2014年高考数学有答案高三数学中档题9

2014年普通高等学校招生全国统一考试〔福建卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 〔1〕【2014年福建，理1，5分】复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于〔 〕〔A 〕23i -- 〔B 〕23i -+ 〔C 〕23i - 〔D 〕23i +【答案】C【解析】由复数()32i i 23i z =-=+，得复数z 的共轭复数23i z =-，故选C ．【点评】此题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．〔2〕【2014年福建，理2，5分】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是〔 〕 〔A 〕圆柱 〔B 〕圆锥 〔C 〕四面体 〔D 〕三棱柱【答案】A【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形，故选A ．【点评】此题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．〔3〕【2014年福建，理3，5分】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，则6a =〔 〕 〔A 〕8〔B 〕10 〔C 〕12 〔D 〕14【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得33232122S ⨯=⨯+=，解得2d =， 则()616125212a a d =+-=+⨯=，故选C ．【点评】此题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．〔4〕【2014年福建，理4，5分】假设函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则以下函数图象正确的选项是〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕【答案】B【解析】由函数log a y x =的图像过点()3,1，得3a =．选项A 中的函数为13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其函数图像不 正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为()3y x =-，则其函 数图像不正确；选项D 中的函数为()3log y x =-，则其函数图像不正确，故选B ．【点评】此题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．〔5〕【2014年福建，理5，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于〔 〕 〔A 〕18 〔B 〕20 〔C 〕21 〔D 〕40【答案】B【解析】输入0S =，1n =，第一次循环，0213S =++=，2n =；第二次循环，23229S =++=，3n =；第三次循环，392320S =++=，4n =，满足15S ≥，结束循环，20S =，故选B ．【点评】此题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 〔6〕【2014年福建，理6，5分】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的〔 〕〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离1d =<，解得0k ≠．当1k =时，d =，AB =OAB ∆的面积为1122=； 当1k =-时，同理可得OAB ∆的面积为12，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的充分不必要条件，故选A ． 【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决此题的关键．〔7〕【2014年福建，理7，5分】已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则以下结论正确的选项是〔 〕 〔A 〕()f x 是偶函数 〔B 〕()f x 是增函数 〔C 〕()f x 是周期函数 〔D 〕()f x 的值域为[)1,-+∞【答案】D【解析】由函数()f x 的解析式知，()12f =，()()1cos 1cos1f -=-=，()()11f f ≠-，则()f x 不是偶函数；当0x >时，令()21f x x =+，则()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且函数值()1f x >；当0x ≤时，()cos f x x =，则()f x 在区间(),0-∞上不是单调函数，且函数值()[]1,1f x ∈-；∴函数()f x 不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[)1,-+∞，故选D ．【点评】此题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．〔8〕【2014年福建，理8，5分】在以下向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是〔 〕〔A 〕12(0,0),(1,2)e e ==〔B 〕12(1,2),(5,2)e e =-=-〔C 〕12(3,5),(6,10)e e ==〔D 〕12(2,3),(2,3)e e =-=-【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B ．【点评】此题主要考查了向量的坐标运算，根据12a e e λμ=+列出方程解方程是关键，属于基础题．〔9〕【2014年福建，理9，5分】设,P Q 分别为()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大距离是〔 〕〔A 〕 〔B 〔C 〕7 〔D 〕【答案】D【解析】设圆心为点C ，则圆()2262x y +-=的圆心为()0,6C ，半径r 设点()00,Q x y 是椭圆上任意一点，则2200110x y +=，即22001010x y =-，∴CQ ，当023y =-时，CQ 有最大值，则P ，Q 两点间的最大距离为r =D ． 【点评】此题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．〔10〕【2014年福建，理10，5分】用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出假设干个球的所有取法可由()()11a b ++的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来．依此类推，以下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球．5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是〔 〕 〔A 〕()()()523455111a a a a a b c +++++++ 〔B 〕()()()552345111a b b b b b c +++++++ 〔C 〕()()()523455111a b b b b b c +++++++ 〔D 〕()()()552345111a b c c c c c +++++++【答案】A【解析】从5个无区别的红球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为23451a a a a a +++++；从5个无区别的蓝球中取出假设干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为51b +；从5个有区别的黑球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551C c C c C c C c C c +++++=()51c +，根据分步乘法计数原理得，适合要求的取法是()()()523455111a a a a a b c +++++++，故选A ． 【点评】此题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．第Ⅱ卷〔非选择题 共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．〔11〕【2014年福建，理11，4分】假设变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值为 ． 【答案】1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如下图)，把3z x y =+变形为3y x z =-+，则当直线3y x z =-+经过点()0,1时，z 最小，将点()0,1代入3z x y =+，得min 1z =，即3z x y =+的最小值为1．【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．〔12〕【2014年福建，理12，4分】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==，则ABC ∆的面积等于 ． 【答案】23【解析】由sin sin BC AC A B =，得4sin 60sin 123B ︒==，∴90B =︒，()18030C A B =︒-+=︒， 则11sin 423sin302322ABC S AC BC C ∆=⋅⋅⋅=⨯⨯︒=，即ABC ∆的面积等于23． 【点评】此题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．〔13〕【2014年福建，理13，4分】要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 〔单位：元〕．【答案】160【解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m 得，另一边长为4xm ．记容器的总造价为y 元，则4444202110802080202?160y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(元)，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立．因此，当2x =时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．【点评】此题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．〔14〕【2014年福建，理14，4分】如图，在边长为e 〔e 为自然对数的底数〕的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为 ．【答案】22e【解析】因为函数ln y x =的图像与函数x y e =的图像关于正方形的对角线所在直线y x =对称，则图中的两块阴影部分的面积为112ln d 2(ln )2[(ln )(ln11)]2ee S x x x x x e e e ==-=---=⎰， 故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率22P e =． 【点评】此题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．〔15〕【2014年福建，理15，4分】假设集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =，且以下四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是 __．【答案】6【解析】假设①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；假设②正确，则①③④不正确，由④不正确，得4d =；由1a ≠，1b ≠，2c ≠，得满足条件的有序数组为3a =，2b =，1c =，4d =或2a =，3b =，1c =，4d =．假设③正确，则①②④不正确，由④不正确，得4d =；由②不正确，得1b =，则满足条件的有序数组为3a =，1b =，2c =，4d =；假设④正确，则①②③不正确，由②不正确，得1b =，由1a ≠，2c ≠，4d ≠，得满足条件的有序数组为2a =，1b =，4c =，3d =或3a =，1b =，4c =，2d =或4a =，1b =，3c =，2d =；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6．【点评】此题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔16〕【2014年福建，理16，13分】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-． 〔1〕假设02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； 〔2〕求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：解法一： 〔1〕因为02πα<<， 2sin 2α=，所以2cos 2α=．所以22211()()22222f α=+-=． 〔2〕2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+，22T ππ∴==． 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈． 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈． 解法二：2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+， 〔1〕因为02πα<<，2sin 2α=，所以4πα=，从而2231()sin(2)sin 24242f ππαα=+==． 〔2〕22T ππ==，由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈． 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈． 【点评】此题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．〔17〕【2014年福建，理17，13分】在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥．将ABD∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．〔1〕求证：AB CD ⊥；〔2〕假设M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．解：〔1〕因为ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面,BCD BD AB =⊂平面,ABD AB BD ⊥，所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥．〔2〕过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图．由〔1〕知AB ⊥平面,BCD BE ⊂平面,BCD BD ⊂平面BCD ，所以,AB BE AB BD ⊥⊥．以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意,得11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22B C D A M ．则11(1,1,0),(0,,),(0,1,1)22BC BM AD ===-． 设平面MBC 的法向量000(,,)n x y z =．则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00000102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩． 取01z =，得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则6sin cos ,3n ADn AD n AD θ⋅=<>==，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63．【点评】此题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sin cos ,n AD n AD n AD θ⋅==⋅，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题． 〔18〕【2014年福建，理18，13分】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．〔1〕假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；〔2〕商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾 客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：〔1〕设顾客所获的奖励为X ．①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===．即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12． ②依题意,得X 的所有可能取值为20，60．232411(60),(20)22C P X P X C =====． 即X 的分布列为X20 60 P0.5 0.5 所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=〔元〕． 〔2〕根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元．所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不 可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可 能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1．对于面值由20元和40元组成的情况，同 理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2．以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励为1X ，则1X 的分布列为：1X 20 60 100P16 23 161X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=， 1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=． 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励为2X ，则2X 的分布列为： 2X 40 60 80P16 23 162X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=， 2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=． 由于两种方案的奖励额都符合要求，但方案2奖励的方差比方案1的小，所以应该选择方案2．【点评】此题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．〔19〕【2014年福建，理19，13分】已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为12:2,:2l y x l y x ==-．〔1〕求双曲线E 的离心率；〔2〕如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线12,l l 于,A B 两点〔,A B 分别在第一，四象限〕，且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？假设存在，求出双曲线E 的方程；假设不存在，说明理由．解：〔1〕因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-．所以222,2,5b c a c a a a -=∴=∴=, 从而双曲线E 的离心率5e =． 〔2〕由〔1〕知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=．设直线l 与x 轴相交于点C ．当l x ⊥轴时，假设直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则,4OC a AB a ==，又因为OAB ∆的面积为8，所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=．此时双曲线E 的方程为221416x y -=． 假设存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为221416x y -=． 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件． 设直线l 的方程为y kx m =+，依题意,得2k >或2k <-．则(,0)m C k-，记1122(,),(,)A x y B x y ． 由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩，得122m y k =-，同理得222m y k =+．由1212OAB S OC y y ∆=-得：1228222m m m k k k -⋅-=-+即222444(4)m k k =-=-．由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(4)2160k x kmx m ----=．因为240k -<， 所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---，又因为224(4)m k =-．所以0∆=，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=． 【点评】此题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．〔20〕【2014年福建，理20，14分】已知函数()x f x e ax =-〔a 为常数〕的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．〔1〕求a 的值及函数()f x 的极值；〔2〕证明：当0x >时，2x x e <；〔3〕证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有2x x ce <． 解：解法一：〔1〕由()x f x e ax =-，得'()x f x e a =-．又'(0)11f a =-=-,得2a =．所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-．令'()0f x =，得ln 2x =．当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时，'()0,()f x f x >单调递 增．所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值．〔2〕令2()x g x e x =-，则'()2x g x e x =-．由〔1〕得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>，故()g x 在R 上单调递增，(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <．〔3〕①假设1c ≥，则x x e ce ≤．又由〔2〕知，当0x >时，2x x e <．所以当0x >时，2x x ce <．取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <．②假设01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立．而要使2x e kx >成立，则只 要 2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立．令()2ln ln h x x x k =--，则22'()1x h x x x-=-=．所以当2x > 时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增．取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增．又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+．易知ln ,ln 2,50k k k k >>>．所以0()0h x >．即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <． 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．解法二：〔1〕同解法一．〔2〕同解法一．〔3〕对任意给定的正数c，取o x =，由〔2〕知，当0x >时，2x e x >， 所以2222,()()22x x x x x e e e =>，当o x x >时，222241()()()222x x x x e x c c>>= 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．【点评】此题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．此题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．总分值14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．〔21〕【2014年福建，理21〔1〕，7分】〔选修4-2：矩阵与变换〕已知矩阵A 的逆矩阵12112-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ． 〔1〕求矩阵A ；〔2〕求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：〔1〕因为矩阵A 是矩阵1-A 的逆矩阵,且1221130-=⨯-⨯=≠A ，所以232113 2121333⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ==⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎪ ⎭⎝A ． 〔2〕矩阵1-A 的特征多项式为221() 43(1)(3)12f λλλλλλλ--==-+=----，令()0f λ=，得矩阵1-A 的特 征值为11λ=或23λ=，所以111ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵1-A 的属于特征值11λ=的一个特征向量．211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵 1-A 的属于特征值23λ=的一个特征向量．【点评】此题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．〔21〕【2014年福建，理21〔2〕，7分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知直线l 的参数方程为24x a t y t=-⎧⎨=-⎩，〔t 为参数〕，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，〔θ为参数〕． 〔1〕求直线l 和圆C 的普通方程；〔2〕假设直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：〔1〕直线l 的普通方程为220x y a --=．圆C 的普通方程为2216x y +=．〔2〕因为直线l 与圆有公共点，故圆C 的圆心到直线l的距离4d =≤，解得a -≤≤【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．〔21〕【2014年福建，理21〔3〕，7分】〔选修4-5：不等式选讲〕已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ．〔1〕求a 的值；〔2〕假设p q r ，，为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥．解：〔1〕因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =．〔2〕由〔1〕知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正数，所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥．【点评】此题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．649．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=110．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE 与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y=ln（+1），∴+1=e y，即=e y﹣1，∴x=（e y﹣1）3，∴所求反函数为y=（e x﹣1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．64【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T r=C6r x6﹣r（﹣2）r=（﹣1）+1r•2r•C6r x6﹣r，令6﹣r=3可得r=3，此时T4=（﹣1）3•23•C63x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）将a n=2a n+1﹣a n+2变形为：a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，再由条件得+2b n+1=b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n=a n+1﹣a n并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a n}的通项公式a n．=2a n+1﹣a n+2得，【解答】解：（Ⅰ）由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，由b n=a n+1﹣a n得，b n+1=b n+2，即b n﹣b n=2，+1又b1=a2﹣a1=1，所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由b n=a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n=2n﹣1，则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{a n}的通项公式a n=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．故k的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围[）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A ．B．3C ．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A ．B ．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A ．B ．C ．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A ．B．3C ．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A ．6B ．6C ．4D ．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x ﹣y ）（x +y ）8的展开式中x 2y 7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a=2且（2+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，则△ABC 面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n ≠0，a n a n +1=λS n ﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n +2﹣a n =λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s 2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2．（i ）利用该正态分布，求P （187.8＜Z ＜212.2）；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．附：≈12.2．若Z ～N （μ，σ2）则P （μ﹣σ＜Z ＜μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ．（Ⅰ）证明：AC=AB 1；（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx +，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C ：+=1，直线l ：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．【考点】集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】复数的运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．【考点】双曲线的性质．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C 的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．【考点】等可能事件和等可能事件的概率．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．【考点】抽象函数及其应用．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin （），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin （）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．【考点】命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．【考点】抛物线的性质．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF 的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f （）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．﹣20．【考点】二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．A．【考点】进行简单的合情推理．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．90°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc ≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC 面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n }为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O 为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y 轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos ＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E 的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ 的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx +，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx ＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x ﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g （）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x ﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C ：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C 的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l ：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l 的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA |取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA |取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．关注公众号：麦田笔墨获取更多干货第11页（共11页）（Ⅱ）∵2a +3b ≥2=2，当且仅当2a=3b 时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a ，b ，使得2a +3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。

2014 年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（ 5 分）是 z 的共轭复数，若 z+ =2，（z﹣）i=2（ i 为虚数单位），则 z=（）A．1+i B．﹣ 1﹣i C．﹣ 1+i D．1﹣i2．（5 分）函数 f（ x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[ 0，1]C．（﹣∞， 0）∪（ 1，+∞）D．（﹣∞， 0] ∪ [ 1，+∞）3．（5 分）已知函数 f（ x）=5 x|，g（x）=ax2﹣ x（a∈R），若 f[ g（1）] =1，则 a=|（）A．1B．2C．3D．﹣ 1，，的对边分别为，，，若22+6，4．（ 5 分）在△ ABC中，内角A B C a b c c =（a﹣b）C= ，则△ ABC的面积为（）A．3B．C．D．35．（5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．6．（5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表 1成绩不及格及格总计性别男61420女102232总计163652表 2视力好差总计性别男41620女122032总计163652表 3智商偏高正常总计性别男81220女82432总计163652表 4阅读量丰富不丰富总计性别男14620女23032总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量7．（ 5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11．（分）若2+2f（ x） dx，则f（x）dx=（）8 5f（x） =xA．﹣ 1B．﹣C．D．19．（5 分）在平面直角坐标系中，A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣ 4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π10．（ 5 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中， AB=11， AD=7，AA1=12．一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为l i（ i=2， 3， 4），l1=AE，将线段 l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．3C．D．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（ 5 分）对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1| 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1﹣x（ 0≤ x≤ 1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤D．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（ 5 分） 10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到1件次品的概率是．14．（ 5 分）若曲线﹣x上点 P 的切线平行于直线2x+y+1=0，则点 P 的坐标y=e是．15．（ 5 分）已知单位向量与的夹角为α，且 cos α=，向量 =3 ﹣2与=3﹣的夹角为β，则 cos β=．16．（5 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于．五、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中 a∈ R，θ∈（﹣，）（1）当 a= ，θ= 时，求 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最大值与最小值；（2）若 f （）=0， f（π）=1，求 a，θ的值．18．（ 12 分）已知首项是1 的两个数列 { a n} ， { b n } （b n≠0，n∈N*）满足 a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n =0．（1）令 c n= ，求数列 { c n } 的通项公式；（2）若 b n=3n﹣1，求数列 { a n} 的前 n 项和 S n．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当 b=4 时，求 f（ x）的极值；（2）若 f （x）在区间（ 0，）上单调递增，求 b 的取值范围．20．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中， ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD．（1）求证： AB⊥PD；（2）若∠ BPC=90°，PB= ，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面 BPC与平面 DPC夹角的余弦值．21．（ 13 分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AF⊥x 轴， AB⊥OB，BF∥OA（O 为坐标原点）．（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P（ x0，y0）（y0≠0）的直线 l：﹣y0y=1与直线AF相交于点 M ，与直线 x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．22．（ 14 分）随机将 1，2，，2n（n∈N*， n≥ 2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b ；记ξ=a﹣ a ，η=b﹣ b ．22121（1）当 n=3 时，求ξ的分布列和数学期望；（2） C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C）；（3）对（ 2）中的事件 C，表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（）的大小关系，并说明理由．2014 年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（ 5 分）是 z 的共轭复数，若 z+ =2，（z﹣）i=2（ i 为虚数单位），则 z=（）A．1+i B．﹣ 1﹣i C．﹣ 1+i D．1﹣i【考点】 A5：复数的运算．【专题】 11：计算题； 5N：数系的扩充和复数．【分析】由题，先求出 z﹣ =﹣2i，再与 z+ =2 联立即可解出 z 得出正确选项．【解答】解：由于，（ z﹣） i=2，可得 z﹣ =﹣2i ①又 z+ =2 ②由①②解得 z=1﹣i故选： D．【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题2．（5 分）函数 f（ x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[ 0，1]C．（﹣∞， 0）∪（ 1，+∞）D．（﹣∞， 0] ∪ [ 1，+∞）【考点】 33：函数的定义域及其求法．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣ x＞0，即 x＞1 或 x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（ 1， +∞），故选： C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．3．（5 分）已知函数 f（ x）=5|x|，g（x）=ax2﹣ x（a∈R），若 f[ g（1）] =1，则 a=（）A．1B．2C．3D．﹣ 1【考点】 3T：函数的值．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：∵ g（x）=ax2﹣x（ a∈ R），∴g（1）=a﹣1，若 f[ g（1）] =1，则 f（ a﹣ 1） =1，即 5|a﹣1| =1，则 | a﹣1| =0，解得 a=1，故选： A．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．4．（ 5 分）在△ ABC中，内角A ，，的对边分别为，，，若22+6，BC a b c c =（a﹣b）C=，则△ ABC的面积为（）A．3B．C．D．3【考点】 HR：余弦定理．【专题】 58：解三角形．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵ c2=（a﹣b）2 +6，∴c2=a2﹣ 2ab+b2+6，即 a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C= ，10∴ cos ===，解得 ab=6，则三角形的面积S= absinC==，故选： C．【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6 是解决本题的关键．5．（5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．【考点】 L7：简单空间图形的三视图．【专题】 5F：空间位置关系与距离．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以 C、D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以 A 不正确，故选： B．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．6．（5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表 111成绩不及格及格总计性别男61420女102232总计163652表 2视力好差总计性别男41620女122032总计163652表 3智商偏高正常总计性别男81220女82432总计163652表 4阅读量丰富不丰富总计性别男14620女23032总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【考点】 BL：独立性检验．【专题】 12：应用题； 5I：概率与统计．12【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．【解答】解：表 1： X2=≈；0.009表 2：X2≈；= 1.769表 3：X2≈；= 1.3表 4：X2≈，=23.48∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选： D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（ 5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11【考点】 EF：程序框图．【专题】 11：计算题； 27：图表型； 4B：试验法； 5K：算法和程序框图．【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1 时，终止循环；再根据 S 的值求出终止循环时的i 值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=7，S=lg5+lg=lg9，13不满足条件 1＜S，执行循环体， i=9，S=lg9+lg =lg11，满足条件 1＜S，跳出循环，输出 i 的值为 9．故选： B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．．（分）若2+2f（ x） dx，则f（x）dx=（）8 5f（x） =xA．﹣ 1B．﹣C．D．1【考点】 67：定积分、微积分基本定理．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可．【解答】解：令f（ x）dx=t，对 f （ x）=x2+2 f （x） dx，两边积分可得：t= +2tdx= +2t，解得 t=f（x）dx=﹣，故选： B．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题．9．（5 分）在平面直角坐标系中，A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣ 4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π【考点】 J9：直线与圆的位置关系．【专题】 5B：直线与圆．【分析】如图，设AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r ，由已知得 | OC| =| CE| =r，过点 O 作直线 2x+y﹣ 4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线2x+y﹣ 4=0 于 F，则当 D 恰为 AB 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小．14【解答】解：如图，设 AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r，由已知得 | OC| =| CE| =r，过点 O 作直线 2x+y﹣4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线 2x+y﹣ 4=0 于 F，则当 D 恰为 OF 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线 2x+y﹣4=0 的距离为：d==，此时 r=∴圆 C 的面积的最小值为： S π×（）2=．min=故选： A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．10．（ 5 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中， AB=11， AD=7，AA1=12．一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为l i（ i=2， 3， 4），l1=AE，将线段 l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）15A．B．C．D．【考点】 JH：空间中的点的坐标； MK：点、线、面间的距离计算．【专题】 5H：空间向量及应用．【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．【解答】解：根据题意有：A的坐标为：（ 0， 0， 0），B 的坐标为（ 11，0，0），C 的坐标为（ 11，7，0），D的坐标为（ 0， 7，0）；A1的坐标为：（ 0，0，12），B1的坐标为（ 11，0，12），C1的坐标为（ 11，7，12），16D1的坐标为（ 0，7，12）；E 的坐标为（ 4， 3， 12）（ 1） l1长度计算所以： l1．=| AE| ==13（ 2） l2长度计算将平面 A1 B1C1D1沿 Z 轴正向平移 AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：A2的坐标为：（ 0，0，24），B2的坐标为（ 11，0，24），C2的坐标为（ 11，7，24），D2的坐标为（ 0，7，24）；显然平面 A2B2C2D2和平面 ABCD关于平面 A1B1C1D1对称．设 AE 与的延长线与平面 A2B2C2D2相交于： E2（x E2，y E2， 24）根据相似三角形易知：x E2=2x E=2× 4=8，y E2=2y E=2× 3=6，即： E2（8，6，24）根据坐标可知， E2在长方形 A2B2C2D2内．根据反射原理， E2在平面 ABCD上的投影即为AE反射光与平面 ABCD的交点．所以 F 的坐标为（ 8， 6， 0）．因此： l2=| EF| ==13．（ 3） l3长度计算设 G 的坐标为：（x G， y G，z G）如果 G 落在平面 BCC1B1；这个时候有： x G=11， y G≤7，z G≤12根据反射原理有： AE∥ FG于是：向量与向量共线；即有：=λ因为：=（ 4， 3， 12）；=（x G﹣ 8， y G﹣6，z G﹣ 0） =（ 3，y G﹣6，z G）即有：（4，3，12）=λ（3，y G﹣6，z G）17解得： y G= ，z G=9；故 G 的坐标为：（11，，9）因为：＞7，故 G 点不在平面 BCC上，1B1所以： G 点只能在平面DCCD 上；1 1因此有： y G=7；x G≤ 11，z G≤ 12此时：=（ x G﹣8，y G﹣ 6，z G﹣0）=（x G﹣ 8，1，z G）即有：（4，3，12）=λ（x G﹣8，1，z G）解得： x G=，z G=4；满足： x G≤ 11，z G≤ 12故 G 的坐标为：（，7，4）所以： l3=| FG| ==（ 4） l4长度计算设 G点在平面 A1 1 1 1 的投影为G’，坐标为（，7，12）B C D因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即： AEFGH共面故 EG的反射线 GH 只能与平面 A1B1C1 D1相交，且交点 H 只能在 A1G'；易知： l4＞| GG’| =12﹣4=8＞l3．根据以上解析，可知l1，l2， l3， l4要满足以下关系：l1=l2；且 l4＞l3对比 ABCD选项，可知，只有 C 选项满足以上条件．故选： C．18【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（ 5 分）对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1| 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】 5A：函数最值的应用； R4：绝对值三角不等式．【专题】 59：不等式的解法及应用．【分析】把表达式分成 2 组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．【解答】解：对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1|=| x﹣1|+| ﹣x|+| 1﹣y|+| y+1|≥| x﹣1﹣x|+| 1﹣ y+y+1| =3，当且仅当 x∈ [ 0，1] ，y∈[ ﹣1，1] 成立．故选： C．【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1﹣x（ 0≤ x≤ 1）的极坐标方程为（）19A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤D．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】 5S：坐标系和参数方程．【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos，θy=ρsin，θ把方程y=1﹣x （0≤x≤1）化为极坐标方程．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos，θy=ρsin，θy=1﹣x（0≤x≤1），可得ρcos+θρsin θ，=1即ρ=．由 0≤x≤ 1，可得线段 y=1﹣ x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[ 0，] ，故选： A．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（ 5 分） 10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到1件次品的概率是．【考点】 C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】 11：计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 10 件中取 4 件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C73种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10 件中取 4 件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C种结果，20∴恰好有一件次品的概率是P==故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．﹣x14．（ 5 分）若曲线 y=e上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ ln2， 2）．【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】 11：计算题； 52：导数的概念及应用．【分析】先设 P（ x，y），对函数求导，由在在点P 处的切线与直线2x+y+1=0 平行，求出 x，最后求出 y．【解答】解：设 P（ x， y），则 y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行，∴﹣ e﹣x=﹣ 2，解得 x=﹣ln2，∴ y=e﹣x=2，故 P（﹣ ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．15．（ 5 分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3 ﹣的夹角为β，则cosβ=．【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】 5A：平面向量及应用．【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．21【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（ 1，0），=，=3 ﹣2 =（），=3﹣=（），∴ cosβ===．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．16．（5 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于．【考点】 K4：椭圆的性质．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用点差法，结合M 是线段 AB 的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设 A（ x1，y1），B（x2， y2），则①，②，∵ M 是线段 AB 的中点，∴=1，=1，∵直线 AB 的方程是 y=﹣（x﹣1）+1，∴ y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点 M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（ a＞ b＞ 0）相交于22A，B 两点， M 是线段 AB 的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a= b，∴=b，∴e= = ．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．五、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中 a∈ R，θ∈（﹣，）（1）当 a= ，θ= 时，求 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最大值与最小值；（2）若 f （）=0， f（π）=1，求 a，θ的值．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】 56：三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f （x）=﹣sin（x﹣），再根据 x∈[ 0，π] ，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（ 2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0①，﹣sinθ﹣acos2θ=1②，由这两个式子求出 a 和θ的值．【解答】解：（1）当 a=，θ= 时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（ x+）+cos（x+）=sinx+ cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx23=sin（﹣ x） =﹣ sin（x﹣）．∵ x∈[ 0，π] ，∴ x﹣∈[ ﹣，] ，∴ sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣ sin（ x﹣）∈ [ ﹣1，] ，故 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最小值为﹣ 1，最大值为．（ 2）∵ f（ x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2 θ=0①，﹣ sin θ﹣acos2θ=1②，由①求得 sin θ=，由②可得 cos2θ==﹣﹣．再根据 cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得 a=﹣1，∴ sin θ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣ 1，θ=﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（ 12 分）已知首项是1 的两个数列 { a n} ， { b n } （b n≠0，n∈N*）满足a nb n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n =0．（1）令 c n= ，求数列 { c n } 的通项公式；（2）若 b n=3n﹣1，求数列 { a n} 的前 n 项和 S n．【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式．【专题】 15：综合题； 54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由 a n n+1﹣a n+1n+2b n+1 n ， n，可得数列n } 是以 1 为首项，b b b =0c ={ c2 为公差的等差数列，即可求数列{ c n} 的通项公式；24（ 2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）∵ a n n+1﹣a n+1n+2b n+1 n ， n，b b b =0c =∴c n﹣c n+1+2=0，∴c n+1﹣ c n=2，∵首项是 1 的两个数列 { a n} ，{ b n } ，∴数列 { c n} 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，∴c n=2n﹣1；（ 2）∵ b n=3n﹣1，c n=，∴a n=（ 2n﹣1）?3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+ +（ 2n﹣1）× 3n﹣1，∴3S n=1×3+3×32+ +（2n﹣ 1）× 3n，∴﹣ 2S n=1+2?（31+ +3n﹣1）﹣（ 2n﹣1）?3n，∴S n=（ n﹣ 1） 3n+1．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当 b=4 时，求 f（ x）的极值；（2）若 f （x）在区间（ 0，）上单调递增，求 b 的取值范围．【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】（1）把 b=4 代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（ 2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得25到对任意 x∈（ 0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．【解答】解：（ 1）当 b=4 时，f（ x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由 f ′（x） =0，得 x=﹣ 2 或 x=0．当x＜﹣2 时，f ′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣ 2＜x＜ 0 时， f ′（x）＞ 0， f（x）在（﹣ 2，0）上为增函数．当 0＜x＜时， f ′（x）＜ 0， f（x）在（ 0，）上为减函数．∴当 x=﹣ 2 时， f （x）取极小值为 0．当 x=0 时， f（x）取极大值为 4；（ 2）由 f （x）=（x2+bx+b），得：=．由 f（ x）在区间（ 0，）上单调递增，得 f ′（x）≥ 0 对任意 x∈（ 0，）恒成立．即﹣ 5x2﹣3bx+2x≥0 对任意 x∈（ 0，）恒成立．∴对任意 x∈（ 0，）恒成立．∵．∴．∴ b 的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．2620．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中， ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD．（1）求证： AB⊥PD；（2）若∠ BPC=90°，PB= ，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面 BPC与平面 DPC夹角的余弦值．【考点】 MJ：二面角的平面角及求法．【专题】 5G：空间角； 5H：空间向量及应用．【分析】（1）要证 AD⊥PD，可以证明 AB⊥面 PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（ 2）过 P 做 PO⊥ AD 得到 PO⊥平面 ABCD，作 OM⊥BC，连接 PM，由边长关系得到 BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCD=，故当时，V P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥 P﹣ ABCD中， ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴AB⊥面 PAD，∴ AB⊥ PD．（2）过 P 做 PO⊥ AD，∴ PO⊥平面 ABCD，作 OM⊥BC，连接 PM∴PM⊥ BC，∵∠ BPC=90°， PB= ， PC=2，∴ BC= ， PM== =，BM== ，设 AB=x，∴ OM=x∴ PO=，=x×==，∴ V P﹣ABCD× ×27当，即 x=，V ﹣ABCD，P=建立空间直角坐标系 O﹣ AMP，如图所示，则 P（0，0，），D（﹣，0， 0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面 PBC的法向量为=（ 0， 1， 1），面 DPC的法向量为=（ 1， 0，﹣ 2）∴ cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．21．（ 13 分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AF⊥x 轴， AB⊥OB，BF∥OA（O 为坐标原点）．（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P（ x0，y0）（y0≠0）的直线 l：﹣y0与直线AF 相交于y=1点 M ，与直线 x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．28【考点】 KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）依题意知， A（ c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥ OA，可求得 a=，从而可得双曲线 C 的方程；（ 2）易求 A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，直线l：﹣y0y=1与直线AF 相交于点 M，与直线 x=相交于点N，可求得M（2，），N（，），于是化简=可得其值为，于是原结论得证．【解答】（1）解：依题意知， A（c，），设B（t，﹣），∵AB⊥OB，BF∥OA，∴? =﹣1，=，整理得： t=，a=，∴双曲线 C 的方程为﹣y2=1；（ 2）证明：由（ 1）知 A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，又 F（ 2，0），直线 l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．29于是可得 M（2，），N（，），∴==== =．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22．（ 14 分）随机将 1，2，，2n（n∈N*， n≥ 2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b2；记ξ=a2﹣ a1，η=b2﹣ b1．（1）当 n=3 时，求ξ的分布列和数学期望；（2） C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C）；（3）对（ 2）中的事件 C，表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（）的大小关系，并说明理由．【考点】 CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】 5I：概率与统计．【分析】（1）当 n=3 时，ξ的取值可能为 2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据 C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件 C 发生的概率 P（C）的表达式；（3）判断 P（ C）和 P（）的大小关系，即判断 P（ C）和的大小关系，根据30（2）的公式，可得答案．【解答】解：（1）当 n=3 时，ξ的取值可能为 2，3，4，5其中 P（ξ=2）= = ，P（ξ =3）= =，P（ξ =4）= =，P（ξ =5）= =，故随机变量ξ的分布列为：ξ2345Pξ的数学期望 E（ξ） =2×+3×+4×+5×=；（2）∵ C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，∴ P（ C） =2×（ 3）当 n=2 时， P（C）=2×=，此时P（）＜；即 P（）＜P（C）；当 n≥3 时， P（ C） =2×＜，此时P（）＞；即 P（）＞P（C）；【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．31。

2014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2014•安徽）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）代入+i•∴∴==取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被的参数方程是=＜=2，5．（5分）（2014•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 或﹣16．（5分）（2014•安徽）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）（（）+sin）+sin+sin）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==8+=21+．=66解：，﹣﹣﹣∴﹣≥，+1＞﹣，+1或﹣时，﹣10．（5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）不妨令=），=||中．已知向量、，||=||=1•=0不妨令=），=则（+，=cos+|||二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．﹣轴对称可得，）的图象向右平移﹣，﹣﹣，故答案为：．的等比数列列式求出公差，则由得：整理得：q=13．（5分）（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若点A i（i，）的展开式的通项为）的展开式的通项为，，14．（5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．（﹣，﹣bc，﹣代入椭圆方程可得==++15．（5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．++++•+++=+•++•+=﹣•≥+2|||≥个个S=2+3S=+2•+2S=4•++++，=•+•+，=+•++•++2•+﹣2||≥⊥，则=||∥，则=4•，与||||4||=4|||4||||+＞﹣=0||=2||=8|=与的夹角为．区域．16．（12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．A+）的值．a=6a=2cosB=sinB=sinA=sin2B=，A+）则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；，，（+（+×（=，，=，，×+3×+4×+5×=．18．（12分）（2014•安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x﹣x，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；＜＜）和（在（19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y=2p1x（p1＞0）和E2：y=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的联立，解得联立，解得联立，解得联立，解得因此11111且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；，则，== ahd====，ahdahd所分成上、下两部分的体积之比=1，．21．（13分）（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．=a+a a，写成相加，上式左边当且仅当，即a a，即＞a a c成立，即从数列。

2014年高考题专题整理 --立体几何第I 部分1.【2014年陕西卷（理05）】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π2.【2014年重庆卷（理07）】某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.72【答案】B【解析】在长方体中构造几何体'''ABC A B C -,如右图所示，4,'5,'2,3AB A A B B AC ====，经检验该几何体的三视图满足题设条件。

其表面积'''''''''ABC ACC A ABB A BCC B A B C S S S S S S ∆∆=++++，3515615146022=++++=，故选择B3.【2014年安徽卷（理07）】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为俯视图左视图正视图3245C'B'A'C BA（A ）321+ （B ）318+（C ）21（D ）18【答案】A【解析】此多面体的直观图如下图所示表面积为61121622⨯⨯⨯-⨯⨯ 3212)2(432+=⨯⨯+第（7）题图4.【2014年福建卷（理02）】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）A ． 圆柱B ．圆锥C ． 四面体D ．三棱柱【答案】A【解析】圆柱的正视图为矩形，故选：A5.【2014年湖南卷（理07）】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示. 将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则2286862r r r -+-=+⇒=，故选B6.【2014年辽宁卷（理04）】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的正（主）视图侧（左）视图俯视图111111111111是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【解析】A ．若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n ⊥α，故D 错．故选B7.【2014年全国大纲卷（08）】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【答案】A【解析】设球的半径为R ，则∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R 2=（4﹣R ）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A8.【2014年四川卷（理08）】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

2014年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）（2014•北京）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）（2014•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．解答：解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．3．（5分）（2014•北京）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上考点：圆的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．解答：解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，点评：本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．4．（5分）（2014•北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7B．42 C．210 D．840考点：循环结构．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．5．（5分）（2014•北京）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．（5分）（2014•北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2B．﹣2 C．D．﹣考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1=S2=S3B．S2=S1且S2≠S3C．S3=S1且S3≠S2D．S3=S2且S3≠S1考点：空间直角坐标系．专题：空间向量及应用．分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．解答：解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=．在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（1，0，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D．点评：本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．8．（5分）（2014•北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．解答：解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个．故选：B．点评：本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•北京）复数（）2=﹣1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．解答：解：（）2=．故答案为：﹣1．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．10．（5分）（2014•北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．解答：解：设=（x，y）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：．点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．11．（5分）（2014•北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为y=±2x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．解答：解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x．点评：本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）（2014•北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：可得等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．解答：解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．点评：本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．13．（5分）（2014•北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．考点：排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②除去A、B相邻又满足A、C相邻的情况．解答：解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．点评：本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．14．（5分）（2014•北京）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）可得函数的半周期，则周期可求．解答：解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故答案为：π．点评：本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（13分）（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．16．（13分）（2014•北京）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8主场2 15 12 客场2 13 12主场3 12 8 客场3 21 7主场4 23 8 客场4 18 15主场5 24 20 客场5 25 12（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．（3）求出平均数和EX，比较即可．解答：解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=点评：本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题．17．（14分）（2014•北京）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．解答：（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵n是平面ABF的法向量，∴n=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2．点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．18．（13分）（2014•北京）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．解答：解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：x （0，x0）x0（x0，）g′（x）+ ﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1 点评：本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x2+y2=2相切．解答：解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为．∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故椭圆C的离心率e=；（2）直线AB与圆x2+y2=2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得．当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得．故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．圆心O到直线AB的距离d=．又，t=．故=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．点评：本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．20．（13分）（2014•北京）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k﹣1（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．考点：分析法和综合法．专题：新定义；分析法．分析：（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论．解答：解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}．当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52．点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键．。

2014年上海市高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、填空题〔共14题，总分值56分〕1．〔4分〕〔2014•上海〕函数y=1﹣2cos2〔2x〕的最小正周期是．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．解答：解：y=1﹣2cos2〔2x〕=﹣[2cos2〔2x〕﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为：点评：此题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．2．〔4分〕〔2014•上海〕假设复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则〔z+〕•=6．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．解答：解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则〔z+〕•==〔1+2i〕〔1﹣2i〕+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6点评：此题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．3．〔4分〕〔2014•上海〕假设抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题设中的条件y2=2px〔p＞0〕的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是〔2，0〕，又y2=2px〔p＞0〕的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣2点评：此题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．〔4分〕〔2014•上海〕设f〔x〕=，假设f〔2〕=4，则a的取值范围为〔﹣∞，2]．考点：分段函数的应用；真题集萃．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．解答：解：当a＞2时，f〔2〕=2≠4，不合题意；当a=2时，f〔2〕=22=4，符合题意；当a＜2时，f〔2〕=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：〔﹣∞，2]．点评：此题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，此题是一道基础题．5．〔4分〕〔2014•上海〕假设实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2点评：此题考查基本不等式，属基础题．6．〔4分〕〔2014•上海〕假设圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos〔结果用反三角函数值表示〕．考点：旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下列图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos点评：此题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．7．〔4分〕〔2014•上海〕已知曲线C的极坐标方程为ρ〔3cosθ﹣4sinθ〕=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．解答：解：由题意，θ=0，可得ρ〔3cos0﹣4sin0〕=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．点评：正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．8．〔4分〕〔2014•上海〕设无穷等比数列{a n}的公比为q，假设a1=〔a3+a4+…a n〕，则q=．考点：极限及其运算．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．解答：解：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a1=〔a3+a4+…a n〕=〔﹣a1﹣a1q〕=，∴q2+q﹣1=0，解得q=或q=〔舍〕．故答案为：．点评：此题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．9．〔4分〕〔2014•上海〕假设f〔x〕=﹣，则满足f〔x〕＜0的x的取值范围是〔0，1〕．考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可．解答：解：f〔x〕=﹣，假设满足f〔x〕＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：〔0，1〕．故答案为：〔0，1〕．点评：此题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力．10．〔4分〕〔2014•上海〕为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是〔结果用最简分数表示〕．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是〔1，2，3〕，〔2，3，4〕，〔3，4，5〕，〔4，5，6〕，〔5，6，7〕，〔6，7，8〕，〔7，8，9〕，〔8，9，10〕，∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．点评：此题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．〔4分〕〔2014•上海〕已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．考点：集合的相等．专题：集合．分析：根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．解答：解：根据集合相等的条件可知，假设{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．假设b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．点评：此题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决此题的关键，注意要进行分类讨论．12．〔4分〕〔2014•上海〕设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin〔x+〕的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．解答：解：sinx+cosx=2〔sinx+cosx〕=2sin〔x+〕=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin〔x+〕=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：点评：此题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．〔4分〕〔2014•上海〕某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，假设E〔ξ〕=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．解答：解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E〔ξ〕=4.2，∴4〔1﹣x〕+5x=4.2，解得x=0.2．故答案为：0.2．点评：此题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．14．〔4分〕〔2014•上海〕已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，假设对于点A〔m，0〕，存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．解答：解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A〔m，0〕，存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．点评：此题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．二、选择题〔共4题，总分值20分〕每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．〔5分〕〔2014•上海〕设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，假设a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．点评：此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决此题的关键，比较基础．16．〔5分〕〔2014•上海〕如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i〔i=1，2，…8〕是上底面上其余的八个点，则•〔i=1，2，…，8〕的不同值的个数为〔〕A．1B．2C．3D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．解答：解：=，则•=〔〕=||2+，∵，∴•=||2=1，∴•〔i=1，2，…，8〕的不同值的个数为1，故选A．点评：此题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．17．〔5分〕〔2014•上海〕已知P1〔a1，b1〕与P2〔a2，b2〕是直线y=kx+1〔k为常数〕上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是〔〕A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解考点：一次函数的性质与图象．专题：函数的性质及应用；直线与圆．分析：判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．解答：解：P1〔a1，b1〕与P2〔a2，b2〕是直线y=kx+1〔k为常数〕上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：〔a1b2﹣a2b1〕x=b2﹣b1，即〔a1﹣a2〕x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．点评：此题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．18．〔5分〕〔2014•上海〕设f〔x〕=，假设f〔0〕是f〔x〕的最小值，则a的取值范围为〔〕A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分当a＜0时，显然f〔0〕不是f〔x〕的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，析：得﹣1≤a≤2，问题解决．解答：解；当a＜0时，显然f〔0〕不是f〔x〕的最小值，当a≥0时，f〔0〕=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．点评：此题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题〔共5题，总分值72分〕19．〔12分〕〔2014•上海〕底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其外表展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．解答：解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC==点评：此题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．20．〔14分〕〔2014•上海〕设常数a≥0，函数f〔x〕=．〔1〕假设a=4，求函数y=f〔x〕的反函数y=f﹣1〔x〕；〔2〕根据a的不同取值，讨论函数y=f〔x〕的奇偶性，并说明理由．考点：反函数；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕根据反函数的定义，即可求出，〔2〕利用分类讨论的思想，假设为偶函数求出a的值，假设为奇函数，求出a的值，问题得以解决．解答：解：〔1〕∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕．〔2〕假设f〔x〕为偶函数，则f〔x〕=f〔﹣x〕对任意x均成立，∴=，整理可得a〔2x﹣2﹣x〕=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f〔x〕=1，x∈R，满足条件；假设f〔x〕为奇函数，则f〔x〕=﹣f〔﹣x〕对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f〔x〕=，满足条件；综上所述，a=0时，f〔x〕是偶函数，a=1时，f〔x〕是奇函数．点评：此题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．21．〔14分〕〔2014•上海〕如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．〔1〕设计中CD是铅垂方向，假设要求α≥2β，问CD的长至多为多少〔结果精确到0.01米〕？〔2〕施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长〔结果精确到0.01米〕．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：〔1〕设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．〔2〕利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．解答：解：〔1〕设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β＞0，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．〔2〕设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米．点评：此题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决此题的关键．22．〔16分〕〔2014•上海〕在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕，记η=〔ax1+by1+c〕〔ax2+by2+c〕，假设η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，假设曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．〔1〕求证：点A〔1，2〕，B〔﹣1，0〕被直线x+y﹣1=0分隔；〔2〕假设直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；〔3〕动点M到点Q〔0，2〕的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．考点：直线的一般式方程；真题集萃．专题：计算题；直线与圆．分析：〔1〕把A、B两点的坐标代入η=〔ax1+by1+c〕〔ax2+by2+c〕，再根据η＜0，得出结论．〔2〕联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得〔1﹣4k2〕x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．〔3〕设点M〔x，y〕，与条件求得曲线E的方程为[x2+〔y﹣2〕2]x2=1 ①．由于y 轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×〔﹣1〕=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．解答：〔1〕证明：把点〔1，2〕、〔﹣1，0〕分别代入x+y﹣1 可得〔1+2﹣1〕〔﹣1﹣1〕=﹣4＜0，∴点〔1，2〕、〔﹣1，0〕被直线x+y﹣1=0分隔．〔2〕解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得〔1﹣4k2〕x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或k≥．曲线上有两个点〔﹣1，0〕和〔1，0〕被直线y=kx分隔．〔3〕证明：设点M〔x，y〕，则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+〔y﹣2〕2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1〔1，2〕、P2〔﹣1，2〕为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×〔﹣1〕=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．假设过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+〔y﹣2〕2]x2=1，可得[x2+〔kx﹣2〕2]x2=1，令f〔x〕=[x2+〔kx﹣2〕2]x2﹣1，∵f〔0〕f〔2〕＜0，∴f〔x〕=0有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线．∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．点评：此题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．23．〔16分〕〔2014•上海〕已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．〔1〕假设a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；〔2〕设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，假设S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．〔3〕假设a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．考等比数列的性质；数列的求和．点：等差数列与等比数列．专题：分〔1〕依题意：，又将已知代入求出x的范围；析：〔2〕先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出S n分别代入不等式S n≤S n+1≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q 的范围．〔3〕依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k 的公差．解解：〔1〕依题意：，答：∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6〔2〕由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴不等式∵q＞1，故3q n+1﹣q n﹣2=q n〔3q﹣1〕﹣2＞2q n﹣2＞0对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n=1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴q n+1﹣3q n+2=q n〔q﹣3〕+2≤q〔q﹣3〕+2=〔q﹣1〕〔q﹣2〕≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3q n+1﹣q n﹣2=q n〔3q﹣1〕﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2=q n〔q﹣3〕+2≥q〔q﹣3〕+2=〔q﹣1〕〔q﹣2〕＞0∴时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：．〔3〕设a1，a2，…a k的公差为d．由，且a1=1，得即当n=1时，﹣≤d≤2；当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…a k的公差为﹣．点评：此题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决此题的关键，属于一道难题．。

2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}．2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为21．3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是5．4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．P=故答案为：．5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．的交点，可得．根据的交点，．，∴，+=．故答案为：．6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有24株树木的底部周长小于100cm．．7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是4．=8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．=，它们的侧面积相等，==故答案为：．9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．==2故答案为：10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．，，，解得﹣＜，11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3．（，解方程可得答案．，（，，，，是解答的关键．12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22．=3，可得=+，﹣，=3•=3，=+，=﹣，•（+）（﹣）=||•﹣|﹣•﹣•=+，=﹣，是解答的关键．13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．|的图象如图：由图象可知）14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．（bcosC==≥=当且仅当≤．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．（（（．∴﹣=+=sin cos﹣+．，=，﹣=cos sin2﹣）的值为：﹣16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．DE=EF=BC=417．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．的坐标为（，，即，，）+y+（=0）（）==（得．18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？CE=OP=m m PC=PQ=m=﹣﹣19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．﹣，当且仅当m﹣﹣（）﹣﹣（）20．（16分）（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．=，解得，，则，三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．A=B，可得方程组，即可求A=B==A=B，﹣【选修4-3：极坐标及参数方程】23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．的参数方程为，化为普通方程为=8【选修4-4：不等式选讲】24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．3，两式相乘可得结论．，(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．个球共有个球颜色相同共有P==，P=26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．代入式子求值；代入所给的式子求解验证．=代入上式得，（+））x+）对任意时，=）对任意代入上式得，（+）+cos=±）（|=。

2014 年上海市高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、填空题（本大题共14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，不然一律得零分。

2（2x）的最小正周期是．1．（ 4 分）（ 2014?上海）函数 y=1﹣ 2cos考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．剖析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．22=﹣ [2cos （ 2x ）﹣ 1]∴函数的最小正周期为T==故答案为：评论：此题观察二倍角的余弦公式，波及三角函数的周期，属基础题．2．（ 4 分）（ 2014?上海）若复数z=1+2i ，此中 i 是虚数单位，则（z+）?= 6．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩大和复数．剖析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混淆运算化简求解即可．解答：解：复数 z=1+2i ，此中 i 是虚数单位，则（ z+）?==（ 1+2i ）（ 1﹣2i ）+12=1 ﹣ 4i +1=2+4=6 ．故答案为： 6评论：此题观察复数代数形式的混淆运算，基本知识的观察．23．（ 4 分）（ 2014?上海）设常数a∈R，函数 f（ x） =|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|，若 f（ 2）=1，则 f（ 1）=3．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．2剖析：利用 f（ x）=|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|， f（ 2）=1，求出 a，而后求解 f （ 1）即可．2解答：解：常数 a∈R，函数 f（ x）=|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|，若 f （ 2） =1 ，∴ 1=|2﹣ 1|+|22﹣a|，∴ a=4，函数 f （ x ）=|x ﹣ 1|+|x 2﹣ 4|，∴ f （ 1） =|1﹣1|+|12﹣ 4|=3，故答案为： 3．评论：此题观察函数值的求法，基本知识的观察．2+=1 的右焦点重合，则该抛物4．（ 4 分）（ 2014?上海）若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 线的准线方程为x=﹣ 2 ．考点 ：椭圆的简单性质．专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：由题设中的条件 y 2=2px （ p ＞ 0）的焦点与椭圆+ =1 的右焦点重合，故能够先求出椭圆的右焦点坐标，依据两曲线的关系求出 p ，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆+ =1，故它的右焦点坐标是（ 2， 0），又 y 2=2px （p ＞ 0）的焦点与椭圆+ =1 的右焦点重合，故得 p=4 ，∴抛物线的准线方程为x= ﹣ =﹣2．故答案为： x= ﹣ 2评论：此题观察圆锥曲线的共同特点， 解答此类题，重点是娴熟掌握圆锥曲线的性质及几何特点，娴熟运用这些性质与几何特点解答问题．5．（ 4 分）（ 2014?上海）某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名， 1200 名， 800 名．为认识该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取 20 名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为70．考点 ：分层抽样方法． 专题 ：概率与统计．剖析：依据分层抽样的定义，成立比率关系，即可获得结论． 解答：解：∵高一、高二、高三分别有学生1600 名， 1200 名， 800 名，∴若高三抽取 20 名学生，设共需抽取的学生数为 x ，则，解得x=90 ，则高一、高二共需抽取的学生数为 90﹣ 20=70 ，故答案为： 70．评论：此题主要观察分层抽样的应用，比较基础．6．（ 4 分）（ 2014?上海）若实数 22的最小值为 2．x ， y 知足 xy=1 ，则 x +2y 考点 ：基本不等式．专题 ：不等式的解法及应用．剖析：由已知可得 y= ，代入要求的式子，由基本不等式可得． 解答：解：∵ xy=1 ，∴ y=∴ x 2+2y 2 =x 2+ ≥2=2 ，2当且仅当 x =，即 x= ± 时取等号，故答案为： 2评论：此题观察基本不等式，属基础题．7．（ 4 分）（ 2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与轴所成角的大小为arcsin （结果用反三角函数值表示）考点 ：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ． 专题 ：空间地点关系与距离．剖析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，从而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，∴= =3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍，故圆锥的轴截面以下列图所示：则 sin θ= = ，∴ θ=arcsin ，故答案为： arcsin评论：此题观察的知识点是旋转体，此中依据已知获得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，是解答的重点．8．（ 4 分）（ 2014?上海）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图以下图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于24 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间地点关系与距离．剖析：由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知：大长方体的长，宽，高分别为：3， 4， 5，故大长方体的体积为： 60，切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为 3 的柱体，其底面面积为 4×5﹣ 2×2×2×2=12，故切去两个小长方体后的几何体的体积为：12×3=36，故切割掉的两个小长方体的体积之和为：60﹣ 36=24，故答案为： 24评论：此题观察的知识点是由三视图求体积，此中依据已知中的三视图剖析出几何体的形状是解答的重点．9．（ 4 分）（ 2014?上海）设f（ x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（﹣∞，2]．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．剖析：分别由 f （ 0） =a， x≥2，a≤x+综合得出a 的取值范围．解答：解：当 x=0 时， f（ 0）=a，由题意得： a≤x+，又∵ x+ ≥2=2，∴a≤2，故答案：（∞， 2]．点：本观察了分段函数的用，基本不等式的性，是一道基．10．（ 4 分）（ 2014?上海）无等比数列{a n} 的公比q，若 a1=（a3+a4+⋯a n），q=．考点：极限及其运算．：等差数列与等比数列．剖析：由已知条件推出a1=，由此能求出q 的．解答：解：∵无等比数列{a n} 的公比q，a1=（a3+a4+⋯a n）=（a1a1q）=，∴q 2+q 1=0，解得 q=或q=（舍）．故答案：．点：本考等比数列的公比的求法，是中档，解要真，注意极限知的合理运用．11．（ 4 分）（ 2014?上海）若 f（ x）=，足f（x）＜0的x的取范是（0，1）．考点：指、数不等式的解法；其余不等式的解法．：不等式的解法及用．剖析：直接利用已知条件化不等式求解即可．解答：解： f（ x）=，若足f（ x）＜ 0，即＜，∴，∵ y=是增函数，∴的解集为：（0， 1）．故答案为：（ 0， 1）．评论：此题观察指数不等式的解法，函数的单一性的应用，观察计算能力．12．（ 4 分）（ 2014?上海）方程 sinx+cosx=1 在闭区间 [0，2π]上的全部解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．剖析：由三角函数公式可得 sin（ x+）= ，可知 x+=2k π+ ，或 x+ =2kπ+，k∈Z，联合 x∈[0，2π]，可得 x 值，乞降即可．解答：解：∵ sinx+cosx=1，∴sinx+cosx= ，即 sin（ x+ ） = ，可知 x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵ x∈[0，2π]，∴ x=，或x=，∴+=故答案为：．评论：此题观察两角和与差的三角函数公式，属基础题．13．（ 4 分）（ 2014?上海）为加强安全意识，某商场拟在将来的连续10 天中随机选择 3 天进行紧迫分散操练，则选择的 3 天恰巧为连续 3 天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．剖析：要求在将来的连续10 天中随机选择3天进行紧迫分散操练，选择的 3 天恰巧为连续 3天的概率，须先求在10 天中随机选择 3 天的状况，再求选择的 3 天恰巧为连续 3 天的状况，即可获得答案．解答：解：在将来的连续10 天中随机选择3天共有种状况，此中选择的 3 天恰巧为连续 3 天的状况有8 种，分别是（ 1， 2， 3），（ 2，3，4），（ 3，4， 5），（4， 5， 6），（ 5， 6，7），（ 6，7， 8），（7， 8， 9），（ 8， 9，10），∴选择的 3 天恰巧为连续 3 天的概率是，故答案为：．评论：此题观察古典概型以及概率计算公式，属基础题．14．（ 4 分）（ 2014?上海）已知曲线C： x= ﹣，直线l： x=6，若对于点 A （ m， 0），存在 C 上的点P 和l 上的Q 使得+ =，则m 的取值范围为[2， 3]．考点：直线与圆的地点关系．专题：直线与圆．剖析：+ = ，说明 A 是 PQ 的中点，联合 x 的范围，经过曲线方程判断曲线特点，经过求出 m 的范围即可．解答：，是以原点为圆心， 2 为半径的圆，而且 x P∈[﹣ 2， 0]，解：曲线 C： x=﹣对于点 A （ m， 0），存在 C 上的点P 和l 上的Q 使得+ =，说明 A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x=6 ，∴ m=∈[2，3]．故答案为： [2， 3]．评论：此题观察直线与圆的地点关系，函数思想的应用，观察计算能力以及转变思想．二、选择题（共 4 题，满分零分15．（ 5 分）（ 2014?上海）设A ．充分非必需条件C．充要条件20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得a，b∈R，则“a+b＞ 4”是“a＞ 2 且 b＞ 2”的（B．必需非充足条件D．既非充足又非必需条件5 分，不然一律得）考点：必需条件、充足条件与充要条件的判断．专题：简略逻辑．剖析：依据不等式的性质，利用充足条件和必需条件的定义进行判断．解答：解：当 a=5， b=0 时，知足a+b＞ 4，但 a＞ 2 且 b＞2 不可立，即充足性不可立，若 a＞ 2 且 b＞ 2，则必有a+b＞4，即必需性成立，故“a+b＞4”是“a＞ 2 且 b＞ 2”的必需不充足条件，应选： B．评论：此题主要观察充足条件和必需条件的判断，依据不等式的性质是解决此题的重点，较基础．比16．（ 5 分）（ 2014?上海）已知互异的复数a， b 足 ab≠0，会合 {a ， b}={a2，b2} ， a+b=（）A ． 2B． 1C． 0D． 1考点：集合的相等．：集合．剖析：依据会合相等的条件，获得元素关系，即可获得．解答：解：依据会合相等的条件可知，若22，{a ， b}={a ， b }① 或② ，由① 得，∵ ab≠0，∴ a≠0 且 b≠0，即 a=1， b=1 ，此会合 {1 ， 1} 不足条件．由②得，若 b=a 2，a=b2，两式相减得a2b2=b a，即（ a b）（ a+b）=（ a b），∵互异的复数a， b，∴a b≠0，即 a+b= 1，故： D．点：本主要考会合相等的用，依据会合相等获得元素同样是解决本的关，注意要行分．17．（ 5 分）（ 2014?上海）如，四个 1 的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条， P i（ i=1 ，2，⋯，7）是小正方形的其余点，?（i=1，2，⋯，7）的不一样的个数（）A ．7B． 5C．3D．1考点：平面向量数目的运算．：算；平面向量及用．剖析：成立适合的平面直角坐系，利用坐分求出数目，由果可得答案．解答：解：如成立平面直角坐系，A （ 0， 0），B （ 0， 2）， P1（0， 1），P2（ 1， 0）， P3（ 1， 1）， P4（1， 2），P5（ 2，0）， P6（2，1），P7（ 2， 2），∴，=（ 0， 1），=（ 1， 0），=（1， 1），=（ 1， 2），=（ 2， 0），=（ 2， 1），=（2， 2），∴=2 ，=0，=2，=4，=0，=2，=4，∴? （ i=1 ， 2，⋯， 7）的不一样的个数 3，故 C．点：本考平面向量的数目运算，属基．18．（ 5 分）（ 2014?上海）已知P1（ a1， b1）与 P2（a2， b2）是直y=kx+1 （ k 常数）上两个不一样的点，对于x 和 y 的方程的解的状况是（）A．无 k， P1， P2怎样，是无解B．无 k， P1， P2怎样，有独一解C．存在 k， P1， P2，使之恰有两解D ．存在 k， P1， P2，使之有无多解考点：一次函数的性与象．：函数的性及用；直与．剖析：判断直的斜率存在，通点在直上，推出a1， b1， P2， a2， b2的关系，而后求解方程的解即可．解答：解： P1（a1， b1）与 P2（ a2， b2）是直y=kx+1 （ k 常数）上两个不一样的点，直y=kx+1 的斜率存在，∴ k=，即a1≠a2，而且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴ a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2 a1=a2a1，①× b2②×b1得：（a1b2a2b1） x=b 2b1，即（ a1a2）x=b 2b1．∴方程有独一解．应选： B．评论：此题观察一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）19．（ 12 分）（ 2014?上海）底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC ，其表面睁开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间地点关系与距离．剖析：利用侧面睁开图三点共线，判断△ P1P2P3是等边三角形，而后求出边长，利用正四周体的体积求出几何体的体积．解答：解：依据题意可得：P1， B， P2共线，∵∠ ABP 1=∠ BAP 1=∠ CBP2，∠ ABC=60 °，∴∠ ABP 1=∠ BAP 1=∠CBP2=60 °，∴∠ P1=60°，同理∠ P2=∠ P3=60°，∴△ P1P2P3是等边三角形， P﹣ ABC 是正四周体，∴△P1 2 3的边长为4，P PV P﹣ABC ==评论：此题观察空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面睁开图和体积的求法．20．（ 14 分）（ 2014?上海）设常数a≥0，函数 f（ x） =．（1）若 a=4，求函数 y=f （ x）的反函数 y=f ﹣ 1（ x）；（2）依据 a 的不一样取值，议论函数y=f （ x）的奇偶性，并说明原因．考点：反函数；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．剖析：（ 1）依据反函数的定义，即可求出，（ 2）利用分类议论的思想，若为偶函数求出 a 的值，若为奇函数，求出 a 的值，问题得以解决．解答：解：（ 1）∵ a=4，∴∴，∴，∴调动 x， y 的地点可得， x∈（﹣∞，﹣ 1）∪（ 1， +∞）．（ 2）若 f （ x）为偶函数，则 f （ x） =f （﹣ x）对随意 x 均成立，∴=，整理可得a（2x﹣ x） =0．﹣ 2x﹣ x∵2 ﹣2 不恒为 0，∴ a=0，此时 f（ x） =1， x∈R，知足条件；若 f（ x）为奇函数，则 f （ x） =﹣ f （﹣ x）对随意x 均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴ a=1，此时 f（ x）=，知足条件；综上所述， a=0 时， f （x）是偶函数，a=1 时， f（ x）是奇函数．评论：此题主要观察了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类议论的思想，属于中档题．21．（ 14 分）（ 2014?上海）如图，某企业要在 A 、B 两地连线上的定点 C 处建筑广告牌 CD ，此中 D 为顶端， AC 长 35 米， CB 长 80 米，设点 A 、B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为α和β．（1）设计中 CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问 CD 的长至多为多少（结果精准到 0.01 米）？（2）施工达成后， CD 与铅垂方向有误差，此刻实测得α=38.12°，β=18.45 °，求 CD 的长（结果精准到 0.01 米）．考点：解三角形的实质应用．专题：解三角形．剖析：（ 1）设 CD 的长为 x，利用三角函数的关系式成立不等式关系即可获得结论．（ 2）利用正弦定理，成立方程关系，即可获得结论．解答：解：（ 1）设 CD 的长为 x 米，则 tanα=， tanβ=，∵ 0，∴tanα≥tan2β＞0，∴ tan，即=，解得 0≈28.28，即 CD 的长至多为 28.28 米．（2）设 DB=a ， DA=b ， CD=m ，则∠ADB=180 °﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即 a=，∴ m=≈26.93，答： CD 的长为 26.93 米．评论：此题主要观察解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决此题的重点．22．（ 16 分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线 l ：ax+by+c=0 和点 P1（ x1，y1），P2（ x2，y2），记η=（ax1+by 1+c）（ ax2+by2 +c），若η＜ 0，则称点 P1，P2被直线 l 分开，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1、P2被直线 l 分开，则称直线 l 为曲线 C的一条分开线．（1）求证：点 A （ 1， 2）， B （﹣ 1， 0）被直线x+y ﹣ 1=0 分开；（2）若直线22k 的取值范围；y=kx 是曲线 x ﹣4y=1 的分开线，务实数（3）动点 M 到点 Q（ 0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点 M 的轨迹为 E，求 E 的方程，并证明y 轴为曲线 E 的分开线．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．剖析：（ 1）把 A 、B 两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再依据η＜0，得出结论．（ 2）联立222≤0，可得（ 1﹣4k ） x =1，依据此方程无解，可得1﹣4k从而求得 k 的范围．222（ 3）设点M （ x， y），与条件求得曲线① ．因为 yE 的方程为 [x +（ y﹣ 2） ]x =1轴为 x=0，明显与方程①联立无解．把 P1、P2的坐标代入 x=0 ，由η=1×（﹣ 1）=﹣ 1＜ 0，可得 x=0 是一条分开线．解答：解：（ 1）把点（ 1， 2）、（﹣ 1， 0）分别代入x+y ﹣ 1 可得η=（ 1+2 ﹣ 1）（﹣ 1﹣ 1）=﹣4＜ 0，∴点（ 1，2）、（﹣ 1， 0）被直线x+y ﹣ 1=0 分开．（ 2）联立22可得（ 1﹣4k ） x =1，依据题意，此方程无解，故有1﹣24k ≤0，∴ |k|≥ ．当 |k|≥ ， 于直y=kx ，曲 x 24y 2=1 上的点（ 1， 0）和（ 1， 0）2足 η=k ＜ 0，即点（ 1， 0）和（ 1， 0）被 y=kx 分开．（ 3） 点 M （ x ， y ），?|x|=1，故曲 E 的方程 [x2+（ y 2）2 2]x =1 ① ．随意的 y 0，（ 0， y 0）不是上述方程的解，即 y 与曲 E 没有公共点．又曲 E 上的点（ 1，2）、（ 1， 2） 于 y（ x=0 ） 足 η=1×（ 1） = 1＜ 0，即点（ 1，2）和（ 1， 2）被 y 分开，所以y 曲 E 的分开 ．点 ：本 主要考 新定 ，直 的一般式方程，求点的 迹方程，属于中档 ．23．（ 18 分）（ 2014?上海）已知数列{a n } 足a n ≤a n+1≤3a n ， n ∈N *， a 1=1．（1）若 a 2=2， a 3=x ， a 4=9，求 x 的取 范 ；（2）若 {a n } 是等比数列，且a m = ，求正整数 m 的最小 ，以及 m 取最小 相{a n }的公比；（3）若 a 1， a 2 ，⋯a 100 成等差数列，求数列 a 1， a 2，⋯a 100 的公差的取 范 ．考点 ：数 列的乞降；数列 推式．：等差数列与等比数列．剖析：（ 1）由 意可得：，，代入解出即可；（ 2） 公比 q ，由已知可得，，因为，可得．而，可得 ，再利用 数的运算法 和性 即可得出．（ 3） 公差 d ，由已知可得3[1+（ n 2）d]，其中 2≤n ≤100，即 ，解出即可．解答：解；（ 1）由 意可得： ，∴；又，∴ 3≤x ≤27．上可得： 3≤x ≤6．（ 2） 公比 q ，由已知可得， ，又，∴．所以，∴，∴ m=1﹣ log q1000==1 ﹣=≈7.28．∴ m 的最小值是7，8，所以 q =∴=．（ 3）设公差为d，由已知可得≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]即，令 n=1 ，得．当 2≤n≤99 时，不等式即，．∴．综上可得：公差 d 的取值范围是．评论：此题综合观察了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法例等基础知识与基本技术方法，观察了推理能力和计算能力，属于难题．。

2014年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题目，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•陕西）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A ．[0，1]B．[0，1）C．（0，1]D．（0，1）2．（5分）（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π3．（5分）（2014•陕西）定积分（2x+e x）dx的值为（）A ．e+2B．e+1C．e D．e﹣14．（5分）（2014•陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）A ．a n=2n B．a n=2（n﹣1）C．a n=2n D．a n=2n﹣15．（5分）（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A ．B．4πC．2πD．6．（5分）（2014•陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A ．B．C．D．7．（5分）（2014•陕西）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A ．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=（）x D．f（x）=3x8．（5分）（2014•陕西）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A ．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假9．（5分）（2014•陕西）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A ．1+a，4B．1+a，4+a C．1，4D．1，4+a10．（5分）（2014•陕西）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A ．y=﹣x B．y=x3﹣x C．y=x3﹣x D．y=﹣x3+x二、填空题目（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2014•陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=_________．12．（5分）（2014•陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为_________．13．（5分）（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=_________．14．（5分）（2014•陕西）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_________．（不等式选做题）15．（5分）（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为_________．（几何证明选做题）16．（2014•陕西）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=_________．（坐标系与参数方程选做题）17．（2014•陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin （θ﹣）=1的距离是_________．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18．（12分）（2014•陕西）△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin （A+C ）；（Ⅱ）若a ，b ，c 成等比数列，求cosB 的最小值．19．（12分）（2014•陕西）如图1，四面体ABCD 及其三视图（如图2所示），过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H ．（Ⅰ）证明：四边形EFGH 是矩形；（Ⅱ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值．20．（12分）（2014•陕西）在直角坐标系xOy 中，已知点A （1，1），B （2，3），C （3，2），点P （x ，y ）在△ABC 三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n （m ，n ∈R ），用x ，y 表示m ﹣n ，并求m ﹣n 的最大值．21．（12分）（2014•陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg ）300500概率0.50.5作物市场价格（元/kg ）610概率0.40.6（Ⅰ）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．22．（13分）（2014•陕西）如图，曲线C 由上半椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0，y≥0）和部分抛物线C 2：y=﹣x 2+1（y≤0）连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q （均异于点A ，B ），若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．23．（14分）（2014•陕西）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n+1（x）=g（g n（x）），n∈N+，求g n（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．2014年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题目，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．解答：解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）．故选B．点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．（5分）考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据微积分基本定理计算即可解答：解：（2x+e x）dx=（x2+e x）=（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．点评：本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．4．（5分）考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．解答：解：由程序框图知：a i+1=2a i，a1=2，∴数列为公比为2的等边数列，∴a n=2n．故选：C．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．解答：解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．点评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．6．（5分）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：应用题；概率与统计；排列组合．分析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．解答：解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：C．点评：本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．7．（5分）考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．解答：解：A．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C 错．D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选D．点评：本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．8．（5分）考点：四种命题．专题：阅读型；简易逻辑．分析：根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．解答：解：根据共轭复数的定义，命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴逆命题是假命题；根据否命题与逆命题是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假，∴命题的否命题是假命题；逆否命题是真命题．故选：B．点评：本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．9．（5分）考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．解答：解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．点评：本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．10．（5分）考点：导数的几何意义；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式．解解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，下依次特征寻找正确选项：答：A选项，导数为，令其为0解得x=±5，故A正确；B选项，导数为，令其为0解得x=±5不成立，故B错；C选项，导数为，令其为0解得x=±5不成立，故C错；D选项，导数为，令其为0解得x=±5不成立，故D错．故A．点评：本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用．二、填空题目（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．点评：本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．12．（5分）考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．13．（5分）考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．解答：解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），∴sin2θ﹣cos2θ=0，∴2sinθcosθ=cos2θ，∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．∴2tanθ=1，∴tanθ=．故答案为：．点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．14．（5分）考点：归纳推理．专题：归纳法；推理和证明．分析：通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．解答：解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2．根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2故答案为：F+V﹣E=2点评：本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．（不等式选做题）15．（5分）考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，属于中档题．（几何证明选做题）16．（2014•陕西）考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论．解答：解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3．故答案为：3．点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．（坐标系与参数方程选做题）17．（2014•陕西）考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果．解答：解：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得点（2，）即（，1）；直线ρsin（θ﹣）=1即x﹣y=1，即x﹣y﹣2=0，故点（，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离为=1，故答案为：1．点评：本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18．（12分）考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．19．（12分）考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，且侧棱AD⊥底面BDC．如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，∴AD∥EF．∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，∴AD∥GH．由平行公理可得EF∥GH．∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，∴BC∥FG．∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，∴BC∥EH．由平行公理可得FG∥EH．∴四边形EFGH为平行四边形．又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，则EF⊥EH．∴四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）解：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知DB=DC=2，DA=1．又E为AB中点，∴F，G分别为DB，DC中点．∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）．则．设平面EFGH的一个法向量为．由，得，取y=1，得x=1．∴．则sinθ=|cos＜＞|===．点评：本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答磁体的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题．20．（12分）考点：平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（x﹣1，y﹣1）+（x﹣2，y﹣3）+（x﹣3，y﹣2）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．点评：本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，21．（12分）考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X40002000800P0.30.50.2（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．点评：本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力．22．（13分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用•=0，可求得k的值，从而可得答案．解答：解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．∴a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），∵直线l过点B，∴x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得x p=，从而y p=，∴点P的坐标为（，）．同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），∵AP⊥AQ，∴•=0，即[k﹣4（k+2）]=0，∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．经检验，k=﹣符合题意，故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．点评：本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．23．（14分）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．解答：解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．点评：本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第14 题）、解答题（第15 题第20 题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，其中s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱=cl ，其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．．（1）【2014 年江苏，1，5 分】已知集合 A { 2 ，1，3，4} ，B { 1，2，3} ，则 A B _______ ．【答案】{ 1，3}【解析】由题意得 A B { 1,3} ．（2）【2014 年江苏，2，5 分】已知复数【答案】21 z(5 2i) (i 为虚数单位)，则z的实部为_______． 22【解析】由题意 2 2z (5 2i) 25 2 5 2i (2i) 21 20i ，其实部为21．（3）【2014 年江苏，3，5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______．【答案】 5n 的最小整数解．2n 20 整数解为n 5，因此输出的n 5 ．【解析】本题实质上就是求不等式 2 20（4）【2014 年江苏，4，5 分】从1，2 ，3，6这4个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是_______．【答案】 13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取 2 个数共有 2C4 6 种取法，其中乘积为 6 的有1,6 和2,3 两种取法，因此所求概率为 2 1P ．6 3（5）【2014 年江苏，5，5 分】已知函数y cos x与y sin(2 x )(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的3 交点，则的值是_______．【答案】6【解析】由题意cos sin(2 )3 3 ，即2 1sin( )3 2，2kk ( 1) ，(k Z ) ，因为0 ，所3 6以．6（6）【2014 年江苏，6，5 分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm．【答案】241【解析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100 cm 的株数为(0.015 0.025) 10 60 24 ．（7）【2014 年江苏，7，5 分】在各项均为正数的等比数列{ }a 中，若na8 a6 2a4 ，则a2 1 ，a的值是________．6【答案】 4【解析】设公比为q ，因为a2 1，则由a8 a6 2a4 得 6 4 2 2 4 2 2 0q q a ，q q ，解得2 2q ，所以4a6 a2q 4 ．（8）【2014 年江苏，8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S，S ，体积分别为1 2 V ，V ，若它们的侧面积相1 2等，且S1S294，则V1V2的值是_______．【答案】 32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 、h ，r2、h2 ，则2 r1h1 2 r2 h2 ，1 1 h r1 2h r2 1，又2S r1 12S r2 294，所以r1r232，则2 2 2V r h r h r r r1 1 1 1 1 12 12 2 2V r h r h r r r2 2 2 2 2 2 1 232．（9）【2014 年江苏，9，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，直线x 2 y 3 0 被圆长为________．2 2(x2) (y1) 4 截得的弦【答案】 2 555【解析】圆 2 2(x 2) (y1) 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为r 2 ，点C 到直线x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3d ，所求弦长为2 251 22 2 9 2 55l 2 r d 2 4 ．5 5（10）【2014 年江苏，10，5 分】已知函数f (x) x mx 1，若对任意x [m，m 1]，都有 f (x) 0 成立，则实2数m 的取值范围是________．【答案】 2 0，2【解析】据题意2 2f (m) m m 1 02f (m 1) (m 1) m(m 1) 1 0，解得22m 0 ．（11）【2014 年江苏，11，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 2 by axx( a，b 为常数)过点P(2 ，5) ，且该曲线在点P 处的切线与直线7x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是________．【答案】 3【解析】曲线y ax 2 bxb b过点P(2, 5) ，则4a 5 ①，又y'2ax 22 x，所以b 74a ②，由①②解得4 2ab11，所以 a b 2 ．（12）【2014 年江苏，12，5 分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，AB 8 ，AD 5 ，CP 3PD ，AP BP 2 ，则AB AD 的值是________．【答案】22【解析】由题意，1AP AD DP AD AB ，43 3BP BC CP BC CD AD AB ，4 4所以1 3AP BP (AD AB) (AD AB)4 42 13 2AD AD AB AB ，2 16即 1 32 25 64AD AB ，解得AD AB 22 ．2 16（13）【2014 年江苏，13，5 分】已知 f (x) 是定义在R上且周期为 3 的函数，当x [0 ，3) 时， 2 1f (x) x 2x ．2 若函数y f ( x) a 在区间[ 3，4] 上有10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是________．【答案】0 1，22【解析】作出函数21f(x)x2x,x[0,3)的图象，可见21f(0)，当x1时，21f(x)极大，27f，方程f(x)a0在x[3,4]上有10个零点，即函数y f(x)和图象与直线(3)2y a在[3,4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y a与函数21f(x)x2x,x[0,3)的应该是4个交点，则有21a(0,)．2（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC的内角满足sin A2sin B2sin C，则cos C的最小值是_______．【答案】624【解析】由已知sin A2sin B2sin C及正弦定理可得a2b2c，cosC222a b c2ab2ab223a2b22ab26ab22ab62 8ab8ab4，当且仅当223a2b，即ab23时等号成立，所以cos C的最小值为624．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知2，，sin55．（1）求sin的值；4（2）求cos26的值．解：（1）∵sin5，，，∴25225cos1sin5，210s i n s i n c o s c o s s i n(c o s s i n)．444210（2）∵43sin22sin cos cos2cos sin，，sin22sin cos cos2cos sin2255∴3314334 cos2cos cos2sin sin2666252510．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA AC，PA6，BC8，DF5．（1）求证：直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．解：（1）∵D，E为PC，AC中点∴DE∥PA∵PA平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF．（2）∵D，E为PC，AC中点，∴DE1PA3∵E，F为AC，AB中点，∴1 4EF BC，22∴DE2EF2DF2，∴DEF90°，∴DE⊥EF，∵DE//PA，PA AC，∴DE AC，∵AC EF E，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分别是椭圆1222yx a b221(0)a b的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结B F并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，2连结F C．1（1）若点C的坐标为41，，且33B F22，求椭圆的方程；（2）若F C AB，求椭圆离心率e的值．1316 1解：（1）∵ 4 1C ，，∴3 3 9 9 9a b2 2，∵ 2 2 2 2BF b c a ，∴22 ( 2) 2 2a ，∴b，2 1∴椭圆方程为 2 x y ．2 12（2）设焦点F1( c，0) ，F2 (c，0) ，C(x，y) ，∵A，C 关于x 轴对称，∴A(x ，y) ，∵B，F ，A三点共线，∴2b ybc x，即bx cy bc 0①∵y b FC AB ，∴ 1 1x c c ，即 2 0xc by c ②①②联立方程组，解得xyca2b c2 22bc2b c2 2∴Ca c 2bc2 2，2 2 2 2b c b cC 在椭圆上，∴2 2a c 2bc2 2b c b c2 2 2 2a b2 21，化简得5c a ，∴c 52 2a 5, 故离心率为55．（18）【2014 年江苏，18，16 分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段O A 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点 A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan 4BCO ．3（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系x Oy．由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC 的斜率 4k －tan BCO ．BC3又因为AB⊥BC，所以直线AB 的斜率 3k ．设点 B 的坐标为(a,b)，AB4则k BC= b 0 4a 170 3 ，k AB= 60 3ba 0 4，解得a=80，b=120．所以BC= 2 2(170 80) (0 120) 150 ．因此新桥BC 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d≤60．)由条件知，直线BC 的方程为 4 ( 170)y x ，即4x 3y 680 0 ，3由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d)到直线BC 的距离是r，即因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，| 3d 680 | 680 3d r ．5 5所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d ) 80≥，解得10 ≤ d ≤35 ．故当d=10 时,680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5解法二：（1）如图，延长OA, CB 交于点F．因为tan∠BCO = 43 ．所以sin∠FCO = 45，cos∠FCO = 35．因为OA =60,OC=170，所以OF= O C tan∠FCO =6803 ．CF=OC850cos FCO 3，4从而500AF OF OA ．因为O A⊥OC，所以cos∠AFB =sin∠FCO =3 45，又因为A B⊥BC，所以BF =AFcos∠AFB == 4003，从而BC= C F－BF=150．因此新桥B C 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D，连接M D ，则MD ⊥BC，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m，OM =d m(0 ≤d≤60．) 因为O A⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO = MD MD r 3MF OF OM 680 5d3所以680 3dr ．5因为O和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d )≥80，解得10 ≤ d ≤35 ，故当d=10 时，680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5（19）【2014 年江苏，19，16 分】已知函数( ) e ex xf x 其中e 是自然对数的底数．（1）证明： f (x) 是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf (x) ≤ e m 1在(0 ，) 上恒成立，求实数m 的取值范围；x（3）已知正数 a 满足：存在你的结论．x0 [1，) ，使得 3 ea 1 与f (x ) a( x 3x ) 成立．试比较0 0 0a e 1 的大小，并证明解：（1）x R， f ( x) e e f (x) ，∴ f (x) 是R上的偶函数．x x（2）由题意，(e e ) e 1x x x m ≤，∵x (0 ，) ，∴e x e x 1 0 ，x x xm ≤m ，即(e e 1) e 1即 e 1xm ≤对x (0 ，) 恒成立．令 e ( 1)t t ，则xe e 1x x m1 t≤对任意t (1，) 恒成立．t t 12∵ 1 1 1 1t t ≥，当且仅当t 2 时等号成立，∴ 1m ≤．2 2 3t t 1 (t 1) (t 1) 1 1 3t 1 1t 1（3）f '( x) e e ，当x 1 时 f '( x) 0 ∴ f (x) 在(1，) 上单调增，令x xh(x) a( x 3x) ，h '( x) 3ax( x 1) ，33∵a 0 ，x 1，∴h '(x) 0 ，即h( x) 在x (1，) 上单调减，∵存在x0 [1，) ，使得f x a x x ，∴ f (1) e 1 2a ，即 1 e 1 ( ) ( 3 ) a ．30 0 0e 2 e∵ a a a a ，设m(a) (e 1)ln a a 1 ，则m '(a ) e 1 1 e 1 a e-1ln ln ln e (e 1)ln 1e 1 a 1e a aa 1，1 1a e ．当2 e 1 1e a e 1时，m '(a) 0 ，m(a) 单调增；当 a e 1 时，m '(a) 0 ，m(a ) 单调2 e减，因此m( a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时，m(a) 0 ，a e 1 e a 1 ；当1 e 1 ea 时，m(a) 0 ，2 e a e 1 e 1 ；当a e 时，m(a) 0 ，aa e 1 e a 1 ．（20）【2014 年江苏，20，16 分】设数列{ }a 的前n 项和为S．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得n n S a ，n m则称{}a 是“H 数列”．nn（1）若数列{ a } 的前n 项和S 2 (n N) ，证明：{ a } 是“H 数列”；n n n（2）设{ a } 是等差数列，其首项n a1 1，公差 d 0 ．若{a } 是“H 数列”，求d 的值；n（3）证明：对任意的等差数列{ }a ，总存在两个“H数列”{b } 和{c } ，使得 a b c (n N) 成立．n n n n n n解：（1）当n ≥ 2 时，n n 1 n 1a S S 1 2 2 2 ，当n 1时，n n n a1 S1 2 ，∴n 1时，S a ，当n≥2时，1 1 S a ，∴{a } 是“H 数列”．n n 1 n（2）n(n 1) n(n 1)S na d n d ，对n N，m N使n 12 2S a ，即n mn(n 1)n d 1 (m 1)d ，25取n 2 得1 d (m1)d ，m 2 1d，∵d 0 ，∴m 2 ，又m N ，∴m 1，∴d 1．（3）设{}a 的公差为d，令n b a1 (n 1)a1 (2 n) a1 ，对n N ，nb b a ，n 1 n 1c (n 1)(a d) ，n 1对n N ，c c a d ，则n 1 n 1 b c a1 (n 1)d a ，且{ b } ，{c } 为等差数列．n n n n n{ b } 的前n 项和nn(n 1)T na ( a ) ，令n 1 12T (2 m)a ，则n 1n(n 3)m 2 ．2当n 1时m 1；当n 2 时m 1；当n≥3时，由于n 与n 3 奇偶性不同，即n(n 3) 非负偶数，m N ．因此对n ，都可找到m N ，使T b 成立，即{b } 为“H 数列”．n m n{c } 的前ｎ项和nn(n 1)R (a d ) ，令n 12c (m 1)(ad ) R ，则n 1 mmn(n 1)21∵对n N ，n(n 1) 是非负偶数，∴m N ，即对n N ，都可找到m N ，使得R c 成立，n m 即{ }c 为“H 数列”，因此命题得证．n数学Ⅱ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前 2 题计分．第22、23 题为必答题．每小题10 分，共40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】本题包括A、B、C、D 四小题，请选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2014 年江苏，21-A，10 分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D．解：因为B，C 是圆O 上的两点，所以OB=OC．故∠OCB =∠B．又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D．因此∠OCB =∠D．（21-B ）【2014 年江苏，21-B，10 分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1 2 1 1A ，B ，向量1 x2 12y，x，y为实数，若Aα= Bα，求x，y的值．解：2 y 2A ，2 xy2 yBα，由Aα= Bα得4 y2y 2 2 y，解得 1 4x ，y ．2 xy 4 y， 2（21-C）【2014 年江苏，21-C，10 分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2x 1 t ，2(t 为参数)，直线l 与抛物线2y 2 t2y2 4x交于A，B 两点，求线段A B 的长．解：直线l：x y 3 代入抛物线方程 2 4y x 并整理得x2 10x 9 0 ，∴交点 A (1，2) ，B(9 ，6) ，故| AB| 8 2 ．（21-D ）【2014 年江苏，21-D，10 分】（选修4-5：不等式选讲）已知x 0 ，y 0 ，证明： 2 21 x y 1 x y 9xy ．解：因为x>0, y>0, 所以1+ x+y 2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥2 2 2 2 23 3 33 x y 0 ，所以(1+ x+y )( 1+x +y) ≥3 xy 3 x y =9 xy．2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥【必做】第22、23 题，每小题10 分，计20 分．请把答案写在．答．题．卡．的．指．定．区．域．内．．．（22）【2014 年江苏，22，10 分】盒中共有9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．6（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x，x ，x ，随机变量X 表示1 2 3 x ，x ，x 1 2 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X ) ．解：（1）一次取 2 个球共有 2C 36 种可能情况， 2 个球颜色相同共有92 2 2C C C 10 种可能情况，4 3 2∴取出的 2 个球颜色相同的概率10 5P ．36 18（2）X 的所有可能取值为4，3，2 ，则C 14P X ；( 4) 4C 12649C C C C 133 1 3 1P( X 3) 4 5 3 6 ；C 633911P( X 2) 1 P(X 3) P(X 4) ．∴X 的概率分布列为：14X 2 3 4P 1114 13631126故X 的数学期望( ) 2 11 3 13 4 1 20E X ．14 63 126 9（23）【2014 年江苏，23，10 分】已知函数sin xf (x) (x 0)x ，设 f (x) 为nf x 的导数，n N．n1 ( )（1）求2f f 的值；1 22 2 2（2）证明：对任意的n N，等式 2nf f 成立．n 1 n4 4 4 2解：（1）由已知，得sin x cosx sin xf (x) f (x)1 0 2x x x，于是cosx sin x sin x 2cos x 2sin xf (x) f (x)2 1 2 2 3x x x x x ，所以 4 2 16f ( ) , f ( ) ，1 2 2 32 2故2 f ( ) f ( ) 1 ．1 22 2 2（2）由已知，得xf0 (x) sin x, 等式两边分别对x 求导，得 f 0 (x) xf0 (x) cos x ，即f0 ( x) xf1 (x) cos x sin(x ) ，类似可得2 2 f (x) xf (x) sin x sin( x ) ，1 233 f (x) xf (x) cos x sin( x ) ，2 32 4 f (x) xf (x) sin x sin( x 2 ) ．3 4下面用数学归纳法证明等式nnf x xf x x 对所有的nn n1 ( ) ( ) sin( )2N*都成立．（i）当n=1 时，由上可知等式成立．（ii）假设当n=k 时等式成立, 即kkf 1 (x) xf (x) sin( x ) ．k k2因为[kf ( x) xf (x )] kf (x) f (x) xf (x) (k 1) f (x) f ( x),k 1 k k 1 k k k k 1(k1)k k k[sin( x )] cos(x ) (x) sin[ x ] ，所以2 2 2 2 (k 1) f ( x) f (x)k k 1(k 1)sin[ x ] ．2所以当n=k +1 时,等式也成立．综合(i),(ii) 可知等式nnf 1 ( x) xf (x) sin( x ) 对所有的nn n2 N都成立．*令x ，可得4nnf 1 ( ) f ( ) sin( ) ( nn n4 4 4 4 2N)．所以*2nf f ( nn 1 n( ) ( )4 4 4 2N)．*7。

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144B．120C．72D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0B．d＞0C．a1d＜0D．a1d＞09．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] 12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1C．﹣i D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：可先计算出的值，再计算平方的值．解答：解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选A．点评：本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．解答：解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r+1==，令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．点评：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．3考点：微积分基本定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．解答：解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．解答：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=（2πr）2，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．点评：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a12+3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=±3．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．解答：解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（（﹣λ）），则（+λ）•（（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，点评：本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2= 2．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到∴==cos45°=，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=495．考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．解答：解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．点评：本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．解答：解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．解答：解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．解答：解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2（x≥0，y≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．考点：等差数列的性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．解答：解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（2）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe ＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。

2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）（2014•天津）i 是虚数单位，复数=（）+i +解：复数==2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）﹣3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）=logy=log ty=log（5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）﹣=1 ﹣=1﹣=1 ﹣=1先求出焦点坐标，利用双曲线=1=2∵双曲线﹣=1∴∴双曲线的方程为﹣=16．（5分）（2014•天津）如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分∠CBF； ②FB 2=FD•FA ； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（ ）7．（5分）（2014•天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（ ）•=3 ①；再由=﹣ 解：由题意可得若•（+）•（+）++•+•=••（﹣））=•（，﹣，故答案为：．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生． 解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为==6010．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3．×ππ故答案为：11．（5分）（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．==S==，故答案为：﹣．12．（5分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．，再由余弦定理求得cosA=c= a ①，b=cosA==，故答案为：﹣．13．（5分）（2014•天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB 是等边三角形，则a的值为 3 ．是等边三角形，∴B（，可得（14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．1|=a==1++5|1++5≥1=+5﹣三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．求的范围，求出）=cosx•（sinx====）的最小正周期=，]﹣]∈，]∴当﹣时，即）取到最小值是：当=时，即时，）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式16．（13分）（2014•天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．（则名同学是来自互不相同学院的概率为（的数学期望17．（13分）（2014•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．的方向向量，根据=0 BF⊥AC，求出向量∴），=∵=0（Ⅱ）∵=），=的法向量=由，得====所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=），），上，设=故=+•=，即，，），=由，得，则的法向量==的余弦值为：18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．|AB|=|F．可得，再利用e=．可设椭圆方程为，可得．利用圆的性质可得，于是=0在椭圆上，可得．联立可得PT，利用两点间的距离公式可得圆的半径|AB|=，可得∴e=．因此椭圆方程为．），可得=），∵∴．联立，化为=0≠0，∴，，可得∴P=﹣=∴T，r==∴，解得的斜率为19．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．A={x|+≤﹣A={x|）q+…++=20．（14分）（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．a==，=a，则=ln，令，令，=+ln，满足（﹣﹣）＜，，由=＜＜；∴=a=a，∴lnx=ln，设∴，，…①；==﹣=。

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．55．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．79．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．711．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得====﹣1+2i故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC 中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．1【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．7【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx=sinxc osφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）≤1．所以函数的最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= 3．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．=，a8=2，【解答】解：由题意得，a n+1令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB 角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。