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高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练（含答案）若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，下面是函数的奇偶性与周期性专题训练，请考生及时练习。
一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 ().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sinx=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，故选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 .设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案 C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案 0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5) 10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x之和为________.解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x1所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。
函数的奇偶性一．知识点1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数。
设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，则称y=f(x)为奇函数。
如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数y=()f x 具有奇偶性。
2.性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，②y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和)]()([21)]()([21)(x f x f x f x f x f --+-+= ⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称] ⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数⑧奇函数在定义域内若有零：则f （0）=03．奇偶性的判断1.定义①看定义域是否关于原点对称， ②看f(x)与f(-x)的关系。
2.看图形的对称性。
二．应用举例关于从定义出发例1．（或书例2）判断下列函数的奇偶性、 ①xx x x f -+-=11)1()( 非奇非偶函数 ②22)1lg()(22---=x x x f 偶函数 ③⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 奇函数 ④33)(22-+-=x x x f 既是奇函数又是偶函数 ⑤2)(2+--=a x x x f a=0时偶函数，a ≠0时非奇非偶函数例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x ，y ∈R ，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0①求证：f(0)=1 ②求证：y=f(x)是偶函数证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f 2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数变式：定义在R 上的函数y=f(x)，对任意x 1，x 2都有f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。
第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点 （1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小 正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那 么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」 考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。
§2.4函数的奇偶性1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性________，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性________．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是________，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是__________；③一个奇函数，一个偶函数的积是__________．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4．对称性若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．[难点正本疑点清源]1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． (3)若奇函数f (x )定义域中含有0，则必有f (0)＝0.“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件．(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．(5)复合函数的奇偶性特点：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．1．(课本改编题)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．2．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是________． ①f (x )＝2x 4＋3x 2；②f (x )＝x 3－2x ；③f (x )＝x 2＋1x；④f (x )＝x 3＋1.3．(2011·广东)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.4．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．5．定义在R 上的函数y ＝f (x )是奇函数，且满足f (1＋x )＝f (1－x )．当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3，则f (2 013)的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2题型一 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9；(2)f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x ；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.探究提高 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立． 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝lg 1－x 1＋x ；(2)f (x )＝(x －1) 2＋x2－x；(3)f (x )＝{ x 2＋x (x >0)，x 2－x (x <0)；(4)f (x )＝lg (1－x 2)|x 2－2|－2.题型二 函数的单调性与奇偶性 例2 定义在(－1,1)上的函数f (x )．(ⅰ)对任意x ，y ∈(－1,1)都有：f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；(ⅱ)当x ∈(－∞，0)时，f (x )>0，回答下列问题． (1)判断f (x )在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3)若f ⎝⎛⎭⎫15＝12，试求f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫111－f ⎝⎛⎭⎫119的值． 探究提高 对于抽象函数单调性和奇偶性的判断一般要紧扣定义．通过赋值要出现：f (x 1)－f (x 2)与0的大小关系，f (x )与f (－x )的关系．就本题来讲要注意运用x <0时f (x )>0的条件． 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．题型三 函数的奇偶性与周期性例3 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)．探究提高 判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.2.等价转换要规范试题：(12分)函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 学生解答展示审题视角 (1)从f (1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x 1＝x 2＝1.(2)判断f (x )的奇偶性，就是研究f (x )、f (－x )的关系．从而想到赋值x 1＝－1，x 2＝x .即f (－x )＝f (－1)＋f (x )．(3)就是要出现f (M )<f (N )的形式，再结合单调性转化为M <N 或M >N 的形式求解． 规范解答解 (1)令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. [2分] (2)f (x )为偶函数，证明如下：[4分]令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．[7分](3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.[8分]由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3， 变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*) ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．[9分]又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5.∴x 的取值范围是{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}．[12分]批阅笔记数学解题的过程就是一个转换的过程．解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度．如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的．等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M”等价于“N”，“M”变形为“N”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f(x)为偶函数，∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)⇒|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，则这个转化就不等价了.方法与技巧1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f(－x) f(x)＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图像的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．失误与防范1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．课时规范训练(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、选择题1．(2011·课标全国)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是 ( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |2．(2011·辽宁)若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( )A.12B.23C.34D ．13．函数f (x )在定义域R 上不是常数函数，且f (x )满足条件：对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，f (1＋x )＝－f (x )，则f (x )( )A ．是奇函数但非偶函数B ．是偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98二、填空题5．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________.6．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 7．(2010·山东高考改编)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝______. 三、解答题8．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．32．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤233．定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数 二、填空题4．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________．5．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.6．对于函数f (x )＝ax ＋1x －1(其中a 为实数，x ≠1)，给出下列命题：①当a ＝1时，f (x )在定义域上为单调函数； ②f (x )的图像关于点(1，a )对称； ③对任意a ∈R ，f (x )都不是奇函数； ④当a ＝－1时，f (x )为偶函数；⑤当a ＝2时，对于满足条件2<x 1<x 2的所有x 1、x 2总有f (x 1)－f (x 2)<3(x 2－x 1)． 其中正确命题的序号为________． 三、解答题7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．8．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．答案要点梳理1．f (－x )＝f (x ) f (－x )＝－f (x )2．(1)相同 相反 (2)①奇函数 ②偶函数 ③奇函数 3．(1)f (x ) (2)存在一个最小 基础自测 1.132.②③3.－9 4．(－1,0)∪(1，＋∞) 5.C 题型分类·深度剖析例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3.∴f (x )的定义域为{－3,3}． 又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数，又是偶函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x1＋x ≥01＋x ≠0，得－1<x ≤1.∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． ∴f (x )＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x. ∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数．变式训练1 解 (1)由1－x1＋x>0⇒－1<x <1，定义域关于原点对称．又f (－x )＝lg 1＋x1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，故原函数是奇函数． (2)由2＋x2－x≥0且2－x ≠0⇒－2≤x <2，定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )； 当x <0时，f (x )＝x 2－x ， 则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )， 故原函数是偶函数．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)x 2.∵f (－x )＝－lg[1－(－x )2](－x )2＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．例2 解 (1)令x ＝y ＝0⇒f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )⇒f (x )在(－1,1)上是奇函数． (2)设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2，而x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1－x 21－x 1x 2<0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0，即当0<x 1<x 2<1时，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0,1)上单调递减．(3)由于f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫15＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－15＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－151－12×5＝f ⎝⎛⎭⎫13， 同理，f ⎝⎛⎭⎫13－f ⎝⎛⎭⎫111＝f ⎝⎛⎭⎫14， f ⎝⎛⎭⎫14－f ⎝⎛⎭⎫119＝f ⎝⎛⎭⎫15，∴f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫111－f ⎝⎛⎭⎫119＝2f ⎝⎛⎭⎫15＝2×12＝1. 变式训练2 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数， 且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎨⎧x (x －12)>0x (x －12)<1即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.若f [x (x －12)]<0＝f (－1)，则⎩⎨⎧x (x －12)<0x (x －12)<－1由x (x －12)<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是{x |12<x <1＋174或1－174<x <0}． 例3 (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝0. 变式训练3 2.5 课时规范训练 A 组1．B 2.A 3.B 4.A 5．－1 6.－1 7.－38．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x. 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21＋1x 1)－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2 ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2， 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．B 组1．A 2.C 3.B4．①②③ 5．0 6．②③⑤7．(1)证明 由函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x . x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4. 从而，x ∈[－5，－4]时， 函数f (x )＝－－x －4.8．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
2.4 函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数.2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）A.1B.2C.3D.4解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕.答案：A2.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析：由f （x ）为偶函数，知b =0，有g （x ）=ax 3＋cx （a ≠0）为奇函数. 答案：A3.若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0. ∴f （sin α）＞f （cos β）. 答案：B 4.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31.又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0. 答案：31 0 5.给定函数:①y =x1（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12+x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤ ② ③④ ●典例剖析【例1】 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f （0）＜f （－1）＜f （2） B.f （－1）＜f （0）＜f （2） C.f （－1）＜f （2）＜f （0） D.f （2）＜f （－1）＜f （0） 剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减， ∴f （x ）在［－2，0］上单调递减. ∵y =f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增. 又f （－1）=f （1），故应选A. 答案：A【例2】 判断下列函数的奇偶性： （1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx-+11； （3）f （x ）=2|2|12-+-x x ；（4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断. 解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ）， ∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由xx-+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）=2212-+-x x =x x 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－xx 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数.（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数. 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0. （2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0.令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数. （3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3. ∴f （3x +1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x +1）（2x －6）］≤f （64）.（*） ∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值范围为{x |－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}.评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是A.（22a ，2b ）B.（－b ，－a 2）C.（a 2，2b ）∪（－2b，－a 2）D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2）提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2b，－a 2）. 答案：C【例4】 （2004年天津模拟题）已知函数f （x ）=x +xp+m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 解：（1）∵f （x ）是奇函数， ∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －x p +m =－x －xp－m . ∴2m =0.∴m =0. （2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max =f （2）=2+2p，f （x ）min =f （1）=1+p .（ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数.①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数， ∴f （x ）max =f （2）=2+2p，f （x ）min =f （1）=1+p . ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数. f （x ）min =f （p ）=2p .f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2p}. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2p ，f （x ）max =f （1）. ③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f （2）=2+2p . （文）解答略.p评述：f（x）=x+（p＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.x深化拓展f （x ）=x +xp的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？ ●闯关训练 夯实基础1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在区间［0，+∞）上的图象与f （x ）的图象重合，设a ＜b ＜0，给出下列不等式，其中成立的是①f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ） ③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④解析：不妨取符合题意的函数f （x ）=x 及g （x ）=|x |进行比较，或一般地g （x ）=⎩⎨⎧≤-≥,0)(,0)(x x f x x f f （0）=0，f （a ）＜f （b ）＜0. 答案：D2.（2003年北京海淀区二模题）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析：∵偶函数f （x ）在［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.答案：A3.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lg x+11，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg x-11=lg （1－x ）. 答案：lg （1－x ）4.（2003年北京）函数f （x ）=lg （1+x 2），g （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.12,1||0,12x x x x x h （x ）=tan2x 中，______________是偶函数.解析：∵f （－x ）=lg ［1+（－x ）2］=lg （1+x 2）=f （x ）， ∴f （x ）为偶函数.又∵1°当－1≤x ≤1时，－1≤－x ≤1， ∴g （－x ）=0.又g （x ）=0，∴g （－x ）=g （x ）. 2°当x ＜－1时，－x ＞1， ∴g （－x ）=－（－x ）+2=x +2.又∵g （x ）=x +2，∴g （－x ）=g （x ）. 3°当x ＞1时， －x ＜－1，∴g （－x ）=（－x ）+2=－x +2.又∵g （x ）=－x +2，∴g （－x ）=g （x ）. 综上，对任意x ∈R 都有g （－x ）=g （x ）. ∴g （x ）为偶函数.h （－x ）=tan （－2x ）=－tan2x =－h （x ）， ∴h （x ）为奇函数. 答案：f （x ）、g （x ）5.若f （x ）=1222+-+⋅x x a a 为奇函数，求实数a 的值.解：∵x ∈R ，∴要使f （x ）为奇函数，必须且只需f （x ）+f （－x ）=0，即a －122+x+ a －122+-x =0，得a =1.6.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g （x ），当x ≥0时，g （x ）单调递减，若g （1－m ）＜g （m ），求m 的取值范围.解：由g （1－m ）＜g （m ）及g （x ）为偶函数，可得g （|1－m |）＜g （|m |）.又g （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m |＞|m |，且|1－m |≤2，|m |≤2，解得－1≤m ＜21.说明：也可以作出g （x ）的示意图，结合图形进行分析. （文）（2005年北京西城区模拟题）定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3） 解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案：A 培养能力7.已知f （x ）＝x （121-x ＋21）.（1）判断f （x ）的奇偶性； （2）证明f （x ）＞0.（1）解：f （x ）＝x ·)12(212-+x x ，其定义域为x ≠0的实数.又f （－x ）＝－x ·)12(212-+--x x ＝－x ·)21(221x x -+＝x ·)12(212-+xx ＝f （x ）， ∴f （x ）为偶函数.（2）证明：由解析式易见，当x ＞0时，有f （x ）＞0. 又f （x ）是偶函数，且当x ＜0时－x ＞0， ∴当x ＜0时f （x ）＝f （－x ）＞0，即对于x ≠0的任何实数x ，均有f （x ）＞0.探究创新8.设f （x ）=log 21（11--x ax）为奇函数，a 为常数， （1）求a 的值；（2）证明f （x ）在（1，+∞）内单调递增；（3）若对于［3，4］上的每一个x 的值，不等式f （x ）＞（21）x+m 恒成立，求实数m 的取值范围.（1）解：f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴log 2111--+x ax =－log 2111--x ax ⇔11--+x ax =ax x --11＞0⇒1－a 2x 2=1－x 2⇒a =±1.检验a =1（舍），∴a =－1.（2）证明：任取x 1＞x 2＞1，∴x 1－1＞x 2－1＞0.∴0＜121-x ＜122-x ⇒0＜1+121-x ＜1+122-x ⇒0＜1111-+x x ＜1122-+x x ⇒log 211111-+x x ＞log 211122-+x x ，即f （x 1）＞f （x 2）.∴f （x ）在（1，+∞）内单调递增. （3）解：f （x ）－（21）x＞m 恒成立. 令g （x ）=f （x ）－（21）x .只需g （x ）min ＞m ，用定义可以证g （x ）在［3，4］上是增函数，∴g （x ）min =g （3）=－89.∴m ＜－89时原式恒成立.●思悟小结1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x 在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性. ●教师下载中心 教学点睛1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质. 拓展题例【例1】 已知函数f （x ）=cbx ax ++12（a 、b 、c ∈Z ）是奇函数，又f （1）=2，f （2）＜3，求a 、b 、c 的值.解：由f （－x ）=－f （x ），得－bx +c =－（bx +c ）. ∴c =0.由f （1）=2，得a +1=2b .由f （2）＜3，得114++a a ＜3， 解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ，∴a =0或a =1.若a =0，则b =21，与b ∈Z 矛盾.∴a =1，b =1，c =0.【例2】 已知函数y =f （x ）的定义域为R ，对任意x 、x ′∈R 均有f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′），且对任意x ＞0，都有f （x ）＜0，f （3）=－3.（1）试证明：函数y =f （x ）是R 上的单调减函数； （2）试证明：函数y =f （x ）是奇函数； （3）试求函数y =f （x ）在［m ，n ］（m 、n ∈Z ，且mn ＜0）上的值域. 分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件. （2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f （0）=0后，再利用条件f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）中x 1、x 2的任意性，可使结论得证.（3）由（1）的结论可知f （m ）、f （n ）分别是函数y =f （x ）在［m 、n ］上的最大值与最小值，故求出f （m ）与f （n ）就可得所求值域.（1）证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，f （x 2）=f ［x 1+（x 2－x 1）］，于是由题设条件f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′）可知f （x 2）=f （x 1）+f （x 2－x 1）. ∵x 2＞x 1，∴x 2－x 1＞0.∴f （x 2－x 1）＜0. ∴f （x 2）=f （x 1）+f （x 2－x 1）＜f （x 1）. 故函数y =f （x ）是单调减函数.（2）证明：∵对任意x 、x ′∈R 均有f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′）， ∴若令x =x ′=0，则f （0）=f （0）+f （0）. ∴f （0）=0.再令x ′=－x ，则可得f （0）=f （x ）+f （－x ）.∵f （0）=0，∴f （－x ）=－f （x ）.故y =f （x ）是奇函数. （3）解：由函数y =f （x ）是R 上的单调减函数， ∴y =f （x ）在［m ，n ］上也为单调减函数. ∴y =f （x ）在［m ，n ］上的最大值为f （m ），最小值为f （n ）. ∴f （n ）=f ［1+（n －1）］=f （1）+f （n －1）=2f （1）+f （n －2）=…=nf （1）. 同理，f （m ）=mf （1）.∵f （3）=－3，∴f （3）=3f （1）=－3. ∴f （1）=－1.∴f （m ）=－m ，f （n ）=－n .因此，函数y =f （x ）在［m ，n ］上的值域为［－n ，－m ］. 评述：（1）满足题设条件f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数.（2）若将题设条件中的x ＞0，均有f （x ）＜0改成均有f （x ）＞0，则函数f （x ）就是R 上的单调增函数.（3）若题设条件中的m 、n ∈Z 去掉，则我们就无法求出f （m ）与f （n ）的值，故m 、n ∈Z 不可少.。
2.4 函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数.2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）A.1B.2C.3D.4解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕.答案：A2.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析：由f （x ）为偶函数，知b =0，有g （x ）=ax 3＋cx （a ≠0）为奇函数. 答案：A3.若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0. ∴f （sin α）＞f （cos β）. 答案：B 4.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0.答案：31 0 5.给定函数:①y =x1（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12+x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤ ② ③④ ●典例剖析【例1】 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f （0）＜f （－1）＜f （2） B.f （－1）＜f （0）＜f （2） C.f （－1）＜f （2）＜f （0） D.f （2）＜f （－1）＜f （0） 剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减， ∴f （x ）在［－2，0］上单调递减. ∵y =f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增. 又f （－1）=f （1），故应选A. 答案：A【例2】 判断下列函数的奇偶性： （1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）²xx-+11； （3）f （x ）=2|2|12-+-x x ；（4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断. 解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ）， ∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由xx-+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）=2212-+-x x =x x 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－xx 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数.（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数. 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1²x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1³1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0. （2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）³（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0.令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数. （3）解：f （4³4）=f （4）+f （4）=2，f （16³4）=f （16）+f （4）=3. ∴f （3x +1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x +1）（2x －6）］≤f （64）.（*） ∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值范围为{x |－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}.评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）²g （x ）＞0的解集是A.（22a ，2b ）B.（－b ，－a 2）C.（a 2，2b ）∪（－2b，－a 2）D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2）提示：f （x ）²g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2b，－a 2）. 答案：C【例4】 （2004年天津模拟题）已知函数f （x ）=x +xp+m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 解：（1）∵f （x ）是奇函数， ∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －x p +m =－x －xp－m . ∴2m =0.∴m =0. （2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max =f （2）=2+2p，f （x ）min =f （1）=1+p .（ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数.①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数， ∴f （x ）max =f （2）=2+2p，f （x ）min =f （1）=1+p . ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数. f （x ）min =f （p ）=2p .f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2p}. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2p ，f （x ）max =f （1）. ③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f （2）=2+2p . （文）解答略.评述：f （x ）=x +xp（p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法. 深化拓展f （x ）=x +xp的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？ ●闯关训练 夯实基础1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在区间［0，+∞）上的图象与f （x ）的图象重合，设a ＜b ＜0，给出下列不等式，其中成立的是①f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ） ③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④解析：不妨取符合题意的函数f （x ）=x 及g （x ）=|x |进行比较，或一般地g （x ）=⎩⎨⎧≤-≥,0)(,0)(x x f x x f f （0）=0，f （a ）＜f （b ）＜0. 答案：D2.（2003年北京海淀区二模题）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析：∵偶函数f （x ）在［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.答案：A3.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lg x+11，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg x-11=lg （1－x ）. 答案：lg （1－x ）4.（2003年北京）函数f （x ）=lg （1+x 2），g （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.12,1||0,12x x x x x h （x ）=tan2x 中，______________是偶函数.解析：∵f （－x ）=lg ［1+（－x ）2］=lg （1+x 2）=f （x ）， ∴f （x ）为偶函数.又∵1°当－1≤x ≤1时，－1≤－x ≤1， ∴g （－x ）=0.又g （x ）=0，∴g （－x ）=g （x ）. 2°当x ＜－1时，－x ＞1， ∴g （－x ）=－（－x ）+2=x +2.又∵g （x ）=x +2，∴g （－x ）=g （x ）. 3°当x ＞1时， －x ＜－1， ∴g （－x ）=（－x ）+2=－x +2.又∵g （x ）=－x +2，∴g （－x ）=g （x ）. 综上，对任意x ∈R 都有g （－x ）=g （x ）. ∴g （x ）为偶函数.h （－x ）=tan （－2x ）=－tan2x =－h （x ）， ∴h （x ）为奇函数. 答案：f （x ）、g （x ）5.若f （x ）=1222+-+⋅xx a a 为奇函数，求实数a 的值. 解：∵x ∈R ，∴要使f （x ）为奇函数，必须且只需f （x ）+f （－x ）=0，即a －122+x + a －122+-x=0，得a =1.6.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g （x ），当x ≥0时，g （x ）单调递减，若g （1－m ）＜g （m ），求m 的取值范围.解：由g （1－m ）＜g （m ）及g （x ）为偶函数，可得g （|1－m |）＜g （|m |）.又g （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m |＞|m |，且|1－m |≤2，|m |≤2，解得－1≤m ＜21.说明：也可以作出g （x ）的示意图，结合图形进行分析. （文）（2005年北京西城区模拟题）定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3） 解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案：A 培养能力7.已知f （x ）＝x （121-x ＋21）.（1）判断f （x ）的奇偶性； （2）证明f （x ）＞0.（1）解：f （x ）＝x ²)12(212-+xx ，其定义域为x ≠0的实数.又f （－x ）＝－x ²)12(212-+--x x ＝－x ²)21(221x x -+＝x ²)12(212-+xx ＝f （x ）， ∴f （x ）为偶函数.（2）证明：由解析式易见，当x ＞0时，有f （x ）＞0. 又f （x ）是偶函数，且当x ＜0时－x ＞0， ∴当x ＜0时f （x ）＝f （－x ）＞0，即对于x ≠0的任何实数x ，均有f （x ）＞0.探究创新8.设f （x ）=log 21（11--x ax）为奇函数，a 为常数， （1）求a 的值；（2）证明f （x ）在（1，+∞）内单调递增；（3）若对于［3，4］上的每一个x 的值，不等式f （x ）＞（21）x+m 恒成立，求实数m 的取值范围.（1）解：f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴log 2111--+x ax =－log 2111--x ax ⇔11--+x ax =ax x --11＞0⇒1－a 2x 2=1－x 2⇒a =±1.检验a =1（舍），∴a =－1.（2）证明：任取x 1＞x 2＞1，∴x 1－1＞x 2－1＞0.∴0＜121-x ＜122-x ⇒0＜1+121-x ＜1+122-x ⇒0＜1111-+x x ＜1122-+x x ⇒log 211111-+x x ＞log 211122-+x x ，即f （x 1）＞f （x 2）.∴f （x ）在（1，+∞）内单调递增. （3）解：f （x ）－（21）x＞m 恒成立. 令g （x ）=f （x ）－（21）x .只需g （x ）min ＞m ，用定义可以证g （x ）在［3，4］上是增函数，∴g （x ）min =g （3）=－89.∴m ＜－89时原式恒成立.●思悟小结1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x 在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性. ●教师下载中心 教学点睛1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质. 拓展题例【例1】 已知函数f （x ）=cbx ax ++12（a 、b 、c ∈Z ）是奇函数，又f （1）=2，f （2）＜3，求a 、b 、c 的值.解：由f （－x ）=－f （x ），得－bx +c =－（bx +c ）. ∴c =0.由f （1）=2，得a +1=2b .由f （2）＜3，得114++a a ＜3， 解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ，∴a =0或a =1.若a =0，则b =21，与b ∈Z 矛盾.∴a =1，b =1，c =0.【例2】 已知函数y =f （x ）的定义域为R ，对任意x 、x ′∈R 均有f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′），且对任意x ＞0，都有f （x ）＜0，f （3）=－3.（1）试证明：函数y =f （x ）是R 上的单调减函数； （2）试证明：函数y =f （x ）是奇函数； （3）试求函数y =f （x ）在［m ，n ］（m 、n ∈Z ，且mn ＜0）上的值域. 分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件. （2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f （0）=0后，再利用条件f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）中x 1、x 2的任意性，可使结论得证.（3）由（1）的结论可知f （m ）、f （n ）分别是函数y =f （x ）在［m 、n ］上的最大值与最小值，故求出f （m ）与f （n ）就可得所求值域.（1）证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，f （x 2）=f ［x 1+（x 2－x 1）］，于是由题设条件f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′）可知f （x 2）=f （x 1）+f （x 2－x 1）. ∵x 2＞x 1，∴x 2－x 1＞0.∴f （x 2－x 1）＜0. ∴f （x 2）=f （x 1）+f （x 2－x 1）＜f （x 1）. 故函数y =f （x ）是单调减函数.（2）证明：∵对任意x 、x ′∈R 均有f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′）， ∴若令x =x ′=0，则f （0）=f （0）+f （0）. ∴f （0）=0.再令x ′=－x ，则可得f （0）=f （x ）+f （－x ）.∵f （0）=0，∴f （－x ）=－f （x ）.故y =f （x ）是奇函数. （3）解：由函数y =f （x ）是R 上的单调减函数， ∴y =f （x ）在［m ，n ］上也为单调减函数. ∴y =f （x ）在［m ，n ］上的最大值为f （m ），最小值为f （n ）. ∴f （n ）=f ［1+（n －1）］=f （1）+f （n －1）=2f （1）+f （n －2）=…=nf （1）. 同理，f （m ）=mf （1）.∵f （3）=－3，∴f （3）=3f （1）=－3. ∴f （1）=－1.∴f （m ）=－m ，f （n ）=－n .因此，函数y =f （x ）在［m ，n ］上的值域为［－n ，－m ］. 评述：（1）满足题设条件f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数.（2）若将题设条件中的x ＞0，均有f （x ）＜0改成均有f （x ）＞0，则函数f （x ）就是R 上的单调增函数.（3）若题设条件中的m 、n ∈Z 去掉，则我们就无法求出f （m ）与f （n ）的值，故m 、n ∈Z 不可少.。
