1、3、1柱体、锥体、台体的表面积与体积

学法指导1.求几何体的表面积，要充分利用柱体、锥体、台体的结构特征，准确把握各个面的形状与数量关系，尤其是侧面展开图与原几何体的关系．2．求体积问题则要准确把握底面积和高，尤其是四面体，确定哪个面为底面要依据条件看哪个面的面积容易求出．3．充分利用展开图和截面图，将空间问题转化为平面问题．S 底＝2πr 2S 底＝πr 2底＝π(r ′2＋S ＝2πrl S 侧＝πrl 侧＝π(r ′＋表＝πr (r ＋l 表＝π(r ′2＋图形1 .多面体与旋转体表面积的计算方法(1)多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，一般不把多面体真正展开．(2)求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么，关键是求其母线长与上、下底面的半径．2 .柱体、锥体、台体体积之间的关系柱体、锥体、台体的关系如下：根据以上关系，在台体的体积公式中，令，得锥体的体积公式，其关系如图：[小试身手]答案：54π类型一　空间几何体的表面积例1　(1)底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对2角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )6 C ．若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm ，表面积为________cm 由已知得底面边长为1，侧棱长为轴截面是边长为4 cm跟踪训练1　如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要________m2铁板(精确到0.1 m2)．解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m.所以S侧＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416 (m2)．3中，D为棱AA的直角三角形，则此三棱柱的体积为一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为由题意，设AC＝a(a＞0)，连接SH ，则SH 即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC .∵△ABC 是边长为6的正三角形，AH ＝AE ＝2.233，AH ＝2，153123跟踪训练2　如图，过圆柱的两条母线AA 1和BB 1的截面A 1ABB 1的面积为S ，母线AA 1的长为l ，∠A 1O 1B 1＝90°，求此圆柱的体积．解析：∵S 截面A 1ABB 1＝S ，AA 1＝l ，∴A 1B 1＝.在Rt △A 1O 1B 1中，O 1A 1＝·＝，Sl 22S l 2S 2l (2S )πS 2旋转一周，求旋转体的表面积和体积．l 为轴将梯形ABCD 何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．ABC ＝90°，，∠DCB ＝60°，3又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V 柱＝π·(2a )2·a ＝4πa 3，33V 锥＝·π·a 2·a ＝πa 3.13333∴旋转体的体积V ＝V 柱－V 锥＝4πa 3－πa 3＝πa 3.3331133旋转体的表面积等于圆柱侧面积、圆锥侧面积与圆柱上下底面积解析：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，由已知得∠BAC ＝90°，所以V 几何体＝V 三棱12×8＝11(16×8)分，共25分)．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为34×16解析：所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28.答案：B3．若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )A．4π2B．3π2C．2π2D．π2解析：依题意，圆柱的母线长l＝2πr，故S侧＝2πrl＝4π2r2＝4π2.绕直线BC 旋转一周，所形成的几何体是以为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD 因为AB ＝2，BC ＝，∠ABC ＝120°，所以AE ＝AB sin60°＝，BE ＝AB ·cos60°＝1，CE ＝.352V 1＝π·AE 2·CE ＝，V 2＝π·AE 2·BE ＝π，135π213所以V ＝V 1－V 2＝π.故选D.32如图，已知底面半径为分，共20分)9．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC如图所示，求它的表面积．解析：的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．的面积，过点S作SD⊥BCa4的表面积S＝4×a＝ABCD中，∠DAB＝，求四边形ABCDABCE 绕AE 旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕DE ＝V －V ＝×4－π×22×2＝π.131483能力提升](20分钟，40分)ABCD －A ′B ′C ，动点Q 在棱D 的位置有关ABCD的边长为折叠，使B个三棱锥，则这个三棱锥的表面积为________因为折叠后构成的三棱锥的表面均由原正方形的各部分围13．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为，底面是边长为3 m的正方形，圆锥的表面积为(m2)；四棱柱的一个底面积为48 (m2)．39)×0.2＝(4.8π＋7.8) (kg)．一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为长的底所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．中，，则DM＝4中，由勾股定理得CD＝。

§1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积基础过关1．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为()A．2 B．2 2 C．4 D．8解析圆台的轴截面如图，由题意知，l＝12(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.答案 C2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4π B．3πC．2π D．π解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.答案 C3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于()A．6 B．6πC．35πD．65π解析∵圆台的母线长为（2－1）2＋22＝5，∴S圆台侧＝π(1＋2)·5＝35π.答案 C4．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.解析 依题意得，该四棱锥底面平行四边形的一边长为2，该边上的高为1. 又依据正视图知该四棱锥高为3. ∴V 四棱锥＝13S ·h ＝13×2×1×3＝2(m 3)． 答案 25．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．解析 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2，S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 答案 2∶16．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 答案77．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S 侧．解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V －ABCD . (1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.能力提升8．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18解析 由三视图可知，该多面体为一个棱长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＋12×2×62×2＝21＋ 3. 答案 A9．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( ) A ．54B ．54πC ．58D ．58π解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.答案 A10.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.解析 正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是2，则该正八面体的体积为13×(2)2×2＝43. 答案 4311．如图是一个空间几何体的三视图(俯视图外框为正方形)，则这个几何体的体积为________．解析 空间几何体为正四棱柱内挖空了一个圆柱，如图．∵正四棱柱的底面边长为4，高为3，圆柱的底面半径为1，∴这个几何体的体积为4×4×3－π×12×3＝48－3π.答案 48－3π12．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．解 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.创新突破13．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示．因为rR＝H－xH，所以r＝R－RH x，所以S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－2πRH x2(0<x<H)．(2)因为－2πRH<0，所以当x＝2πR4πRH＝H2时，S圆柱侧最大．故当x＝H2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．。

1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积柱体、锥体、台体的表面积与体积[提出问题]南京青年奥运会的前奏是奥运圣火的传递，圣火由“幸福之门”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹克精神．“幸福之门”火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷．问题1：能否计算出“幸福之门”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？提示：可以，即计算圆台的表面积．问题2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？提示：可以，即计算其容积．[导入新知]1．几种几何体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积旋转圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl体表面积：S ＝2πrl ＋2πr 2圆锥底面积：S 底＝πr2侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πrl ＋πr 2圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′)表面积：S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )2．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h .[化解疑难]对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．柱体、锥体、台体的表面积[例1]A．180 B．200C．220 D．240[答案] D[类题通法]1．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．2．结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．[活学活用]圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．解：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA ＝2π×10，解得SA＝20(cm)．同理可得SB＝40(cm)，所以AB＝SB－SA＝20(cm)．所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).柱体、锥体、台体的体积[例2] (天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.[答案] 2 [类题通法]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱体、锥体、台体的体积计算问题．[活学活用]已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积．解：如图所示，在三棱台ABC ­A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中心，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以DD ′＝1333(cm)．又∵O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， ∴棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－OD －O ′D ′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×(3253＋34×20×30) ＝1 900(cm 3).简单组合体的表面积和体积[例3] 已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．[解] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， 知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC . ∵BC ·AC ＝AB ·CD ，∴CD ＝125，记为r ＝125，那么△ABC 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252×5＝485π.所以，所求旋转体的表面积是845π，体积是485π.[类题通法]求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．[活学活用]一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案：20π34.求几何体表面积、体积考虑不全面[典例] 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积． [解] 设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h . 当2πr ＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l ＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π.当2πr ＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4，所以V圆柱＝πr2h＝4π.综上所述，这个圆柱的体积为8π或4π.[易错防范]把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底，4为高．容易漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑全面．[成功破障] 如图，从底面半径为2a，高为3a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．解：由题意知，S1＝2π·2a·3a＋2π·(2a)2＝(43＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(43＋9)πa2.∴S1∶S2＝(43＋8)∶(43＋9)．[随堂即时演练]1．(全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20πB．24πC．28πD．32π答案：C2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )A．1∶2 B．1∶ 3C．1∶ 5 D.3∶2答案：C3．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.答案：83π4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________． 答案：100π5．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：表面积：(24＋83) cm 2，体积：8 3 cm 3.[课时达标检测]一、选择题1.如图，ABC ­A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C ­AA ′B ′B 的体积是( )A.13 B.12 C.23 D.34答案：C2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案：B3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案：B4．(全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案：D5.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8答案：B 二、填空题6．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．答案：127．(浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.答案：72 328．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm 和18 cm ，侧棱长为13 cm ，则其表面积为________ cm 2.答案：1 012 三、解答题9．如图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．(单位：cm)解：由三视图知该几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．长方体的长、宽、高分别是8,4,6，圆柱的高是8，底面半径是2，∴表面积为S ＝8×4＋2×8×6＋2×4×6＋2×12×π×22＋12×2π×2×8＝176＋20π(cm 2)，体积为V ＝8×4×6＋12×π×22×8＝192＋16π(cm 3)，故该几何体的表面积为(176＋20π)cm 2，体积为(192＋16π)cm 3.10．已知正三棱锥V ­ABC 的正视图、俯视图如图所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积．解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示， 且VA ＝VB ＝VC ＝4，AB ＝BC ＝AC ＝2 3.取BC 的中点D ，连接VD ，则VD ⊥BC ，有VD ＝ VB 2－BD 2＝ 42－32＝13， 则S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，所以，三棱锥V ­ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)．。

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积一、核心知识问题1：思考如何求出任意一个棱柱、棱锥、棱台的表面积?它与哪些平面图形有关系?解答:把他们的侧面展开，表面积等于底面积加上侧面积；棱柱的侧面是一组平行四边形；棱锥的侧面是一组三角形；棱台的侧面是一组梯形。

问题2：类比上述方法，求圆锥和圆台的侧面积和表面积？解答:把他们的侧面展开，圆锥侧面展开图是一个扇形，圆台的侧面展开图是一个扇环；表面积等于底面积加上侧面积；问题3：正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统一为：=V S h ⨯底面。

据此，猜测一般的柱体的体积公式是什么？解答:=V S h ⨯底面问题4：根据圆锥的体积与圆柱体积的关系，猜测一般的锥体的体积公式是什么？解答：1=3V S h ⨯底面问题5：类比棱台、圆台侧面积的求法，你能解决求棱台、圆台体积的问题吗? 如何求?解答：()1=3V h S S ' 问题6：比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体、是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体公式的“特殊”形式？ 解答： =V S h ⨯底 S=S ' ()1=3V h S S ''1=3V S h ⨯底面二、典例剖析【例1】已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S-ABC ，求它的表面积 ．分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．022=,sin 60ABC S SD BC BC DBC a SD SB S S ABC ⊥==∴=∴-Q 解：过作，交于点，四面体。

【例2】如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm ，盆底直径为15cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长15cm ．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（π取3.14，结果精确到12cm ）？解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:225.11522015215215⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS)(9992cm ≈答：花盆的表面积约是999 2cm ．【例3】有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg.已知底面六边形的边长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm,那么约有毛坯多少个?(铁的比重是7.8g/cm3)解:V 正六棱柱=1.732×122×6×10≈3.74×103(mm3)V 圆柱=3.14×52×10≈0.785×103(mm3) 毛坯的体积V=3.74×103-0.785×103 ≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3)约有毛坯：5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)答:这堆毛坯约有250个。