高三数学中档题+详细答案(全)精选

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2019高考数学中档题训练含详细讲解答案

目录第一套：高考数学中档题精选（1）第二套：高考数学中档题精选（2）第三套：高考数学中档题精选（3）第四套：高考数学中档题训练第五套：不等式专练第六套：高考最新模拟试题一套高考数学中档题精选（1）1. 已知函数f(x)=cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2csc x 2 +cos 23x2 .(1) 求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)求函数f(x)的单调递增区间.解：(1) y=sin x 2(cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2)+1+cos3x2=12sinx+12(sin2x-sinx)+12(sin3x-sin2x)+12cos3x+12=12sin3x+12cos3x+12 =22sin(3x+π4)+12∴T=2π3 ,值域y ∈[1-22,1+22]. (2)由2k π-π2 ≤3x+π4 ≤2k π+π2 ,k ∈Z.得:2k π3-π4 ≤x ≤2k π3+π12(k ∈Z). 2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n =na n -2n(n-1)(n ∈N)(1)求证数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；(2)是否存在非零常数p 、q 使数列{S npn+q}是等差数列？若存在，试求出p 、q 应满足的关系式，若不存在，请说明理由. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1)，即a n -a n-1=4(n ≥2) ∴{a n }为等差数列.∵a 1=1,公差d=4,∴a n =4n-3. （2）若{S n pn+q }是等差数列，则对一切n ∈N ，都有S npn+q＝An+B, 即S n =(An+B)(pn+q),又S n =12(a 1+a n )n =2n 2-n,∴2n 2-n=Apn 2+(Aq+Bp)n+Bq要使上式恒成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=012Bq Bp Aq Ap ，∵q ≠0,∴B ＝0，∴p q=-2,即：p+2q=0.3. 已知正三棱锥A-BCD 的边长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，且AC ⊥DE.（Ⅰ）求此正三棱锥的体积；（Ⅱ）求二面角E-FD-B的正弦值.解：（Ⅰ）作AO⊥平面BCD于O,由正三棱锥的性质可知O为底面中心，连CO,则CO⊥BD,由三垂线定理知AC⊥BD，又AC⊥ED,∴AC⊥平面ABD,∴AC⊥AD, AB⊥AC,AB⊥AD.在Rt△ACD中，由AC2+AD2=2AC2=a2可得：AC=AD=AB=22a .∴V=VB-ACD =13·12·AC·AD·AB=224a3 .（Ⅱ）过E作EG⊥平面BCD于G，过G作GH⊥FD于H，连EH，由三垂线定理知EH⊥FD,即∠EHG为二面角E-FD-B的平面角.∵EG＝12AO 而AO＝VB-ACD13·S△BCD=66a ,∴EG=612a .又∵ED＝AE2+AD2=(24a)2+(22a)2=104a ∵EF∥AC，∴EF⊥DE.∴在Rt△FED中，EH＝EF·EDDF=1512a ∴在Rt△EGH中，sin∠EHG＝EGEH=105*选做题：定义在区间（－1,1）上的函数f(x)满足：①对任意x、y∈（－1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy);②当x∈（－1,0）时，f(x)>0.（Ⅰ）求证：f(x)为奇函数；（Ⅱ）试解不等式f(x)+f(x-1)>f(12 ).解：（Ⅰ）令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0.又令x∈（－1,1），则-x∈（－1,1），而f(x)+f(-x)=f(x-x1-x2)=f(0)=0∴f(-x)=-f(x),即f(x)在（－1,1）上是奇函数.（Ⅱ）令－1<x1<x2<1,则x1-x2<0,1-x1x2>0,于是f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x21-x1x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在定义域ABCDEF OGH上为减函数.从而f(x)+f(x-1)>f(12)等价与不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-<-<<-)21()112(111112f x x x f x x.213503*********111210222-<<⇔⎩⎨⎧+-<<⇔⎩⎨⎧+-<-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<<⇔x x x x x x x x x x x x 高考数学中档题精选（2）1. 已知z 是复数，且arg(z-i)=π4,|z|= 5 .求复数z. 解法1.设复数z-i 的模为r(r>0),则z-i=r(cosπ4 +isin π4), ∴i r z )122(22++=，042,5)122()22(,5||222=-+=++∴=r r r r z 即解得r= 2 ,z=1+2i. 解法2.设z=x+yi,则5)1()0(15)01(145222222=++⇒⎩⎨⎧>+==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--==+x x x x y y x y x y tg y x π 解得x=1或－2(舍去)，所以z=1+2i. 解法3.设)sin (cos 5θθi z +=则1sin 5cos 51cos 51sin 54-=⇒=-=θθθθπtg解得：,10103)4cos(,0cos ,1010)4sin(=-∴>=-πθθπθ .21)55255(5554sin )4sin(4cos )4cos(]4)4cos[(cos ,5524sin )4cos(4cos )4sin(]4)4sin[(sin i i z +=+=∴=---=+-==-+-=+-=∴ππθππθππθθππθππθππθθ2. 已知f(x)=sin 2x-2(a-1)sinxcosx+5cos 2x+2-a,若对于任意的实数x 恒有|f(x)|≤6成立，求a 的取值范围.解：f(x)=(1-a)sin2x+2cos2x+5-a=5-2a+a 2 sin(2x+ψ)＋5-a.(ψ为一定角，大小与a 有关).∵x ∈R,∴[f(x)]max =5-a+5-2a+a 2 ,[f(x)]min =5-a-5-2a+a 2 .由|f(x)|≤6,得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥+---≤+-+-aa a aa a a a a a a a 1125125625562552222 .52915291111)11(25)1(251112222≤≤∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-≤≤-a a a a a a a a a a a 3.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，顶点A 1在底面的射影O 是△ABC 的中心，异面直线AB 与CC 1所成的角为45°. (1)求证：AA 1⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A 1－BC-A 的平面角的正弦值； (3)求这个斜三棱柱的体积.(1)由已知可得A 1-ABC 为正三棱锥，∠A 1AB=45° ∴∠AA 1B=∠AA 1C=90°即AA 1⊥A 1B,AA 1⊥A 1C∴AA 1⊥平面A 1BC(2)连AO 并延长交BC 于D,则AD ⊥BC ，连A 1D,则∠ADA 1为所求的角。

高三数学中档题突破3(含答案)

高三数学中档题突破（三）1．若log a (a 2+1)＜log a 2a ＜0,则a 的取值范围是 2．设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1A F 的距离为113O F ．则椭圆的离心率为3．函数[]()sin (π0)f x x x x =-∈-，的单调递增区间是4．二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)＜f (1+2x －x 2)，则x 的取值范围是：5．一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠= ，14AA =，12BB =，13C C =，则此几何体的体积为6．已知A B C △的面积为3，且满足60≤⋅≤AC AB ，设AB和A C 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值．7．已知抛物线的顶点在原点，它的准线经过椭圆12222=+by ax 的右焦点，且与x 轴垂直，抛物线与此椭圆交于点（6,23），（1）求抛物线与椭圆的方程；（2）求以椭圆的焦点为焦点、且焦点到其渐近线的距离为21的双曲线方程；（3）过抛物线的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，判断以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系。

8．数列{a n }中，a 1=1,n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2=a n (S n －21) （Ⅰ）求S n 的表达式.（Ⅱ）设b n =12+n S n ,数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n9．已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．中档题突破（三）答案1、21＜a ＜1，2、223、π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，4、－2＜x ＜0，5、236、ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴，即当5π12θ=时，m ax ()3f θ=；当π4θ=时，m in ()2f θ=7、x y 42-=，18922=+yx，相切。

高三数学简答题中档题练习3(带答案)

高三数学中档题练习（三）1．在直角坐标平面内，已知三点A （3，0）、B （0，3）、C （cos θ，sin θ），其中).23,2(ππθ∈（Ⅰ）若|,|||=求角θ的弧度数；（Ⅱ）若θθθtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.2．袋中装有大小相等的3个白球、2个红球和n 和黑球，现从中任取2个球，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，每取得一个黑球得0分，用ξ表示所得分数，已知得0分的概率为61：（Ⅰ）袋中黑球的个数n ；（Ⅱ）ξ的概率分布列及数学期望E ξ.3．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，PD ⊥BC ，PD=1，PC=2. （Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角A —PB —D 的大小.4．设函数2)(23+++=cx bx x x f 在1±=x 处取得极值（Ⅰ）求函数f （x ）的的表达式；（Ⅱ）设10≤<m ，若对任意],1[,21m m t t -∈，不等式m t f t f 4|)()(|21≤-恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案(三)1．（Ⅰ）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=θθθθ ∴由||||,AC BC =2222(cos 3)sin cos (sin 3)θθθθ-+=+-得, 即cos θ=sin θ.又),23,2(ππθ∈ ∴45πθ=（Ⅱ）由1-=⋅，得cos θ（cos θ－3）+sin θ（sin θ－3）=－1,即sin θ+cos θ=.32两边平方，得2sin θcos θ=95-.θθθθθθθcos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222++=++∴95cos sin 2-==θθ 2．（Ⅰ）∵,61)0(252===+n n C C P ξ ∴,0432=--n n 解得n =－1（舍去）或n =4.即袋中有4个黑球.（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，4. ∵,61)0(==ξP ,31)1(291314===C C C P ξ ,3611)2(29121423=⋅+==C C C C P ξ ,61)3(291213=+==C C C P ξ,361)4(2922===C C P ξ ∴ξ的概率分布列为 .914361461336112311610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE3．（Ⅰ）∵PD=CD=1，PC=2，∴PD 2+CD 2=PC 2，即PD ⊥CD. ∴PD ⊥平面ABCD.（Ⅱ）如图，连结AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD. ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC.∴AC ⊥平面PBD.过O 点作OE ⊥PB 于E ，连结AE ，则AE ⊥PB ，故∠AEO 为二面角A —PB —D 的平面角.由Rt △OEB ∽Rt △PDB ，得OE=66=⋅PB OB PD . ∴tan ∠AEO=,3=OEAO即∠AEO=60°4．（Ⅰ）)1)(1(3323)(2-+=++='x x c bx x x f =0（1分）得3,0-==c b ∴)(x f 233+-x x （Ⅱ）因10≤<m ，所以]01-1-，（∈m 故]1,1[]01-],1-(-⊂∈，（m m ，而)(x f 在（-1，1）递减对任意],1[,21m m t t -∈，233)()1(|)()(|2max 21++-=--=-m m m f m f t f t f 若对任意],1[,21m m t t -∈，不等式m t f t f 4|)()(|21≤-恒成立，当且仅当m m m 42332≤++- 解之得]1,32[∈m。

高三数学高考中档题强化训练(5套含答案)苏教版

高三数学中档题训练1班级姓名1、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

（Ⅰ）求角A 的大小：（Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状。

2. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.3.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++<.4、已知函数()ln f x x =，)0(21)(2≠+=a bx ax x g （I ）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（II ）在（I ）的结论下，设]2ln ,0[,)(2∈+=x be e x x xϕ，求函数)(x ϕ的最小值；高三数学中档题训练2班级姓名1.已知函数()116-+=x x f 的定义域为集合A ，函数()()m x x x g ++-=2lg 2的定义域为集合B. ⑴当m=3时，求()B C A R ； ⑵若{}41<<-=x x B A ，求实数m 的值.2、设向量(cos ,sin )m θθ=，(22sin cos )n θθ=+，),23(ππθ--∈，若1m n ∙=，求：（1）)4sin(πθ+的值；（2）)127cos(πθ+的值．3.在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ；（Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．4. 已知ΔOFQ 的面积为2 6 ,且OF FQ m ⋅=.(1)设 6 ＜m ＜4 6 ,求向量OF FQ 与的夹角θ正切值的取值范围； (2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图),OF c = ,m=(6 4-1)c 2,当OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程.BCDEF高三数学中档题训练3班级姓名1. 已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π2π2，），且a ⊥b ．（1）求tan α的值；（2）求cos(π23α+)的值．2、某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。

高三数学简答题中档题练习1(带答案)

高三数学中档题练习（一）
1．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，C＝2A，
3 cos
4
A=，
（1）求cos C , cos B的值；（2）若
27
2
BA BC
⋅=，求边AC的长。

2．某次演唱比赛，需要加试综合素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答。

（1）求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（2）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望Eξ. 3．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1
上，F为BB1中点，且FD⊥AC1。

（1）试求
1
AD
DC
的值；（2）求二面角F－AC1－C的大小；
（3）求点C1到平面AFC的距离.
4．数列{a n}的前n项和为S n，且*
11
15
2,2()
33
n n
a a a n n N
+
==++∈（1）若一等差数列{b n}恰使
数列{
n n
a b
+}是以
3
1
为公比的等比数列，求通项b n；（2）求通项a n及
2
lim n
n
S
n
→∞。

参考答案（一）。

江苏省高三数学复习中档题满分练习(含答案)

江苏省高三数学复习中档题满分练习（含答案）所以OA=OC1.又因为F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF=CC1.因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE=CC1，所以BE∥OF且BE=OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF∥平面A1EC. (2)由(1)知BF∥OE，因为AB=CB，F为AC的中点，所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，所以AA1BF.由BF∥OE得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1AC=A，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.3.(1)解由题意可知A1(-，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e=.设椭圆C2的方程为+=1(a0)，则b=.因为==，所以a=2.所以椭圆C2的方程为+=1.(2)证明设P(x0，y0)，y00，则+=1，从而y=12-2x.将x=x0代入+=1得+=1，从而y2=3-=，即y=.因为P，H在x轴的同侧，所以取y=，即H(x0，).所以kA1PkA2H====-1，从而A1PA2H.又因为PHA1A2，所以H为△PA1A2的垂心.4.解 (1)S1=asin acos =a2sin 2，设正方形边长为x，则BQ=，RC=xtan ，+xtan +x=a，x==，S2==.(2)当a固定，变化时，令sin 2=t，则=(0利用单调性求得t=1时，=.2019届江苏省高三数学复习中档题满分练习的内容就是这些，希望对考生提高成绩有帮助。

高三数学中档题训练1-5(带详细答案)

班级姓名1．集合A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，问是否存在这样的实数a ，使得B ⊆A ，且A∩B=｛1，a ｝？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．2、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

（Ⅰ）求角A 的大小：（Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状。

3. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.4.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++<.班级姓名1.已知函数()116-+=x x f 的定义域为集合A ，函数()()m x x x g ++-=2lg 2的定义域为集合 B. ⑴当m=3时，求()B C A R ；⑵若{}41<<-=x x B A ，求实数m 的值.2、设向量(cos ,sin )m θθ=，(22sin ,cos )n θθ=+，),23(ππθ--∈，若1m n ∙=，求：（1）)4sin(πθ+的值；（2）)127cos(πθ+的值．3.在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ；（Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．4. 已知ΔOFQ 的面积为2 6 ,且OF FQ m ⋅=.(1)设 6 ＜m ＜4 6 ,求向量OF FQ 与的夹角θ正切值的取值范围； (2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图),OF c = ,m=(6 4-1)c 2,当OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程.BCDEF班级姓名1. 已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π2π2，），且a ⊥b ．（1）求tan α的值；（2）求cos(π23α+)的值．2、某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。

高中数学中档题1,4

高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(．解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ．得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ．欲使夹角为钝角，需071522<++t t ．得 217-<<-t ．设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ．即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-）（214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=．在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=．在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ．即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=．而 a BC FB FC 2622=+=．在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角．在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°．二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3．此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ，而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列．（2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ．对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数．故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1．（3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。

【中档大题】2021届高三数学综合训练02(含答案)

【中档大题】综合训练21．设函数2()12cos cos 5f x x x x =--.（1）求()f x 的最小正周期和值域.（2）在锐角ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c .若()5f A =-，a =ABC 周长的取值范围.2．由整数构成的等差数列{}n a 满足31245,2a a a a ==.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式为2n n b =，将数列{}n a ，{}n b 的所有项按照“当n 为奇数时，n b 放在前面；当n 为偶数时、n a 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{}n c ，1b ，1a ，2a ，2b ，3b ，3a ，4a ，4b ，……，求数列{}n c 的前43n +项和43n T +.3．如图，在正四面体A BCD -中，点E ，F 分别是,AB BC 的中点，点G ，H 分别在,CD AD 上，且14DH AD =，14DG CD =. （1）求证：直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上；（2）求直线AB 与平面EFGH 所成角的正弦值.4．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点F 的两条直线1l 、2l 与曲线Γ相交于A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别为AB 、CD 的中点.设1l 与2l 的斜率依次为1k 、2k ，若121k k +=-，求证：直线MN 恒过定点.【中档大题】综合训练2 参考答案1．（1）π，1⎡⎤-⎣⎦（2）(3【详解】（1）()212cos cos 5f x x x x =--212cos 25x x =--6cos 221x x =-+216πx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭T π∴=，值域为1⎡⎤-⎣⎦.（2）由()5f A =-可得212cos cos A A A =，因为三角形为锐角ABCsin ,A A =即tan A =3A π=, 由正弦定理,sin sin sin a b c A B C ==得22sin ,2sin 2sin()3b Bc C B π===-，所以212sin sin()2(sin sin )32a b c B B B B B π⎡⎤++=+-=++⎢⎥⎣⎦32(sin ))26B B B π=+=++ 因为ABC 为锐角三角形，所以0,022B C ππ<<<<，即02,2032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得.62B ππ<<所以2sin()1,3636B B ππππ<+<<+≤即3)6B π<+≤所以周长的取值范围为区间(3+2．（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）12434295n n T n n ++=+++.【详解】（Ⅰ）由题意，设数列{}n a 的公差为d ，因为31245,2a a a a ==，可得()()1111+2=5+=2+3a d a a d a d ⎧⎨⋅⎩，整理得(52)(5)2(5)d d d --=+，即2217150d d -+=，解得152d =或1d =，因为{}n a 为整数数列，所以1d =，又由1+2=5a d ，可得13a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列{}n a 的通项公式为2n a n =+，又由数列{}n b 的通项公式为2n n b =，根据题意，新数列{}n c ，1b ，1a ，2a ，2b ，3b ，3a ，4a ，4b ，……，则4311223344212122212122n n n n n n n n T b a a b b a a b b a a b b a a +--+++=+++++++++++++++()()123421123422n n b b b b b a a a a a ++=+++++++++++ ()()2112212212(22)4295122n n n a a n n n +++⨯-++=+=+++-. 3．（1）证明见解析；（2）3. 【详解】（1）因为//,//EF AC GH AC ，11=,=24EF AC GH AC ，所以//GH EF 且12GH EF =，故E ，F ，G ，H 四点共面，且直线,EH FG 必相交于一点，设=EH FG M ，因为,∈M EH EH 平面ABD ，所以M ∈平面ABD ，同理：M ∈平面BCD ，而平面ABD ⋂平面BCD BD =，故M ∈平面BCD ，即直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上；（2）取BD 的中点O ，则,⊥⊥BD OA BD OC ，所以BD ⊥平面AOC，不妨设OD =BD AC ==12AO CO ==，所以1441441921cos 212123+-∠==⨯⨯AOC ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,(12,0,0),(6,--A B C F G，故=BA，(=-FG，(8,0,=-AC，(4,0,=-EF ，设平面EFGH 的法向量为(,,)n x y z =，由00n EF n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得：500y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，则(52,=n ，则182cos ,3||||92⋅<>===⨯BA n BA n BA n ，故直线AB 与平面EFGH 所成角的正弦值为3.4．（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析.【详解】（Ⅰ）由题意，设(,)Q x y ，因为圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，可得|1|x +=24y x =.（Ⅱ）设1l ，2l 的方程分别为1(1)y k x =-，2(1)y k x =-，联立方程组12(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()2222111240k x k x k -++=，所以21122124k x x k ++=，则2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 所以121222121222122222MNk k k k k k k k k k k -==+++-，由121k k +=-，可得()111MN k k k =+，所以直线MN 的方程为()2111211221k y k k x k k ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭整理得()1121(1)y k k x +=+-，所以直线MN 恒过定点(1,2)-.。

【中档大题】2021届高三数学综合训练24(含答案)

【中档大题】综合训练241．（10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1b =，3cos 5A =，ABC ∆的面积为2．（1）求cos()4A π+的值；（2）求a 的值．【解析】（1）在ABC ∆中，3cos 5A =，4sin 5A ∴=，34cos()cos cos sin sin ()44455A A A πππ∴+=--=．（2）1b =，ABC ∆的面积为1142sin 1225bc A c ==⨯⨯⨯，∴解得5c =，∴由余弦定理可得23125215205a =+-⨯⨯⨯=，解得a = 2．（12分）在等比数列{}n a 中，3214()a a a =-，且4a ，54a -，5a 成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n n b a a =+求数列{}n b 的前n 项和n T【解析】（1）等比数列{}n a 的公比设为q ，3214()a a a =-，可得21114()a q a q a =-，化为2440q q -+=，可得2q =， 4a ，54a -，5a 成等差数列，可得5452(4)a a a -=+，即有1112(164)816a a a -=+，解得11a =，则12n n a -=，*n N ∈；（2）12log 21n n n n b a a n -=+=+-，前n 项和1(122)(0121)n n T n -=++⋯+++++⋯+-1211(1)21(1)1222n n n n n n -=+-=-+--． 3．（12分）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD 四边形ABCD 是矩形，E ，F ，G 分别是棱BC ，AD ，PA 的中点（1）求证：//PE 平面BFG ；（2）若1PD AD ==，2AB =，求点C 到平面BFG 的距离．【解析】（1）证明：连结DE ，ABCD 是矩形，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，DF BE ∴=，//DF BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，//DE BF ∴，G 是PA 的中点，//FG PD ∴，PD ，DE ⊂/平面BFG ，FG ，BF ⊂平面BFG ，//PD ∴平面BFG ，//DE 平面BFG ， PDDG D =，∴平面//PDE 平面BFG ，PE ⊂平面PDE ，//PE ∴平面BFG ．（2）解：PD ⊥平面ABCD ，//FG PD ，FG ∴⊥平面ABCD ，过C 在平面ABCD 内，作CM BF ⊥，垂足为M ，则FG CM ⊥， FGBF F =，CM ∴⊥平面BFG ，CM ∴长是点C 到平面BFG 的距离，在矩形ABCD 中，F 是AD 中点，1AD =，2AB =， BCM FBA ∆∆∽，∴CM BCBA FB=， 17FB AB =，1BC AD ==，417CM ∴，∴点C 到平面BFG 4174．（12分）已知圆C 的圆心C 的坐标为(1,2)，且圆C 与直线:270l x y --=相切，过点(2,0)A 的动直线m 与圆C 相交于M ，N 两点，直线m 与直线l 的交点为B ．（1）求圆C 的标准方程；（2）求||MN 的最小值；（3）问：()AM AN AB +是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【解析】（1）设圆C 的半径为r ，圆C 与直线:270l x y --=相切，且(1,2)C ，可得d r =，即255r ==则圆C 的方程为22(1)(2)20x y -+-=；（2）222||20(MN r d d d =-=-为圆心C 到直线m 的距离），可得d 最大时，||MN 最小，当(2,0)A 为MN 中点时，d 最大，且为22||(12)(20)5AC =-+- 则||MN 的最小值为2205215-=（3）设MN 的中点为P ，则CP MN ⊥，即CP AB ⊥， 0CP AB =，且2AM AN AP +=，()22()222AM AN AB AP AB AC CP AB AC AB CP AB AC AB ∴+==+=+=，当m 与x 轴垂直时，m 的方程为2x =，代入圆C 的方程可得219y =± MN ∴的中点(2,2)P ，2x =与直线l 的交点5(2,)2B -，∴5(0,)2AB =-，由(1,2)AC =-，可得22(5)10AC AB =⨯-=-，即()10AM AN AB+=-；当m与x轴不垂直，设直线m的方程为(2)y k x=-，与直线270x y--=，联立求得47(21kBk--，5)21kk--，∴5(21ABk=--，5)21kk--，(1AC AB=-，52)(21k--，5510)5212121k kk k k-=-=----，则()10AM AN AB+=-，综上可得()AM AN AB+是定值，且为10-．。

【中档大题】2021届高三数学综合训练07(含答案)

（1）求点A的轨迹E的方程；
（2）点B在轨迹E上，且纵坐标为 .
（i）证明直线AB过定点，并求出定点坐标；
（ii）分别以A，B为圆心作与直线相切的圆，两圆公共弦的中点为H，在平面内是否存在定点P，使得为定值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
【中档大题】综合训练7 参考答案
1．（1）；（2） .
3．如图1，杨辉三角是我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》中列出的一张图表，如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，会得到一个数列，其中，， …设数列的前项和为．
（1）求的值，并写，，出满足的递推关系式（不用证明）；
（2）记，用表示．
4．已知平面上一动点A的坐标为 .
相加得，
所以，所以．
4．（1）（2）（i）证明见解析；定点（ii）存在；点
【详解】（1）设动点A的坐标为，因为A的坐标为，所以，
消去参数t得：；
（2）（i）因为点B在轨迹E上，且纵坐标为，所以点B的坐标为，
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为，整理得，所以直线AB过定点；
所以，所以在
因为，又因为，所以平面FBC，
又平面FBC，所以 .
在内，作于点H，连接AH.
因为平面ACH，所以平面ACH，
又平面ACH，所以，所以就是二面角的平面角.
在，在，
所以，所以，
所以二面角的余弦值为 .
3．（1）；；（2） .
【详解】（1）；．
（2）因为，，… ，，
【中档大题】综合训练7

【中档大题】2021届高三数学综合训练27(含答案)

【中档大题】综合训练271．（12分）已知函数321()33f x x mx nx =+++，其导函数()f x 的图象关于y 轴对称，2(1)3f =-．（Ⅰ）求实数m ，n 的值；（Ⅱ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围．【解析】2()()2I f x x mx n '=++．1⋯⋯分函数()f x 的图象关于y 轴对称，0m ∴=．2⋯⋯⋯分又12(1)333f n =++=-，解得4n =-．3⋯⋯⋯分0m ∴=，4n =-．4⋯⋯⋯⋯分（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根时，求λ的取值范围．由()I ，得31()433f x x x =-+．2()4f x x '∴=-．⋯⋯⋯．．5分令()0f x '=，解得2x =±．6⋯⋯⋯⋯分当2x <-或2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(,2)-∞-，(2,)+∞上分别单调递增．7⋯⋯分又当22x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在(2,2)-上单调递减，．．8分 ()f x ∴的极大值为25(2)3f -=，极小值为7(2)3f =-．⋯⋯⋯．．10分 ∴由图可知，实数λ的取值范围为725(,)33-．⋯⋯⋯．12分2．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=︒，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面//BMN 平面PCD ；（Ⅱ）若6AD =，求三棱锥P BMN -的体积．【解析】()I 证明：连接BD ．AB AD =，60BAD ∠=︒，ABD ∴∆为正三角形．M 为AD 的中点，BM AD ∴⊥．AD CD ⊥，CD ，BM ⊂平面ABCD ，//BM CD ∴．又BM ⊂/平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，//BM ∴平面PCD ，M ，N 分别为AD ，PA 的中点，//MN PD ∴．又MN ⊂/平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， //MN ∴平面PCD ．又BM ，MN ⊂平面BMN ，BMM N M =，∴平面//BMN 平面PCD ．（Ⅱ）解：在()I 中已证BM AD ⊥．平面PAD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，BM ∴⊥平面PAD ．又6AD =，60BAD ∠=︒，∴336BM AD ==．M ，N 分别为AD ，PA 的中点，232PA PD AD ===． PMN ∴∆的面积21119(32)4424PMN PADS S ∆∆==⨯⨯=． ∴三棱锥P BMN -的体积1199333334P BMN B PMN PMN V V S BM --∆===⨯⨯=．3．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1(F，2F ，且经过点1)2A ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(4,0)B 作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记点P 关于x 轴对称的点为P '．证明：直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标．【解答】（Ⅰ）解：由椭圆的定义，可知1212||||42a AF AF =+==，解得2a =．又2221b a =-=．∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（Ⅱ）证明：由题意，设直线l 的方程为4(0)x my m =+≠．设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则1(P x '，1)y -．由22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，可得22(4)8120m y my +++=．由△216(12)0m =->，得m <-或m > 12284m y y m -+=+，122124y y m =+． 21212121()P Qy y y y k x x m y y '++==--， ∴直线P Q '的方程为211121()()y y y y x x m y y ++=--．令0y =，可得211112()4m y y y x my y y -=+++．∴21212212222444441884mmy y m m x m y y m m +=+=+=+=-+-+． (1,0)D ∴．∴直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为(1,0)．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，过点(1,1)P 的直线l 的参数方程为1cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11||||PA PB +的最小值．【解析】()I 曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．4cos ρθ=，24cos ρρθ∴=．∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．（Ⅱ）将直线l 的参数方程1cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数）代入曲线C 的方程，并整理得2(2sin 2cos )20t t αα+--=．△2(2sin 2cos )80αα=-+>，∴可设．1t ，2t 是方程的两个实数根，则1t +．22cos 2sin t αα=-，1220t t =-<．∴1212121212||||||1111||||||||||||||t t t t PA PB t t t t t t +-+=+==82===，当4πα=时，等号成立．∴11||||PA PB +。

高三数学复习集合中档卷含答案

第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．设集合{12}A x x =-≤≤,{}B x x a =<,∅≠⋂B A ,则a 的取值范围是（）(A)．2a < (B)．1a >- (C)． 2a ≥ ( D)．1a ≥- 【答案】B 【解析】试题分析：因为∅≠⋂B A ，所以1a >-。

考点：集合的运算。

点评：在进行集合的运算时，我们一定要注意区间端点处的值。

一般的时候，我们可以对端点处的值单独进行分析。

2．设A ={（x ,y )|(x -1)2+y 2≤25},B ={(x ,y )|(x +1)2+y 2≤25},C t ={(x ,y )||x |≤t ,|y |≤t ,t >0},则满足C t （A ∩B ）时，t 的最大值是（）A 、3B 、4C 、5D 、6 【答案】A【解析】内又在园即在园需使点要使25)1(),()(22=+-⋂⊂y x t t B A C t内25)1(22=++y x .所以25)1(25)12222≤++≤+-t t y t 且（。

又0>t解得30≤<t 故选A3．集合{}223,,21x A y y x R B x x x ⎧⎫+⎪⎪==∈=<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，则()R AC B =（）A 、{}2>x x B 、 {}2≥x x C 、 {}32≤<x x D 、 {}32≤≤x x【答案】D【解析】本试题主要考查了函数的值域和集合的交集和补集的运算。

体现了数形结合思想的重要性。

因为222222222231221111122011,21311++==+=+++++≥∴+≥≤∴+≤++x x y x x x x x x x x 所以集合{}223,{|31},21⎧⎫+⎪⎪==∈=≥>=<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭x A y y x R y y B x x x ，因此结合数轴法可知(){|2},{|32}=≥=≥≥R R C B x x AC B x x 选D.解决该试题的关键是求解A ，然后运用数轴法得到补集和交集的结果。

【中档大题】2021届高三数学综合训练29(含答案)

【中档大题】综合训练291．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a＝3b sin A，a＝3，c＝3．（1）若b＜c，求b；（2）求cos2C．2．已知S n是数列{a n}的前n项和，a n+1﹣3a n+2a n﹣1＝1，a1＝1，a2＝4．（1）证明：数列{a n+1﹣a n+1}是等比数列；（2）求S n．3．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1＝CD＝DD1＝C1D1＝1．（1）证明：AD⊥平面CC1D1D；（2）若A1C与平面CC1D1D所成角为，求二面角C﹣AA1﹣D的余弦值．4．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率e＝．（1）若P为椭圆C上一动点，证明P到F的距离与P到直线x＝的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设c＝1，过定点（0，c）且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在y轴上是否存在一点Q，使得y轴始终平分∠MQN？若存在，出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【中档大题】综合训练29参考答案1.解：（1）因为a＝3b sin A，所以sin A＝3sin B sin A，因为sin A＞0，所以sin B＝，因为b＜c，所以B＜C，所以B为锐角，可得cos B＝，由余弦定理可得b＝＝．（2）由（1）可知，cos B＝±，当cos B＝时，b＝，cos C＝＝﹣，可得cos2C＝2cos2C﹣1＝；当cos B＝﹣时，b＝，cos C＝＝，可得cos2C＝2cos2C﹣1＝；2.【解答】（1）证明：∵a n+1﹣3a n+2a n﹣1＝1，∴（a n+1﹣a n+1）＝2（a n﹣a n﹣1+1），∵a1＝1，a2＝4，∴a2﹣a1+1＝4．∴数列{a n+1﹣a n+1}是公比为2的等比数列，首项为4．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣a n+1＝4×2n﹣1，∴a n+1﹣a n＝2n+1﹣1，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1＝2n﹣1+2n﹣1﹣1+……+22﹣1+1＝2n+2n﹣1+……+22﹣（n﹣1）+1＝﹣n+2＝2n+1﹣n﹣2．∴S n＝2n+1+2n+2n﹣1+……+22﹣（1+2+……+n）﹣2n＝﹣﹣2n＝2n+2﹣﹣4．3．【解答】（1）证明：在梯形CC1D1D中，因为CC1＝CD＝DD1＝，所以∠DD1C1＝，连结DC1，由余弦定理可求得DC1＝，因为，所以DC1⊥DD1，因为平面AA1D1D⊥平面CC1D1D且交于DD1，所以DC1⊥平面AA1D1D，因为AD⊂平面AA1D1D，所以AD⊥DC1，因为AD⊥DC，DC∩DC1＝D，所以AD⊥平面CC1D1D；（2）解：连结A1C1，由（1）可知，A1D1⊥平面CC1D1D，以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为A1D1⊥平面CC1D1D，所以A1C在平面CC1D1D内的射影为D1C，所以A1C与平面CC1D1D所成的角为∠A1CD1，即∠A1CD1＝，在Rt△A1CD1中，因为，所以A1D1＝3，则D1（0，0，0），A1（3，0，0），D（0，），C（0，），C1（0，2，0），所以，，设平面AA1D1D的法向量为，则有，即，令y＝3，则x＝0，z＝，故，设平面AA1C1C的法向量为，则有，即，令a＝2，则b＝3，，故，所以＝，由图可知，二面角C﹣AA1﹣D锐二面角，故二面角C﹣AA1﹣D的余弦值为．4．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率e＝．（1）若P为椭圆C上一动点，证明P到F的距离与P到直线x＝的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设c＝1，过定点（0，c）且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在y轴上是否存在一点Q，使得y轴始终平分∠MQN？若存在，出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设点P（x0，y0），则根据题意可得，∵F（c，0），∴|PF|＝＝＝a﹣，又∵点P到直线的距离为：，∴，即得点P到点F的距离与点P到直线的距离之比为定值．（2）由（1）可得，设c＝1，则a＝2，即得b＝，因此可得椭圆的标准方程即为：，根据题意，假设存在这样的一点Q（0，t），设直线l的方程为：y＝kx+1，联立椭圆方程得到方程组：⇒（3﹣4k2）x2+8kx﹣8＝0，结合题意，设点M（x1，y1），N（x2，y2），则有，因为y轴平分∠MQN，所以直线QM与QN的斜率互为相反数，即得＝＝0，化简可得，，∵3+4k2＞0，∴8k（t﹣3）＝0⇒t＝3，即得存在点Q（0，3），使得y轴始终平分∠MQN．。

高考数学试卷中等生答案

一、选择题1. 【答案】D- 解析：观察选项，可以发现只有D选项是平方根，其他选项都是立方根，故选D。

2. 【答案】B- 解析：根据三角函数的定义，sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3。

计算可得sin30°/cos30°=1/2/(√3/2)=√3/3，故选B。

3. 【答案】A- 解析：根据一元二次方程的根的判别式，当△=b²-4ac<0时，方程无实数解。

代入a=1，b=-3，c=2，得到△=(-3)²-4×1×2=9-8=1>0，故方程有两个不相等的实数根，故选A。

4. 【答案】C- 解析：根据不等式的性质，将不等式两边同时乘以-1，不等号方向改变，得到-3x>6，再将不等式两边同时除以-3，不等号方向再次改变，得到x<-2，故选C。

5. 【答案】B- 解析：观察图形，可以发现函数在x=0处连续，且f(0)=0，故选B。

二、填空题6. 【答案】1/2- 解析：根据等比数列的通项公式，aₙ=a₁qⁿ⁻¹，代入a₁=1，q=1/2，n=5，得到a₅=1×(1/2)⁴=1/16，故选1/2。

7. 【答案】π- 解析：根据圆的周长公式，C=2πr，代入C=6.28，得到r=1，故选π。

8. 【答案】2- 解析：根据三角函数的定义，sinθ=对边/斜边，cosθ=邻边/斜边。

在直角三角形中，sinθ=1/√2，cosθ=1/√2，故选2。

9. 【答案】-1/3- 解析：根据对数函数的定义，若logₐb=c，则a^c=b。

代入a=10，b=1000，c=3，得到10^3=1000，故log₁₀1000=3。

根据对数的换底公式，log₁₀1000=log₁₀10³=3log₁₀10=3，故选-1/3。

10. 【答案】2- 解析：根据向量的数量积公式，a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a和向量b之间的夹角。

【中档大题】2021届高三数学综合训练03(含答案)

【中档大题】综合训练31．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知45b c B ==∠=. （1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB ，求sin DAC ∠的值.2．已知数列{}n a 的前n 项和为()()31*1227n n S n N +=-∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2log n n b a =，求12231111n n b b b b b b +++⋯+.3．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC =BC =2，∠CBB 1=3π，点A 在平面BCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形；（2）求二面角E -B 1C -A 1的平面角的余弦值．4．已知椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a 与抛物线2:2(0)C x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆Γ于A ，B 两点，且1AB =.（1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，若P 为椭圆Γ上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与椭圆Γ的焦点F 为圆F 交于M ，N 两点，求证：MN 为定值.【中档大题】综合训练3 参考答案1．（1）3BC =；（2【详解】在ABC 中，因为b =c =45B ∠=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2522a a =+-所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍）所以3BC =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 45sin C =.所以sin 5C = 在ADC 中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-=，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠=，所以C ∠为锐角故cos 5C ==因为4cos 5ADC ∠=-，所以35sin ADC ∠===， ()sin sin 180sin()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠∠+∠∠3455== 2．（1）322()n n a n N -*=∈；（2）31+n n . 【解析】（1）当2n ≥时，()()3+132321112222277n n n n n n a S S ---=-=---= 当1n =时，112a S == 312=2⨯-，符合上式所以()32*2n n a n N -=∈. （2）由（1）得322log 2=32n n b n -=-.∴12231111111111111[(1)()()]1447(32)(31)34473231n n b b b b b b n n n n +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯-+-+11(1)33131n n n =-=++（ 3．（1）见解析（2）217- 【详解】（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥，又因为1112BE BB ==，2BC =，3EBC π∠=，所以3CE =，因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥，因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥，从而1AA AC ⊥，又四边形11ACC A 为平行四边形，则四边形11ACC A 为矩形；（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以11(0,0,1),(0,2,1),(0,1,0),(3,0,0)A A B C ，平面1EB C 的法向量(0,0,1)m =，设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =，由1(,,)(3,1,0)03n CB x y z y x ⊥⇒⋅-=⇒=，由11(,,)(0,1,1)00n B A x y z y z ⊥⇒⋅=⇒+=，令13,3x y z =⇒==-，即(1,3,3)n =-，所以，321cos ,17m n -<>==-⨯，所以，所求二面角的余弦值是217-.4．（1）椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C 的方程为：243x y =；（2）证明见解析. 【详解】（1）椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a 可得焦点()20,1a -，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，所以212p a -=①，由22221p y y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得22214p x a +=，解得2214p x a -=±，所以222114p AB a-==②，由①②可得：24a =，23p =，所以椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C 的方程为：243x y =；（2）设(,)P m n ，则2214+=n m ，圆P 的方程为：2222()()-+-=+x m y n m n ，圆F 的方程为：22(3)5+-=x y ，所以直线MN 的方程为：(3)10+--=mx n y ，设点F 到直线MN 的距离为d ，则22222|34||34|2|34|2(3)383161(3)4n n n d n m n n n n ---====+--+-+-.2||252MN d =-=.所以MN为定值.。

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高三数学中档题+详细答案(全) 班级姓名1.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．（1）求证：//1C B 平面BD A 1；（2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；（3）在1CC 上是否存在一点E ，使得∠1BA E =45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面1A BD 与平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由．2. 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ．（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最大值和最小值; （Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF BFλ=，求λ的值；（Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.3．已知定义在R 上的奇函数()3224f x ax bx cx d =-++ （a b c d R ∈、、、），当1x = 时，()f x 取极小值.23-（1）求a b c d 、、、的值；（2）当[,]11x ∈-时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.（3）求证:对]2,2[,21-∈∀x x ,都有34)()(21≤-x f x f4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 为常数，已知对*∈∀N m n ,，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--.⑴ 求证：数列｛n a ｝是等差数列；⑵ 若正整数n , m , k 成等差数列，比较k n S S +与mS 2的大小，并说明理由！高三数学中档题训练27班级姓名1. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程；（2）若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足4PF =，求点P 的坐标.18. 某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，哪种方案较为合算？请说明理由′3.设二次函数2()f x ax bx c=++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M、m，集合{}|()A x f x x==.（1）若{1,2}A=，且(0)2f=，求M和m的值；（2）若{2}A=，且1a≥，记()g a M m=+，求()g a的最小值.4.设数列{}{},n na b满足1122336,4,3a b a b a b======，若{}1n na a+-是等差数列，{}1n nb b+-是等比数列.（1）分别求出数列{}{},n na b的通项公式；（2）求数列{}n a 中最小项及最小项的值；（3）是否存在*k N ∈，使10,2k k a b ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，若存在，求满足条件的所有k 值；若不存在，请说明理由.高三数学中档题训练28班级姓名1、已知E F 、分别是正三棱柱111ABC A B C -的侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点,D 是棱BC 的中点. 求证:(1)//EF 平面ABC ;(2)平面AEF ⊥平面1A AD .2．在平面区域2100,260,270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤内有一个圆,向该区域内随机投点,当点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙M ．（1）试求出⊙M 的方程；（2）过点P （0，3）作⊙M 的两条切线，切点分别记为A ，B ；又过P 作⊙N ：x 2+y 2-4x +λy +4=0的两条切线，切点分别记为C ，D ．试确定λ的值，使AB ⊥CD ．3. 已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（1）当a=1时，证明函数()f x 只有一个零点；（2）若函数()f x 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a 的取值范围．4. 已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根()αβ>，()f x '是()f x 的导数．设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='L ，，．（1）求αβ，的值；（2）已知对任意的正整数n 有n a α>，记ln(12)n n n a b n a βα-==-L ，，．求数列{}n b 的前n 项和n S ．高三数学中档题训练29班级姓名1．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围2、已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 的两个焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥，341=PF ，3142=PF ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．3．已知集合是满足下列性质的函数)(x f 的全体：在定义域D 内存在0x ，使得)1(0+x f )1()(0f x f +=成立．（1）函数xx f 1)(=是否属于集合M ？说明理由；（2）若函数b kx x f +=)(属于集合M ，试求实数k 和b 的取值范围；（3）设函数1lg)(2+=x a x f 属于集合M ，求实数a 的取值范围．4．设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞. （1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．高三数学中档题训练30班级姓名1．若函数)0(cos sin sin )(2>-=a ax ax ax x f 的图象与直线y=m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若点)(),(00x f y y x A =是图象的对称中心，且]2,0[0π∈x ，求点A 的坐标.2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M (1,324), N ( －223,2)两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上是否存在点P(x,y)，使P 到定点A(a,0)（其中0＜a ＜3）的距离的最小值为１？若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，请给予证明．3.设A (x 1 , y 1),B(x 2 , y 2)是函数f(x )=21+log 2x x -1图象上任意两点，且OM =21(+),点M 的横坐标为21.⑴求M 点的纵坐标；⑵若S n =)(11∑-=n i n i f =f (1n )+f (2n )+…+f (1n n -),n ∈N *,且n ≥2，求S n ; ⑶已知a n =1231(1)(1)n n S S +⎧⎪⎪⎨⎪++⎪⎩(1)(2)n n =≥n ∈N *,T n 为数列{a n}的前n 项和，若T n <λ(S n+1+1) 对一切n >1且n ∈N *都成立，求λ的取值范围.4.已知函数f(x)= n +lnx 的图像在点P(m,f(m))处的切线方程为y=x ,设()2ln ng x mx xx =--．（1）求证：当()1,0x g x ≥≥恒成立；（2）试讨论关于x 的方程：()322nmx g x x ex txx --=-+ 根的个数．高三数学中档题训练261.证明：（1）连接1AB 与B A 1相交于M ，则M 为B A 1的中点.连结MD ，又D 为AC 的中点，MD C B //1∴，又⊄C B 1平面BD A 1，MD ⊂平面BD A 1//1C B ∴平面BD A 1 . …………………………………………4′（2）B B AB 1=Θ，∴平行四边形11A ABB 为菱形，11AB B A ⊥∴，又⊥1AC Θ面BD A 1B A AC 11⊥∴，⊥∴B A 1面11C AB …………………………7′ 111C B B A ⊥∴.又在直棱柱111C B A ABC -中，111C B BB ⊥， ⊥∴11C B 平面A ABB 1. ……………………………………9′（3）当点E 为C C 1的中点时，∠1BA E=45°，且平面⊥BD A 1平面BDE .设AB=a ，CE=x，∴111A B AC =，1C E a x =-，∴1A E ==BE ∴在1A BEV 中，由余弦定理得22211112cos 45BE A B A E A B A E =+-⋅⋅︒即222222322a x a x a ax +=++--⋅2a x =-，∴x =12a ，即E 是C C 1的中点. ………………………………………13′D Θ、E 分别为AC 、C C 1的中点，1//AC DE ∴.1AC Θ平面BD A 1，⊥∴DE 平面BD A 1.又⊂DE 平面BDE ，∴平面⊥BD A 1平面BDE . …………………………15′ 2．解：（Ⅰ）易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-u u u r u u u u r()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r有最大值1（Ⅱ）设C （0x 0，y ），)1,0(-B ()1F由11CF BFλ=得001x y λ==-，又 220014x y += 所以有2670λλ+-=解得舍去）01(7>=-=λλ．（Ⅲ）因为|P 1F |＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|，∴1PBF ∆的周长≤4＋|BF 2|＋|B 1F |≤8．所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ∆周长最大，最大值为8．3．解（1）∵函数()f x 图象关于原点对称，∴对任意实数()()x f x f x -=-有，∴32322424ax bx cx d ax bx cx d ---+=-+--，即220bx d -=恒成立 ∴0,0b d == …………4分∴,3)(',)(23c ax x f cx ax x f +=+=， ∵1x =时，()f x 取极小值23-,∴2303a c a c +=+=-且，解得1,31-==c a ………8分（2）当[1,1]x ∈-时，图象上不存在这样的两点使结论成立. …………10分假设图象上存在两点),(),,(2211y x B y x A ，使得过此两点处的切线互相垂直，则由,1)('2-=x x f 知两点处的切线斜率分别为,1211-=x k ,1222-=x k 且2212(1)(1)1x x -⋅-=-…………（*） …………13分1x Q 、2[1,1]x ∈-，2222121210,10,(1)(1)0x x x x ∴-≤-≤∴-⋅-≥此与（*）相矛盾，故假设不成立. ………………16分 4（本小题满分18分）⑴证明：∵当m n >时，总有dm n m S S S m n m n )(-+=--∴ 当2≥n 时，dn S S S n n )1(11-+=--即,)1(1d n a a n -+= 2分且1=n 也成立 ………3分∴ 当2≥n 时，dd n a d n a a a n n =----+=--)2()1(111∴数列｛na ｝是等差数列 …………5分⑵解： ∵正整数n , m , k 成等差数列，∴,2m k n =+∴)2)1((22)1(2)1(2111d m m ma d k k ka d n n na S S S m k n -+--++-+=-+))2(2(2)2(2222222k n k n d m k n d +-+=-+=2)(4k n d-=……9分∴ ① 当0>d 时，k n S S +mS 2> ② 当0<d 时，k n S S +mS 2<③ 当0=d 时，k n S S +mS 2= ……10分高三数学中档题训练271. 解：（1）由已知可设圆心坐标为(),4t t +， …………………………2'∴()2248t t ++=得2t =-，∴圆心坐标为()2,2-， …………………………4'所以圆的方程为()()22228x x ++-= ……………………………6'（2）由题意，椭圆中210a =，即5a =Q 29b =，∴216c =，∴()4,0F …………………………8'设(),P m n ，则()()224016m n -+-=，()()22228m n ++-= ……………………………11'解之得：4050125m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或即()4120,0,55P P ⎛⎫⎪⎝⎭或 …………………………………………14' 2. 解：(1)设引进设备几年后开始盈利，利润为y 万元则y =50n -[12n +n(n -1)2×4]-98=-2n 2+40n -98由y >0可得10n <10 ∵n ∈N *，∴3 ≤n ≤17，即第3年开始盈利 …………………… 5′(2)方案一：年平均盈利y 98=-2n -+40≤40=12n 2当且仅当982n =n 即n =7时取“＝”共盈利12×7+26=110万元 …………………………………………9′ 方案二：盈利总额y =-2n 2+40n -98=-2(n -10)2+102 当n =10时，y max =102共盈利102+8=110万元………………………………………13′方案一与方案二盈利客相同，但方案二时间长，∴方案一合算…………153. (1)由(0)22f c ==可知， ……………………1′ 又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根1-b 1+2=a ,c 2=a ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩ ……………………………………………3′1,2a b ==-解得 ………………………………………4′ []22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即 ………………………5′ max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即 ……………………6′（2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2,,4ca ⎧⎪⎧⎪∴⎨⎨⎩⎪=⎪⎩1-b 2+2=b=1-4a a 即c=4a ………………………8′ []2()(14)4,2,2f x ax a x a x ∴=+-+∈-4112,22a a a -==-其对称轴方程为x131,2,222a a ⎡⎫≥-∈⎪⎢⎣⎭又故 ……………………………10′(2)162,M f a ∴=-=- ………………………11′4181,24a a m f a a --⎛⎫==⎪⎝⎭ ………………………12′1()164g a M m a a ∴=+=-…………………………13′[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时， ……15′4.解：（1）21322,1a a a a -=--=-由{}1n n a a +-成等差数列知其公差为1，故()12113n n a a n n +-=-+-⋅=- ……………………3'21322,1,b b b b -=--=-由{}1n n b b +-等比数列知，其公比为12，故11122n n n b b -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭ …………6'11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=()()()12(1)212n n n ---⋅-+⋅+6=232282n n n -+-+=27182n n -+ ………8'11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+＝2121()2112n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭-+6=2+42n- …………………………………………………10'(2)由(1)题知,n a =27182n n -+ ,所以当3n =或4n =时，n a 取最小项，其值为3…12' （3）假设k 存在，使k k a b -=27182n n -+-2-42n -=27142n n -+-42n -10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 则0<27142n n -+-42n-12< 即2527132714n n n n n --+<<-+ …………15' ∵22713714n n n n -+-+与是相邻整数 ∴52nZ -∉，这与52n Z -∈矛盾，所以满足条件的k 不存在 ………………17'高三数学中档题训练282、证明：（1）连结11A B A C和，因为E F 、分别是侧面11AA B B和侧面11AA C C的对角线的交点，所以E F 、分别是11A B A C 和的中点…………………………………………4分所以//EF BC ，且BC 在平面ABC 中，而EF 不在平面ABC 中，故//EF 平面ABC (7)分（2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，∴1BC A A⊥，故由//EF BC 得1EF A A⊥……9分又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，∴BC AD ⊥，故由//EF BC 得EF AD ⊥，……11分而1A A AD A=I ，1,A A AD ⊂平面1A AD，所以EF ⊥平面1A AD，又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A AD .……………………………………14分2. （1）设⊙M 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r ＞0)，则点(a ，b )在所给区域的内部．2分于是有,,.r r r ==⎪= ………………………………………………8分（未能去掉绝对值，每个方程给1分）解得 a =3，b =4，r(x -3)2+(y -4)2=5． …………………10分（2）当且仅当PM ⊥PN 时，AB ⊥CD ． ………………………………14分因13PM k =，故λ3232PNk --==-，解得λ=6． …………………………18分当λ=6时，P 点在圆N 外，故λ=6即为所求的满足条件的解．（本验证不写不扣分）3. 解：（1）当a=1时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞，2121()21x x f x x x x --'∴=-+=-令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =．0x >Q ，12x ∴=-舍去．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴函数()f x 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减∴当x=1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=．当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <． ∴函数()f x 只有一个零点．（2）法一：因为22()ln f x x a x ax =-+其定义域为(0,)+∞，所以222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x -++-+-'=-+==①当a=0时，1()0,()f x f x x '=>∴在区间(0,)+∞上为增函数，不合题意②当a>0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)0(0)ax ax x +->>，即1x a >．此时()f x 的单调递减区间为1(,)a +∞．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．③当a<0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)(0)ax ax x +->>，即12x a >-·此时()f x 的单调递减区间为1(,)2a -+∞，11,0.a a ⎧-≤⎪∴⎨⎪<⎩得12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U法二：22()ln ,(0,)f x x a x ax x =-+∈+∞Q 2221()a x ax f x x -++'∴=由()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，可得22210a x ax -++≤在区间(1,)+∞上恒成立．① 当0a =时，10≤不合题意② 当0a ≠时，可得11,4(1)0a f ⎧<⎪⎨⎪≤⎩即210,4210a a a a ⎧><⎪⎨⎪-++≤⎩或10,4112a a a a ⎧><⎪⎪∴⎨⎪≥≤-⎪⎩或或 1(,][1,)2a ∴∈-∞-+∞U4. (1) 由 210x x +-=得x =α∴=β=(2) ()21f x x '=+221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++(221122112n n n n n n n nn n a a a a a a a a βαβα+++++++-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭⎝⎭∴12n nb b += 又111lna b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为14ln2+，公比为2的等比数列；∴)()12242112n n n S -==--高三数学中档题训练291．解：（1）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭．又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤， max min ()3,()2f x f x ==∴．（2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．2.（1）14922=+y x …………7分（2）02598=+-y x …………7分3．（本小题满分16分）解：（1）),0()0,(+∞-∞=Y D ，若M xx f ∈=1)(，则存在非零实数0x ，使得111100+=+x x ，……（2分）即0102=++x x ，……（3分）因为此方程无实数解，所以函数M xx f ∉=1)(．……（4分）（2）R D =，由M b kx x f ∈+=)(，存在实数0x ，使得 b k b kx b x k +++=++00)1(，……（6分）解得0=b ，……（7分）所以，实数k 和b 的取得范围是R k ∈，0=b ．……（8分）（3）由题意，0>a ，R D =．由M x ax f ∈+=1lg)(2，存在实数0x ，使得 2lg 1lg 1)1(lg2020ax a x a =+=++，……（10分）所以，)1(21)1(20220+=++x a x a ，化简得0222)2(202202=-++-a a x a x a a ，……（12分）当2=a 时，210-=x ，符合题意．……（13分）当0>a 且2≠a 时，由△0≥得0))(2(84224≥---a a a a a ，化简得0462≤+-a a ，解得]53,2()2,53[+-∈Y a ．……（15分）综上，实数a 的取值范围是]53,53[+-．……（16分）4．解（Ⅰ）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]a f x x x x x x '=-⨯+⨯+2ln 21x ax x =-+，∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞∴22()1x g x x x -'=-=，令()0g x '=，得2x=，列表如下：∴()g x 在x 处取得极小值，即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+．(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >．（Ⅱ）证明由（Ⅰ）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞上是增函数．（Ⅲ）证明由（Ⅱ）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >，又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>，∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．高三数学中档题训练301．解析：解：（1）)42sin(23212sin 2122cos 1)(π+-=--=ax ax ax x f 3分由于y=m 与)(x f y =的图象相切，则221221-=+=m m 或； 5分（2）因为切点的横坐标依次成公差为2π等差数列，所以42,2=∴=a T π).21,167()21,163(,21),(21640),(164)(44,0)44sin(.21)44sin(22)(000πππππππππππ或点或得由则令A k k Z k k Z k k x Z k k x x x x f ∴==∈≤-≤∈-=∴∈=+=+++-=2．解：（Ⅰ）设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n,＞0且m≠n) ……………2分∵椭圆过M,N 两点，∴m+,1932=n 1229=+n m …………………4分∴m=41,91=n ………………………………………………6分 ∴椭圆方程为 14922=+y x …………………………………………7分（Ⅱ）设存在点P(x,y)满足题设条件，∴|AP|=(x-a)2+y 2,又14922=+y x ,∴y 2=4(1 -92x ),∴|AP|=(x-a)2+ 4(1 -92x )=95(x-59a)2+4-54a 2(|x|≤3)，…………………10分若时，即350,359≤≤＜a a |AP|的最小值为4-54a 2，依题意，4-54a 2=1 ，∴a=215±⎥⎦⎤ ⎝⎛∉35,0;………………………………………12分若,359〉a 即335＜a＜时，当x=3时,|AP|2的最小值为（3-a ）2,（3-a ）2=1,∴a=2,此时点P 的坐标是（3，0） .…………………………………………15分故当a=2时，存在这样的点P 满足条件，P 点的坐标是（3，0）.…………16分3.解:(1) ∵x 1+x 2=1,∴y M =2)()(21x f x f +=21log 1log 1222112x xx x -+-+=21； 4分(2) ∵对任意x ∈(0,1)都有f(x)+f(1-x)=1∴f(i n )+f(1-i n )=1,即f(i n )+f(n in -)=1而S n =)(11∑-=n i n i f =f （1n )+f(2n )+…+f(1n n -),又S n =)(11∑-=n i n i f =f(1n n -)+f(2n n -)+…+f(1n )两式相加得2S n =n-1,∴S n =21-n . 10分(3) n≥2时，a n =)2)(1(4++n n =4(2111+-+n n ),T n =22+n n <λ22+n ,λ>n n 444++,而n n 444++≤4424+⋅n n =21，等号成立当且仅当n=2,∴λ>21. 16分4．（本小题满分16分）（1）由k=11=m 得m=1∴f(m)=1=n+0,n=1 ∴()12ln 2ln n g x mx x x xx x =--=--． ———2′∴()()222221122110x x x g x x x x x --+'=+-==≥，∴()g x 在[)1,+∞是单调增函数，∴()g x ()1112ln10g ≥=--=对于[)1,x ∈+∞恒成立．———6′（2）方程()322nmx g x x ex tx x --=-+，∴322ln 2x x ex tx =-+．∵ 0x >，∴ 方程为22ln 2xx ex tx =-+．令22ln (),()2xL x H x x ex t x ==-+，21ln ()2xL x x -'=Q ，当()()(0,),0,(0,]x e L x L x e ''∈≥∴时在上为增函数；()()[,),0,[0,)x e L x L x e ''∈+∞≤∴时在上为减函数，当e x =时，max 2()().L x L e e == ———11′ ()()2222H x x ex t x e t e =-+=-+-，∴()x 函数L 、()H x 在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当2222,t e e e e ->>+即t 时，方程无解． ②当2222,t e e e e -==+即t 时，方程有一个根． ③当2222,t e e e e -<<+即t 时，方程有两个根．—16′15、。