥⇒∥ B ．P α∈，且P l βαβ∈⇒=，且P l ∈C ．∈A l ，B l ∈，且A α∈，B l αα∈⇒⊂D ．a b ∥，a c b c ⇒∥∥ 【答案】A 【详解】A 不是公理，在B 中，由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故B 是公理．在C 中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故C 是公理； 在D 中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D 是公理； 2．如图所示，用符号语言可表达为（ ）A ．m n A m A n αβα=⊂⊂⊂，，，B ．m n A m A n αβα=∈∈∈，，，C ．m n m n A αβα=⊂=，，D ．m n m n A αβα=∈=，，【答案】C 【详解】结合图形可以得出平面,αβ相交于一条直线m ，直线n 在平面α内，直线,m n 相交于点A ，结合选项可得C 正确；3．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点，则在平面11ADD A 内与平面1D EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条【答案】D 【详解】平面11ADD A 与平面1D EF 有公共点1D ，由公理3知平面11ADD A 与平面1D EF 必有过1D 的交线l ， 在平面11ADD A 内与l 平行的直线有无数条， 且它们都不在平面1D EF 内，由线面平行的判定定理可知它们都与平面1D EF 平行. 4．下列说法正确的是（ ） A ．任意三点确定一个平面 B ．梯形一定是平面图形C ．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点D ．一条直线和一个点确定一个平面 【答案】B 【解析】A 选项，不共线的三点确定一个平面，A 错．C 选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C 错．D 选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面．B 选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B 对， 5．如图，四棱锥P ABCD -，ACBD O =，M 是PC 的中点，直线AM 交平面PBD 于点N ，则下列结论正确的是（ ）A ．,,,O N P M 四点不共面B ． ,,,O N M D 四点共面C ． ,,O N M 三点共线D ． ,,P N O 三点共线【答案】D 【详解】直线AC 与直线PO 交于点O ，所以平面PCA 与平面PBD 交于点O ，所以必相交于直线PO ，直线AM 在平面PAC 内，点N AM ∈故N ∈面PAC ，故O N P M ，，，四点共面，所以A 错． 点D 若与M,N 共面，则直线BD 在平面PAC 内，与题目矛盾，故B 错．O,M 为中点，所以OM //PA ，ON PA P ⋂=，故ON OM O ⋂=，故C 错．6．下列图形中不一定是平面图形的是（ ） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．四边相等的四边形【答案】D 【详解】利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形， 而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形．7．在空间四边形ABCD 的各边AB BC CD DA 、、、上的依次取点E F G H 、、、，若EH FG 、所在直线相交于点P ，则（ ）A ．点P 必在直线AC 上B ．点P 必在直线BD 上C ．点P 必在平面DBC 外D ．点P 必在平面ABC 内【答案】B 【详解】如图：连接EH 、FG 、BD ， ∵EH 、FG 所在直线相交于点P ， ∴P ∈EH 且P ∈FG ，∵EH ⊂平面ABD ，FG ⊂平面BCD ， ∴P ∈平面ABD ，且P ∈平面BCD ， 由∵平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD ， 故选B ．8．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交C ．平行或相交D ．垂直【答案】C 【详解】由题意，若三点分布在平面β的同侧，此时平面//α平面β； 若三点分布于平面β的两侧时，此时平面α与平面β相交， 综上可知，平面α与平面β平行或相交，故选C ．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】取1DD 中点F ，连接1,AF C F ．平面1AFC E 为截面．如下图：10．在正方体1111ABCD A B C D 中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11C D 的中点，那么正方体过P ，Q ，R 的截面图是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】D 【详解】解：延长PQ 交CD 的延长线与E ,连ER 交1DD 于T ,则T 为1DD 的中点, 延长TR 交1CC 的延长线与F ,延长QP 交CB 的延长线与G ,连接FG 交1BB 于M ,交11B C 于S ,则易得M ,S 分别为1BB ,11B C 的中点, 连接,,QT RS PM ,则截面为正六边形PQTRSM 为所求截面. 如图所示:11．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面【答案】A 【详解】连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ， ∴A 1，C 1，A ，C 四点共面， ∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1， ∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上， 同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． ∴A ，M ，O 三点共线．12．下列说法中正确的个数是（ ）①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②平行四边形可以确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ④若,A A αβ，且l αβ=，则A 在l 上.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确；对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确；对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确； 对于④，由公理可得，若,,A A l αβαβ∈∈⋂=，则∈A l ，故④正确. 二、拓展提升13．如图所示，在空间四面体ABCD 中，,E F 分别是AB ，AD 的中点，,G H 分别是BC ，CD 上的点，且11,33CG BC CH DC ==.求证：（1）,,,E F G H 四点共面； （2）直线FH EG AC ，，共点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）连接EF ，GH ，E F ，分别是AB AD ，的中点，EF BD ∴∥.又11,33CG BC CH DC ==，GH BD ∴∥，EF GH ∴，,,,E F G H ∴四点共面.（2）易知FH 与直线AC 不平行，但共面，∴设FH AC M ⋂=，则M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . ∵平面EFHG ⋂平面ABC EG =，M EG ∴∈，∴直线FH EG AC ，，共点. 14.已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角． 【答案】(1)证明见解析；(2) 45°. 【详解】(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线． (2)解：取CD 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°. 15．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点.求证：（1）1,,,E C D F 四点共面； （2）1,,CE D F DA 三线共点. 【答案】（1）见证明 （2）见证明 【详解】证明：（1）连接11,,EF A B D C .∵E F ，分别是AB 和1AA 的中点， ∴111,2EF A B EF A B =∥. 又11111111,A D B C BC A D B C BC ∥∥==， ∴四边形11A D CB 是平行四边形， ∴11A BCD ，∴1EF CD ∥，∴EF 与1CD 确定一个平面， ∴1,,,E C D F 四点共面．（2）由（1）知，1EF CD ∥，且112EF CD =， ∴直线1D F 与CE 必相交，设1D FCE P =.∵1D F ⊂平面11AA D D ，1P D F ∈， ∴P ∈平面11AA D D .又CE ⊂平面ABCD ，P EC ∈，∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面11AA D D 的公共点， 又平面ABCD 平面11AA D D AD =，∴P AD ∈，∴1,,CE D F DA 三线共点．。

平面解析几何一、直线与方程（1）直线的倾斜角 倾斜角的取值范围:当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α=当直线l 与x 轴垂直时, 规定α=（2）直线的斜率给定两点),(),,(222111y x P y x P 用两点的坐标来表示直线21P P 的斜率过两点的直线的斜率公式：注意下面两点：(1)当21x x =时，直线的斜率不存在，倾斜角为 (2)k 与P 1、P 2的顺序无关； （3）直线方程的几种形式 ①点斜式： ②斜截式： ③两点式：④截矩式： ⑤一般式：注意： ①各式的适用范围②特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； ③各种直线方程之间的互化（4）两直线的位置关系一般式 0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 斜截式 111:b x k y l += 222:b x k y l +=重合 平行 相交 垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

与0=++C By x A 平行的直线系： 垂直的直线系：与b x k y +=平行的直线系： 垂直的直线系：1.两点间的距离公式:),(),,(222111y x P y x P2.点到直线距离公式 :点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：3.两平行线间的距离公式：两平行线方程为1l ：01=++C By Ax ， 2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为:4.点关于点的对称点的求法： 点关于线的对称点的求法：二、圆（1）圆的标准方程1、圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程:2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： 点在圆外: 点在圆上: 点在圆内：圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

高中数学必修二平面解析几何
本文从知识点梳理、圆的方程、两个经典的解题和圆的方程的解释过程三个方面，分享了高中数学必修课《二平面解析几何》中圆的方程的介绍。

一、知识梳理
1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
二、平面解析几何——圆的方程两个易误点
三、经典考题
1、求圆的方程
(1)(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
(2)(2016·高考浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x ＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是
________．
解题方法：求圆的方程的两种方法
2、与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
与圆有关的最值问题解题方法
3、与圆有关的轨迹问题
(2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B．
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
求与圆有关的轨迹方程的方法
(2017·湖南箴言中学三模)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．。

平面分析几何初步一、基础知识（理解去记）1．分析几何的研究对象是曲线与方程。

分析法的本质是用代数的方法研究几何 . 第一是经过映照成立曲线与方程的关系，即假如一条曲线上的点构成的会合与一个方程的解集之间存在一一映照，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

如 x2+y2=1 是以原点为圆心的单位圆的方程。

2．求曲线方程的一般步骤： (1) 成立合适的直角坐标系； (2) 写出知足条件的点的会合； (3)用坐标表示条件，列出方程；(4) 化简方程并确立未知数的取值范围；（5）证明合适方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都知足方程（本质应用常省略这一步） 。

3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800 的正角，叫做它的倾斜角。

规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00，倾斜角的正切值（假如存在的话）叫做该直线的斜率。

依据直线上一点及斜率可求直线方程。

4．直线方程的几种形式： 【必会】【必考】（ 1）一般式： Ax+By+C=0； （ 2）点斜式： y-y0=k(x-x0) ； （ 3）斜截式： y=kx+b ；xy 1（ 4）截距式： ab；x x 1y y 1 （ 5）两点式：x2x 1y 2y1 ；（ 6）法线式方程： xcos θ+ysin θ =p （此中θ为法线倾斜角，|p| 为原点到直线的距离） ；x x 0 t cos（ 7）参数式： yy 0 t sin（此中θ为该直线倾斜角） ，t 的几何意义是定点 P0（ x0, y0）到动点 P （ x, y ）的有向线段的数目（线段的长度前增添正负号，若P0P 方向向上则取正，否则取负）。

5．到角与夹角：若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2 ，将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与l2 重合所转过的最小正角叫l1 到 l2的角； l1 与 l2 所成的角中不超出900 的正角叫二者的k 2 k 1k 2 k 1夹角。

(第二章平面解析几何初步)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知直线经过点A(1，－5)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为()A．0B．－3C．2 D．不存在2．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是()A．x＋6y－10＝0 B．6x－2y＋10＝0C．x－6y－10＝0 D．2x＋6y－10＝03．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝04．已知两直线x－ky－k＝0与y＝k(x－1)平行，则k的值为()A．1 B．－1C．1或－1 D．25．已知圆x2＋y2＝100，则直线4x－3y＝50与该圆的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝07．若直线(a＋2)x＋(1－a)y＝a2(a>0)与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a等于()A．1 B．－1C．±1 D．－28．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于()A ．895B ．175C ．135D ．1159．直线l 过点M (－1,2)，且与以P (－2，－3)，Q (4,0)为端点的线段PQ 相交，则l 的斜率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－25，5B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－25，0∪(0,5] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－25，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－25∪[5，＋∞)10．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)，有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；③点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．511．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 为圆M 上任一点，过P 作圆O 的切线P A ，若P A 与圆M 的另一个交点为Q ，当弦PQ 的长度最大时，切线P A 的斜率是( )A ．7或1B ．－7或1C ．－7或－1D ．7或－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．过两点A (－1,1)，B (3,9)的直线，在x 轴、y 轴上的截距分别是________，________.14．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求：(1)过点A(－1，－2)与直线l平行的直线m的方程；(2)点A关于直线l的对称点A′的坐标．18．(12分)过点P(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．19．(12分)已知点P(2,0)，及⊙C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；(2)设过点P的直线与⊙C交于A，B两点，当|AB|＝4时，求以线段AB为直径的圆的方程．20．(12分)已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线m：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线与圆A相交于M，N两点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．21．(12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.(1)求△ABC的顶点B，C的坐标；(2)若圆M经过不同的三点A，B，P(m,0)，且斜率为1的直线与圆M相切于点P，求圆M的方程．22．(12分)在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次排列，且O，P，Q三点的坐标分别是O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，其中t∈(0，＋∞)．(1)求顶点R的坐标；(2)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t)．。

一、直线的倾斜角和斜率1、倾斜角的定义：直线向上的方向和x轴正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角。

2、倾斜角的范围：直线倾斜角是[0°,180°），为0°时斜率为0，即与x轴平行；为90°时斜率不存在，与x轴垂直。

例题：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角？90°，互相平行；0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直（1）a、两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，亦可证明。

即：21//ll⇔1k=2k且21bb≠b、已知直线1l、2l的方程为1l：0111=++CyBxA，2l：0222=++CyBxA，1l∥2l的充要条件是212121CCBBAA≠=（2）a、两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是1k和2k，则这两条直线垂直的充要条件是121-=kk．1l和2l的一般式方程为1l：111=++CyBxA，2l：222=++CyBxA，即：1l⊥2l⇔02121=+BBAA．⎩⎨⎧=++=++222111CyBxACyBxA是否有惟一解),(yxP0:=++CByAxl的距离为：22BACByAxd+++=已知两条平行线直线1和2的一般式方程为1l：1=++CByAx，2l02=++CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd+-=若两条直线1：111=++CyBxA，2l：222=++CyBxA有交点，则过1l与2l交点的直线系方程为)(111CyBxA++＋0)(222=++CyBxAλ或)(222CyBxA+++)(111=++CyBxAλ(λ为常数)练习：例1 两条直线12++=kkxy和42=-+yx的交点在第四象限，则k的取值范围是_____________________?解法一：解方程组⎩⎨⎧++==-+1242kkxyyx得交点为(－1216,1224+++-kkkk）∵此点在第四象限∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-<<-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>+--.6121,212112161224kkkkkk即∴－6121-<<k，故选C.例2 求证：不论m为什么实数，直线5)12()1(-=-+-mymxm都通过一定点证法三：∵（5)12()1(-=-+-mymxm，∴m（x＋2y－1）＝x＋y－5由m为任意实数，知关于m的一元一次方程m（x＋2y－1）＝x＋y－5的解集为R，∴⎩⎨⎧=-+=-+05012y x y x ，解得x ＝9，y ＝－４所以直线5)12()1(-=-+-m y m x m 都通过定点(9，－４）例4已知点A 的坐标为(－４，４），直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线l 关于点A 的对称直线l '的方程. 解：(1)设点A ′的坐标为（x ′，y ′）.因为点A 与A ′关于直线l 对称，所以AA ′⊥l ，且AA ′的中点在l 上，而直线l 的斜率是－3，所以A A k '′＝31. 又因为A A k '＝3144,44=+'-'+'-'x y x y 所以 再因为直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，AA ′的中点坐标是(24,24+'-'y x )，所以3·2424+'+-'y x －2＝0 由①和②，解得x ′＝2，y ′＝6.所以A ′点的坐标为(2，6)(2)关于点A 对称的两直线l 与l '互相平行，于是可设l '的方程为3x ＋y ＋c ＝0.在直线l 上任取一点M (0，2），其关于点A 对称的点为M ′（x ′，y ′），于是M ′点在l '上，且MM ′的中点为点A ，由此得422,420=+'-=+'y x ，即：x ′＝－８，y ′＝6. 于是有M ′（－８，6）.因为M ′点在l '上， 所以3⨯（－８）＋6＋c ＝0，∴c ＝18故直线l '的方程为3x ＋y ＋18＝0三、直线的交点坐标与距离公式 1、直线方程的五种形式:A 一般式方程为0=++c by axB 斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线C 两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线 D 点斜式方程是y －y 0＝k(x －x 0)；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 E 截距式方程为1=+by a x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.其他：a 法线式方程：xcos θ+ysin θ=p （其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；b 参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P 方向向上则取正，否则取负）。

第2章 平面解析几何初步§2.2.2-3 直线与圆、圆与圆的位置关系重难点：掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法，能用坐标法判直线与圆、圆与圆的位置关系．经典例题：已知圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：(x-1)2+y 2＝16，动圆C 与圆C 1外切，与圆C 2内切，求动圆C 的圆心轨迹方程．当堂练习：1．已知直线k x y +=2和圆 422=+yx 有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A ．55<<-k B ．0=k C ．52>k D ．5252<<-k2．圆x 2+y 2-2acos ⋅θx-2bsin ⋅θy-a 2sin θ2=0在x 轴上截得的弦长是（ ） A ．2a B ．2|a| C ．2|a| D ．4|a|3．过圆x 2+y 2-2x+4y- 4=0内一点M （3，0）作圆的割线 ，使它被该圆截得的线段最短，则直线 的方程是（ ）A ．x+y-3=0B ．x-y-3=0C ．x+4y-3=0D ．x-4y-3=0 4．若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为（ ）A ．1或-1B ．2或-2C ．1D ．-1 5．若直线3x+4y+c=0与圆(x+1)2+y 2=4相切，则c 的值为（ ）A ．17或-23B ．23或-17C ．7或-13D ．-7或13 6．若P(x,y)在圆 (x+3)2+(y-3)2=6上运动，则xy 的最大值等于（ ）A ．-3+22B ．-3+2C ．-3-22D ．3-22 7．圆x 2+y 2+6x-7=0和圆x 2+y 2+6y-27=0的位置关系是（ ）A ． 相切B ． 相交C ． 相离D ．内含 8．若圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线 对称，则直线 的方程是（ ） A ．x+y=0 B ．x+y-2=0 C ．x-y-2=0 D ．x-y+2=01． 9．圆的方程x 2+y 2+2kx+k 2-1=0与x 2+y 2+2(k+1)y+k 2+2k=0的圆心之间的最短距离是（ ） A ．22 B ．22 C ．1 D ． 210．已知圆x 2+y 2+x+2y=1661和圆(x-sin α)2+(y-1)2=161, 其中0≤≤α0900, 则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相交或外切 11．与圆(x-2)2+(y+1)2=1关于直线x-y+3=0成轴对称的曲线的方程是（ ）A ．(x-4)2+(y+5)2=1B ．(x-4)2+(y-5)2=1C ．(x+4)2+(y+5)2=1D ．(x+4)2+(y-5)2=1 12．圆x 2+y 2-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程为x 2+y 2=1, 则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1C ． ±2D ．213．已知圆方程C 1：f(x,y)=0，点P 1(x 1,y 1)在圆C 1上，点P 2(x 2,y 2)不在圆C 1上，则方程： f(x,y)- f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)=0表示的圆C 2与圆C 1的关系是（ ） A ．与圆C 1重合 B ． 与圆C 1同心圆C ．过P 1且与圆C 1同心相同的圆D ． 过P 2且与圆C 1同心相同的圆 14．自直线y=x 上一点向圆x 2+y 2-6x+7=0作切线，则切线的最小值为___________．15．如果把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆x 2+y 2+2x-4y=0相切，则实数λ的值等于__________．16．若a 2+b 2=4, 则两圆(x-a)2+y 2=1和x 2+(y-b)2=1的位置关系是____________． 17．过点(0,6)且与圆C: x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程是____________． 18．已知圆C ：(x-1)2+(y-2)2=25, 直线 ：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(m ∈R),(1) 证明直线 与圆相交； (2) 求直线 被圆C 截得的弦长最小时，求直线 的方程．19．求过直线x+3y-7=0与已知圆x 2+y 2+2x-2y-3=0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为-8的圆的方程．20．已知圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2，（2）被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3：1，（3）圆心到直线 ：x-2y=0的距离为55，求这个圆方程．21．求与已知圆x 2+y 2-7y+10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x-3y-1=0且过点（-2，3），（1，4）的圆的方程．§2.2.2-3 直线与圆、圆与圆的位置关系经典例题：解：设圆C 圆心为C(x, y), 半径为r ，由条件圆C 1圆心为C 1(0, 0)；圆C 2圆心为C 2(1, 0)；两圆半径分别为r 1＝1, r 2＝4，∵圆心与圆C 1外切 ∴|CC 1|＝r+r 1，又∵圆C 与圆C 2内切， ∴|CC 2|＝r 2-r （由题意r 2>r ），∴|CC 1|+|CC 2|＝r 1+r 2，即541)1(2222=+=+-++yx yx ,化简得24x 2+25y 2-24x-144＝0, 即为动圆圆心轨迹方程. 当堂练习：1.D;2.B;3.A;4.D;5.D;6.A;7.B;8.D;9.A; 10.D; 11.D; 12.D; 13.D; 14.210; 15. 13或3; 16.外切; 17. (x-3)2+(y-3)3=18;18. 证明：（1）将直线 的方程整理为（x+y-4）+m(2x+y-7)=0，由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-+=-+13,07204y x y x y x 得,∴直线 过定点A （3，1）， （3-1）2+（1-2）2=5<25，∴点A 在圆C 的内部，故直线 恒与圆相交. （2）圆心O （1，2），当截得的弦长最小时， ⊥AO ，由k AO = -21, 得直线 的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.19. 解：过直线与圆的交点的圆方程可设为x 2+y 2+2x-2y-3+λ(x+3y-7)=0,整理得x 2+y 2+（2+λ）x+（3λ-2）y-3-7λ=0，令y=0，得x 2+y 2+（2+λ）x -3-7λ=0∴圆在x 轴上的两截距之和为x 1+x 2= -2-λ,同理，圆在y 轴上的两截距之和为2-3λ，故有-2-λ+2-3λ=-8，λ=2，所求圆的方程为x 2+y 2+4x+4y-17=0.20. 解：设所求圆圆心为P （a,b ），半径为r ，则点P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a|， 由题设知圆P 截x 轴所对劣弧对的圆心角为900，知圆P 截x 轴所得弦长为2r ，故r 2=2b 2, 又圆P 被 y轴所截提的弦长为2，所以有r 2=a 2+1，从而2b 2-a 2=1. 又因为P （a,b ）到直线x-2y=0的距离为55，所以d=5|2|b a -=55，即|a-2b|=1, 解得a-2b=±1,由此得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=-=-⎩⎨⎧=-=-1111121212122222b a b a b a a b b a a b 或解方程组得或, 于是r 2=2b 2=2, 所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2. 21. 解：公共弦所在直线斜率为32，已知圆的圆心坐标为（0，27），故两圆连心线所在直线方程为y-27=-23x, 即3x+2y-7=0,设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=++++=++-+-2110207)222304410323)2(2222F E D E D F E D F E D （）（, ∴所求圆的方程为x 2+y 2+2x-10y+21=0.。

解析几何初步测试题及答案详解(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列叙述中不正确的是( )A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都有唯一对应的倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α2．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为( )A ．－3B ．－6C ．－32D ．233．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( )4．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－95．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．4x －3y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0D ．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 6．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．4 B ．13 C ．15 D ．177．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．－4B ．20C ．0D ．24 8．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于y 轴对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝59．以点P (2，－3)为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝9 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝910．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －7＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝011．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．312．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C ．252D ．254二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的正射影，则|OB |＝______．14．如果A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，则直线l 的方程是________________． 15．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．16．若x ∈R ，y 有意义且满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx的最大值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x ＋y ＋1＝0及3x －4＝0，其对角线的交点是D (3,3)，求另两边所在的直线的方程．18．(12分)已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)． 求(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．19．(12分)已知一个圆和直线l ：x ＋2y －3＝0相切于点P (1,1)，且半径为5，求这个圆的方程．20．(12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．21．(12分) 如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？并说明理由．22．(12分)已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5．(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．答案详解1．D[α＝90°时，斜率不存在．∴选D．]2．B[当两直线平行时有关系a3＝2－1≠2－2，可求得a＝－6．]3．C4．D[由k AB＝k AC得b＝－9．]5．D [当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)代入得k ＝－43；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya＝1，将(3，－4)代入得a ＝－1．]6．D7．A [垂足(1，c)是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4×25＝－1，∴a ＝10．l ：10x ＋4y－2＝0．将(1，c)代入，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2：得b ＝－12．则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．]8．A [(x ，y)关于y 轴的对称点坐标(－x ，y)，则得(－x ＋2)2＋y 2＝5．] 9．C [圆心为(2，－3)，半径为2，故方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝4．]10．D [化成标准方程(x －2)2＋y 2＝9，过点P(1,2)的最短弦所在直线l 应与PC 垂直，故有k l ·k PC ＝－1，由k PC ＝－2得k l ＝12，进而得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0．]11．A [将两方程联立消去y 后得(k 2＋1)x 2＋2kx －9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k ＝0．]12．D [因为点A(1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x＝0得y ＝52．令y ＝0得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254．]13．13解析 易知点B 坐标为(0,2,3)，故OB ＝13． 14．3x ＋y ＋4＝015．－23解析 设P(x,1)则Q(2－x ，－3)，将Q 坐标代入x －y －7＝0得，2－x ＋3－7＝0．∴x ＝－2，∴P(－2,1)，∴k l ＝－23．16． 3解析 x 2＋y 2－4x ＋1＝0(y ≥0)表示的图形是位于x 轴上方的半圆，而yx 的最大值是半圆上的点和原点连线斜率的最大值，结合图形易求得最大值为3．17．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，3x －y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－54，y ＝14，即平行四边形给定两邻边的顶点为⎝⎛⎭⎫－54，14． 又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为⎝⎛⎭⎫294，234．∵另两边所在直线分别与直线x ＋y ＋1＝0及3x －y ＋4＝0平行，∴它们的斜率分别为－1及3，即它们的方程为y －234＝－⎝⎛⎭⎫x －294 及y －234＝3⎝⎛⎭⎫x －294， ∴另外两边所在直线方程分别为x ＋y －13＝0和3x －y －16＝0．18．解 (1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－32，k AC ＝1．∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0， x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B(7，－7)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0得C(－2，－1)． ∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0． (2)∵|BC|＝117， A 点到BC 边的距离d ＝1513， ∴S △ABC ＝12×d ×|BC|＝12×1513×117＝452． 19．解 设圆心坐标为C(a ，b)， 则圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝25． ∵点P(1,1)在圆上， ∴(1－a)2＋(1－b)2＝25． 又∵CP ⊥l ，∴b －1a －1＝2，即b －1＝2(a －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝2(a －1)，(a －1)2＋(b －1)2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋5，b ＝1＋25，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－5，b ＝1－2 5.故所求圆的方程是(x －1－5)2＋(y －1－25)2＝25或(x －1＋5)2＋(y －1＋25)2＝25． 20．解 设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，∵圆上的点A(2,3)关于x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，∴圆心(a ，b)在直线x ＋2y ＝0上， 即a ＋2b ＝0． ① 圆被直线x －y ＋1＝0截得的弦长为22， ∴⎝⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＋(2)2＝r 2． ② 由点A(2,3)在圆上得(2－a)2＋(3－b)2＝r 2． ③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244．21．解如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，若P ′(异于P)在直线上， 则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B|．因此，供水站只有在P 点处，才能取得最小值，设A ′(a ，b)，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎨⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3,6)．所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎨⎧x ＝3811，y ＝3611，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3811，3611． 故供水站应建在点P ⎝⎛⎭⎫3811，3611处． 22．解 (1)由题意，得|M 1M||M 2M|＝5．(x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0． 即(x －1)2＋(y －1)2＝25．∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25， 轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆． (2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段的长为252－32＝8，∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y －3＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0， 圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52， 解得k ＝512．∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0．即5x －12y ＋46＝0． 综上，直线l 的方程为x ＝－2，或5x －12y ＋46＝0．。

第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。

数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。

记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。

可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。

（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。

从点A 到点B的向量，记作AB 。

线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。

我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。

例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。

注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。

③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。

（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。

对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。

已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。

必修二 平面解析几何初步五种常用的直线系方程① 过两直线l 1和l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不含l 2).② 与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m≠b).③ 过定点(x 0, y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)及x ＝x 0.④ 与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程设为Ax ＋By ＋m ＝0 (m≠C).⑤ 与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程设为Bx －Ay ＋C 1＝0 (AB≠0).圆的切线方程① 圆x 2＋y 2＝r 2上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为: . ② 圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为: . ③ 圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为 . 圆系方程① 过两圆交点的圆系方程: .②过两圆交点的的公共弦方程: .③弦长公式 .典型习题1、已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点。

2、设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0。

3、已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程。

4、直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程；(2)当||||MB MA ⋅取最小值时，求直线l 的方程。

对应学生用书P75知识点一空间两点间的距离高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习（含解析）新人教B版必修21．在空间直角坐标系中，点A(3，2，－5)到x轴的距离d等于( )A．32＋22 B．22＋－52C．32＋－52 D．32＋22＋－52答案 B解析过点A作AB⊥x轴于点B，则B(3，0，0)，所以点A到x轴的距离d＝|AB|＝22＋－52．2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′O′，则A′C 的中点E与AB的中点F的距离为( )A．2aB．22aC．aD．12a答案 B解析A′(a，0，a)，C(0，a，0)，点E的坐标为a2，a2，a2，而F⎝⎛⎭⎪⎫a，a2，0，∴|EF|＝a24＋02＋a24＝22a，故选B．知识点二空间两点间距离公式的应用3．点P(x ，y ，z)满足x －12＋y －12＋z ＋12＝2，则点P 在( )A ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 B ．以点(1，1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内 C ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 D ．以上都不正确 答案 C 解析x －12＋y －12＋z ＋12表示P(x ，y ，z)到点M(1，1，－1)的距离，即|PM|＝2为定值．故点P 在以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上．4．如图所示，PA ，AB ，AD 两两垂直，四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：MN⊥AB．证明 如图所示，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a ，0，0)，D(0，b ，0)，C(a ，b ，0)，P(0，0，c)，连接AN ．因为M ，N 分别是AB ，PC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2，则|AM|2＝a 24，|MN|2＝b 2＋c 24，|AN|2＝a 2＋b 2＋c24，所以|AN|2＝|MN|2＋|AM|2，所以MN⊥AB．对应学生用书P75一、选择题1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A ．62 B ． 3 C ．32 D ．63答案 A解析 如图所示，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，设正方体的棱长为a(a ＞0)，则点P 在顶点B 1处，建立分别以OA ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则点P 的坐标为(a ，a ，a)，由题意得a 2＋a 2＝1，∴a 2＝12，∴|OP|＝3a 2＝3×12＝62． 2．与两点A(3，4，5)，B(－2，3，0)距离相等的点M(x ，y ，z)满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0 D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0 答案 A解析 由|MA|＝|MB|，即(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．3．到定点(1，0，0)的距离小于或等于2的点的集合是( ) A ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤2} B ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤4} C ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≥4}D ．{(x ，y ，z)|x 2＋y 2＋z 2≤4} 答案 B解析 由空间两点间的距离公式可得，点P(x ，y ，z)到定点(1，0，0)的距离应满足x －12＋y 2＋z 2≤2，即(x －1)2＋y 2＋z 2≤4．4．△ABC 的顶点坐标是A(3，1，1)，B(－5，2，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上射影的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A′(0，1，1)，B′(0，2，1)，C′(0，2，3)，∵|A′B′|＝0－02＋1－22＋1－12＝1，|B′C′|＝0－02＋2－22＋3－12＝2， |A′C′|＝0－02＋2－12＋3－12＝5，∴|A′B′|2＋|B′C′|2＝|A′C′|2，∴△ABC 在yOz 平面上的射影△A′B′C′是一个直角三角形，它的面积为1．5．已知A(x ，5－x ，2x －1)，B(1，x ＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x 的值为( ) A ．19 B ．－87 C ．87 D ．1914答案 C 解析 |AB|＝x －12＋3－2x2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， ∴当x ＝87时，|AB|最小．二、填空题6．在空间直角坐标系中，设A(m ，1，3)，B(1，－1，1)，且|AB|＝22，则m ＝________． 答案 1 解析 |AB|＝m －12＋[1－－1]2＋3－12＝22，解得m ＝1．7．已知点P 32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则z ＝________．答案 0或－4解析 由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为12，92，－2．又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以32－122＋52－922＋[z－－2]2＝3，解得z＝0或－4．8．点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，则点A到原点的距离为________．答案4 2解析由点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，得m＝3，所以点A到原点的距离为d＝32＋22＋52＝32＝42．三、解答题9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求|DE|，|EF|．解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|CC1|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22＝5，|EF|＝0－12＋1－02＋2－02＝6．10．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<2)，(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．解由于平面ABCD、ABEF互相垂直，其交线为AB，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF，故以B为原点O，BC所在直线为z轴正半轴，BA所在直线为x轴正半轴，BE所在直线为y轴正半轴，建立空间直角坐标系．由于N点在对角线BF上，且BN＝a，N点到x轴和到y轴的距离相等，所以N点坐标为2 2a，22a，0．同理M点的坐标为M22a，0，1－22a．于是：(1)MN＝22a－22a2＋22a－02＋22a－12＝a－222＋12，0<a<2．(2)由(1)知MN＝a－222＋12，故当a＝22时，MN有最小值，且最小值为22．。

本章测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)过点(－)与点(－)的直线的倾斜角为( )．°．°．°．°圆心为(，－)，半径为的圆的方程是( )．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝．(－)＋(＋)＝已知点(，)，点()，＝，则实数等于( )．．－．±过点()，且倾斜角为°的直线方程是…()．＋＝(＋) ．－＝(－)－＋－＝－＋－＝直线：－＝与圆：＋－＝的位置关系是( )．相离．相切．相交．无法确定圆＋＝与圆＋＝的位置关系是( )．相离．相切．相交．内含直线＋(－)＋＝(∈)恒过定点( )．(－) ．(，－)．() ．不确定已知三点，，共线，且(，－)、(－)、(，，)，则的值为( )．．．－．－直线＝＋与圆＋＋－－＝的两个交点关于轴对称，则为( )．－．．．任何实数已知直线：＝＋与曲线＝有两个公共点，则实数的取值范围是( )．(－) ．(－)．[，] ．(－，)二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中的横线上)点()关于轴的对称点坐标是．圆＋－－＋＝与圆＋－－＋＝的公共弦所在的直线方程是．(－)在直线上的射影为(，－)，则直线的方程是．已知圆：＋＝和点()，则过且与圆相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于．已知点()在圆：＋＋－＋＝上，点关于直线－＝的对称点′也在圆上，则＋＝.三、解答题(本大题共小题，共分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(分)求经过点()且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．(分)在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线－＝相切，求圆的方程．(分)求直线＋＋＝关于点()对称的直线方程．(分)在平面直角坐标系中，已知圆：(＋)＋(－)＝和圆：(－)＋(－)＝.()若直线过点()，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；()设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．参考答案。

平面解析几何1.直线方程、倾斜角与斜率。

2.直线之间的位置关系。

3.圆的方程、半径及圆心坐标。

4.直线与圆的位置关系。

5.椭圆、双曲线及抛物线的标准方程。

6.椭圆、双曲线与抛物线的焦点坐标，焦半径，长轴、短轴、渐近线、准线方程，第二定义，通径长和焦准距。

7.直线与圆锥曲线的位置关系。

例1.已知两点A(－3，4)、B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点．求直线l 的斜率的取值范围.解：如图，为使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角应介于直线PB 的倾斜角与直线PA 的倾斜角之间，所以，当l 的倾斜角小于90°时，有k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，则有k ≤k PA .∵ k PA ＝4－（－1）－3－2＝－1，k PB ＝2－（－1）3－2＝3.∴ k ≤－1或k ≥3.例2. 已知直线kx ＋y －k ＝0与射线3x －4y ＋5＝0(x ≥－1)有交点，求实数k 的取值范围．解：kx ＋y －k ＝0k(x －1)＋y ＝0，直线系过定点(1，0)斜率k′＝－k ，可画图看出k ′∈⎝⎛⎭⎫34，＋∞∪⎝⎛⎦⎤－∞，－14，∴ k ∈(－∞，－34)∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞.(或者由两直线方程联立，消去y 得x ＝4k －53＋4k ≥－1，即4k －14k ＋3≥0k ≥14或k<－34)例3.已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1) 求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2) 为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．(1) 证明：将直线l 的方程整理为y －35＝a(x －15)，∴ 直线l 的斜率为a ，且过定点A(15，35)，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，∴ 直线l 恒过第一象限．(2) 解：要使直线l 不经过第二象限，则直线l 所在的区域介于AO 和AB 之间，如图，包含直线AO ，但不包含直线AB.∴ a ≥3.例4. 两条平行直线分别过点P(－2，－2)、Q(1，3)，它们之间的距离为d ，如果这两条直线各自绕着P 、Q 旋转并且保持互相平行．(1) 求d 的变化范围；(2) 用d 表示这两条直线的斜率；(3) 当d 取最大值时，求两条直线的方程．解：(1) (解法1)设过点P(－2，－2)的直线l 1方程为Ax ＋By ＋C 1＝0，过点Q(1，3)的直线l 2方程为Ax ＋By ＋C 2＝0，由于点P 、Q 在直线上，得－2A －2B ＋C 1＝0，A ＋3B ＋C 2＝0， 两式相减得C 1－C 2＝3A ＋5B ，两直线间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2＝|3A ＋5B|A 2＋B 2，即(d 2－9)A 2－30AB ＋(d 2－25)B 2＝0.(*) ① 当B ≠0时，两直线斜率存在，有(d 2－9)⎝⎛⎭⎫A B 2－30⎝⎛⎭⎫A B ＋d 2－25＝0.由d>0及Δ≥0，得(－30)2－4(d 2－9)(d 2－25)≥0， 从而0<d ≤34；② 当B ＝0时，两直线分别为x ＝－2与x ＝1，它们间的距离为3，满足上述结论． 综上所述，d 的取值范围是(0，34]． (解法2)两平行直线在旋转过程中，0<d ≤PQ ，而PQ ＝34，故d 的取值范围是(0，34]，(2) 当B ≠0时，两直线的斜率存在，从方程(*)中解得A B ＝15±d 34－d 2d 2－9，直线的斜率k＝－AB ＝－15±d 34－d 2d 2－9.(3) 当d ＝34时，k ＝－A B ＝－35，对应两条直线分别为l 1：3x ＋5y ＋16＝0，l 2：3x ＋5y－18＝0.例5. 已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于O 、A 两点，与y 轴交于O 、B 两点，其中O 为原点．(1) 求证：△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1) 证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t)2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2 .令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值．(2) 解：∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段是MN.∵k MN ＝－2，∴k oc ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意故舍去．∴圆C 的方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝5 .例6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＝r 2和直线l ：x ＝a(其中r 和a 均为常数，且0 < r < a)，M 为l 上一动点，A 1，A 2为圆C 与x 轴的两个交点，直线MA 1，MA 2与圆C 的另一个交点分别为P 、Q.(1) 若r ＝2，M 点的坐标为(4，2)，求直线PQ 方程； (2) 求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标． (1) 解：当r ＝2，M(4，2)， 则A 1(－2，0)，A 2(2，0)．直线MA 1的方程：x －3y ＋2＝0，解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －3y ＋2＝0得P ⎝⎛⎭⎫85，65. 直线MA 2的方程：x －y －2＝0， 解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －y －2＝0得Q(0，－2)． 由两点式，得直线PQ 方程为2x －y －2＝0.(2) 证明：(证法1)由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0)． 设M(a ，t)，直线MA 1的方程是y ＝t a ＋r (x ＋r)，直线MA 2的方程是y ＝ta －r(x －r)．解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝ta ＋r（x ＋r ）， 得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫r （a ＋r ）2－rt 2（a ＋r ）2＋t 2，2tr （a ＋r ）（a ＋r ）2＋t 2. 解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝ta －r（x －r ）， 得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫rt 2－r （a －r ）2（a －r ）2＋t2，－2tr （a －r ）（a －r ）2＋t 2. 于是直线PQ 的斜率k PQ ＝2ata 2－t 2－r 2，直线PQ 的方程为y －2tr （a ＋r ）（a ＋r ）2＋t 2＝2ata 2－t 2－r 2(x －r （a ＋r ）2－rt 2（a ＋r ）2＋t 2)．上式中令y ＝0，得x ＝r 2a，是一个与t 无关的常数．故直线PQ 过定点⎝⎛⎭⎫r 2a ，0.(证法2)由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0)． 设M(a ，t)，直线MA 1的方程是y ＝ta ＋r (x ＋r)，与圆C 的交点P 设为P(x 1，y 1)．直线MA 2的方程是：y ＝ta －r(x －r)，与圆C 的交点Q 设为Q(x 2，y 2)．则点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)在曲线[(a ＋r)y －t(x ＋r)][(a －r)y －t(x －r)]＝0上， 化简得(a 2－r 2)y 2－2ty(ax －r 2)＋t 2(x 2－r 2)＝0，①又有P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)在圆C 上，圆C ：x 2＋y 2－r 2＝0. ②①－t 2×②得(a 2－r 2)y 2－2ty(ax －r 2)－t 2(x 2－r 2)－t 2(x 2＋y 2－r 2)＝0， 化简得(a 2－r 2)y －2t(ax －r 2)－t 2y ＝0.所以直线PQ 的方程为(a 2－r 2)y －2t(ax －r 2)－t 2y ＝0.③在③中令y ＝0得x ＝r 2a，故直线PQ 过定点⎝⎛⎭⎫r 2a ，0 例7. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F(1，0)，且离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设经过点F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P(0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1) 设椭圆C 的半焦距是c. 依题意，得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) 当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q(x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k(x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2.在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k . 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k ＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312.综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312.例8.如图，椭圆C ：x 216＋y24＝1的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点．(1) 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2) 过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于点R 、S(不同于B)，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标．证明：(1) 由题意，得A(4，0)，B(0，2)，D(0，－2)，E(2，0)，P(4，1)．所以直线DE的方程为y ＝x －2，直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝165，y ＝65，所以直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫165，65.因为⎝⎛⎭⎫165216＋⎝⎛⎭⎫6524＝1，所以点⎝⎛⎭⎫165，65在椭圆x 216＋y 24＝1上．即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上．(2) 直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16k 11＋4k 21，y ＝2－8k 211＋4k 21， 所以点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 11＋4k 21，2－8k 211＋4k 21.因为k 1k 2＝－14，所以直线BS 的斜率k 2＝－14k 1.直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝－14k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16k 11＋4k 21，y ＝8k 21－21＋4k 21.所以点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21.所以R 、S 关于坐标原点O 对称，故R 、O 、S 三点共线，即直线RS 过定点O ，O 点坐标为(0，0)．例9.设A 、B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1) 由题意知a ＝23，故一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，则|bc|b 2＋12＝3，得b 2＝3，故双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0， 将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，则⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3， 故t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．例10. 已知抛物线C ：y ＝ax 2(a 为非零常数)的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一个动点，过点P 且与抛物线C 相切的直线记为l.(1) 求F 的坐标；(2) 当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小？解：(1) 抛物线方程为x 2＝1ay ，故焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a . (2) 设P(x 0，y 0) 则 y 0＝ax 20 .∵y ′0＝2ax 0, ∴在P 点处抛物线(二次函数)的切线的斜率 k ＝2ax 0，∴切线l 的方程是y－y 0＝k(x －x 0)，即y －ax 20＝2ax 0·(x －x 0)，即2ax 0x －y －ax 20＝0.∴焦点F 到切线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪0－14a －ax 20（2ax 0）2＋（－1）2＝14|a|4a 2x 20＋1≥14|a|，当且仅当 x 0＝0时上式取“＝”，此时P 的坐标是(0，0)，∴当P 在(0，0)处时，焦点F 到切线l 的距离最小．例11.如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1上一点P ⎝⎛⎭⎫1，32，过点P 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于A 、B(不同于P)，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－34.(1) 求证：直线AB 过定点； (2) 求△PAB 面积的最大值．(1) 证明：(证法1)设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －1)＋32，联立⎩⎨⎧y ＝k 1（x －1）＋32，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 21)x 2＋(12k 1－8k 21)x ＋4k 21－12k 1－3＝0，解得x ＝1或x ＝4k 21－12k 1－33＋4k 21，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21－12k 1－33＋4k 21，－12k 21－12k 1＋92（3＋4k 21）.同理点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 22－12k 2－33＋4k 22，－12k 22－12k 2＋92（3＋4k 22）.因为k 1k 2＝－34，即k 2＝－34k 1，所以4k 22－12k 2－33＋4k 22＝4⎝⎛⎭⎫－34k 12－12⎝⎛⎭⎫－34k 1－33＋4⎝⎛⎭⎫－34k 12＝－4k 21＋12k 1＋33＋4k 21，同理可得－12k 22－12k 2＋92（3＋4k 22）＝12k 21＋12k 1－92（3＋4k 21）.所以A 、B 关于原点O 对称，即直线AB 过定点O.(证法2)设A(x 0，y 0)，则由x 204＋y 203＝1得y 20＝3－34x 20.设点A 关于原点O 的对称点为A ′(－x 0，－y 0)，直线PA′的斜率为k 3，则k 1k 3＝32－y 01－x 0·32＋y 01＋x 0＝94－y 201－x 20＝94－⎝⎛⎭⎫3－34x 201－x 20＝34x 20－341－x 20＝－34.又k 1k 2＝－34，所以k 2＝k 3，从而P 、B 、A′三点共线．因为B 、A′都在椭圆C 上，所以B 与A′重合．所以A 、B 关于原点O 对称，即直线AB 过定点O.(2) 解：由(1)可设A(x 0，y 0)，B(－x 0，－y 0)，x 0≠±1，则直线AB 的方程为y 0x －x 0y＝0，所以AB ＝2x 20＋y 20，点P 到直线AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪y 0－32x 0x 20＋y 20，所以S △PAB ＝12·AB ·d ＝12·2x 20＋y 20·⎪⎪⎪⎪y 0－32x 0x 20＋y 20＝⎪⎪⎪⎪y 0－32x 0. (解法1)令t ＝y 0－32x 0，则y 0＝32x 0＋t ，代入x 204＋y 203＝1得x 20＋tx 0＋t 23－1＝0.令Δ＝t 2－4⎝⎛⎭⎫t23－1≥0，解得|t|≤23，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝32时，|t|有最大值23，即△PAB 面积的最大值为2 3.(解法2)⎪⎪⎪⎪y 0－32x 02＝94x 20－3x 0y 0＋y 20.因为－3x 0y 0＝32(－x 0)(2y 0)≤32·（－x 0）2＋（2y 0）22＝3x 20＋12y 204，所以⎪⎪⎪⎪y 0－32x 02≤94x 20＋3x 20＋12y 204＋y 20＝3x 20＋4y 20＝12，从而⎪⎪⎪⎪y 0－32x 0≤23，当且仅当－x 0＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝32时，△PAB 面积的最大值为2 3. 例12. 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3) 设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP 、NP 分别与x 轴交于点R 、S ，O 为坐标原点，求证：OR·OS 为定值．(1) 解：依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴ c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(2) 解：易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M(x 1，y 1)，N(x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0.由于点M 在椭圆C 上，∴ y 21＝1－x 214.(*)由已知T(－2，0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，∴ TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎫x 1＋852－15. 由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值－15.把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35. 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325.故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325.(3) 证明：设P(x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)， 代入(**)式，得x R ·x S ＝4（1－y 21）（y 20－4）（1－y 20）y 21y 20－y 21＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以OR·OS ＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。

1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+bya x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：BC x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．(3)指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，),(2222BA A BA B +-+ （单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）（6）参数式：⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，),(2222b a bba a ++； ab k =；22||||b a t PP o +=； 点21,P P 对应的参数为21,t t ，则222121||||b a t t P P +-=； ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜角为)0(παα<≤。

第二章 2.2 2.2.1一、选择题1．有下列命题：①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；④坐标平面上所有的直线都有斜率．其中错误的是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④[答案] D[解析] 当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在，故②、④错．2．若直线经过点(1,2)、(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°[答案] D[解析] 直线的斜率k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角是30°.3．若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 的值为( ) A ．12 B ．－12C ．－2D ．2[答案] A[解析] 由已知得，k AB ＝k AC ， ∴－2－33－(－2)＝m －312－(－2)，解得m ＝12.4．直线y ＝kx ＋b ，当k >0，b <0时，此直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．以上都不是[答案] B[解析] 由k >0知，直线的倾斜角为锐角，由b <0知，直线过y 轴负半轴上点(0，b )，∴直线不经过第二象限．5．已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，如右图所示，则( )A ．k1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2[答案] D[解析] 由图可知直线l 1的倾斜角为钝角，所以k 1<0；直线l 2与直线l 3倾斜角均为锐角，且直线l 2的倾斜角较大，所以k 2>k 3>0.∴k 2>k 3>k 1.∴应选D.6．(2015·陕西西安市一中高一期末测试)已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[12，＋∞) D ．[－2，12] [答案] D[解析] 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，如图所示，k P A ＝3－11－2＝－2， k PB ＝1－(－1)2－(－2)＝12，故所求k 的取值范围为[－2，12]． 二、填空题7．(2015·甘肃张掖二中高一期末测试)三点(2，－3)、(4,3)及(5，k 2)在同一条直线上，则k 的值等于________．[答案] 12[解析] 由题意得3－(－3)4－2＝k 2－35－4，∴k ＝12. 8．已知点A 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为________．[答案] (1,0)或(0，－2)[解析] 设B (x,0)或(0，y )，k AB ＝43－x 或4－y 3， ∴43－x＝2或4－y 3＝2，∴x ＝1，y ＝－2. 三、解答题9．求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1)(1,1)、(2,4)；(2)(－3,5)、(0,2)；(3)(4,4)、(4,5)；(4)(10,2)、(－10,2)．[解析] (1)k ＝4－12－1＝3>0，∴倾斜角是锐角． (2)k ＝2－50－(－3)＝－1<0，∴倾斜角是钝角． (3)倾斜角是90°.(4)k ＝2－2－10－10＝0，倾斜角为0°. 10．已知点A (2，－3)、B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．[解析] 如图，直线l 与线段AB 相交，只需直线l 绕点P 按逆时针从PB 转到P A ，即为直线l 的范围．因为k PB ＝34，k P A ＝－4，但过P 点且垂直于x 轴的直线的斜率是不存在的，所以旋转过程中，l 的斜率由k PB 变化到无穷大，此时倾斜角在增大．当倾斜角转过90°时，斜率又由无穷小到k P A ，所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪[34，＋∞)．一、选择题1．斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a ＋b 等于( )A ．4B ．－7C ．1D ．－1[答案] C[解析] 由题意，得2＝7－5a －3＝b －5－1－3， ∴a ＝4，b ＝－3，∴a ＋b ＝1.2．直线l 过点A (2,1)、B (3，m 2)(m ∈R )，则直线l 斜率的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1] [答案] A[解析] 直线l 的斜率k ＝m 2－13－2＝m 2－1， ∵m ∈R ，∴m 2－1≥－1，故选A ．二、填空题3．如图所示，直线l 1、l 2、l 3、l 4的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，从小到大的关系是____________．[答案] k 1<k 3<k 4<k 2[解析] 由倾斜角和斜率的关系可知k 1<k 3<k 4<k 2.4．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,1)[解析] k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2.∵倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，即(a －1)(a ＋2)<0，∴－2<a <1. 三、解答题5．(1)当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m,6)、B (1,3m )的直线的斜率为12?(2)当且仅当m 为何值时，经过两点A (m,2)、B (－m,2m －1)的直线的倾斜角是45°？[解析] (1)由题意，得3m －61－(－m )＝12，解得m ＝－2.(2)由题意，得(2m －1)－2－m －m ＝1，解得m ＝34.6．已知A (1,1)、B (3,5)、C (a,7)、D (－1，b )四点共线，求直线方程y ＝ax ＋b .[解析] ∵A 、B 、C 、D 四点共线，∴直线AB 、AC 、AD 的斜率相等，即k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1，k AD ＝b －1－1－1，∴2＝6a －1＝b －1－2.解得a ＝4，b ＝－3.∴所求直线方程为y ＝4x －3.7．已知实数x 、y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x 的最大值和最小值．[解析] 如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)，而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.。