高中数学第二章平面向量2.1从位移速度力到向量优化训练

第二章平面向量及应用第2.1.1节从位移，速度，力到向量参考答案与试题解析1．下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若和都是单位向量，则D．两个相等向量的模相等【答案】D【详解】解：∵只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A不正确，模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B不正确，两个单位向量模长相等，故C不正确，向量相等则模长相等，故D正确，故选：D．2．下列说法中正确的是④（填序号）①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③若||＞||，则；④长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量．【答案】④【详解】解：温度的零上和零下表示温度的大小，温度没有方向，所以温度不是向量；零向量的模为0，不是正实数；向量含有方向，不能比较大小；若长度相等，方向相同，则向量相等．故只有④正确．故答案为④．3．下列命题：其中真命题的序号是①．①向量的长度与的长度相等；②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上．【答案】①【详解】解：对于①，向量的长度与的长度相等，正确；对于②，向量与向量平行，则与的方向相同或相反，因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，∴②错误；对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，∴③错误；对于④，向量与向量是共线向量，则A、B、C、D不一定在同一直线上，如平行四边形的两条对边表示的向量，∴④错误．综上，真命题是①．故答案为：①．4．图中，小正方形的边长为1，则||＝，||＝，||＝．【答案】3；；2【详解】解：由题意可知：||＝＝3．||＝＝．||＝＝．故答案为：3；；2．5．在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：（1）||＝4，点A在点O正南方向；（2）||＝2，点B在点O北偏西45°方向；（3）||＝2，点C在点O南偏西30°方向．【详解】解：根据题意，在如图所示的坐标纸中，画出对应的向量如下：6．判断下列各命题是否正确，并说明理由：（1）若||＝||，则＝；（2）单位向量都相等；（3）两相等向量若起点相同，则终点也相同；（4）若＝，＝，则＝；（5）若||＞||，则＞；（6）由于零向量方向不确定，故它不能与任意向量平行．【详解】解：（1）错误，若||＝||，即两向量模相等，不能说明＝；（2）错误；单位向量的模均为1，不一定相等；（3）正确，两相等向量的大小相等和方向相同，若起点相同，则终点也相同；（4）正确，若＝，＝，由传递性可得＝；（5）错误，若||＞||，向量的模是实数，可以比较大小，但向量有方向，不好比较大小；（6）错误，零向量方向不确定，故它与任意向量平行．7．一人从A点出发，向东走500m到达点B，接着向东偏北30°走300m到达点C，然后再向东北走100m 到达点D，选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移．【详解】解：根据题意，画出图形，如图所示；用向量表示这个人的位移是++＝．8．在直角坐标系中，画出下列向量：（1），的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；（2），的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；（3），的方向与x轴正方向的夹角为135°，与y轴正方向的夹角为135°．【详解】解：由题意作出向量如右图所示：（1）（2）（3）9．如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？【详解】解：模为1的向量；模为2的向量；模为3的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量共有6个模，进而分析方向，正方形的边对应的向量共有四个方向，边长为1的正方形的对角线对应的向量共四个方向；1×2的矩形的对角线对应的向量共四个方向；1×3的矩形对角线对应的向量共有四个方向共有16个方向10．某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点，最后又向东走了10米到达D点．（1）作出向量，，（用1cm长的线段代表10m长）（2）求．【详解】解：（1）如图（2）因为，故四边形ABCD为平行四边形，所以。

第二章 平面向量及其应用§1 从位移、速度、力到向量课后训练巩固提升1.下列说法中,正确的是( ). A.若|a|=1,则a=±1 B.若|a|=|b|且a ∥b,则a=b C.若a=b,则a ∥b D.若a ∥0,则|a|=02.(多选题)下列说法正确的有( ). A.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 B.有向线段就是向量,向量就是有向线段 C.两向量的大小与其方向有关 D.向量的模可以比较大小3.如图所示,在等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式成立的是( ).A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗C.PE ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗D.EP ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗4.在△ABC 中,∠C=90°,BC=12AB,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是( ). A.30° B.60° C.120°D.150°5.设数轴上有四个点A,B,C,D,其中A,C 对应的实数分别是1和-3,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位向量,则点B 对应的实数为 ,点D 对应的实数为 ,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 6.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= .7.已知△ABC 的三边均不相等,E,F,D 分别是AC,AB,BC 的中点,试求下列问题:(1)写出与EF ⃗⃗⃗⃗ 共线的向量; (2)写出与EF ⃗⃗⃗⃗ 的模大小相等的向量; (3)写出与EF ⃗⃗⃗⃗ 相等的向量.8.一辆车从A 地去B 地执行任务,先从A 地向北偏东30°方向行驶2 km 到D 地,然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6 km 到C 地,从C 地又向南偏西30°方向行驶了2 km 才到达B 地.(1)在如图所示的坐标系中画出AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)求B 地相对于A 地的位置向量. 答案：1.C 选项A 中说法显然错误;两个向量的模相等且平行,但这两个向量的方向不一定相同,故选项B 中说法错误;a=b ⇒向量a 与b 的方向相同⇒a ∥b,故选项C 中说法正确;0与任一向量平行,故a ∥0|a|=0,选项D 中说法错误.2.AD 向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度都等于线段AB 的长度,故A 选项正确;有向线段是向量的几何表示,两个并不相同,故B 选项错误;向量不能比较大小,故C 选项错误;向量的模可以比较大小,故D 选项正确.3.D 根据相等向量的定义,分析可得,A 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 错误;B 中,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,故AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 错误; C 中,PE ⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗ 方向相反,故PE ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗ 错误;D 中,EP ⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗ 方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故EP ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗ 正确.4.C 如图,作向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则∠BAD 是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角.在△ABC 中,因为∠ACB=90°,BC=12AB,所以∠ABC=60°,所以∠BAD=120°.5.-7 -4或-2 4 由题意知点C 是线段AB 的中点,所以点B 对应的实数为-7.因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位向量,所以点D 对应的实数为-4或-2,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=-3-(-7)=4. 6.0 平行向量又叫作共线向量,而与不共线向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都共线的向量只能是零向量.7.解(1)因为E,F 分别是AC,AB 的中点,所以EF ∥BC,EF=12BC.又因为D 是BC 的中点,所以与EF ⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有FE ⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)与EF ⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量有FE ⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)与EF ⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 8.解(1)向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示.(2)由题意知AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ∥BC,AD=BC, ∴四边形ABCD 为平行四边形,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°,6 km”.。

第二章平面向量及其应用§1从位移、速度、力到向量(15分钟30分)1.若a为任一非零向量,b为模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1,其中正确的是(A.①④B.③C.①②③D.②③【解析】选B.a为任一非零向量,故|a|>0.2.给出下列命题:①起点相同,方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同;④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是( A.①② B.② C.②③ D.③④【解析】选B.起点相同,方向相同的两个非零向量若长度不相等,则终点不相同,故①不正确;起点相同且相等的两个非零向量的终点相同,故②正确;两个平行的非零向量的方向相同或相反,故③不正确;两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线,所对应的直线可能平行,故④不正确.3.A,B, C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= .【解析】因为A,B,C三点不共线,所以与不共线,又因为m∥且m∥,所以m=0.答案:04.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点,则终点构成的图形是;若这些向量是单位向量,则终点构成的图形是.【解析】因为向量平行,且表示它们的有向线段有共同的起点,所以终点在一条直线上;而对于单位向量,其大小都是一个单位长度,所以它们的终点在起点的两侧,且距起点一个单位长度,所以终点构成的图形是两个点.答案:一条直线两个点5.如图所示,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.(1)写出与,相等的向量;(2)写出与模相等的向量.【解析】(1)==,=.(2),,.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.给出下列命题:①若a=-b,则|a|=|b|;②若|a|<|b|,则a<b;③若a=b,则a∥b;④若a∥b,b∥c,则a∥c.其中正确命题的个数是(A.0B.1C.2D.3【解析】选C.对于①,若a=-b,则a,b互为反向量,所以|a|=|b|,所以①正确;对于②,向量的长度有大小,但向量不能比较大小,所以②不正确;对于③,a=b,意味着a与b的方向相同,所以a∥b,所以③正确.对于④,若b=0,则a∥b,b∥c,但a与c方向不一定相同或相反,所以④不正确.2.如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于点O,过O作MN∥AB,交AD于M,交BC于N,则在以A,B,C,D,M,O,N为起点和终点的向量中,相等向量有(A.1对B.2对C.3对D.4对【解析】选B.由图形可知,=,=.3.在△ABC中,||=13,||=5,||=12,则与的夹角的余弦值是(A. B. C. - D.-【解析】选C.由△ABC三边的长可知△ABC是直角三角形,cos B=,与的夹角是角B的补角,所以其余弦值应为-.二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中(A.向量,的模相等B.||=C.向量,共线D.||+||=10【解析】选BC.||==,||=2,A错误;||==,B正确;向量,共线,C正确;||+||=2+3=5,D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在▱ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合}.则集合T中元素的个数是.【解析】由题可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,即,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即=,=,=,=,=,=,=,=,又集合中元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个.答案:126.如图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.则与向量相等的向量为;若||=3,则向量的模等于.【解析】在平行四边形ABCD和ABDE中,因为=,=,所以=.所以E,D,C三点共线,||=||+||=2||=6.答案:, 6四、解答题7.(10分)如图,A,B,C三点的坐标依次是(-1,0),(0,1),(x,y),其中x,y∈R.当x,y满足什么条件时,向量与共线(其中O为坐标原点)?【解析】由点A,B的坐标分别是(-1,0),(0,1)得∠BAO=45°.①当点C的坐标满足x=y=0时,点C与点O重合,则有|OC|=0,即||=0,所以=0,这时与共线(零向量与任一向量都共线);②当点C的坐标满足xy≠0,且x=y,即点C在第一、三象限角平分线上时,有AB∥OC,这时与共线.综上可知,当x=y时,与共线.。

课后素养落实(十二) 从位移、速度、力到向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．(多项选择题)如下物理量中，是向量的是( ) A ．力 B ．位移 C ．质量 D ．速度 [答案]ABD2．(多项选择题)如下说法错误的答案是( ) A ．假如a ∥b ，如此a 与b 的方向一样或相反 B ．假如a ∥b ，b ∥c ，如此a ∥cC ．假如两个单位向量平行，如此这两个单位向量相等D ．假如a ＝b ，b ＝c ，如此a ＝c [答案]ABC3.如图，在四边形ABCD 中，假如AB →＝DC →，如此图中相等的向量是( )A ．AD →与CB →B ．OB →与OD →C ．AC →与BD →D ．AO →与OC →D [∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →.] 4．向量a 与b 是两个不平行的向量，假如a ∥c 且b ∥c ，如此c 等于( ) A ．0 B ．aC ．bD ．不存在这样的向量A [零向量与任一向量是共线向量，故c ＝0.] 5．如下说法中正确的个数是( ) (1)单位向量都平行；(2)假如两个单位向量共线，如此这两个向量相等； (3)向量a 与b 不共线，如此a 与b 都是非零向量； (4)有一样起点的两个非零向量不平行；(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A [(1)错误．因为单位向量的方向可以既不一样又不相反．(2)错误．因为两个单位向量共线，如此这两个向量的方向有可能相反．(3)正确．因为零向量与任一向量共线，所以假如向量a 与b 不共线，如此a 与b 都是非零向量．(4)错误．有一样起点的两个非零向量方向有可能一样或相反，所以有可能是平行向量． (5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．]二、填空题6．在等边三角形ABC 中，点E 为BC 的中点，如此AE →与EC →的夹角为________，AE →与AC →的夹角为________．90° 30° [如图：显然AE →⊥EC →， ∴AE →与EC →的夹角为90°，AE →与AC →的夹角为30°.]7.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，四边形BCGF 是平行四边形，与FE →共线的向量为________．与FE →相等的向量为________．[答案] (1)FG →，EG →，GF →，GE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →，EF →(2)EG →，BD →，DC → 8．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________(填序号).①③④ [相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b 成立；方向一样或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b 成立；零向量与任一向量平行，④成立．]三、解答题9.如图，四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形．(1)写出与向量ED →相等的向量； (2)写出与向量ED →共线的向量．[解] (1)∵四边形ABDE 和四边形ABCD 都是平行四边形， ∴AB →＝ED →，AB →＝DC →， ∴ED →＝DC →.故与向量ED →相等的向量是AB →，DC →.(2)由共线向量的条件知，与ED →共线的向量有DE →，AB →，BA →，DC →，CD →，EC →，CE →. 10.如下列图，平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．[解] 由题可知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →，BA →，BC →，BD →，BO →，CA →，CB →，CD →，CO →，DA →，DB →，DC →，DO →，OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.又集合元素具有互异性，故集合T 中的元素共有12个．11．(多项选择题)如下说法中，错误的答案是( ) A ．假如|a |＝|b |，如此a ＝b 或a ＝－bB ．向量AB →与CD →是共线向量，如此A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上 C ．向量AB →与BA →是平行向量 D ．任何两个单位向量都是相等向量ABD [A.错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． B ．错误．共线向量即平行向量，只要求方向一样或相反，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上，因此点A 、B 、C 、D 不一定在同一条直线上．C ．正确．向量AB →和BA →是长度相等，方向相反的两个向量．D ．错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定一样，而相等向量要求长度相等，方向一样．]12．假如向量a 与向量b 不相等，如此a 与b 一定( ) A ．不共线 B ．长度不相等 C ．不都是单位向量D ．不都是零向量D [假如向量a 与向量b 不相等，如此说明向量a 与向量b 的方向和长度至少有一个不同．所以a 与b 有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A ，B ，C 都是错误的．但是a 与b 一定不都是零向量．]13．O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量________；(2)与OB →长度相等的向量________．(1)AD → (2)BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →[如下列图，(1)易知BC ＝AD 且BC ∥AD ，所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点，可知OB ＝OD ＝OA ＝OC ， 所以与OB →长度相等的向量有BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →.] 14．在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，如此|BD →|＝________． 23 [易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，如此AO ＝12AB Rt △ABO中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝23.]15.如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且→＝MA →.求证：DN →＝MB →. [证明]∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB .又∵DA →与CB →的方向一样，∴CB →＝DA →.∵→＝MA →，∴四边形AM 是平行四边形，∴CM →＝NA →. ∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向一样，∴DN →＝MB →.。

第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于()A.0B.aC.bD.不存在这样的向量解析:零向量与任一向量是共线向量,故c=0.答案:A3.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,a n,则这n个向量()A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等解析:正n边形的n条边长都相等,但它们所在的直线不都平行,相邻两条边一定相交,所以这n个向量的模都相等.答案:D4.若a为任一非零向量,b是模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是()A.①④B.③C.①②③D.②③解析:题中只明确了b的模的大小,而没有指明a的模,因此,①错误;④错误;题中没有说明a,b的方向,故不能判断两向量是否平行,因此,②错误;向量的模是一个长度,其值大于等于0,故③正确.答案:B5.导学号03070076已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,则下列说法中错误的是()A.C⫋AB.A∩B={a}C.C⫋BD.A∩B⫌{a}解析:A∩B含有a的相反向量,所以B错误.答案:B6.如图所示,E,F,G,H为正方形ABCD各边的中点,O为其中心,则下列结论中不正确的是()A.B.C.D.||=||=||=||解析:由题图可知,故A错.答案:A7.如图所示,在四边形ABCD中,,且||=||,则四边形ABCD的形状为.解析:∵,∴四边形ABCD为平行四边形.又||=||,∴平行四边形ABCD为菱形.答案:菱形8.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AD与BC的中点,则在以A,B,C,D四点中的任意两点组成的所有向量中,与向量方向相反的向量为.解析:由于AB∥EF∥CD,所以与共线的向量有,其中方向相反的是.答案:9.如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取2个交点组成向量,则与平行且长度为2的向量个数是.解析:题图中共有四个边长为2的正方形,每个正方形中有符合条件的向量两个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量,方向相同或相反),故满足条件的向量共有8个.答案:810.导学号03070077如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA边上的点,已知,试推断向量是否为相等向量,说明你的理由.解:,理由:∵,∴||=||,点D是AB边的中点.∵,∴是平行向量,∴DF∥BE,即DF∥BC.∴=1,∴点F是AC边的中点.∵点D是AB边的中点,∴由三角形中位线定理知,DF=BC.又||=||,即DF=BE,∴BE=BC,∴点E为BC边的中点.∵点D是AB边的中点,于是DE∥AC,且DE=AC.∵点F是AC边的中点,∴AF=AC,∴DE AF,故.11.(2015江西吉安一中上学期期中)如图所示,平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S且M,N不重合},试求集合T的子集的个数.解:由题意可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,即.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即.又集合元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个,从而集合T共有212个子集.。

高中数学第二章平面向量2.1 从位移、速度、力到向量学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.1 从位移、速度、力到向量学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量2.1 从位移、速度、力到向量学案北师大版必修4的全部内容。

2.1 从位移、速度、力到向量知识梳理1.概念（1）向量、数量的定义既有大小又有方向的量叫做向量(vector),物理学中常称为矢量.只有大小没有方向的量叫做数量,物理学中常称为标量.（2）向量与数量的区别向量具备两个要素：大小和方向，向量不能比较大小.数量只有一个要素：大小,数量没有方向，可以比较大小.2.平面向量的表示(1）有向线段一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，则线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。

以A为起点,B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作|AB｜.有向线段包含三要素：起点、方向、长度。

(2）向量的表示几何表示:用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模。

字母表示：用单个黑斜体的小写英文字母表示,通常印刷体如a、b、c等，而手写体用带箭头的小写字母表示如,,、…；还可用两个大写英文字母表示。

3.相等向量与共线向量(1）向量的长度向量的大小,也就是向量的长度（或模），记作｜｜.长度为零的向量叫做零向量,记作0。

零向量的方向不确定，是任意的.长度为单位1的向量叫做单位向量.(2）共线向量（平行向量)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共线向量。

"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 2、1从位移、速度、力到向量课后训练 北师大版必修4 "1.给出以下命题:①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；②方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量;③坐标平面上的x 轴与y 轴都是向量.其中真命题有( )。

A 。

0个B 。

1个 C.2个 D 。

3个2.下列说法中正确的是( ）.A 。

平行向量就是向量所在的直线平行的向量B 。

方向相同的向量叫相等向量C 。

零向量的长度为零D 。

若a≠b ，则a 一定不与b 共线3.下列说法正确的是( ).A.若｜a |＝｜b |，则a ＝bB.若A ，B ,C ，D 是不共线的四点,则AB ＝DC 是四边形ABCD 是平行四边形的等价条件 C 。

若非零向量AB ∥CD ，那么AB ∥CDD.AB ＝CD 的等价条件是A 与C 重合，B 与D 重合4。

如下图，在等腰梯形ABCD 中,①AB 与CD 是共线向量;②AB CD =;③AB CD >。

以上结论中正确的个数是（ )。

A 。

0 B.1 C 。

2 D.35.如图,在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ).A 。

与AB 相等的向量只有一个B.与AB 的模相等的向量有9个C.BD 的模恰为DA 模的3倍D.CB 与DA 不共线6.如图所示,C ，D 是线段AB 的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量个数为（ )。

A 。

3 B.6 C 。

8 D 。

127。

如图，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形。

(1)图中与AB 共线的向量有__________；(2）图中与AB 相等的向量有__________;（3）图中与AB 模相等的向量有__________;(4)图中EC 与BD 是__________向量；(填“相等”或“不相等”)(5) AB 与BA 相等吗？__________.8.如下图所示,在四边形ABCD 中,AB DC =,且AB AD =,则四边形ABCD 为________。