下载文档原格式
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________． 解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ， 所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。
编号：gswhsxxx2-2-01-04文华高中高二数学选修2--2第一章《导数及其应用》§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导学案 学习目标1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.3.通过对导数的认识，感受数学科学的无穷魅力，培养学习数学的浓厚兴趣。
重点、难点形成导数的概念，了解导数的内涵。
学习方法了解并掌握导数的概念及求法。
学习过程一，自主学习（预习教材P 14~ P 19，找出疑惑之处）复习1：常见函数的导数公式：(1)'____C =(C 为常数)；(2)()'________nx =,n ∈N +；(3)(sin )'_______x =； (4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =;(6)()'_________xa =; (7)(ln )'______x =;(8) e xx a a log 1)'(log =复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y =（3）21y x =（4）y =二，探求新知1.可导函数的四则运算法则法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 [()()]____________u x v x '=. (口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3()[]_______________(()0)()u x v x v x '=≠(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数3123y x x x=-++导数.变式：（ 1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-例2求下列函数的导数：（1）32log y x x =+；（2）n x y x e =（3）y=2e -x三、课堂小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.四，课堂展示求下列函数的导数（1）x y x 2log 2+=（2）)(Q n e x y x n ∈=（3）2-+=x x y（4）)53)(32(2x x x y +-+=本节课我最大的收获是:我存在的疑惑有:《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》节节过关检测班级 组名 学生姓名1、下列四组函数中导数相等的是（ ）x x f x f A ==)(1)(.与x x f x x f B cos )(sin )(.-==与x x f x x f C sin )(cos 1)(.-=-=与32)(21)(.22+-=-=x x f x x f D 与2、下列运算中正确的是（ ）)()().(22'+'='++x b x a c bx ax A )(2)(sin )2.(sin 22''-'='-x x x x B222)()(sin )sin .(x x x x x C '-'='x x x x x x D cos )(cos cos )(sin )sin .(cos '+'='⋅3、对任意的x ，有,1)1(,4)(3-=='f x x f 则此函数解析式可以为（ ）4)(.x x f A =2)(.4-=x x f B 1)(.4+=x x f C 4)(.x x f D -=4、函数1323+-=x x y 在点()1,1-处的切线方程为（ ）43.-=x y A 23.+-=x y B 34.+-=x y C 54.-=x y D5、函数4532)(23+-+=x x x x f 的导数=')(x f ，=-')3(f .6、已知函数,2813)(2x x x f +-=且,4)(0='x f 则=0x .7、过原点作曲线x e y =的切线，则切点坐标为 ，切线的斜率为 .。
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学习目标：掌握用函数的导数定义，推出函数的和，差，积，商的导数的方法． 重点难点：本节的重点是：熟练掌握和、差、积、商的导数运算法则，即(u ±v )′＝u ′±v ′ (uv )′＝uv ′＋u ′v (v u )′＝2v v u v u '-'． 本节的难点是：积的导数和商的导数的正确求法．典型例题例1：已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4（1）求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？例2：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?例3：日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%； （2）98%.课堂检测：1．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的[解析]式可能为（ ）A.()2(1)f x x =-B.2()2(1)f x x =-C.2()(1)3(1)f x x x =-+-D.()1f x x =-2．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a 等于（ ） A.18 B.14 C.12D.1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=（ ） A.l n B.l 1n + C.1n n + D.1 4.曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为_____________________.5.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为____________.6.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图象过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的[解析]式.——★ 参 考 答 案 ★——典型例题例1：解：（1）把x ＝1代入C 的方程，求得y ＝－4．∴切点为（1，－4）．y ′＝12 x 3－6 x 2－18 x ，∴切线斜率为k ＝12－6－18＝－12．∴切线方程为y ＋4＝－12（x －1），即y ＝－12 x ＋8．（2）由⎩⎨⎧+-=+--=8124923234x y x x x y 得3 x 4－2 x 3 －9 x 2＋12 x －4＝0(x －1) 2 (x ＋2) (3 x －2)＝0x ＝1，－2，32． 代入y ＝3 x 4－2 x 3 －9 x 2 ＋4，求得y ＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（32，0）．除切点外，还有两个交点（－2，32）、（32，0）． 例2：解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例3：解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． ''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =- （1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．课堂检测：1.C2.B3.B4. 310x y -+=5. （-2,15）6.由函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0,2）知，2d =，所以32()2f x x bx cx =+++， /2()32f x x bx c =++由在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=知：/(1)1(1)6f f -=⎧⎨-=⎩所以321126b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩解得：3b c ==- 故所求函数的[解析]式是32()332f x x x x =--+。
导数§1.2.1基本初等函数的导数、导数运算法则一、公式=/C （ ） =/n x （ ） =/sin x （ ） =/cos x （ ）=/x e （ ） =/ln x （ ） =/x a （ ） =/log x a （ ） 二、运算法则()()[]=±/x g x f （ ）()()[]=⋅/x g x f （ ）()()/⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f =（ ） 习题1、求下列函数的导数（1）41xy = （2）/53x y = （3）x x y = （4）x x x y cos 32+=（5）()()x e x x y ++=22cos 1 （6）x e y x ln = （7）x e y x sin 2-=2、对于任意的()()()=-==x f f x x f x 则,11,4,3/( )3、设()n n n n n a x a x a x a x a x f +++++=---122110......，则()=0/f （ ）三、复合函数的导数设复合函数()()x g f y =，()()u f y u x g ==则,,=/y 。
1、求下列函数的导数（1）()532+=x y （2）()323x y -= （3）()ϕπ+=x y sin（4）()π-=x y 3cos 2 （5）x x x y 3cos 2sin += （6）x e y 23-=（7）()1ln 2+=x y意义：曲线()()()00,x f x P x f y 在点=处的切线的斜率k= 。
补充知识点：⎩⎨⎧=⋅⇔⊥=⇔0//21212121k k l l k k l l 1、求曲线()()()00,x f x P x f y 在点=处的切线方程----------点()()00,x f x P 在曲线上。
解：)(0/x f k =，直线的方程为： 。
2、求曲线()()()00,x f x P x f y 过点=的切线方程----------点 ()()00,x f x P 不一定在曲线上。
人教版高中数学精品资料1．2 导数的计算1．2.1 基本初等函数的导数公式1．掌握各基本初等函数的求导公式．2．能根据导数定义，求几个常用函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．基础梳理 1．几个常用函数的导数.解析：几何意义：表示在函数y ＝x 的图象上每一点处的切线的斜率都为1； 物理意义：若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则f ′(x )＝1表示物体的瞬时速度始终为1，即物体做匀速直线运动．2．基本初等函数的导数公式.想一想：(1)计算过程：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 6′＝－sin 6＝－2，正确吗？ (2)已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝________．(1) 解析：不正确，因为cos π6＝32，为常数，而常数的导数为0.(2) 解析：因为f ′(x )＝2x ，所以f ′(3)＝2×3＝6.自测自评 1．下列各式正确的是(D )A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(3x )′＝3xD ．(3x )′＝3xln 32．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数图象在x ＝0处的切线方程为(B )A ．x ln 2－y －1＝0B ．x ln 2＋y －1＝0C ．x ＋y ln 2－1＝0D ．x －y ln 2－1＝0解析：f ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 2；所以切线的斜率为k ＝f ′(0)＝－ln 2，又切点坐标为(0，1)，则切线方程为y －1＝－x ln 2，即x ln 2＋y －1＝0.故选B.3．下列结论中正确的个数为(D )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x，则y ′＝2xln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：对于y ＝ln 2，y ′＝0，所以①错；对于y ＝1x2，y ′＝(x －2)′＝－2x －3，所以y ′|x＝3＝－233＝－227，所以②正确；对于y ＝2x ，y ′＝(2x )′＝2x ln 2，所以③正确；对于y ＝log 2x ，y ′＝1x ln 2，所以④正确．故选D.基础巩固1．下列函数满足f (x )＝f ′(x )的是(C ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝x C ．f (x )＝0 D ．f (x )＝12．已知f (x )＝x n且f ′(－1)＝－4，则n 等于(A ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 解析：∵f ′(x )＝nx n －1，∴f ′(－1)＝n (－1)n －1＝－4.若(－1)n －1＝－1，则n ＝4，此时满足(－1)n －1＝－1；若(－1)n －1＝1，则n ＝－4，此时不满足(－1)n －1＝1.∴n ＝4故选A.3．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(C )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒解析：v (t )＝s ′(t )＝－1＋2t ，所以v (3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.4．在点P (1，1)处与曲线y ＝x 4相切的切线与直线4x －y ＋1＝0的位置关系是________． 解析：因为y ＝x 4，所以y ′＝4x 3，所以切线的斜率k ＝4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0，与已知直线平行．答案：平行能力提升5．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为(B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 6．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是(A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π B ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，34π解析：∵(sin x )′＝cos x ，∴直线l 的斜率k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴直线l 的倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.7．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝_____________. 解析：因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a＝－1. 所以ln a ＝－1，所以a ＝1e .答案：1e8．曲线y ＝x 3在点(1，1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________． 解析：∵y ′＝3x 2.∴切线的斜率为y ′|x ＝1＝3×12＝3，∴切线方程为y －1＝3(x －1)，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，与直线x ＝2的交点为(2，4)．∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－23×4＝83.答案：839．已知函数y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，试求过原点的函数的切线方程．解析：因为y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＝b ，－1＝a sin 3π2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以y ＝sin x . 又因为y ′＝cos x ， 所有y ′|x ＝0＝1， 所以切线方程为y ＝x .10. 已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解析：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1,所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 所以切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.。
1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标] 1.能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 答 (1)计算ΔyΔx ，并化简；(2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)ΔyΔx 趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数. [预习导引]1.几个常用函数的导数2.要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 015x2的导数.解f′(x)＝limΔx→02 015(x＋Δx)2－2 015x2x＋Δx－x＝limΔx→02 015[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 015x2Δx＝limΔx→04 030x·Δx＋2 015(Δx)2Δx＝limΔx→0(4 030x＋2 015Δx)＝4 030x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用.跟踪演练1用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数.解y′＝limΔx→0(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b－(x2＋ax＋b)Δx＝limΔx→0x2＋2x·Δx＋(Δx)2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－bΔx＝limΔx→02x·Δx＋a·Δx＋(Δx)2Δx＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝⎛⎭⎫x 34′＝34x 14-＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2； (3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 21；(4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程. 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|6πx=＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.跟踪演练3 曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程. 解 由题意知：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3，∴当x ＝－1时，y ′取最小值为3，即最小的斜率为3. 此时切点坐标为(－1，－14).∴斜率最小的切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)， 即3x －y －11＝0.1.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3[答案] D[解析] 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1. 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3. 2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B.0 C.12xD.32 [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B.[0，π)C .⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 [答案] A[解析] ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴直线l 的倾斜角αl ∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . [答案] 12e 2[解析] ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.。
第一章 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)提能达标过关一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x 2解析：若y ＝cos x ，则y ′＝－sin x ，∴A 错；若y ＝sin x ，则y ′＝cos x ，∴B 错；若y ＝1x ＝x －1，则y ′＝－1·x －2＝－1x 2，∴C 正确；若y ＝x ＝，则y ′＝12·＝12x ，∴D 错． 答案：C2．函数y ＝e x 在点(0,1)处的切线方程为( )A ．y ＝1e x ＋1B ．y ＝e x ＋1C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：∵y ′＝e x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即y ＝x ＋1，故选D.答案：D3．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线的倾斜角为α，∵y ′＝(sin x )′＝cos x ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝tan α.∵－1≤cos x 0≤1，∴－1≤tan α≤1.又∵0≤α＜π，∴0≤α≤π4或3π4≤α＜π.答案：A4．(2019·定州高三模拟)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cosx 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 12·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.答案：A5．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切，则k 的值为( )A ．eB ．－eC.1e D ．－1e 解析：∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x .设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0，y 0＝ln x 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，y 0＝1.∴k ＝1e . 答案：C二、填空题6．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________.解析：∵f (x )＝10x ，∴f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10.答案：10ln 107．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．解析：y ′＝1x ln 2，∴∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，令x ＝0，得y ＝－1ln 2，令y ＝0，得x ＝1，∴S ＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1ln 2＝12ln 2. 答案：12ln 28．(2019·寿光高二月考)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 018(x )＝________.解析：由已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x .答案：－sin x三、解答题9．(2019·泉州高二月考)已知两条曲线y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．理由如下：由于y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处切线的斜率分别为k 1＝y 1′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y 2′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．10．已知函数y ＝12x 2的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线为l ，若l 也为函数y ＝ln x (0<x <1)的图象的切线，求证：3<x 0<2.证明：函数y ＝12x 2的导数为y ′＝x ，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线的斜率为k ＝x 0， 切线方程为y －12x 02＝x 0(x －x 0)，设切线与y ＝ln x 相切的切点为(m ，ln m )，0<m <1，由y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，可得x 0＝1m ，切线方程为y －ln m ＝1m (x －m )，令x ＝0，可得y ＝ln m －1＝－12x 02，由0<m <1，可得x 0>1，由m＝1x0，可得12x02－ln x0－1＝0，令f(x)＝12x2－ln x－1，x>1，∴f′(x)＝x－1x>0，∴f(x)在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝1－ln 2>0，f(3)＝32－12ln 3－1＝12(1－ln 3)<0，则有12x02－ln x0－1＝0的根x0∈(3，2)．∴3<x0<2.。
第 1 页 课后练习与提高1．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为：A ()2(1)f x x =-B 2()2(1)f x x =-C 2()(1)3(1)f x x x =-+-D ()1f x x =-2．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A18 B 14 C 12D 1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ∙∙⋅⋅⋅∙=A l nB l 1n +C 1n n + D 1 4.曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为------------------- 5.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为------------6.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式。
课后练习与提高答案：1.C 2.B 3.B 4. 310x y -+= 5. （-2,15）6.由函数32()f x x bx cx d =+++的图像过点P （0,2），知2d =，所以32()2f x x bx cx =+++，由在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=知：/(1)1(1)6f f -=⎧⎨-=⎩所以321126b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩解得：3b c ==- 故所求函数的解析式是32()332f x x x x =--+。
高中数学专题1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学专题1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）教案新人教A版选修2-2的全部内容。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）【教学目标】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则．4．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b）的导数）．【教法指导】本节学习重点：函数的和、差、积、商的求导法则．本节学习难点：复合函数的求导法则．【教学过程】☆复习引入☆前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式,这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之。
☆探索新知☆探究点一导数的运算法则思考1 我们已经会求f（x)＝5和g（x)＝1。
05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f（x)与g（x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？“＋"，而商的导数公式中分子上是“－”；（5）要注意区分参数与变量，例如[a·g（x）]′＝a·g′（x)，运用公式时要注意a′＝0。
第一章 1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)提能达标过关一、选择题1．下列求导正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x ＋ln 3)′＝3x ·ln 3＋13D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x 2，A 不正确；(3x ＋ln 3)′＝(3x )′＋(ln 3)′＝3x ln 3＋0＝3x ln 3，C 不正确；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确．答案：B2．曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1解析：y ′＝x －2－x (x －2)2＝－2(x －2)2，曲线在点(1，－1)处的切线斜率 故切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.答案：D3．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3， ∵f (x )＋f ′(x )为奇函数，则φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6，故选A.答案：A4．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：由题意知g ′(1)＝2，∵f ′(x )＝[g (x )＋x 2]′＝g ′(x )＋2x . ∴k ＝f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4.答案：A5．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋1的导函数为f ′(x )，若f ′(x )为奇函数，则有( )A ．a ≠0，c ＝0B ．b ＝0C ．a ＝0，c ≠0D ．a ＝c ＝0解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋1，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∵f ′(x )为奇函数，∴a ＝c ＝0，故选D.答案：D二、填空题6．(2019·长庆高三模拟)已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程________________．解析：因为y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，所以y ′|x ＝0＝2，所以在点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.答案：y ＝2x ＋6或y ＝2x －47．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________． 解析：∵y ′＝x ′(3ln x ＋1)＋x (3ln x ＋1)′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4.∴∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.答案：4x －y －3＝08．若曲线f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：y ′＝1x ＋2ax ，x ∈(0，＋∞)，∵曲线y ＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，∴y ′＝1x ＋2ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴a ≥－12x 2在(0，＋∞)上恒成立．令f (x )＝－12x 2，x ∈(0，＋∞)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )＝－12x 2<0，∴a ≥0，即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)三、解答题9．(2019·石嘴山高二期末)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )．(1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋1 x，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋1x存在零点，即f′(x)＝0⇒2ax＋1x＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．10．已知函数f(x)＝1＋ln x－a e x，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求实数a的值．解：∵f(x)＝1＋ln x－a e x，∴f′(x)＝1x－a ex，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，∴f′(1)＝1－a e＝0，解得a＝1 e.∴实数a＝1 e.由Ruize收集整理。
