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2011考研必备高等数学公式手册一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ·倍角公式： ·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ导数公式： 基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
·······高等数学公式篇·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝co sαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)部分高等内容[编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
考研数学公式完整版高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学公式篇导数公式： 基本积分表：C kx dx k +=⎰)1a (,C x 1a 1dx x 1a a-≠++=+⎰C x ln dx x 1+=⎰ C e dx e xx +=⎰C a ln a dx a xx+=⎰(1a ,0a ≠>) C x cos xdx sin +-=⎰C x sin dx x cos +=⎰ C x arctan dx x 112+=+⎰C axarcsin x a dx C x a xa ln a 21x a dx C a x ax ln a 21a x dx C a xarctan a 1x a dx Cx cot x csc ln xdx csc C x tan x sec ln xdx sec Cx sin ln xdx cot C x cos ln xdx tan 22222222+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C)a x x ln(a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca ln a dx a Cx csc xdx cot x csc C x sec dx x tan x sec Cx cot xdx csc x sin dx C x tan xdx sec x cos dx 2222x x2222aln x 1)x (log a ln a )a (x cot x csc )x (csc x tan x sec )x (sec x csc )x (cot x sec )x (tan x cos )x (sin aX )X (0)C (a x x 221a a ='='⋅-='⋅='-='='='='='-2222xx x 11)x cot arc (x 11)x (arctan x 11)x (arccos x 11)x (arcsin x 1)x (ln e )e (x sin )x (cos +-='+='--='-='='='-='C x sin d x cos c ln B Ax dx x sin d x cos c xsin b x cos a +++=++⎰其中，)x sin d x cos c (B )x sin d x cos c (A x sin b x cos a +++=+ a Bd Ac =+B ,A b Bc Ad ⇒=-三角函数的有理式积分：2222u1du2dx 2x tan u u 1u 1x cos u 1u 2x sin +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：α-α=αα+=α-α+±=αα+α=αα-=α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan2cos 12cos 2cos 12sin ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：x cot arc 2x arctan x arccos 2x arcsin -π=-π= 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+α±ββ⋅α=β±αβ⋅αβ±α=β±αβαβα=β±αβα±βα=β±αcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( α-α-α=αα-α=αα-α=α2333tan 31tan tan 33tan cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin α-α=αα-α=αα-α=α-=-α=ααα=α222222tan 1tan 22tan cot 21cot 2cot sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
考研高等数学公式手册高等数学复习公式kaoyan高等数学公式导数公式：2(tgx)??secx(ctgx)???cscx(secx)??secx?tg x(cscx)???cscx?ctgx(a)??alna(logaxx2(arc sinx)??(arccosx)???(arctgx)??11?x11?x11? x222x)??1xlna(arcctgx)???11?x2基本积分表：?tgxdx?ctgxdx?sec?a?x?a???ln cosx?C?lnsinx?C?cos?sindx2xx???sec?csc 2xdx?tgx?Cxdx??ctgx?Cdx22xdx?lnsecx?t gx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx2?secx?tgx dx?cscx?ctgxdx?ax?secx?C??cscx?C?C?x dx?adx?xdx22???1a1arctglnlnxa?C?C?Cx ?ax?aa?xa?xxadx?axlna222a12a?shxdx?ch xdx??2?chx?C?shx?C?ln(x?x?a)?C2222a? x2?arcsin?Cdxx?a22?2In??sin02nxdx??co sxdx?0nn?1naaa2In?2x?a)?Cx?axa?C2222 ???2u1?ux?adx?x?adx?a?xdx?22222x2x2x 2x?a?x?a?a?x?22222222ln(x?lnx?arcsin22?C2三角函数的有理式积分：sinx?，cosx?21?u1?u2，u?tg2x2，dx?2du1?u2 第 1 页共15 页高等数学复习公式一些初等函数：两个重要极限：e?e2e?e2shxchx2x?xx?x双曲正弦:shx?双曲余弦:chx?双曲正切:thx?arshx?ln(x?archx??ln(x?arthx?12ln 1?x1?xlimsinxx1xx?0?1)?e? 59045...lim(1?x???e?ee?exx?x?xx?1）x?1)2三角函数公式：·诱导公式：函数角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin cos tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα -ctgα ctgα tgα -ctgα ctgα -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα -sinα -cosα tgα -cosα -sinα ctgα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -tgα tgα -ctgα -tgα ·和差角公式：·和差化积公式：sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?c os??sin?sin?tg(???)?tg??tg?1?tg??tg?ctg?? ctg??1ctg??ctg?sin??sin??2sinsin??sin??2cos???2cossin???2???2???2cos??cos??2cos cos??cos??2sin???2cossin???2ctg(???)???? 2???2 第 2 页共15 页高等数学复习公式·倍角公式：sin2??2sin?cos?cos2??2cos??1?1?2sin??co s??sin?ctg2??tg2??ctg??12ctg?2tg?1?tg?2 22222sin3??3sin??4sin?cos3??4cos??3cos ?tg3??3tg??tg?1?3tg?2333 ·半角公式：sintg?2????1?cos?21?cos?1?cos?asinA 1?cos?sin?bsinB?cosctg?2??1?cos?21?cos?1?cos?22 ?1?c os?sin?2?2??csin?1?cos??2???sin?1?cos?·正弦定理：?sinC?2R·余弦定理：c?a?b?2abcosC ·反三角函数性质：arcsinx??2?arccosxarctgx??2?arcctgx 高阶导数公式——莱布尼兹公式：n(uv)?u(n)??Ck?0knu(n?k)v(k)(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)2!u(n?2)v?????n(n?1)?(n?k?1)k! u(n?k)v(k)???uv(n)中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?f?(?)F?(?)拉格朗日中值定理。
目录一、高等数学 (1)(一) 函数、极限、连续 (1)(二) 一元函数微分学 (5)(三)一元函数积分学 (13)(四) 向量代数和空间解析几何 (20)(五)多元函数微分学 (29)(六)多元函数积分学 (35)(七)无穷级数 (40)(八)常微分方程 (47)二、线性代数 (52)(一) 行列式 (52)(二)矩阵 (54)(三) 向量 (57)(四)线性方程组 (60)(五)矩阵的特征值和特征向量 (62)(六)二次型 (63)三、概率论与数理统计 (66)(一)随机事件和概率 (66)(二)随机变量及其概率分布 (70)(三)多维随机变量及其分布 (72)(四)随机变量的数字特征 (75)(五)大数定律和中心极限定理 (78)(六)数理统计的基本概念 (79)(七)参数估计 (81)(八)假设检验 (84)经常用到的初等数学公式 (86)平面几何 (91)一、高等数学(一) 函数、极限、连续考试内容公式、定理、概念函数和隐函数函数：设有两个变量x和y，变量x的定义域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：()y f x=基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立：基本初等函数包括五类函数:1幂函数:()y x Rμμ=∈;2指数函数xy a=(0a>且1a≠);3对数函数:logay x=( 0a>且1a≠);4三角函数:如sin,cos,tany x y x y x===等;5反三角函数:如arcsin,arccos,arctany x y x y x===等.初等函数：由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数.数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限100lim()()()x xf x A f x f x A-+→=⇔==200lim()()(),lim()0 x x x xf x A f x A a x a x→→=⇔=+=其中3(保号定理)与右极限lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><当且时，或无穷小和无穷大的概念及其 关系，无穷小的性质及无穷小的比较 lim )0,lim ()0x x αβ==设（()(1)lim0,())()x x x x ααββ=若则是比（高阶的无穷小， αβ记为(x)=o((x)).()(2)lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小， ()(3)lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则与（是同阶无穷小， ()(4)lim1,())()x x x x ααββ=若则与（是等价的无穷小， αβ 记为(x)(x) ()(5)lim (0),0,())()k x c c k x x x ααββ=≠>若则是（的k 阶无穷小0x →常用的等阶无穷小：当时sin arcsin tan ,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭2111cos 21(1)1n x xx xn-+- 无穷小的性质（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小 （2） 有限个无穷小的乘积为无穷小 （3） 无穷小乘以有界变量为无穷小Th 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大极限的四则运算lim(),lim().f x Ag x B==则(1)lim(()())f xg x A B±=±；(2)lim()()f xg x A B= ；()(3)lim(0)()f x ABg x B=≠极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：1()()(),x x f x xϕφ≤≤夹逼定理）设在的邻域内，恒有（00lim()lim(),x x x xx x Aϕφ→→==且lim()x xf x A→=则2单调有界定理：单调有界的数列必有极限3两个重要极限：sin(1)lim1xxx→=1(2)lim(1)exxx→+=重要公式：10111011,lim0,,n nn nm mxm man mba x a x a x an mb x b x b x bn m---→∞-⎧=⎪⎪++++⎪=<⎨++++⎪⎪∞>⎪⎩4几个常用极限特例lim1,nnn→∞=lim arctan2xxπ→+∞=lim arctan2xxπ→-∞=-lim arc cot0,xx→+∞=lim arc cot x x π→-∞= lim e 0,x x →-∞=lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1,x x x +→+=函数连续的概念：函数间断 点的类型：初等函数的连续性：闭区间上连续函数的性质连续函数在闭区间上的性质：(1) (连续函数的有界性)设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >，对任意的[],x a b ∈,恒有 ()f x M ≤.(2) (最值定理)设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上 ()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得: ()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈；()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.(3) (介值定理)若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与 ()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数()f x 在[],a b 上连 续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<(二) 一元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和 物理意义1导数定义：0000()()'()limx f x x f x f x x→+-= （1）或 0000()()'()lim x x f x f x f x x x →-=- （2）2函数()f x 在0x 处的左、右导数分别定义为： 左导数：0000000()()()()()lim lim ,()x x x f x x f x f x f x f x x x x x x x ---∆→→+∆--'===+∆∆-右导数： 0000000()()()()()limlim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++∆→→+∆--'==∆- 函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和 法线Th1: 函数()f x 在0x 处可微()f x ⇔在0x 处可导Th2: 若函数()y f x =在点0x 处可导，则()y f x =在点0x 处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3: 0()f x '存在00()()f x f x -+''⇔=00()()(,)f x x x f x M x y =0设函数在处可导，则在处的 0000000-'()()1-(),'()0.'()y y f x x x y y x x f x f x =-=--≠切线方程：法线方程: 导数和微分的四则运算，初四则运算法则:设函数()u u x =，()v v x =在点x 可导则 (1) ()u v u v '''±=± ()d u v du dv ±=± (2) ()uv uv vu '''=+ ()d uv udv vdu =+等函数的导数，(3)2()(0)u vu uvvv v''-'=≠2()u vdu udvdv v-=基本导数与微分表(1) y c=（常数）0y'=0dy=(2) y xα=(α为实数) 1y xαα-'=1dy x dxαα-=(3) xy a=lnxy a a'=lnxdy a adx=特例(e)ex x'=(e)ex xd dx=(4)1lnyx a'=1lndy dxx a=特例lny x=1(ln)xx'=1(ln)d x dxx=(5) siny x=cosy x'=(sin)cosd x xdx=(6) cosy x=siny x'=-(cos)sind x xdx=-(7) tany x=221seccosy xx'==2(tan)secd x xdx=(8) coty x=221cscsiny xx'=-=-2(cot)cscd x xdx=-(9) secy x=sec tany x x'=(sec)sec tand x x xdx=(10)cscy x=csc coty x x'=-(csc)csc cotd x x xdx=-(11) arcsiny x=211yx'=-21(arcsin)1d x dxx=-(12) arccosy x=211yx'=--21(arccos)1d x dxx=--(13) arctany x=211yx'=+21(arctan)1d x dxx=+ (14) arc coty x=211yx'=-+21(arccot)1d x dxx=-+(15) y shx = y chx '= ()d shx chxdx = (16) y chx = y shx '= ()d chx shxdx = 复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分 法，1反函数的运算法则: 设()y f x =在点x 的某邻域内单调连 续，在点x 处可导且()0f x '≠，则其反函数在点x 所对应的 y 处可导，并且有1dy dxdx dy= 2复合函数的运算法则:若()x μϕ=在点x 可导,而()y f μ= 在对应点μ(()x μϕ=)可导,则复合函数(())y f x ϕ=在点x 可 导,且()()y f x μϕ'''=⋅3隐函数导数dydx的求法一般有三种方法： (1)方程两边对x 求导，要记住y 是x 的函数，则y 的函数是x 的复合函数.例如1y，2y ，ln y ，e y 等均是x 的复合函数. 对x 求导应按复合函数连锁法则做. (2)公式法.由(,)0F x y =知(,)(,)x y F x y dydx F x y '=-',其中，(,)x F x y '， (,)y F x y '分别表示(,)F x y 对x 和y 的偏导数(3)利用微分形式不变性 高阶导数，一阶微分形式的不变性，常用高阶导数公式（1）()()()ln (0)(e )e x n x n x n x a a a a =>=（2）()(sin )sin()2n n kx k kx n π=+⋅（3）()(cos )cos()2n n kx k kx n π=+⋅（4）()()(1)(1)m n m-n x m m -m -n+x =（5）()(1)(1)!(ln )(1)n n nn x x --=- （6）莱布尼兹公式：若()()u x ,v x 均n 阶可导，则()()()()nn i i n-i n i=uv c u v =∑，其中(0)u =u ，(0)v =v 微分中值 定理，必达法则， 泰勒公式Th1(费马定理)若函数()f x 满足条件：(1)函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有0()()f x f x ≤或0()()f x f x ≥,(2) ()f x 在0x 处可导,则有 0()0f x '=Th2 (罗尔定理) 设函数()f x 满足条件：(1)在闭区间[,]a b 上连续；(2)在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内∃一个ξ，使 ()0f ξ'=Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数()f x 满足条件：(1)在[,]a b 上连续；(2)在(,)a b 内可导；则在(,)a b 内∃一个ξ，使 ()()()f b f a f b a ξ-'=-Th4 (柯西中值定理) 设函数()f x ，()g x 满足条件： (1)在[,]a b 上连续；(2)在(,)a b 内可导且()f x '，()g x '均存在，且()0g x '≠则在(,)a b 内∃一个ξ，使 ()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-洛必达法则：法则Ⅰ (0型)设函数()(),f x g x 满足条件：()()0lim 0,lim 0x x x x f x g x →→==; ()(),f x g x 在0x 的邻域内可导(在0x 处可除外)且()0g x '≠;()()limx x f x g x →''存在(或∞).则 ()()()()lim lim.x x x x f x f x g x g x →→'=' 法则I ' (00型)设函数()(),f x g x 满足条件：()()lim 0,lim 0x x f x g x →∞→∞==;∃一个0X >,当x X >时,()(),f x g x 可导,且()0g x '≠;()()limx x f x g x →''存在(或∞).则 ()()()()lim lim.x x x x f x f x g x g x →→'=' 法则Ⅱ(∞∞型) 设函数()(),f x g x 满足条件： ()()0lim ,lim x x x x f x g x →→=∞=∞; ()(),f x g x 在0x 的邻域内可导(在0x 处可除外)且()0g x '≠;()()limx x f x g x →''存在(或∞).则 ()()()()0lim lim.x x x x f x f x g x g x →→'='同理法则II '(∞∞型)仿法则I '可写出 泰勒公式: 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少∃ 一个ξ，使得2000001()()()()()()2!f x f x f x x x f x x x '''=+-+-+ ()00()()()!n n n f x x x R x n +-+其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+称为()f x 在点0x 处的n 阶泰勒余项.令00x =，则n 阶泰勒公式()21(0)()(0)(0)(0)()2!!n n n f f x f f x f x x R x n '''=+++++ (1)其中 (1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+，ξ在0与x 之间.(1)式称为麦克劳林公式常用五种函数在00x =处的泰勒公式1211e 12!!(1)!n xn x x x x e n n ξ+=++++++或 2111()2!!n n x x x o x n =+++++1311sin sin sin()3!!2(1)!2n n x n x n x x x n n πξπ++=-+++++或 31sin ()3!!2nn x n x x o x n π=-+++ 1211cos 1cos cos()2!!2(1)!2n n x n x n x x n n πξπ++=-+++++或 211cos ()2!!2n n x n x o x n π=-+++1231111(1)ln(1)(1)23(1)(1)n n n n n x x x x x x n n ξ+-+-+=-+-+-+++ 或 23111(1)()23nn n x x x x o x n-=-+-+-+2(1)(1)(1)(1)12!!m n m m m m m n x mx x x n ---++=++++11(1)(1)(1)(1)!n m n m m m n x n ξ+----++++ 或2(1)(1)12!m m m x mx x -+=+++(1)(1)()!n n m m m n x o x n --+++函数单调性的判别，函数的极值，函数的图形的凹凸性，拐点及渐近线，用函数图形描绘函数最大值和最小值，1函数单调性的判断：Th1设函数()f x 在(,)a b 区间内可导，如果对(,)x a b ∀∈，都有'()0f x >（或'()0f x <），则函数()f x 在(,)a b 内是单调增加的（或单调减少）Th2 （取极值的必要条件）设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取极值，则0'()0f x =.Th3 （取极值的第一充分条件）设函数()f x 在0x 的某一邻域内可微，且0'()0f x =（或()f x 在0x 处连续，但0'()f x 不存在.）(1)若当x 经过0x 时，'()f x 由“+”变“-”，则0()f x 为极大值；(2)若当x 经过0x 时，'()f x 由“-”变“+”，则0()f x 为极小值；(3)若'()f x 经过0x x =的两侧不变号，则0()f x 不是极值. Th4 (取极值的第二充分条件)设()f x 在点0x 处有''()0f x ≠，且0'()0f x =，则 当0''()0f x <时，0()f x 为极大值；当0''()0f x >时，0()f x 为极小值.注：如果0''()0f x ＝，此方法失效. 2渐近线的求法：(1)水平渐近线 若lim ()x f x b →+∞=，或lim ()x f x b →-∞=，则y b =称为函数()y f x =的水平渐近线.(2)铅直渐近线 若0lim ()x x f x -→=∞，或0lim ()x x f x +→=∞，则0x x = 称为()y f x =的铅直渐近线. (3)斜渐近线 若()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-，则y ax b =+称为()y f x =的斜渐近线3函数凹凸性的判断：Th1 (凹凸性的判别定理）若在I 上''()0f x <（或''()0f x >）， 则()f x 在I 上是凸的（或凹的）.Th2 (拐点的判别定理1)若在0x 处''()0f x =，（或''()f x 不存 在），当x 变动经过0x 时，''()f x 变号，则00(,())x f x 为拐点. Th3 (拐点的判别定理2)设()f x 在0x 点的某邻域内有三阶导数，且''()0f x =，'''()0f x ≠，则00(,())x f x 为拐点弧微分，曲率的概念，曲率半径1.弧微分：21'.dS y dx=+2.曲率：曲线()y f x=在点(,)x y处的曲率322''.(1')yky=+对于参数方程(),()x ty tϕψ=⎧⎨=⎩3222'()''()''()'().['()'()]t t t tkt tϕψϕψϕψ-=+3.曲率半径：曲线在点M处的曲率(0)k k≠与曲线在点M处的曲率半径ρ有如下关系：1.kρ=(三)一元函数积分学考试内容对应公式、定理、概念原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质基本性质1()()kf x dx k f x dx=⎰⎰（0k≠为常数）21212[()()()]()()()k kf x f x f x dx f x dx f x dx f x dx±±±=±±±⎰⎰⎰⎰3求导：[()]'()f x dx f x=⎰或微分：()()d f x dx f x dx=⎰4'()()F x dx F x C=+⎰或()()dF x F x C=+⎰（C是任意常数）基本积分公式111k kx dx x Ck+=++⎰（1k≠-）211dx Cxx=-+⎰12dx x Cx=+⎰1ln dx x C x =+⎰(0,1)ee ln xxxx a a dx C a a dx C a =+>≠=+⎰⎰cos sin sin cos xdx x C xdx x C =+=-+⎰⎰221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰ 221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰ 1csc ln csc cot sin dx xdx x x C x ==-+⎰⎰ 1sec ln sec tan cos dx xdx x x C x ==++⎰⎰sec tan sec csc cot csc x xdx x C x xdx x C =+=-+⎰⎰ tan ln cos cot ln sin xdx x C xdx x C =-+=+⎰⎰2221arctan arctan 1dx xdxC x C a a a x x =+=+++⎰⎰222arcsin arcsin 1dx xdxC x C aa x x =+=+--⎰⎰222111ln ln 2211dx a xdx xC C a a x x a x x ++=+=+----⎰⎰2222ln dx x x a C x a =+±+±⎰重要公式(1)()[,]f x l l -设在上连续，则()[()()]lllf x dx f x f x dx-=+-⎰⎰0,2(),lf x f x dx f x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰当（）为奇函数当（）为偶函数 2f x T a （）设（）是以为周期的连续函数，为任意实数，则202()()().Ta TTT af x dx f x dx f x dx +-==⎰⎰⎰22201(3)4aa x dx a π-=⎰2200131,222(4)sin cos 1321,23n n n n n n n xdx xdx n n n n n πππ--⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩⎰⎰ 当为偶数当为奇数 20,5sin cos sin cos 0,n m nx mxdx nx mxdx n mππππ=⎧==⎨≠⎩⎰⎰-（） 20sin cos sin cos 0nx mxdx nx mxdx πππ-==⎰⎰20,cos cos cos cos 00,n m nx mxdx nx mxdx n mππππ-=⎧===⎨≠⎩⎰⎰定积分的概念和基本性质，定积分中值定理1． 定积分的基本性质(1)()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ===⎰⎰⎰定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即(2)()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰ (3)ba dxb a =-⎰(4)[()()]()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰(5)()()(b baakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数）(6)()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(7)()(),[,],()().b baaf xg x x a b f x dx g x dx ≤∈≤⎰⎰比较定理：设则()[,]()0;baf x x a b f x dx ≥∈≥⎰推论：1.当0,时，2.|()||()|b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰(8)(),[,],,()()()ba m f x M x ab m M m b a f x dx M b a ≤≤∈-≤≤-⎰估值定理：设其中为常数，则(9)()[,][,],()()()ba f x ab a b f x dx b a f ξξ∃=-⎰积分中值定理：设在上连续，则在上至少一个使1()()baf f x dx b a ξ=-----⎰平均值公式积分上限的函数及其导数，牛顿——莱布尼兹公式Th1[][]()xaf x a b x a b F x f t dt x ∈=⎰设函数（）在，上连续，，，则变上限积分（）对可导'()()(())()x ad dF x F x f t dt f x dx dx ===⎰且有()()(),'()[()]'().x aF x f t dt F x f x x ϕϕϕ=⎰推论1 设=则()'()())[()]'()[()]'()x x x f t dt f x x f x x ϕφϕϕφφ=-⎰推论2 (()()''(()())(()())x x x x aaf tg x dt g x f t dt ϕϕ=⎰⎰推论3()'()()()[()]'()x ag x f t dt g x f x x ϕϕϕ=+⎰Th2(),,f x a b x a b ∈设在[]上连续，[],则()()[,]xaf x dt f x a b ⎰是在上的一个原函数Th3(),f x a b 牛顿-莱布尼茨公式:设在[]上连续，()F x ()f x 是的原函数，则()()|()()b ba a f x dx F x Fb F a ==-⎰ 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 1不定积分：分部积分法：udv uv vdu =-⎰⎰选择u ，dv 的原则：积分容易者选作dv ，求导简单者选为u 换元积分法：()(),f u du F u C =+⎰设[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰则()()()[()]u x f u du F u C F x C ϕϕ==+=+⎰设 2． 定积分换元法:f x a b x t ϕ设函数（）在［，］上连续，若＝（）满足： '()0.t t ϕαβϕ≠(1)()在［，］上连续，且(2)()().a a b t ϕϕβαβ=⋅=并且当在［，］上变化时，t a b ϕ（）的值在［，］上变化，则()[()]'().baf x dx f t t dt βαϕϕ=⎰⎰分部积分公式'(),'(),u x v x a b u x v x 设（），（）在［，］上具有连续导函数则()'()()()|()'()aaab bbu x v x dx u x v x v x u x dx =-⎰⎰3． 定积分不等式证明中常用的不等式22(1)2a b ab +≥ 1(2)0,2a a a>+≥ (3)柯西不等式： ()()222(()())()(),bbba aaf xg x dx f x dx g x dx f x g x a b ≤⎰⎰⎰ 其中（），（）在［，］上连续有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分和定积分的应 用1． 三角函数代换 函数()f x 含根式所作代换三角形示意图22a x -sin x a t =22a x +tan x a t =22x a -sec x a t =有理函数积分(1)ln ||Adx A x a C x a=-+-⎰11(2)(1)()1()n n A A dx C n x a n x a -=-+≠---⎰2222222424(3)4()()[()]24px un nq p n a dxdx du p q p x px q u a x =-=−−−−→=←−−−−-+++++⎰⎰⎰令+ 221211(4)()()2(1)()2()n n nx a p dxdx a x px q n x px q x px q -+=-+-++-++++⎰⎰（240p q -<） 4． 广义积分（1） 无穷限的广义积分（无穷积分）f x 设（）连续，则()lim()baab f x dx f x dx∞→+∞⎰⎰+１.=()lim ()baa f x dx f x dx ∞→-∞⎰⎰b -2.=3.()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰（2） 无界函数的广义积分（瑕积分）1.()lim (),(())b b aaf x dx f x dx x b f x εε+--→=→→∞⎰⎰当时，02.()lim (),(bbaa f x dx f x dx x a f x εε+++→=→→∞⎰⎰当时，（））.()lim ()lim ()(b c baac f x dx f x dx f x dxx c f x εηεη++-+→→=+→→∞⎰⎰⎰３当时，（））(四) 向量代数和空间解析几何考试内容对应公式、定理、概念向量的概念，向量的线性运算，1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.2.向量的模：向量a 的大小.记为a .3.向量的坐标表示：若向量用坐标表示{,,}a xi yj zk x y z=++=，则222a x y z=++4向量的运算法则：Ⅰ加减运算设有矢量111{,,}a x y z=，222{,,}b x y z=，则121212{,,}.a b x x y y z z±=±±±Ⅱ.数乘运算数乘运算∆矢量a 与一数量λ之积aλ ，00,0,a a aaa a aλλλλλλ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩即与同向0=0,即为零矢量-即与反向设111{,,}a x y z=，则111{,,}.a x y zλλλλ=向量的数量积和向量积，向量的混合积，1矢量的数积（点积，内积）：矢量a 与b的数量积 ()cos,.a b a b a b⋅=设111{,,}a x y z=，222{,,}b x y z=，则121212.a b x x y y z z⋅=++2矢量的向量积（叉积，外积）：设有两个向量a 与b，若∃一个矢量c，满足如下条件（1）sin(,)c a b a b = ；（2）,c a c b ⊥⊥ ，即c 垂直于a ，b所确定的平面； （3）a ，b ，c 成右手系.则称矢量c 为矢量a 与b的矢量积，记c a b =⨯.设111{,,}a x y z =222{,,}b x y z = ，则111111*********222.i jky z x z x y a b x y z i j k y z x z x y x y z ⨯==-+3混合积：设有三个矢量,,a b c ，若先作a ，b的叉积a b ⨯ ，再与c 作点积()a b c ⨯⋅ ，则这样的数积称为矢量a ，b ，c 的混合积，记为(,,)a b c ，即(,,)().a b c a b c =⨯⋅设111{,,}a x y z =，222{,,}b x y z = ，333{,,}c x y z = ，则111222333(,,)x y z a b c x y z x y z =两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向1向量之间的位置关系及结论设111{,,}a x y z =，222{,,}b x y z = ，333{,,}c x y z =量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，（1）12121200a b a b x x y y z z⊥⇔⋅=⇔++=；（2）111222//0x y za b a bx y z⇔⨯=⇔==；其中222,,x y z之中有一个为“0”，如2x=，应理解为1x=；（3）a ，b不共线⇔∃不全为零的数,λμ使0a bλμ+=；（4）矢量a 与b的夹角，可由下式求出121212222222111222cos()x x y y z za bx y z x y z∧++=++⋅++；（5）a ，b，c共面⇔∃不全为零的数,,vλμ，使a b vcλμ++=或者(,,)0a b c=2单位向量：模为1的向量. 向量a 的单位向量记作0a，222222222,,.a x y zaa x y z x y z x y z⎧⎫⎪⎪==⎨⎬++++++⎪⎪⎩⎭3向量的方向余弦：222222222 cos,cos,cos, x y zx y z x y z x y z αβγ===++++++其中,,αβγ为向量a与各坐标轴正向的夹角.4单位向量的方向余弦：显然0{cos ,cos ,cos }a αβγ=，且有222cos cos cos 1.αβγ++=曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离1平面方程(1)一般式方程 0Ax By Cz D +++=，法矢量{,,}n A B C =，若方程中某个坐标不出现，则平面就平行于该坐标轴，例如 平面0//Ax Cz D y ++=轴(2)平面的点法式方程 000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=000(,,)M x y z 为平面上已知点，{,,}n A B C =为法矢量(3)三点式方程 111212121313131x x y y z z x x y y z z x x y y z z ---------1111(,,)M x y z ,2222(,,)M x y z ,3333(,,)M x y z 为平面上的三个点 (4)截距式方程1x y za b c++=，,,a b c 分别为平面上坐标轴上 的截距，即平面通过三点 (,0,0),(0,,0),(0,0,)a b c 2直线方程一般式方程(两平面交线)：1111222200A x B y C x D A x B y C x D ππ+++=⎧⎨+++=⎩12平面平面平面π1与平面π2的法矢量分别为1111{,,}n A B C =，2222{,,}n A B C = ，直线的方向矢量为12111222i j ks n n A B C A B C =⨯=(2)标准式方程000x x y y z z l m n ---==000(,,)M x y z 为直线上已知点， {,,}s l m n =为直线的方向矢量 (3)两点式方程111212121x x y y z z x x y y z z ---==--- 其中1111(,,)M x y z ，2222(,,)M x y z 为直线上的两点(4)参数式方程000x x lt y y mt z z nt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩000(,,)M x y z 为直线上已知点，{,,}s l m n =为直线的方向矢量3平面间的关系设有两个平面：平面π1：11110A x B y C z D +++=平面π2：22220A x B y C z D +++=(1)平面π1//平面π2111222A B C A B C ⇔== (2)平面π1⊥平面π21212120A A B B C C ⇔++= (3)平面π1与平面π2的夹角θ，由下式确定 121212222222111222cos A A B B C C A B C A B C θ++=++++4平面与直线间关系直线000:x x y y z z L l m n---==平面π1：11110A x B y C z D +++=(1)//0L Al Bm Cn π⇔++=(2)A B CL l m n π⊥⇔==(3)L 与π的夹角θ，由下式确定 222222sin Al Bm Cn A B Cl m nθ++=++++5直线间关系 设有两直线：直线1111111:x x y y z z L l m n ---== 直线2222222:x x y y z z L l m n ---== (1)11112222//l m n L L l m n ⇔== (2)121212120L L l l m m n n ⊥⇔++= (3)直线1L 与2L 的夹角θ，由下式确定 121212222222111222cos l l m m n n l m nl m nθ++=++++6点到平面的距离：000(,,)M x y z 到平面 :0Ax By Cz D π+++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++7点到直线的距离：000(,,)M x y z 到直线1111111:x x y y z z L l m n ---==距离为0101011012221ij k x x y y z z lm nM M M Pd M Pl m n---⨯==++球面，母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，准线为各种形式的柱面方程的求法(1) 准线为(),0:0f x y z=⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线//z 轴的柱面方程为(),0f x y =,准线为(),0:0x z yϕ=⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线//y 轴的柱面方程为(),0x z ϕ=,准线为(),0:0y z xψ=⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线//x 轴的柱面方程为 (),0y z ψ=. (2) 准线为()(),,0:,,0f x y z g x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩,母线的方向矢量为{},,l m n的柱面方程的求法首先,在准线上任取一点(),,x y z ,则过点(),,x y z 的母线方程为X x Y y Z zl m n---==其中,,X Y Z 为母线上任一点的流动坐标,消去方程组常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.()(),,0,,0f x y zg x y zX x Y y Z zl m n⎧⎪=⎪=⎨⎪---⎪==⎩中的,,x y z便得所求的柱面方程常见的柱面方程名称方程图形圆柱面222x y R+=xyzo椭圆柱面22221x ya b+=xyz双曲柱面22221x ya b-=-a o a xyz抛物柱面()22,0x py p=>zyx标准二次方程及其图形名称方程图形椭球面2222221x y za b c++=(,,a b c均为正数)o bczyx单叶双曲面2222221 x y za b c+-= (,,a b c均为正数)双叶双曲面2222221 x y za b c--+= (,,a b c均为正数)椭圆的抛物面22222x ypz a b+= (,,a b p为正数)双曲抛物面(又名马鞍面)22222x ypz a b-= (,,a b p均为正数)二次锥面222222x y za b c+-=(,,a b c为正数)o yxz (五)多元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念，二元函数(,)z f x y=连续，可导（两偏导存在）与可微三者的关系如下：可导←可微→函数连续“←→”表示可推出用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证：''(,)(,)lim0x yz f x y x f x y yρρ→∞∆-∆-∆是否为有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充基本原理''''''''1()(,)(,),(,),(,)(,)xy yxxy yxThz f x y f x y f x yD f x y f x y==求偏导与次序无关定理设的两个混合偏导数在区域内连续则有2()(,)(,) ,,,Th z f x y P x yz z z zdz dx dyx y x y=∂∂∂∂=+∂∂∂∂可微与偏导存在的关系定理若在点处可微则在该点处必存在且有分条件，3()(,),(,)(,)(,)(,)Th zz f x y P x y y P x y z f x y P x y ∂∂=∂∂=偏导存在与可微的关系定理z 若的两个偏导数在x 上的某领域内存在,且在连续,则在点处可微多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度，1复合函数微分法(1)(,),(,),(,),z f u v u x y v x y ϕφ===设则z z u z vx u x v xz z u z v y u y v y∂∂∂∂∂⎧=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=+⎪∂∂∂∂∂⎩(2)(,),(),(),,z f u v u x v x z du z dvz u dx v dxϕφ===∂∂=+∂∂ 设dz 则称之为的全导数dx (3)(,,),(,),(,),0z f x u v u x y v x y z f f u f vx x u x v x z f u f v yu y v y ϕφ===∂∂∂∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=++⎪∂∂∂∂∂⎩ 设则注：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，其中间变量用数字1，2，3……表示更简洁. 2隐函数微分法'(,)(1)(,)0,'(,)x y F x y dyF x y dx F x y ==-设则 '(,,)'(,,)(2)(,,)0,,'(,,)'(,,)y x z z F x y z F x y z zz F x y z x F x y z y F x y z ∂∂==-=-∂∂则(3)(),(),y y x z z x ⎧==⎨⎩F(x,y,z)=0设由方程组确定的隐函数G(x,y,z)=0,dy dz dx dx 则可通过,dy dzdx dx解关于的线性方程组 '''0:'''0x y z x y z dy dz F F F dx dy dy dz G G G dx dx⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ ''','''y z x y zx dy dzF F F dxdx dy dzG G G dx dx⎧+=-⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩来求解 方向导数和梯度Th1设(,)z f x y =在000(,)M x y 处可微，则(,)f x y 在点000(,)M x y 沿任意方向(cos ,cos )l αβ= 存在方向导数且000000(,)(,)(,)cos cos f x y f x y f x y l x yαβ∂∂∂=+∂∂∂ 在平面上l 除了用方向角表示外也可用极角表示：(cos ,sin )l θθ=，[0,2]l θθπ∈是的极角，此时相应的方向导数的计算公式为000000(,)(,)(,)cos sin f x y f x y f x y l x yθθ∂∂∂=+∂∂∂ Th2设三元函数(,,)u f x y z =在0000(,,)M x y z 处可微，则(,,)u f x y z =在点0000(,,)M x y z 沿任意方向 (cos ,cos ,cos )l αβγ=存在方向导数且有000000000(,,)(,,)(,,)cos cos f x y z f x y z f x y z l x yαβ∂∂∂=+∂∂∂000(,,)cos f x y z zγ∂+∂梯度：(,)z f x y =在点0M 的方向导数计算公式可改写成000000(,)(,)(,)(,)(cos ,cos )f x y f x y f x y l x yαβ∂∂∂=∂∂∂ 000000((,))(,)cos ((,),grad f x y l gradf x y grad f x y l ==〈〉这里向量000000(,)(,)(,)(,)f x y f x y gradf x y x y∂∂=∂∂成为 (,)z f x y =在点0M 的梯度(向量)00(,)f x y l l∂∂随而变化0000((,)((,)grad f x y l grad f x y =即沿梯度方向时，方 向导数取最大值00 (,)grad f x y 空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，1． 曲线的切线及法平面方程0000()(1)()(,,)()x x t y y t x y z t t z z t =⎧⎪=↔=⎨⎪=⎩曲线在000000'()'()'()x x y y z z x t y t z t ---==处的切线方程：000000'()()'()()'()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=法平面方程： (2)Γ空间曲线的一般式方程为,,)0(,,)0Fx y z G x y z =⎧⎨=⎩（000,,)P x y z Γ则在曲线的（处的00(,)(,)(,)(,)(,)(,)pppx x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂切线方程：法线方程：000(,)(,)(,))()()0(,)(,)(,)p p pF G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂（2． 空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程000(1)(,),(,,)z f x y P x y z =∑∑设曲面为显示方程则在上一点处的000()()()0.p pz zx x y y z z x y ∂∂-+---=∂∂切平面方程：0001p px x y y z z z z x y ---==∂-∂∂∂法线方程： 000(2),,)0,(,,)F x y z P x y z =∑∑设曲面为隐式方程（则在上一点的000'()()()0x y z p pF x x F y y F z z ''-+-+-=切平面方程：000'|'|'|x p y p z px x y y z z F F F ---==法线方程：二元函数的二阶泰勒公式，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用1多元函数的极值定义：00(,)(,)z f x y P x y =设函数在的某邻域内有定义，若对于该邻域内异于00(,)P x y 点的任一(,)Q x y 点恒有0000(,)(,)((,))f x y f x y f x y ><或00(,)(,)f x y f x y 则称为的极小值(极大值)00'0000'001(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0x y Th z f x y P x y f x y P x y z f x y f x y =⎧=⎪=⎨=⎪⎩（取极值的必要条件）设在点的一阶偏导数存在，且是的极值点，则000002(,)(,)',)0,'(,)0x y Th z f x y P x y f x y f x y ===0（函数取极值的充分条件）设在点的某邻域内有连续的二阶偏导数,且(222000000["(,)]"(,)"(,)0xy x y f x y f x y f x y -<00(,)(,)P x y z f x y =则是的一个极值点22000000(1)"(,)0("(,)0),(,)x y f x y f x y P x y >>若或则为极小值点。
