泸溪一中高一优生数学专题辅导第一讲

泸溪一中高一优生数学专题辅导第一讲：函数及其表示考点分析：1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．复习指导：正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．基础梳理：1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．一个方法：求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．两个防范：(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．三个要素：函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.双基自测：1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()．A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)2．(2014江西)若f(x)＝1log 12＋，则f(x)的定义域为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．A ．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg xB ．f(x)＝lg x ＋1x －1，g(x)＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f(u)＝ 1＋u 1－u ，g(v)＝ 1＋v 1－vD ．f(x)＝(x)2，g(x)＝x24．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )．A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 5．函数y ＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．考向一 求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域： (1)f(x)＝|x －2|－1－； (2)f(x)＝＋－x2－3x ＋4.求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.【训练1】 (2012·天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－x －12的定义域； (2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域．考向二 求函数的解析式【例2】►(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f(x)； (2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，求函数f(x)的解析式．求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．【训练2】 (1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，试求f(x)的表达式．(2)已知f(x)＋2f(1x )＝2x ＋1，求f(x)．考向三 分段函数【例3】►(2011·辽宁)设函数f(x)＝⎩⎨⎧ 21－x ，x≤1，1－log2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)【训练3】 (2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为________．阅卷报告1——忽视函数的定义域【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误．【防范措施】 研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．【示例】► 求函数y ＝log 13(x2－3x)的单调区间．【试一试】 求函数f(x)＝log2(x2－2x －3)的单调区间．。

泸溪一中高中数学必修1辅导训练1一．选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题中只有一项是正确的)1. 已在集合{}N x x x A ∈<<-=,22,则必有 ( ) A .1A -∈ B .0A ∈C AD .2A ∈2. 设 P M N M =, 则必有( )A.P N =B. )()(P C M N C M u u =C. P M N M =.D. P M C N M C u u )()(=.3. 已知{}Z k k m m M ∈==,2,{}Z k k x x X ∈+==,12,{}Z k k y y Y ∈+==,14,则( )A.M y x ∈+.B. X y x ∈+.C. Y y x ∈+.D. M y x ∉+4. 设集合{}0)2(1),(2=-++=y x y x M ,{}2,1=N 则 ( ) A. N M ⊆. B. φ=N M C M N =. D. M N ⊆5. 若集合{|+10}X x x =>，下列关系式中成立的为（ ）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆6. 有限集合S 的元素个数记作)(S card ,设A.B 都是有限集合,给出下列命题:① 若φ=B A ,则)()()(B card A card B A card += ；②若B A ⊆,则)()(B card A card ≤； ③若B A ⊄,则)()(B card A card ≠；④若)()(B card A card =,则B A =.其中正确的序号是( )A.①② B ③④ C.①④ D.②③7. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=0)1(3x x x M , {}R x x y y N ∈+==,13.2, 则 N M 等于( ) A..∅ B {}1..≥x x C. {}1.>x x D {}01..<≥x x x 或8. 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者）．则k 的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二.填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分) 9. 已知{}1,0=B , 则满足A B A = 的集合A 有 个；10. 集合(){}*,,1232,N y N x y x y x ∈∈=+用列举法表示为 ； 11. 设全集{},,,U a b c d e =，,集合{}c b a M ,,= ,{}e d b N ,,=,那么U U C M C N 是 ；12..已知集合{}321,5,--2U x x x =, {}12,1+=x A ,如果{}0U C A =,则实数x = ； 13. 设集合{}2,1=A , 则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是 ；14. 在(1){}∅∈∅ (2) ∅⊆∅ (3) {}0∅∉ (4) {}∅⊆∅四个表示关系中正确的序号有 ；15. 定义集合运算:{}B y A x y x xy z z B A ∈∈+==⊗,),(,设集合{}1,0=A , {}3,2=B ,则集合B A ⊗的所有元素之和为 .三.解答题(本大题共6小题,共74分)应写出文字说明,证明过程或演算算步骤.16. 设n mx x y ++=2 ),(R n m ∈, 当0=y 时, x 对应值的集合为{}1,2--(1)求n m ,的值； (2)当x 为何值时, y 取最小值,并求此最小值.17. （1）设全集{}4,3,2,1=U 且{}S x m x x x A ∈=+-=,052 ,若{}3,2=A C U ,求m 的值； （2）已知非空集合A={ x ∣1-2m ≤x ≤3m -5}，B={ x ∣3≤x ≤22},且B ⊆A ，求实数m 的取值范围。

泸溪一中高二数学辅导训练（2） 姓名一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于 （ ）A.120°B.60°C.45°D.30° 2.已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是 （ ）A.22a b ambm >⇒> B.a b a b c c>⇒> C.3311,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b >>⇒<3.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解 4.在等比数列}{n a 中, ,8,1641=-=a a 则=7a （ ）A.4-B.4±C. 2-D. 2±5.若,1>a 则11-+a a 的最小值是 （ ）A. 2B.a C. 3 D. 1-a a26.在ABC ∆中,若cos 4cos 3A bB a ==,则ABC ∆是 （ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 钝角三角形7.用篱笆围成一个面积为196m 2的矩形菜园，所用篱笆最短为（ ）ｍA. 56B. 64C. 28D. 208. 数列{a n }的通项公式是a n =1(1)n n +(n ∈N*)，若前n 项的和为20112010，则项数为 （ ） A ．2012 B ．2011 C ．2010 D ．2009 二、填空题（本题共7小题，每小题5分，共35分）9.在△ABC 中,若222c b a<+，且=C sin 23,则∠C = . 10.已知数列｛n a ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为n a =_________________11．已知数列{}n a 满足1a a =，111(2)n n a n a -=+≥，若40a =，则a =_____________。

宁化一中高一年段数学培优教材高一数学备课组第一讲 函数的性质一、 基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。

（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。

若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。

（3） 若函数满足()(2)f x f a x =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。

（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。

2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。

判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ay x a x=+>的图像和单调区间。

3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。

若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。

（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为Ta的周期函数。

（3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。

（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。

泸溪一中高中数学必修1辅导训练2一、选择题：（本大题共8小题,每小题5分,共40分.每小题只有一项是符合题目要求的）1．设集合A=｛2,3｝，B=｛2,3,4｝,C=｛3,4,5｝则A B C = （） （ ） A ．｛2,3,4｝ B ．｛2,3,5｝ C ．｛3,4,5｝D ．｛2,3,4,5｝2．下列说法错误的是（ ）A.42y x x =+是偶函数B. 偶函数的图象关于y 轴轴对称C. 32y x x =+是奇函数D. 奇函数的图象关于原点中心对称 3．函数f (x )= 2(1)xx x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）A.-4 B .2 C. -2 D.1 4．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ） A ．0,xy x y x== B．y y ==C．,y x y ==D ．2)(|,|x y x y ==5．设M ＝｛x ｜－2≤x ≤2｝，N ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ， 则f （x ）的图象可以是（ ）6．图中阴影部分表示的集合是( )A. )(B C A UB. B A C U )(C. )(B A C UD. (U C A B 7．若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值2，则它在[]1,3--上（ A .是减函数，有最小值2 B .是增函数，有最小值2 C .是减函数，有最大值-2 D .是增函数，有最大值-28．已知函数()f x 是R 上的增函数，()()0-23,2A B ，，是其图像上的两点，则2(+1)2f x -<<的解集是（ ）A . （1,4） B.（-1,2） C.()[)-14+∞∞ ，， D. ()[)-12-+∞∞ ，，二、填空题（本大题共7小题，每题5分，共35分.要求只填最后结果．）9．已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，则用列举法表示集合A= ；10．函数21)(--=x x x f 的定义域为 ； 11．函数26y x x =-的减区间是 ； 12．12)(2++=x x x f ，]2,2[-∈x 的最大值是 ； 13．已知x x x f 2)12(2-=+，则(3)f = ；14．设函数f （x ）＝22, 22, 2x x x x ⎧⎨⎩≤＋，>，则f （0x ）＝18，则0x ＝___ _；15．若函数()y f x R =在上单调递减且()()21,f m f m m >+则实数的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（本小题满分12分）设{}{}(),1,05,U U R A x x B x x C A B ==≥=<< 求和()U A C B .17.（本小题满分12分）设集合}32,3,2{2-+=a a U ，}2|,12{|-=a A ，}5{=A C U ，求实数a 的值.18.（本小题满分12分） 已知f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．19.（本小题满分13分）已知集合{}{}|3,|15A x a x a B x x x =≤≤+=≤->或，（1）1,a A B =- 若求； （2）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围； （3）若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围。

泸溪一中高二理科数学优生辅导：高考函数应用题归纳一．数列模型例1.假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末．．．．加1000元；（Ⅱ）每半年．．．结束时加300元。

请你选择． （1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？例2.（江门2011高三上期末调研测试理）某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元。

2011年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n 年（n 为正整数，2011年为第1年）的利润为)311(100n +万元．⑴设从2011年起的前n 年，该景点不开发新项目的累计利润为n A 万元，开发新项目的累计利润为n B 万元（须扣除开发所投入资金），求n A 、n B 的表达式；⑵依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？二、利用导数或基本不等式求最值例3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米。

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？例4.（江门2011高三上期末调研测试）某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件．．。

由于市场饱和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级。

据市场调查，若投入x 万元．．，每件产品的成本将降低43x 元．，在售价不变的情况下，年销售量将减少x 2万件．．，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为)(x f （单位：万元．．）． ⑴求)(x f 的函数解析式；⑵求)(x f 的最大值，以及)(x f 取得最大值时x 的值．三、分段函数模型：例5.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。

湖南省湘西市泸溪县第一高级中学2019-2020学年高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列递推关系即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选：B．2. 函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是( )A. B.[2,4] C. [0,4] D.参考答案：B略3. 设x1，x2是函数f（x）=a x（a＞1）定义域内的两个变量，且x1＜x2，设．那么下列不等式恒成立的是（）A．|f（m）﹣f（x1）|＞|f（x2）﹣f（m）| B．|f（m）﹣f（x1）|＜|f（x2）﹣f（m）| C．|f（m）﹣f（x1）|=|f（x2）﹣f（m）| D．参考答案：B【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用指数函数的单调性即可判断出答案．【解答】解：∵x1＜x2，a＞1，∴0＜，∴|f（m）﹣f（x1）|==＜==|f（x2）﹣f（m）|，因此B正确．故选B．4. （5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题．分析：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．解答：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选D．点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．5. 已知全集N=Z，集合A={﹣1，1，2，3，4}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则（?U A）∩B=（）A．{3，4} B．{﹣2，3} C．{﹣2，4} D．{﹣2，0}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵全集N=Z，集合A={﹣1，1，2，3，4}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴（?U A）∩B={﹣2，0}，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．6. 设，，则( )（A）（B）（C）（D）参考答案：C略7. 如果函数在区间(-∞,4}上单调递减，那么实数a的取值范围是A、a≥5；B、a≤5；C、a≥-3；D、a≤-3；参考答案：D略8. 若函数，又，且的最小值为，则正数的值是（）A．B．C．D．参考答案：B因为函数，因为，的小值为，即，那么可知ω=.9. 已知数列中，，，则的值为A．50 B．51 C．52D．53参考答案：C10. 有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程为．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（）A．140 B.143 C. 152 D. 156参考答案：B∵一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程y?=?2.35x+147.77.∴某天气温为2℃时，即x=2，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数y=?2.35×2+147.77≈143二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的倍，横坐标扩大到原来的倍，然后把所得的图象沿轴向左平移，这样得到的曲线和的图象相同，则已知函数的解析式为_______________________________.参考答案：y=略12. 函数，则 .参考答案：1613. 已知函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.在下列三个函数中：（1）；（2）；（3）.“理想函数”有．（只填序号）参考答案：（3）∵函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(?x)=0；②对于定义域上的任意，当时,恒有,则称函数f(x)为“理想函数”，∴“理想函数”既是奇函数，又是减函数，在(1)中,是奇函数,但不是增函数,故(1)不是“理想函数”；在(2)中,,是偶函数,且在(?∞,0)内是减函数,在(0,+∞)内是增函数,故(2)不是“理想函数”；在(3)中,是奇函数,且是减函数,故(3)能被称为“理想函数”。

泸溪一中高一数学辅导资料十六一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 0120cos 等于（ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．322. 下列算式中不正确的是（ ）A ．0AB BC CA ++= B ．AB AC BC -= C ．00=∙ABD ．()()a a λμλμ= 3. ()2tan cot cos x x x +=( )Ａ. cot x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ. tan x 4．已知非零向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5 若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角6.=∈=x 0x 22tanx ），则，（，π ( )A.4πB.3πC.2πD. 22arctan7. 设5sin7a π=，2cos7b π=，2tan 7c π=，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<8．下列命题：（1）若向量a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；（2）对于任意非零向量若a b =且a 与b 的方向相同，则a b = ；（3）非零向量a 与b 满足a b ∥，则向量a 与b方向相同或相反；（4）向量AB与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线； （5）若a b ∥，且b c ∥，则a c∥正确的个数：（ ）A.0 B.1 C.2 D.3 9．如果α与β都是第一象限角，并且α＞β，则一定有如下关系（ ）A.sin α＞sin βB.sin α＜sin βC.sin α≠sin βD.不能确定10.R x x y ∈+=),2cos(π是（ ）.A 奇函数.B 偶函数 .C 非奇非偶函数 .D 不确定11. 函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A ．)](23,26[Z k k k ∈++-ππππB ．)](3,6[Z k k k ∈++-ππππC ．)](265,26[Z k k k ∈++ππππ D ．)](65,6[Z k k k ∈++ππππ12. 为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移5π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位二、填空题：13 ()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ．14 =+-==b 2a 2,1b 4,2a ），则（），（向量 。

2020届湖南省泸溪一中高三第一次模拟考试数学试题（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，总分60分）1.已知集合{{}|1,|20A y y B x x ===-≤，则A B =I ( )A. []1,2B. []0,2C. (],1-∞D. [)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，根据交集的定义即可求得结果.【详解】{|1[1,)A y y ==+=+∞，{}|20(,2]B x x =-≤=-∞，所以[1,2]A B =I ， 故选A.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于简单题目.2.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ） A.23B.12C.13D.14【答案】B 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率．【详解】4本名著选两本共有246C =种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有133C =种，所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为31=62． 故选B.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题． 3.已知复数z 满足(1)3i z i +⋅=-,则z =（ ）A. 5B. 3C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知，3121iz i i-==-+，再求解||z 即可. 【详解】Q (1)3i z i +⋅=-∴223(3)(1)3324121(1)(1)12i i i i i i i z i i i i i -----+-=====-++--，则||z ==故选：C【点睛】本题考查复数的运算，属于容易题.4已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且284,a a +=1133S =，则2020a =（ ）A. 2019B. 2018C. 2017D. 2020【答案】C 【解析】 【分析】用基本量法求解．即把已知条件用1a 和d 表示并解出，然后再由通项公式得解．【详解】由题意281111284111011332a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩． ∴20202201912017a =-+⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，解题方法是基本量法．5.已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）B.12+【答案】D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值.【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===+≤ ⎪⎝⎭ 因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为112=故选D.【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题.6.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A. [2,2]- B. [1,1]-C. [0,4]D. [1,3]【答案】D 【解析】【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7.函数()sin(),0,02fx x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是图象的最高点和最低点，其中M 点横坐标为12，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，则ω，ϕ的值分别是（ ）A.23π，6π B. π，3πC. 2，4π D. 1，3π 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件即可得出1(,1)2M ，并设(,1)N x -，然后根据0OM ON =uuu r uuu rg 即可得出2x =，这样结合图象即可得出22322ωπϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而解出ω，ϕ即可．【详解】解：根据题意知，1(,1)2M ，设(,1)N x -，且0OM ON =uuu r uuu rg ，∴102x-=，解得2x =，∴结合图象，把两点的坐标代入函数解析式中得，22322ωπϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2,36ππωϕ==． 故选：A ．【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，根据点的坐标求向量的坐标的方法，五点法画()sin()f x x ωϕ=+的图象的方法，考查了计算能力，属于基础题．8.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若tan tan a ba b A B+=+，则角C =（ ） A.6πB.4π C.3π D.2π 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出A B +值，即可求出结果.【详解】tan tan a b a b A B+=+，sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos A BA B A BA B A B+=+=+， sin cos sin cos A A B B -=-+，平方得2sin cos 2sin cos ,sin 22sin 2A A B B A B -=-∴=，22(0,2),22A B A B π∈∴=、或22A B π+=，,A B ∴=或2A B π+=，若,A B =则sin cos ,tan 1,(0,)A A A A π∴=∴=∈,42A B C ππ∴==∴=，若2A B π+=，则2C π=.故选:D【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题.9.已知平面向量OA u u u r 、OB uuu r 、OC u u u r 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r，若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r（,x y ∈R ），则x y +的最大值为（ ） A. 1 B.2C.3D. 2【答案】B 【解析】 【分析】以O 为原点,OA OB u u u r u u u r 方向为,x y 轴建立平面直角坐标系，根据OC u u u r 为单位向量设出OC u u u r 的坐标，利用三角函数的性质求得x y +的最大值.【详解】由于单位向量OA u u u r 、OB uuu r 满足0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，故OA OB ⊥u u u r u u u r，以O 为原点,OA OB u u u r u u u r 方向为,x y 轴建立平面直角坐标系，由于OC u u u r为单位向量，故C 在以O 为圆心，半径为1的圆上，设()[)cos ,sin ,0,2πOC θθθ=∈u u u r ，也即cos ,sin x y θθ==，所以π2sin 2,24x y θ⎛⎫⎡⎤+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，所以x y +的最大值为2. 故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查三角恒等变换求最值，属于中档题. 10.若曲线()()21x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线过点()3,3，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A. ()0,∞+B. (),0-∞C. ()2,+∞D. (),2-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间． 【详解】2()(1)x f x ax e -=-Q ，0(2)(21)21f a e a =-=-求导222'()(1)1(1)x x x f x aeax e ax a e ---=+-⋅=+-0='(2)(31)31k f a e a =-=-切3(21)=423132a k a a --∴=-=--切解得1a =2222()(1),'()1(1)x x x x f x x e f x e x e xe ----=-∴=⋅+-= 20x e ->Q ，则当0x >时，'()0f x >．则()f x 的单调递增区间是(0)+∞，． 故选A【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．已知两点坐标也可求斜率．本题还考察了导数在研究函数性质中的应用．11.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】过点M 作MN //PA 交AB 于点N ，点M 作MF//BC 交PC 于点F,过点N 作NE //AD 交CD 于点E ，连接EF.则面MNEF//平面PAD ，MNEF y S =.由PA ⊥平面ABCD ，可得MN ⊥平面ABCD ，平面α与平面PAD 之间的距离为AN x =，且MNEF 为直角梯形.由MN //PA ，MF//BC 得22MN x PA -=，2MF xBC =所以()22,MN x MF x =-=. ()()()22242MNEF MN MF NE y S x x x +===-+=-.故选D.12.已知函数()x xf x e=，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（ ） A. (,2)(2,)-∞⋃+∞ B. 11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 11,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】 【分析】本题先利用导数法对函数()f x 的单调性进行分析并画出()f x 大致图象，解2[()]()10f x mf x m ++-=可得()1f x =-或()1f x m =-，由图可知存在1个实数使得()1f x =-，要使方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则需使()1f x m =-要有2个不同的实数解，即函数()f x 与函数y 1m =-有两个交点，结合函数图象与函数最值可得.【详解】解：由题意1()xxf x e -'=． 令1()0xxf x e -'=<，解得1x >； 令1()0xxf x e -'=>，解得1x <； 令1()0xxf x e -'==，解得1x =． ()f x ∴在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，在1x =处取极大值1e． ()f x 大致图象如下：2[()]()10f x mf x m ++-=Q ， ()1f x ∴=-或()1f x m =-，由图象可知函数()1f x =-有1个解，要使2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，即()1f x m =-存在2个不同的实数解，等价于函数()f x 与y 1m =-有两个交点，101m e∴<-< 解得111m e∴-<< 故选：C【点睛】本题主要考查利用导数法对函数()f x 的单调性进行分析，及数形结合思想的应用．本题属较难题．第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13.若2弧度的圆心角所对的弧长是4 cm ，则这个圆心角所在的扇形面积________2cm . 【答案】4 【解析】 【分析】先由扇形的弧长公式l R θ=可得：422R ==，再结合扇形的面积公式12S lR =求解即可.【详解】解：由扇形的弧长公式l R θ=可得：422R ==，由扇形的面积公式12S lR =可得：这个圆心角所在的扇形面积为14242S =⨯⨯=2cm ，故答案为：4.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了扇形的面积公式，属基础题.14.已知向量(2,3)a =--r ，(,1)b λ=r，若向量a r 与向量b r夹角为钝角，则λ的取值集合为________. 【答案】322,,233⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】由题意可得230a b λ=--<r rg ，且a r 与b r 不共线，由此求得λ的取值集合．【详解】解：Q 向量(2,3),(,1)a b λ=--=r r ，若向量a r 与向量b r夹角为钝角，∴230a b λ=--<r rg ，且a r 与b r 不共线，即32λ>- 且123λ≠--，即32λ>- 且23λ≠，故答案为：322,,233⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题． 15.若函数lg(1),(1)()sin ,(0)x x f x x x ⎧->=⎨<⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有________对.【答案】4 【解析】 【分析】()y f x =图象上关于原点O 对称的点的个数只需观察()|(1)|(1)f x lg x x =->的图象与()sin (0)f x x x =<关于原点对称的函数的图象交点个数即可,再分别画图象可观察得解. 【详解】解：()y f x =图象上关于原点O 对称的点的个数,只需观察()|(1)|(1)f x lg x x =->的图象与()sin (0)f x x x =<关于原点对称的函数的图象交点个数即可，上图可知：两个图象交点个数为4个， 故答案为：4．【点睛】本题考查了作图能力，重点考查了数形结合的思想． 16.设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，已知()2223c a b =-，且tan 3C =，则角B 为________. 【答案】4π【解析】【分析】根据题意得2223c a b -=，且b a <；利用余弦和正弦定理得2sin cos 3sin C B A =，利用三角形内角和定理得tan 2tan A B =，代入tan 3C =求出tan B 和B 的值．【详解】解：ABC ∆中，2223()c a b =-，得2223c a b -=，且b a <，所以B 为锐角；因为22222122sin 3cos 2233sin c c a c b c C B ac ac a A++-====， 即3sin cos 2sin 2sin()A B C A B ==+， 整理得sin cos 2cos sin A B A B =， 则有tan 2tan A B =； 又tan 3C =，所以tan tan 2tan tan tan[()]tan()3tan tan 12tan tan 1A B B BA B A B A B B B π++-+=-+===--g ，化简得22tan tan 10B B --=，解得tan 1B =或1tan 2B =-（不合题意，舍去）；又B 为锐角，所以角4B π=．故答案为：4π． 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．三、解答题（共70分.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共60分）17.在数列{}n a 中，已知()111411,,23log 44n n n n a a b a n N a *+==+=∈． （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =+，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）1()4nn a =，32n b n =-（2）3342n S =-⨯+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义得数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列，由等比数列的通项公式得出数列{}n a 的通项公式，再代入1423log n nb a +=中得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）得数列{}n c 是等比数列{}n a 和等差数列{}n b 的每一项求和所得，所以对等比数列{}n a 和等差数列{}n b 分别求前n 项和再相加可得{}n c 的前n 项和n S .【详解】（1）∵114n n a a +=,11,4a = ∴数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列， ∴()1*111444n nn a n N -⎛⎫⎛⎫=⨯=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵143log 2n n b a =- ,∴1413log 2324nn b n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n b n =-()*n N ∈，∴1324nn n n c a b n ⎛+⎫=+=- ⎪⎝⎭. 所以()231111147324444n nn S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+++++++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L ()21114413211311234214nn n n n n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭+-⨯-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=⨯-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，所以3342n S =-⨯+ ⎪⎝⎭，故得解.【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和分组成等差数列和等比数列求前n 项和的方法，属于基础题. 18.已知函数()()22f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，且()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()1求函数()y f x =的最小正周期； ()2求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期T π=（2）()1min f x =-，()2max f x = 【解析】 【分析】()1利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，可得函数的周期；()2由x 的范围，得到相位的范围，进一步求得()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【详解】解：()()()212f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭221222asinxcosx cos x sin x asin x cos x =-+=-．()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭Q ，1221sin()cos()1,2332a a ππ---=+=- a ∴=则()22226f x x cos x sin x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭． 所以函数()y f x =的最小正周期T π=；()522,243x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，72,646x πππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦， 则12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]1,2f x ∈-．则当23x π=时，()1min f x =-，当3x π=时，()2max f x =．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题． 19.如图，在四棱锥P ABCD -中PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB CD ∥，222AD CD AB PA ====，E ，F 分别为PC ，CD 的中点.（1）试证：CD ⊥平面BEF ； （2）求三棱锥P DBE -的体积.【答案】(1)证明见解析 (2) 13【解析】 【分析】（1）先证四边形ABFD 为平行四边形，又DAB ∠为直角，可得DC BF ⊥，再由已知证明DC PD ⊥，可得DC EF ⊥，由线面垂直的判定可得DC ⊥平面BEF ；（2）由（1）知，CD ⊥平面PAD ，则平面PDC ⊥平面PAD ，在Rt PAD ∆中，设A 到PD 的距离为h ，利用等面积法求得h ，得A 到平面PDC 25，即B 到平面PDC 25，再利用等体积法求三棱锥P DBE -的体积．【详解】（1）证明：//AB CD Q ，2CD AB =，F 为CD 的中点，∴四边形ABFD 为平行四边形，又DAB ∠为直角，DC BF ∴⊥，又PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ， DC AD ⊥Q ，故DC ⊥平面PAD ，DC PD ∴⊥，在PCD ∆内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，//EF PD ，DC EF ∴⊥． 由此得DC ⊥平面BEF ；（2）解：由（1）知，CD ⊥平面PAD ，则平面PDC ⊥平面PAD ， 在Rt PAD ∆中，设A 到PD 的距离为h ，则PA AD PD h =g g，得255PA ADhPD===g，A∴到平面PDC的距离为25，即B到平面PDC的距离为25，15512BDES∆=⨯⨯=，1525133P DBE B PDEV V--∴==⨯⨯=．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.已知动点M到定点(1,0)F的距离比M到定直线2x=-的距离小1.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线12l l和，分别交曲线C于点,A B和,K N．设线段AB，KN的中点分别为,P Q，求证：直线PQ恒过一个定点.【答案】(1) 24y x= (2) 见解析【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数2p=，进而求出标准方程；（Ⅱ）先依据（Ⅰ）的结论分别建立12,l l两条互相垂直的直线的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为,P Q的坐标，最后借助斜率的变化确定直线PQ经过定点.解：（Ⅰ）由题意可知：动点M到定点()1,0F的距离等于M到定直线1x=-的距离.根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线.∵2p=，∴抛物线方程为：24y x=（Ⅱ）设,A B两点坐标分别为()()1122,,,x y x y，则点P的坐标为1212,22x x y y++⎛⎫⎪⎝⎭.由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121ky k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E . 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E . 21.已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设2()2x g x e x e =--+，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈使得()()12f x g x <，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）ln 21a >- 【解析】 【分析】(Ⅰ)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的定义域和导函数的符号分类讨论即可确定函数的单调区间； (Ⅱ)首先求得函数()g x 的最大值，然后进行等价转化，结合(Ⅰ)中的结果分类讨论即可确定a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）()2(1)(2)()21(0)ax x f x ax a x x x--'=-++=>.①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ②当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫⎪⎝⎭.③当12a =时，2(2)()02x f x x-'=≥，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a >时，102a <<，在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞上，()0f x '>；区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞，单调递减区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅱ）设()1xg x e '=-，2(]0,x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数， 由已知，()max g(2)0g x ==.据此可得max ()0f x <. 由（Ⅰ）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2f x f a a ==-++222ln 2a =--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ②当12a >时，()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故max 11()22ln 2f x f a a a ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭.由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （1）求1C 和2C 的参数方程； （2）已知射线1:(0)2l πθαα=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l πθα=+，且1l 与1C 交于,O P 两点，2l与2C 交于,O Q 两点，求OP OQ ⋅取得最大值时点P 的极坐标.【答案】（Ⅰ）2cos (22sin x y βββ=⎧⎨=+⎩为参数）; （Ⅱ）)6π【解析】试题分析：（Ⅰ）根据坐标方程之间的转化，分别求出C 1和C 2的参数方程即可；（Ⅱ）设出P ，Q 的极坐标，表示出|OP|•|OQ|的表达式，结合三角函数的性质求出P 的极坐标即可． 试题解析：（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线1C 的直角坐标方程为()2224x y -+= 所以1C 参数方程为22(2x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数）.曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=. 所以2C 参数方程为2(22x cos y sin βββ=⎧⎨=+⎩为参数）（Ⅱ）设点P 极坐标为()1,ρα, 即14cos ρα=, 点Q 极坐标为2,6πρα⎛⎫+⎪⎝⎭, 即24sin 6πρα⎛⎫=+⎪⎝⎭.则124cos 4sin 6OP OQ πρραα⎛⎫⋅==⋅+⎪⎝⎭116cos cos 2ααα⎫=⋅+⎪⎪⎝⎭8sin 246πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 70,.2,2666ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 当2,626πππαα+==时 OP OQ ⋅取最大值，此时P点的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.23.已知函数()214f x x x =++- （1）解不等式()6f x ≤；（2）若不等式2()48f x x a a +-<-有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[]1,1-（2）(),1(9,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】（1）对()f x 去绝对值符号，然后分别解不等式即可（2）不等式2()48f x x a a +-<-有解，则只需2min (()4)8f x x a a +-<-，求出()4f x x +-的最小值，然后解不等式即可. 【详解】（1）由已知得13321()542334x x f x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，，，当21x <-时，3361x x -+≤⇒≥- 112x ∴-≤<- 当142x -≤≤时，561x x +≤⇒≤ 112x ∴-≤≤当4x >时，3363x x -≤⇒≤舍 综上得()6f x ≤的解集为[]1,1-（2）()421289f x x x x +-=++-≥2()48f x x a a +-<-Q 有解289a a ∴->，(9)(1)0a a -+>1a ∴<-或9a >a ∴的取值范围是(),1(9,)-∞-+∞U .【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.。

泸溪一中高一年级数学全能辅导专题资料：直线、圆的方程直线和圆的方程知识要点:一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 名称 方程 说明 适用条件斜截式 y =k x +bk ——斜率 b ——纵截距 倾斜角为90°的直线不能用此式 点斜式 y -y 0=k(x -x 0)(x 0，y 0)——直线上 已知点，k ——斜率 倾斜角为90°的直线不能用此式 两点式121y y y y --=121x x x x -- (x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式 a x +by=1a ——直线的横截距b ——直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式 Ax +By +C =0 B A -，A C -，BC-分别为斜率、横截距和纵截距A 、B 不能同时为零 3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 特例：点P(x,y)到原点O 的距离：22||OP x y =+2. 定比分点坐标分式。