高三数学(文科)二模后中档题练习二Word版

中档题规范练二1.(2016·甘肃兰州诊断)在公差不为零的等差数列{a n}中,a1=1,a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)若数列{a n}的前n项和为S n,设b n=,T n=b1+b2+…+b n,求T n.2.(2016·广西桂林、北海、崇左调研)在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AB=CD=1,AC=,AD=DE=2.(1)在线段CE上取一点F,作BF∥平面ACD(只需指出F的位置,不需证明);(2)对(1)中的点F,求三棱锥B FCD的体积.3.(2016山东潍坊二模)为使政府部门与群众的沟通日常化,某城市社区组织“网络在线问政”活动.2015年,该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政.2016年初,社区随机抽取了60名居民,对居民上网参政议政意愿进行调查.已知上网参与问政次数与参与人数的频数分参与调查[0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12] 问卷次数参与调查8 14 8 14 10 6问卷人数(1)若将参与调查问卷不低于4次的居民称为“积极上网参政居民”,请你根据频数分布表,完成2×2列联表,据此调查是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”;男女合计积极上网参政居民8不积极上网参政居民合计40求选出的3人为2男1女的概率.4.(2016·安徽安庆二模)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的单位长度.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为(t为参数,α为直线的倾斜角).(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.5.(2016·甘肃河西五市部分普通高中联考)已知不等式|x+2|+|x-2|<18的解集为A.(1)求集合A;(2)若∀a,b∈A,x∈(0,+∞),不等式a+b<x++m恒成立,求实数m的取值范围.中档题规范练二1.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,则依题意有解得d=1或d=0(舍去),所以a n=a1+(n-1)d=n.(2)由(1)得S n=,所以b n==2(-),所以T n=2[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=2(1-)=.2.解:(1)取CE的中点F,连接BF,BF∥平面ACD(如图).(2)因为AD2=AC2+CD2,所以∠ACD=90°.所以AC⊥CD.因为DE⊥平面ACD,所以AC⊥DE.因为DE∩CD=D,所以AC⊥平面CDE.因为DE⊥平面ACD,AB⊥平面ACD,所以AB∥DE.因为AB⊄平面CED,DE⊂平面CED,所以AB∥平面CED.所以B到平面FCD的距离为AC.又S△FCD=S△ECD=××1×2=,所以=AC·S△FCD=.3.解:(1)由题意知,积极上网参政的有8+14+10+6=38人,不积极上网参政的有8+14=22人,男女合计积极上网参政居民30 8 38不积极上网参政居民10 12 22合计40 20 60所以K2=≈,因为>,所以有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”.(2)选取男居民人数为6×=4人,选取女居民人数为6×=2人,记4个男居民分别为A,B,C,D,2个女居民分别为甲、乙,则基本事件有(ABC),(ABD),(AB甲),(AB乙),(ACD),(AC甲),(AC乙),(AD甲),(AD乙),(A甲乙),(BCD),(BC甲),(BC乙),(BD甲),(BD乙),(B甲乙),(CD甲),(CD乙),(C甲乙),(D甲乙),共20种,满足条件的基本事件有12种,所以所求概率为P==.4.解:(1)当α=时,直线l的普通方程为x=-1;当α≠时,直线l的普通方程为y=tan α·(x+1).由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x.(2)把x=-1+tcos α,y=tsin α代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcos α+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cos α=或cos α=-,故直线l的倾斜角α为或.5.解:(1)若|x+2|+|x-2|<18,则或或解得-9<x<9,所以A=(-9,9).(2)因为∀a,b∈A即∀a,b∈(-9,9), 所以a+b∈(-18,18),因为x++m≥2+m,所以(x++m)min=m+4,由题可知,m+4≥18,所以m≥14,所以m的取值范围为[14,+∞).。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）( 第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B I 的元素个数为 A ．0B ．2C ．3D ．52．复数ii z 2)2(-=(i 为虚数单位)，则A ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量＝(－1,2)，＝(3,1)，）（4,x c =，若⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1B ．32 C ．2 D ．3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=ez -，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝A ．4B ．15C ．2D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ． i i ,iS S ,i 2120=-=≤ C ．1220+==<i i ,S S ,i D ．1220+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A ．101 B ．103C ．53 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________. 14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.参考公式： x b y axn x yx n yx x x y y x xbni i ni ii ni i ni i iˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为1)1(22=+-y x ，的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为， 求OBOA 3-的取值范围.O A O B23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BAAABBCDDDCD13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或 （1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴Θ从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △BCP ＝12×4×5＝2 5.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝453.S 球＝4πR 2＝36π.19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】 (1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，························2分515222151343510.425 2.5558510.45i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-$， 则y 关于x 的线性回归方程为$$2.51y x =- (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,NNt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×354)910(2⨯+＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3.而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=11121+-=+-=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g易知.x xx x ]x k [x x kx )x (g )(g '0101112111200≥+≥+-+=++-==，所以，因为）（， ）上单调递减，，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g)(2110(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g kx k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++-∈g x g kx k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(21'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21≥k22.解：（1）曲线的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA又⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈-23. 证明： （1）因为=++++++++=++cc b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++c bc a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()a b c cb a ++≥++∴111当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。

2021年高三下学期模拟（二）测试数学文试题（详解） 含答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则集合A ．B ．C ．D ． 2. 为虚数单位，则复数的虚部为A ．B ．C ．D ．3. 为了了解某学校xx 名高中男生的身体发育 情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况. 根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为 A ．240 B ．160 C ．80 D ．604. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是 A ． B ． C ． D ．5.A. B. C. D.6． 若对任意正数，均有，则实数的取值范围是 A. B. C. D.7．曲线在点处的切线方程是 A. B.C. D.8．已知命题：“对任意， 都有”；命题：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则A. 命题“”为真命题B. 命题“”为假命题kg ）第3题图C. 命题“”为真命题D. 命题“”为真命题9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是A ．B ．C ．D ．10. 线段是圆的一条直径，离心率为的双曲线以为焦点．若是圆与双曲线的一个公共点，则 A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：第11、12、13题为必做题．11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少 要经过______道加工和检验程序，导致废 品的产生有_____种不同的情形．12. 已知递增的等比数列中, 则 .13. 无限循环小数可以化为有理数，如，请你归纳出 （表示成最简分数．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（常数）与曲线相切，则 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的直径，弦和弦相交于点，且，则 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量 且与的夹角为 （1）求的值及角的大小； （2）若，求的面积．第11题图PDC 第15题图第9题图1 cm1 cm2 cm2 cm17．（本小题满分12分）设函数，其中是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “且”发生的概率. (1) 若随机数；(2) 已知随机函数产生的随机数的范围为, 是算法语句和的执行结果．(注: 符号“”表示“乘号”)18．（本小题满分14分）如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱上，且． （1）求证：；（2）若平面，四边形是边长为的正方形，且，，求线段的长, 并证明：19．（本小题满分14分）已知二次函数的最小值为且关于的不等式的解集为 ,（1）求函数的解析式； （2）求函数的零点个数.A 1BCDC 1B 1D 1FE20．（本小题满分14分）如图，是抛物线上的两动点（异于原点），且的角平分线垂直于轴，直线与轴，轴分别相交于.(1) 求实数的值，使得；(2）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆经过. 求椭圆焦距的最大值及此时的方程.21．（本小题满分14分）定义数列： ，且对任意正整数，有 .（1）求数列的通项公式与前项和；（2）问是否存在正整数，使得？若存在，则求出所有的正整数对 ；若不存在，则加以证明.数学（文科）参考答案及评分标准说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．第20题图2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。

海南海口二中2016届高考数学（文）模拟卷（二） 参考答案 （命题人： ） 考场：___________座位号：___________ 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟. 第I 卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答题 C C B B D A B D A C C D 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13、 15 14. 2 ． 15． 24π 16. 56 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

姓名 考号 座位号 ………………………………………订………………………………………线…………………………………………………… ……线………………内………………不………………要………………答………………题……………………………………。

高三数学教学质量监测（文科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．（1）已知集合{}1,0,A a =-，{}|01B x x =<<，若A B ≠∅I ，则实数a 的取值范围是A.{}1B.(,0)-∞C.(1,)+∞D.(0,1)（2）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S a 的值为 A.154B.152C.74 D.72（3）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，恰好抽到了4个男生、6个女生．给出下列命题：（1）该抽样可能是简单的随机抽样；（2）该抽样一定不是系统抽样；（3）该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率．其中真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （4）已知复数1cos23sin 23z i =+o o 和复数2cos37sin37z i =+o o ，则21z z ⋅为A ．i 2321+ B ．i 2123+ C ．i 2321- D ．i 2123- （5）已知命题p ：抛物线22x y =的准线方程为21-=y ；命题q ：若函数)1(+x f 为偶 函数，则)(x f 关于1=x 对称．则下列命题是真命题的是A ．q p ∧ B.)q (p ⌝∨ C.()()p q ⌝∧⌝ D.q p ∨ （6）已知图象不间断函数)(x f 是区间],[b a 上的单调函数，且在区间(,)a b 上存在零点．图1是用二分法求方程()0f x =近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择： ①0)()(<m f a f ； ②0)()(>m f a f ； ③0)()(<m f b f ； ④0)()(>m f b f 其中能够正确求出近似解的是（ ） A ．①、③ B ．②、③ C ．①、④ D ．②、④（7）等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ．则“1||d a >”是“n S 的最小值为1S ，且n S 无最大值”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件（8）曲线33y x x =-在点(0,0)处的切线方程为A ．y x =-B ．3y x =-C ．y x =D ．3y x =（9）已知三个互不重合的平面γβα、、，且a αβ=I ，b αγ=I ，c βγ=I ，给出下列命题：①若c a ,b a ⊥⊥，则c b ⊥；②若P b a =I ，开始 定义()f x 输入精确度d 和区间(,)a b 2a bm +=b m=是否||a b d -<或()0f m =是 否 输出a 结束 图1a m =则P c a =I ；③若c a ,b a ⊥⊥，则γα⊥；④若b //a ，则c //a ．其中正确命题个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（10）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为e ，则它的渐近线方程为A ． 1 y e x =±-B ．2 1 y e x =±-C ．21 y e x =±-D ．1 y e x =±- （11）设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(0,1)B ．)0,(-∞C ．)21,(-∞D ．)1,(-∞（12）已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是A ．14[,]23B ．1(0,]2C ．24[,]33D ．1[,1]2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应的位置上． （13）在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为． （14）已知O 为坐标原点，点M 的坐标为)1,2(，点(,)N x y 的坐标x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x . 则OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是． （15）对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有.OB OA OA OB 0=⋅+⋅ 将它类比到平面的情形是： 若O 是△ABC 内一点，则有.S S S OBA OCA OBC =⋅+⋅+⋅ςςς．将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有．（16）已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为．2222俯视图左视图主视图图2三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图3所示，成绩不小于90分为及格． （Ⅰ）甲班10名同学成绩标准差 乙班10名同学成绩标准差（填“>”，“<”）； （Ⅱ）从甲班4名及格同学中抽取两人，从乙班2名80分以下的同学中取一人，求三人平均分不及格的概率.（18）（本小题满分12分）如图4，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，点E 、G 分别是CD 、PC 的中点，点F 在PD 上，且PF :FD =2:1 （Ⅰ）证明：EA PB ⊥； （Ⅱ）证明：BG P 面AFC ．（19）（本小题满分12分）如图5，ABC ∆中，,2,332sin ==∠AB ABC 甲 乙257 368 24 68 7 89 1089 678 1235 1图3 DAB点D 在线段AC 上，且2AD DC =，43BD =（Ⅰ）求BC 的长；（Ⅱ）求DBC ∆的面积．（20）（本小题满分12分）设a 为实数，函数()22xf x e x a =-+,x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当ln 21a >-且0x >时，221xe x ax >-+.5图4（21）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原点），当PB PA -＜253时，求实数t 取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图6，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A 、B ，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ．求证：（Ⅰ）CAG BAC ∠=∠； （Ⅱ）AF AE AC ⋅=2．图6（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，将曲线⎩⎨⎧==αsin y αcos x 4（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C . 以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲对于任意实数)0(≠a a 和b ，不等式|)2||1(||||2|||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，试求实数x 的取值范围．数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）D （2）A （3）B （4）A （5）D （6）C （7）A （8）B （9）C （10）B （11）D （12）A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）16π-（14）]6,1[ （15） ·OA + ·OB + ·OC + ·OD =0 （16） π34三、解答题：本大题共共70分. （17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）>． …………………3分 （Ⅱ）抽取情况为：92，94，78； 92，94，79； 92，106，78； 92，106，79；92，108，78； 92，108，79； 94，106，78； 94，106，79； 94，108，78； 94，108，79； 106，108，78； 106，108，79．总共有12种． …………………9分 这12种平均分不及格是92，94，78； 92，94，79；共2种． …………………11分 所以三人平均分不及格的概率为61． …………………12分 （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒， 所以ACD ∆为等边三角形，又因为E 是CD 的中点，所以AB EA ⊥．……2分又PA ⊥平面ABCD ，所以PA EA ⊥． ……3分 所以⊥EA 面PAB ，所以PB EA ⊥． ……5分（Ⅱ）取PF 中点M ，所以FD MF PM ==．…………………………………………6分连接MG ，CF //MG ，所以//MG 面AFC ．……………………………………8分连接BD ,BM ，设O BD AC =I ，连接OF ，所以OF //BM ，所以//BM 面AFC ． ················································ 10分 所以面//BGM 面AFC ，所以//BG 面AFC ．…………………………………12分（19）（本小题满分12分）V ACD O -V BCD O -V ABD O -V ABCO -解：（Ⅰ）因为332=∠ABC sin，所以313121=⨯-=∠ABC cos . ··················· 2分 在ABC ∆中，设b AC ,a BC 3==， 则由余弦定理可得a a b 344922-+= ① ················································ 5分 在ABD ∆和DBC ∆中，由余弦定理可得b b ADB cos 3316431642-+=∠， b a b BDC cos 33831622-+=∠． ································································· 7分 因为BDC cos ADB cos ∠-=∠，所以有b a b b b 338316331643164222-+-=-+，所以322a b -＝－6 ② 由①②可得13==b ,a，即3=BC ． ······················································· 9分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得ABC ∆的面积为223223221=⨯⨯⨯， 所以DBC ∆的面积为322． ······························································· 12分 （注：也可以设b BC ,a BA ρρ==，所以b a BD ρρ3231+=，用向量法解决；或者以B 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，用坐标法解答；或者过A 作BC 平行线交BD 延长线于E ，用正余弦定理解答．具体过程略）（20）（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由()22,x f x e x a x R =-+∈知'()2,xf x e x R =-∈。

河东区高考二模考试 数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41-B ．-1C ．41D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x∈==,则=B A ( ) A ．(0,1) B ．(-1,2) C ．),1(+∞- D ．)1,21(3. 已知函数⎩⎨⎧<≥•=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( )A ．41 B ．21C ．2D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( ) A ．31 B ．21 C. 32 D ．65 6. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n •-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[-B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[- 8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=ax x x ax x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ． 13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PBMPMC AM ，2=3=，︒=∠120BAC ，则•的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.投资人对甲乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额为多少？16. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知2)4tan(=+A π.（Ⅰ）求)32cos(π+A 的值；（Ⅱ）若4π=B ，3=a ，求ABC ∆的面积.17. 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //，且，3===AC AD AB ，4==BC PA ，M 为线段AD 上一点，MD AM 2=，且N 为PC的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ； （Ⅱ）求证：平面⊥PMC 平面PAD ； （Ⅲ）求直线AN 与平面PMC 所成角的正弦值.18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a .（Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值. 20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值；（Ⅱ）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.河东区2017年高考二模考试 数学试卷（文史类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11. 335 12. 2113. π 14.-2三、解答题15.解：设甲、乙两个项目的投资分别为x 万元，y 万元，利润为z （万元），由题意有：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.113,10y x y x y x y x z 5.0+=.作出不等式组的平面区域：当直线z x y 22+-=过点M 时，纵横距最大，这时z 也取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+18310y x y x .得4=x ，6=y ，即)6,4(M .765.041=⨯+⨯=z .故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，可能的盈利最大，最大盈利7万元.16.解：（Ⅰ）∵2)4tan(=+A π，则2tan 4tan1tan 4tan=-+AAππ，∴31tan =A . ∵A 为三角形内角，则),0(π∈A ，则1010sin =A ，10103cos =A ， ∴53cos sin 22sin ==A A A ，541cos 22cos 2=-=A A ， ∴3cos2cos )32cos(ππA A =+1010343sin2sin -=-πA . （Ⅱ）由正弦定理可知，AaB b sin sin =∴53=b . ∵B A B A C cos sin )sin(sin =+=552sin cos =+B A . ∴9sin 21==C ab S . 17.解：（1）取PB ，BC 中点E ，F ，连EN ，AE ，AF ，由N 为PC 中点，所以BC EN //，且221==BC EN .由MD AM 2=，3=AC ，则2=AM ，又BC AD //，则AM EN //. 所以四边形ENMA 为平行四边形，所以AE MN //，且⊂AE 面PAB ，⊄MN 面PAB ，则//MN 面PAB .（2）∵AC AB =，∴BC AF ⊥，又FC AM //，2==FC AM 所以四边形AFCM 为平行四边形，故AD CM ⊥.又∵⊥PA 面ABCD .⊂CM 面ABCD ，∴⊥CM PA .又A PA AD = ，所以⊥CM 面PAD ，∵⊂CM 面ABCD ，∴面⊥PMC 面PAD .（3）过A 作PM AG ⊥，垂足为G .由（2）知面⊥PMC 面PAD ，面 PMC 面PADPM =，⊂AG 面PAD ，∴⊥AG 面PMC ，连接AN ，GN .则GN 为AN 在平面PMC 上的射影，∴ANG ∠为AN 与平面PMC 所成角. ANG Rt ∆中==PC AN 21252122=+AC PA ， 55422=+•=AM PA AM PA AG ，2558sin ==∠AN AG ANG ， ∴AN 与平面PMC 所成角正弦值为2558.18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ， +⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+•-=n n .所以223+•=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.① 设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.②由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122k m m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+.令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，xex x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 221)(xex x e x x f -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=eee ef ，所以)(x f 的极小值为2. （2）函数=-'=3)()(x x f xg 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x .设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x .∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增； ∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减； 所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点；②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点；④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点. 综上所述：当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点.（3）对任意0>>a b ，1)()(<--a b a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*. 设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x xmx ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减.∴011)(2≤--='xmx x h 在),0(+∞上恒成立，∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立，∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）.∴m 的取值范围是),41[+∞.。

2020届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{|8}U x x =∈≤N ，集合{1,3,7}A =，{2,3,8}B =，则()()U UA B =I 痧（ ）A ．{1,2,7,8}B ．{4,5,6}C ．{0,4,5,6}D ．{}6,5,4,3,02．已知复数11i z =+，22i z =-，则12iz z =（ ） A ．13i -B ．13i -+C ．12i +D ．12i -3．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21x ≥，则1x ≥且1x ≤- B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥4．已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于长轴的直线交椭圆于,A B 两点，则1ABF △的周长为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．165．已知平面向量(1,3)=-a ，(2,0)=-b ，则|2|+=a b （ ） A ．32B ．3C ．22D ．56．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5a =（ ）A ．4B ．10C ．16D ．327．定义在R 上的奇函数()f x ，满足在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f -=，则(1)0f x +>的解集为（ ）A ．(,2)(1,0)-∞--UB ．(0,)+∞C ．(2,1)(1,2)--UD ．(2,1)(0,)--+∞U8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．43B ．23C ．2D ．329．若点(,)x y 满足线性条件200580x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知函数()2sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<，且(0)1f =，则下列结论中正确的是（ ） A ．()2f ϕ=B ．π(,0)6是()f x 图象的一个对称中心C ．π3ϕ=D ．π6x =-是()f x 图象的一条对称轴 11．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．1212．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)xf x e x =+，给出下列命题： ①当0x >时，()(1)xf x e x =-；②函数()f x 有2个零点；③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ；此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。

天津市河北区2021届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．1+i2．（5分）函数f（x）=tan（2x ﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）3．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣84．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3+a k=24，则正整数k的值为（）A．9B．10 C．11 D．125．（5分）已知变量x，y 满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k=（）A．﹣B．C．0D．0或﹣6．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．若x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q必一真一假D．对命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥07．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=与一条渐近线交于点A，△OAF 的面积为（O为原点），则抛物线y2=x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．y=﹣1 D．y=﹣2 8．（5分）如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足=m ，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则||的最小值为（）A．B．C．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参与11场竞赛的得分（单位：分）若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b的值是．10．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S的值是．11．（5分）如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE=．12．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|f（x）=lg（1﹣|x|）}，则A∩B=．13．（5分）某几何体的三视图都是边长为2的正方形，且此几何体的顶点都在球面上，则球的体积为．14．（5分）已知函数g（x）=ax+1，f（x）=对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）用分层抽样方法从高中三个班级的相关人员中抽取若干人组成争辩小组，有关数据见表：（单位：人）班级相关人数抽取人数2022-2021学年高一99 x2022-2021学年高二27 y2021届高三18 2（1）求x，y；（2）若从2022-2021学年高二、2021届高三班级抽取的人中选2人，求这二人都来自2022-2021学年高二班级的概率．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c ，且=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若b=4，a=c，求sin（A+）的值．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB=90°，PA=AB=BC=3，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正切值；（Ⅲ）设点E在线段PC 上，若=，求证：DE∥平面PAB．18．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，||=1，且l2⊥l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}满足b n =，求证：b1+b2+…+b n ＜．20．（14分）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值．天津市河北区2021届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．解答：解：由（a+i）（1+i）=bi，得a﹣1+（a+1）i=bi，∴，即．∴a+bi=1+2i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．（5分）函数f（x）=tan（2x ﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）考点：正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由正切函数的单调性的性质即可得到结论．解答：解：由＜2x ﹣，即﹣＜x ＜+，（k∈Z），故函数的单调性增区间为（﹣，+）（k∈Z），故选：B．点评：本题主要考查正切函数的单调性的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．3．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件依据弦长公式求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3+a k=24，则正整数k的值为（）A．9B．10 C．11 D．12考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a1+5d=12，2a1+2d+（k﹣1）d=24，从而得到2a1+（2+k﹣1）d=2a1+10d，由此能求出k．解答：解：∵等差数列{a n}中，公差d≠0，S11=132，∴，∴（2a1+10d）×=132，∴a1+5d=12，∵a3+a k=24，∴2a1+2d+（k﹣1）d=24，∴2a1+（2+k﹣1）d=2a1+10d，∴2+k﹣1=10，解得k=9．故选：A．点评：本题考查正整数k的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意等差数列的性质的机敏运用．5．（5分）已知变量x，y 满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k=（）A．﹣B．C．0D．0或﹣考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域是直角三角形即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，直线kx﹣y+1=0，过定点A（0，1），当直线kx﹣y+1=0与直线x=0垂直时，满足条件，此时k=0，当直线kx﹣y+1=0与直线y=2x垂直时，满足条件，此时k=﹣，综上k=0或﹣，故选：D点评：本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，以及直线垂直的等价条件，利用数形结合是解决本题的关键．6．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．若x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q必一真一假D．对命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0考点：复合命题的真假．专题：2021届高考数学专题．分析：A命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．可以推断出A的真假．B由于（x﹣y）2≤0⇔x=y，可推断出B的真假．C．依据p∨q的真假推断规章：当p，q两个命题有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题，据此可以推断出C的真假．D．“命题：∃x∈R，结论p成立”的否定是：“∀x∈R，结论p的反面成立”据此可以推断出D的真假．解答：解：A．据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．由此可知：命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”．所以A是真命题．B．由实数x，y 满足⇔（x﹣y）2≤0⇔x=y，故当x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件．C．我们知道：只有当p与q皆为假命题时，p∨q才为假命题，既然C中p∨q为假命题，则命题p与q都不行能是真命题，故C是假命题．D．据特称命题的否定规章可知：命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p应是：∀x∈R，则x2+x+1≥0，故D 正确．故选C．点评：本题考查了四种命题间的关系、充要条件、“或”命题、“非”命题及全称命题与特称命题等命题的真假推断，关键是把握其推断方法．7．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=与一条渐近线交于点A，△OAF 的面积为（O为原点），则抛物线y2=x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．y=﹣1 D．y=﹣2考点：抛物线的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线方程求得其渐近线方程，与直线方程联立求得点A的坐标，进而利用△OAF的面积求得a和b的关系式，带入抛物线方程，求得抛物线方程，最终利用抛物线的性质求得准线方程．解答：解：依题意知，双曲线渐近线方程为：y=±，依据对称性可知，A点在x轴上方和下方的解是一样的，故看A在x 轴上方时，联立方程，，求得y=∴S△OAF =•C •=，∴a=b，∴抛物线的方程为y2=4x，即2p=4，p=2∴抛物线的准线方程为x=﹣1，故选：A．点评：本题主要考查了抛物线和双曲线的基本性质．解题的关键是求得a和b的关系．8．（5分）如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足=m ，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则||的最小值为（）A．B．C．D ．考点：向量的模．专题：平面对量及应用．分析：利用向量的运算法则：三角形法则将用三角形的边对应的向量表示，利用向量模的平方等于向量的平方，将||2表示成m的二次函数，求出二次函数的最值解答：解：由于=m ，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点所以=（）﹣（）=（1﹣m ）（1﹣n ），又m+n=1，所以，所以||2+，△ABC是边长为1的等边三角形，所以上式整理得||2==，所以当m=时，||2最小值为，所以||的最小值为；故选C．点评：考查向量的运算的三角形法则；考查向量模的平方等于向量的平方；利用二次函数求最值．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参与11场竞赛的得分（单位：分）若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b 的值是8．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：依据茎叶图，结合中位数和众数的定义进行求解即可．解答：解：甲运动员的中位数为19，即a=19，乙运动员的众数为b=11，则a﹣b=19﹣11=8，故答案为：8；点评：本题考查中位数，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以消灭在选择题或填空题，考查最基本的学问点．10．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S的值是．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化状况，可得答案．解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1+的值，∵S=1+=；故答案为：．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．11．（5分）如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE=．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合．分析：连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF垂直于AE，依据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长，由D为OC的中点，可求出OD的长，同时得到∠AOD的度数，在三角形AOD中，依据余弦定理求出AD的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF表示，进而求出OF的长，在直角三角形AOF中，由OA和OF的长，利用勾股定理求出AF的长，进而求出AE的长．解答：解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，∵PA为圆O的切线，∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，∴OA=PAtan30°=2×=2，又D为OC中点，故OD=1，依据余弦定理得：AD2=OA2+OD2﹣2OA •ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=，∵在Rt△APM 中，∠APM=30°，且AP=2，∴AM=AP=，故三角形AOD 的面积S=OD •AM=，则S=AD•OF=OF=，∴OF=，在Rt △AOF中，依据勾股定理得：AF==，则AE=2AF=．故答案为：点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的学问有锐角三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，以及垂径定理，利用了数形结合的思想，直线与圆相切时，经常连接圆心与切点，构造直角三角形解决问题，直线与圆相交时，经常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形解决问题，同学做此类题应留意帮助线的作法．12．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|f（x）=lg（1﹣|x|）}，则A∩B=[0，1）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即A=[0，1]，由B中f（x）=lg（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1．解得：﹣1＜x＜1，即B=（﹣1，1），则A∩B=[0，1），故答案为：[0，1）点评：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．13．（5分）某几何体的三视图都是边长为2的正方形，且此几何体的顶点都在球面上，则球的体积为．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可知几何体是正方体，球的直径为正方体的对角线，即可求出球的体积．解答：解：一个空间几何体的三视图均是边长为2的正方形，可知几何体是正方体，∵几何体的顶点都在球面上，∴球的直径为正方体的对角线2，∴球的半径为，∴球的体积为π×（）3=4π．故答案为：4．点评：正确推断几何体的特征是解题的关键，考查空间想象力量，计算力量．14．（5分）已知函数g（x）=ax+1，f（x）=对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．考点：函数恒成立问题．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）的图象，依据条件求出两个函数最值之间的关系，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出函数f（x）=的图象如图：则当x∈[﹣2，2]，f（x）的最大值为f（2）=3，最小值f（﹣2）=﹣4，若a=0，g（x）=1，此时满足∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，若a≠0，则直线g（x）过定点B（0，1），若a＞0，要使对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则满足g（x）max≤f（x）max，且g（x）min≥f（x）min，即2a+1≤3且﹣2a+1≥﹣4，即a≤1且a≤，此时满足0＜a≤1，若a＜0，要使对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则满足g（x）max≤f（x）max，且g（x）min≥f（x）min，即﹣2a+1≤3且2a+1≥﹣4，即a≥﹣1且a≥﹣，此时满足﹣1≤a＜1，综上﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．点评：本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键，本题主要考查的是最值之间的关系，综合性较强，有肯定的难度．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）用分层抽样方法从高中三个班级的相关人员中抽取若干人组成争辩小组，有关数据见表：（单位：人）班级相关人数抽取人数2022-2021学年高一99 x2022-2021学年高二27 y2021届高三18 2（1）求x，y；（2）若从2022-2021学年高二、2021届高三班级抽取的人中选2人，求这二人都来自2022-2021学年高二班级的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）依据分层抽样，抽取人数与相关人员数对应成比例的原则，结合已知中高中三个班级的相关人员数及从2021届高三班级中抽取的人数，易求得x，y的值．（2）设从2022-2021学年高二班级抽取的3人为b1，b2，b3，从2021届高三班级抽取的2人为c1，c2，从中随机选2人，我们用列举法列出全部不同的选取结果的个数，及满足条件选中的2人都来自2022-2021学年高二的结果个数，即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，所以x=11，y=3．（Ⅱ）记从2022-2021学年高二班级抽取的3人为b1，b2，b3，从2021届高三班级抽取的2人为c1，c2，则从这两个班级中抽取的5人中选2人的基本大事有：（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b1，c2），（b2，b3），（b2，c1），（b2，c2），（b3，c1），（b3，c2），（c1，c2）共10种．设选中的2人都来自2022-2021学年高二的大事为A，则A包含的基本大事有：（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共3种．因此．故选中的2人都来自2022-2021学年高二的概率为0.3．点评：本题考查的学问点是古典概型，及分层抽样，其中用列举法计算基本大事数及大事性质的概率是古典概型最常用的方法．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c ，且=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若b=4，a=c，求sin（A+）的值．考点：正弦定理的应用；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理可得=，化为sinA=3sinAcosB．即可解出．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，由于b=4，a=c，cosB=．可得a2．利用余弦定理可得cosA=，，即可得出．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得=，化为sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，∴sin（B+C）=3sinAcosB．又B+C=π﹣A，∴sinA=3sinAcosB．∵sinA≠0，∴cosB=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，∵将b=4，a=c，cosB=．∴a2=24．∴cosA==，∴=．∴==．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、两角和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB=90°，PA=AB=BC=3，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正切值；（Ⅲ）设点E在线段PC 上，若=，求证：DE∥平面PAB．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明BC⊥AB．PA⊥BC．然后证明BC⊥平面PAB．（Ⅱ）说明∠CPB是PC与平面PB所成的角．然后求解tan∠CPB即可．（Ⅲ）在平面PBC内过点E作BC的平行线交PB于点F，连接AF，证明AF∥DE．然后证明DE∥平面PAB．解答：证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，且∠DAB=90°，∴BC⊥AB．…（1分）又PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC．…（2分）又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．…（4分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，∴∠CPB是PC与平面PB所成的角．…（6分）由已知得PB=3，∴tan∠CPB==．∴PC与平面PAB 所成角的正切值为．…（9分）证明：（Ⅲ）在平面PBC内过点E作BC的平行线交PB于点F，连接AF，∵，∴．∴EF=AD，又EF∥AD，∴ADEF是平行四边形．…（10分）∴AF∥DE．…（11分）又AF⊂平面PAB，DE⊄平面PAB，∴DE∥平面PAB．…（13分）点评：本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理，考查空间想象力量以及计算力量．18．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，||=1，且l2⊥l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程；（2）分类争辩，依据•=﹣1，||=1进行转化，将直线l2的方程为mx+ny=1代入椭圆方程，利用x1x2+y1y2=0，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，…（2分）∴a=2c=2，b=2．∴椭圆的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）假设存在直线l2，使•=﹣1成立．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），Q（m，n），且m2+n2=1，则直线l1的方程为nx﹣my=0，直线l2的方程为mx+ny=1．（1）当n=0时，此时直线l2的方程为x=±1，可得A（1，），B（1，﹣），代入•=﹣1，不符题意；…（5分）（2）当n≠0时，将直线l2的方程为mx+ny=1与椭圆方程联立，又m2+n2=1，得（1+m2）x2﹣4mx+2﹣8n2=0．…（6分）∴x1+x2=，x1x2=．…（7分）又∵•=﹣1，∴x1x2+y1y2+2=m（x1+x2）+n（y1+y2）．又mx1+ny1=1，mx2+ny2=1∴m（x1+x2）+n（y1+y2）=2．∴x1x2+y1y2=0．…（9分）∴n2x1x2+1+m2x1x2﹣m（x1+x2）=0．∴x1x2+1﹣m（x1+x2）=0．…（11分）∴﹣5n2=0．∴n=0这与n≠0冲突．…（12分）综上可知，不存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．…（13分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类争辩的数学思想，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}满足b n =，求证：b1+b2+…+b n ＜．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．（2）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，得a n=na n﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），从而得到数列{a n}是首项a1=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列{a n}的前n项和S n．（3）由=（），由此能证明b1+b2+…+b n＜．解答：解：（1）∵S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），∵a2=11，解得a1=5．（2分）（2）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，得a n=na n﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），（4分）∴（n﹣1）a n﹣（n﹣1）a n﹣1=6（n﹣1），∴a n﹣a n﹣1=6，n≥2，n∈N*，（6分）∴数列{a n}是首项a1=5，公差为6的等差数列，∴a n=a1+6（n﹣1）=6n﹣1，（7分）∴．（8分）（3）证明：∵（10分）=，（11分）∴（13分）=，∴b1+b2+…+b n ＜．（14分）点评：本题考查数列的首项的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，留意等差数列的性质和放缩法的合理运用．20．（14分）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），并对a分类争辩即可；（2）由（1）的结论，结合根的存在性原理，可以推断存在a0∈（2，3），h（a0）=0，当a＞a0，h（a）＞0；解答：解：（1）由已知可得f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣==，（x＞0），①当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＞0时，由f'（x）＞0，得x ＞；由f'（x）＜0，得0＜x ＜，∴函数的单调增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（2）由（1）得若函数有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值为f （）＜0，即﹣a2+4a﹣4aln＜0，∵a＞0，∴a+4ln﹣4＞0，令h（a）=a+4ln﹣4，明显h（a）在（0，+∞）上是增函数，且h（2）=﹣2＜0，h（3）=4ln﹣1=ln﹣1＞0，∴存在a0∈（2，3），h（a0）=0，当a＞a0，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．∴满足条件的最小整数a=3，当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时f（x）有两个零点．综上，满足条件的最小值a的值为3．点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间以及根的存在性原理的运用．。

XX 学校 用心用情 服务教育！精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（二）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，2,,B y y x y x ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭Z Z ，则A B =（ ） A ．{}2,1,1,2-- B ．{}2,1,0,1,2-- C ．{}1,1-D ．{}2,2-2．已知()1i 2z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知直线()1:21230l x a y a +-+-=，22:340l ax y a +++=，则“12//l l ”是“32a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如果执行下面的程序框图，输入6n =，3m =，那么输出的p 等于（ ）A ．360B ．240C ．120D ．605．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x =R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]3.74-=-，[]2.32=．已知()1112x x e f x e -=-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}1,0,1-6．若实数,x y 满足约束条件21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2269z x y x =+-+的最小值是（ ） A 2B ．2C ．4D ．127．若两个非零向量a 、b 满足2+=-=a b a b a ，则向量+a b 与-a b 的夹角是（ ）A ．π2B ．5π6C ．π3 D ．2π38．已知等差数列{}n a 满足11a =，1010a =，则数列18n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为（ ）A ．118B ．115C ．344 D ．11493 ）①tan 25tan 35325tan 35︒+︒+︒︒；②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒；③1tan151tan15+︒-︒；④1tan151tan15-+︒︒．A ．①②B ．③C ．①②③D ．②③④10．在区间[]0,1上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是（ ） A ．1225B ．1625C ．1725 D ．242511．设函数(32()sin ln 13f x ax b x c x x =++++的最大值为5，则()f x 的最小值为（ ）A ．5-B ．1C ．2D ．312．已知O 为坐标原点，A ，B 分别是双曲线22:1169x y C -=的左、右顶点，M 是双曲线C 上不同于A ，B 的动点，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，则||||OP OQ ⋅=（ ） A ．16 B ．9 C ．4 D ．3XX 学校 用心用情 服务教育！第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若一组数据123,,,,n x x x x 的平均数是30，另一组数据112233,,,,n n x y x y x y x y ++++的平均数是70，则第三组数据12341,41,41,,41n y y y y ++++的平均数是___________．14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得45m CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A 、B 两点的距离为______m ．15．在正三棱锥S ABC -中，6AB BC CA ===，点D 是SA 的中点，若SB CD ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为___________．16．已知函数2,1()43,13x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+-<<⎪⎩，若关于x 的方程()20f x k x -+=有三个不同实数根，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设数列{}n a 满足()*122222n n a a a n n +++=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，AC PB ⊥，22PB AB PD ==．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ．（2）若四棱锥P ABCD -的体积为12，求点D 到平面PBC 的距离．19．（12分）2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17XX 学校 用心用情 服务教育！日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功．某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：[)30,40，[)40,50，⋯，[]90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估计这100名学生测试分数的中位数；（2）把分数不低于80分的称为优秀，已知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关；男生 女生 优秀 不优秀附：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++． （3）对于样本中分数在[)80,90，[]90,100的人数，学校准备按比例从这2组中抽取12人，在从这12人中随机抽取3人参与学校有关的宣传活动，记这3人分数不低于90分的学生数为X ，求X 的分布列．20．（12分）已知函数()2f x ax =，()lng x x =．（1）当1a =时，求()()f x g x -的最小值； （2）若曲线()y f x =与y g x 有两条公切线，求a 的取值范围．XX 学校 用心用情 服务教育！21．（12分）已知椭圆2C 与221:143x y C +=的离心率相同，过2C 的右焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆2C截得的线段长为 （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若直线:l y m =+与椭圆1C 、2C 的交点从上到下依次为C 、A 、B 、D ，且45AC =，求m 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 与极轴交于点N ，且动点M 满足1MN =． （1）求直线l 的极坐标方程和点M 的轨迹的极坐标方程C ；（2）若直线()π4θρ=∈R 分别交直线l 、曲线C 于点A ，B （非极点），求11OA OB +的值．XX 学校 用心用情 服务教育！23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x a =+，()||g x x b =-． （1）若1a =，3b =，解不等式()()4f x g x +≥；（2）当0a >，0b >时，()2()f x g x -的最大值是3，证明：22942a b ≥+．文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】因为{}{}{}230,1,0,1A x x x x x x =-≤∈=≤≤∈=-Z Z ，{}2,,2,1,1,2B y y x y x ⎧⎫==∈∈=--⎨⎬⎩⎭Z Z ，所以{}2,1,0,1,2AB =--，故选B ．2．【答案】D 【解析】由题意22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2z --====-++-，对应点为(1,1)-，在第四象限， 故选D ． 3．【答案】C【解析】若12//l l ，则()213a a -=，解得32a =或1a =-， 当1a =-时，1:350l x y --=，2:350l x y -++=，直线1l ，2l 重合，32a ∴=， ∴充分性成立；当32a =时，1:20l x y +=，225:206l x y ++=，显然12//l l ，∴必要性成立， ∴故“12//l l ”是“32a =”的充要条件，故选C ．4．【答案】C【解析】程序在执行过程中，,p k 的值依次为1,1p k ==； 4,2p k ==； 20,3p k ==；120p =，此时k m <不成立，结束循环，输出120p =，故选C ． 5．【答案】C【解析】()1112121121212x x x x x e e f x e e e -+-=-=-=-++++，当0x ≥时，1x e ≥，则2101xe -≤-<+，故()2111,1222xf x e ⎡⎫=-+∈-⎪⎢+⎣⎭， 故(){}1,0f x ∈-⎡⎤⎣⎦；但0x <时，01x e <<，则2211xe -<-<-+，故()2131,1222x f x e ⎡⎫=-+∈--⎪⎢+⎣⎭，(){}2,1f x ∈--⎡⎤⎣⎦，综上所述，函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}2,1,0--，故选C ． 6．【答案】B【解析】画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示：则()2222693z x y x x y =+-+=-+表示可行域内的点到定点()3,0距离的最小值，过()3,0作10x y --=的垂线，距离为2231211d -==+z 的最小值为22d =，故选B ． 7．【答案】D【解析】在等式+=-a b a b 两边同时平方可得222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，0∴⋅=a b ，在等式2+=a b a 两边同时平方可得22224+⋅+=a a b b a，∴=b ，()()222222∴+⋅-=-=-=-a b a b a b a a ，所以，()()221cos ,222-+⋅-<+->===-+⋅-⨯aa b a b a b a b a b a ba a ，0,π≤<+->≤a b a b ，所以，2π,3<+->=a b a b ，故选D ． 8．【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等差数列，11a =，1010a =， 所以1019a a d =+，解得1d =，n a n =， 则()()2181818989n n n a n n a a n n n n n n++===++++++，因为899n n ++≥=+n = 所以当2n =时，231011815292a a a ==++；当3n =时，341113844393a a a ==++， 故数列18n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为344，故选C ． 9．【答案】C【解析】对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-， 所以tan 25tan 3525tan 35︒+︒︒︒()[]()tan 25351tan 25tan3525tan35tan 2535=︒+︒-︒︒︒︒=︒+︒=对于②，由于cos65sin 25︒=︒，所以()()2sin35cos25cos35cos652sin35cos25cos35sin 25︒︒+︒︒=︒︒+︒︒2sin 60=︒=对于③，因为tan 451︒=，1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15++︒︒===-︒︒︒︒-︒；对于④，因为tan 451︒=，1tan15tan 45tan153tan 301tan151tan 45tan153︒︒-︒︒︒︒︒-===++， 故选C ． 10．【答案】C【解析】设所取的两个数分别为x 、y ， 则事件构成的全部区域为(){},01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，区域Ω是边长为1的正方形区域， 事件“这两个数之和小于65”构成的区域为()6,01,01,5A x y x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤+<⎨⎬⎩⎭，如下图所示：直线65x y +=交直线1y =于点1,15⎛⎫⎪⎝⎭，区域A 表示的是图中阴影部分区域． 则三角形区域是直角边长为45的等腰直角三角形， 区域A 的面积为22141712525A S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，因此，事件“这两个数之和小于65”的概率为2171725125A S P S Ω===．故选C ．11．【答案】B【解析】由题可知，(32()sin ln 13f x ax b x c x x =++++，设(32()sin ln 1g x ax b x c x x =++++，其定义域为R ， 又()32()()sin ln(()1)g x a x b x c x x -=-+-+--+，即()3sin ln(g x ax b x c x -=-+--，由于()()((ln ln g c x c x g x x -+=+-(()22ln 1ln10ln x x c x x c c -=+-===，即()()0g x g x -+=，所以()g x 是奇函数， 而()()3f x g x =+，由题可知，函数()f x 的最大值为5， 则函数()g x 的最大值为532-=，由于()g x 是奇函数，得()g x 的最小值为2-， 所以()f x 的最小值为231-+=，故选B ． 12．【答案】B【解析】设动点00(),M x y ，由双曲线方程可得(4,0)A -，(4,0)B ， 则004AM y k x =+，004BM y k x =-，所以直线AM 的方程为00(4)4y y x x =++，直线BM 的方程为00(4)4y y x x =--， 由此可得004(0,)4y P x +，004(0,)4y Q x --， 所以200020004416··()4416y y y OP OQ x x x =-=+--．因为动点M 在双曲线22:1169x y C -=上，所以22001169x y -=，所以2200169(16)y x =-，则22002200169(16)·91616y x OP OQ x x -===--，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】161【解析】数据112233,,,,n n x y x y x y x y ++++共有n 个，其平均数为111111()3070n n ni i i i i i i x y x y y n n n ===+=+=+=∑∑∑，因此40y =，故数据12341,41,41,,41n y y y y ++++的平均数是4401161⨯+=，故答案为161．14．【答案】【解析】在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒，15DCA =︒∠，15DAC ∴∠=︒，()45m AD CD ∴==，在BCD △中，15BDC ∠=︒，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒，30CBD ∴∠=︒，由正弦定理可得sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，)452m 12BD ⨯∴==，在ABD △中，()45m AD =，)m BD =，135ADB ∠=︒， 由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯，因此，)m AB =，故答案为 15．【答案】54π【解析】设ABC △的中心为G ，连接SG ，BG ，∴SG ⊥平面ABC ，AC ⊂面ABC ，∴SG AC ⊥，又AC BG ⊥，BGSG G =，∴AC ⊥平面SBG ，SB ⊂平面SBG ，∴AC SB ⊥，又SB CD ⊥，ACCD C =，∴SB ⊥平面ACS ．,SA SC ⊂平面ACS ，SB SA ∴⊥，SB SC ⊥，∵S ABC -为正三棱锥，∴SA ，SB ，SC 两两垂直，SA SB SC ∴===，故外接球直径为()()()22232323236++=，故三棱锥S ABC -外接球的表面积为2364π54π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为54π．16．【答案】151(0,),153e e ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】当13x <<时，()243f x x x =-+-，令243y x x =-+-，则()2221x y -+=，13x <<， 故此时()f x 的图象为圆的一部分， 在坐标平面中画出()f x 的图象如下：因为关于x 的方程()20f x k x -+=有三个不同的实数根， 所以()y f x =的图象与2y k x =+的图象有3个不同的交点． 当0k ≤时，()y f x =的图象与2y k x =+的图象无交点，舍去；当0k >时，2y k x =+的图象的左边的射线与()y f x =的图象有一个交点，当射线()()22y k x x =+>-与xy e =相切时，设切点为(),a b ，则()2a a e k a e k⎧=+⎨=⎩，故1a =-，1k e =．当射线()()22y k x x =+>-过()1,e 时，3e k =； 当()()22y k x x =+>-与圆()2221x y -+=1=，故k =因为1153ee <<，故当()yf x =的图象与2y k x =+的图象有3个不同的交点时，有015k <<或13e k e <≤．故答案为1,3e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2nn a =；（2）2332n nn T +=-． 【解析】（1）数列{}n a 满足122222n n a a a n +++=， 当2n ≥时，112211222n n a a a n --+++=-， 两式作差有12n na =，所以2nn a =， 当1n =时，12a =，上式也成立，所以2nn a =．（2）22211nn n n a --=， 则211113(21)222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，231111113(21)2222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2311111111221222222nn n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()111111113142221231222212n n n n n +-+⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⨯--=-+⨯ ⎪⎝⎭-，所以2332n nn T +=-． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）677． 【解析】（1）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．因为AC PB ⊥，且BD PB B =，所以AC ⊥平面PBD ．因为PD ⊂平面PBD ，所以AC PD ⊥．因为AB AD =，且60BAD ∠=︒，所以BD AB =， 因为22PB AB PD ==，所以222PD BD PB +=，则PD BD ⊥．因为AC 与BD 相交，所以PD ⊥平面ABCD ．（2）解：由（1）可知PD ⊥平面ABCD ，BD CD =，则2PB PC PD ==．设AB m =，则四棱锥P ABCD -的体积为3131232m ⨯=，解得3m = 在PBC △中，23BC =26PB PC == 则PBC △的面积为123243372⨯-=． 设点D 到平面PBC 的距离为h ．因为三棱锥P BCD -的体积为11262⨯=， 所以三棱锥D PBC -的体积为163⨯=，解得h =， 即点D 到平面PBC． 19．【答案】（1）82.5；（2）列联表见解析，没有95%的把握认为测试优秀与性别有关；（3）分布列见解析．【解析】（1）设这100名学生测试分数的中位数为a ，由前5组频率之和为0.4，前6组频率之和为0.8，可得8090a <<， 所以()0.4800.040.5a +-⨯=，82.5a =． （2）列联表如下：()2210045152515 1.786 3.84170306040K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为测试优秀与性别有关．（3）由题意可知，12人中分数在[)80,90内的共有8人，分数不低于90分的学生有4人，X 的取值依次为0,1,2,3．()38312C 140C 55P X ===，()2184312C C 281C 55P X ===，()1284312C C 122C 55P X ===，()34312C 13C 55P X ===，所以X 的分布列为：20．【答案】（1）11ln 222+；（2）12a e >．【解析】（1）当1a =时，令()()()2ln F x f x g x x x =-=-，()()212120x F x x x x x-'=-=>，令()0F x '=且0x >，可得2x =，()02F x x '>⇒>；()002F x x '<⇒<<，即函数()F x 在2⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，min11ln 2ln 2221122F F =--⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由函数()f x 和()g x 的图象可知， 当()()f x g x >时，曲线()y f x =与y g x 有两条公切线， 即2ln ax x >在0,上恒成立，即2ln xa x>在0,上恒成立，设()2ln x h x x =，()312ln x h x x -'=，令()312ln 0,xh x x x -=='= ()00x h x >⇒<<'()0h x x <'⇒>即函数()h x 在(上单调递增，在)+∞上单调递减，即max12h h e ==，因此，12a e>．21．【答案】（1）22186x y +；（2）m = 【解析】（1）设椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，将x c =代入2C 的方程可得22221c y a b +=，解得2by a=±．由题意得222212232c a ba c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得226a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 因此2C 的方程为22186x y +．（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，由22433x y y x m λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2215834120x mx m λ++-=（1λ=或2）， l 与1C 、2C 相交，只需当1λ=时，()()22216436041248150Δm m m =⨯--=->，解得1515m <<当2λ=时，()()22226436042448300Δm m m =⨯--=->，由韦达定理可得12348315mx x x x +=+=-，所以，AB 与CD 的中点相同， 所以，2CD ABAC -=， 即()()()22341248304815122m m AC x x x x --=⨯⨯---=224330154155m m --==，整理可得23m =，解得3m =22．【答案】（1）:2cos 3sin 20l ρθρθ--=；2:cos C ρθ=；（2． 【解析】（1）由1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）得2320x y --=，∴直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 20ρθρθ--=． 令0θ=，得1ρ=，∴点()1,0N ，由1MN =得点M 的轨迹为以点()1,0N 为圆心，1为半径的圆， ∴点M 的轨迹方程为()2211x y -+=，∴2cos ρθ=．（2）联立2cos 3sin 20π4ρθρθθ--=⎧⎪⎨=⎪⎩，得ρ=-∴点π4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，OA = 联立2cos π4ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得ρ=π4B ⎫⎪⎭，OB =∴114OA OB +== 23．【答案】（1）2,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）证明见解析．【解析】（1）当1a =，3b =时，123,21()()|21||3|4,3232,3x x f x g x x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪+=++-=+-<≤⎨⎪->⎪⎪⎩， 当12x ≤-时，由234x -≥，解得23x ≤-；当132x -<≤时，44x +≥，解得03x ≤≤； 当3x >时，由324x -≥，解得3x >， 所以不等式()()4f x g x +≥的解集为2,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．（2）当0a >，0b >时，由三角不等式得()2()|2|2|||2||22||222|2f x g x x a x b x a x b x a x b a b -=+--=+--≤+-+=+，所以23a b +=．因为22a b +≤32≤ 所以22942a b ≥+． 当且仅当2a b =，即32a =，34b =时取得等号．。