高考数学总复习之函数的奇偶性
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高考数学总复习之函数的奇偶性和周期性
一、知识梳理
1.奇函数:对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=-f (x )〔或f (x )+ f (-x )=0〕,则称f (x )为奇函数.
2.偶函数:对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=f (x )〔或f (x )-f (-x )=0〕,则称f (x )为偶函数.
3.奇、偶函数的性质
(1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).
(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称. (3)若奇函数的定义域包含数0,则f (0)=0. (4)奇函数的反函数也为奇函数.
(5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
4.函数的周期性
(1)周期函数的定义:对于函数)(x f 定义域内的每一个x ,若存在非零常数T ,使得)()(x f T x f =+恒成立,则称函数)(x f 具有周期性,T 叫做)(x f 的一个周期,则)0,(≠∈k Z k kT 也是)(x f 的周期,所有周期中的最小正数叫)(x f 得最小正周期。
(2)常用结论
①若)(x f y =图象有两条对称轴a x =,b x =)(b a ≠,则)(x f y =是周期函数,且周期为||2b a T -=;
②若)(x f y =图象有两个对称中心A )0,(a ,B )0,(b )(b a ≠,则)(x f y =是周期函数,且周期为||2b a T -=;
③若)(x f y =图象有一个对称中心A )0,(a ,和一条对称轴b x =)(b a ≠,则)(x f y =是周期函数,且周期为||4b a T -=;
④若函数)(x f y =满足)()(x f x a f -=+,则)(x f y =是周期函数,且a T 2=;
⑤若函数)(x f y =满足)0()
(1
)(≠±
=+a x f a x f ,则)(x f y =是周期函数,且a T 2=; ⑥若函数)(x f y =满足)()(a x f x a f -=+,则)(x f y =是周期函数,且a T 2=; ⑦若函数)(x f y =满足)
(1)
(1)(x f x f x a f -+-
=+,则)(x f y =是周期函数,且a T 4=;
二、点击双基
1.下面四个结论中,正确命题的个数是( )
①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①不对;②不对,因为奇函数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是奇函数又是偶函数的函数可以为f (x )=0〔x ∈(-a ,a )〕.
答案:A
2.已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)是偶函数,那么g (x )=ax 3+bx 2+cx 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数
解析:由f (x )为偶函数,知b =0,有g (x )=ax 3+cx (a ≠0)为奇函数. 答案:A
3.若偶函数f (x )在区间[-1,0]上是减函数,α、β是锐角三角形的两个内角,且α≠β,则下列不等式中正确的是( )
A.f (cos α)>f (cos β)
B.f (sin α)>f (cos β)
C.f (sin α)>f (sin β)
D.f (cos α)>f (sin β)
解析:∵偶函数f (x )在区间[-1,0]上是减函数,∴f (x )在区间[0,1]上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角,
∴α+β>90°,α>90°-β.1>sin α>cos β>0. ∴f (sin α)>f (cos β). 答案:B
4.设定义在R 上的函数)(x f y =满足12)2()(=+⋅x f x f ,且2)2010(=f ,则)0(f 等于( )
A.12
B.6
C.3
D.2
解析:12)4()2(=++x f x f ,∴)2()4(f x f =+,∴)(x f y =的周期为4,∴2)2()2010(==f f ∴6)
2(12
)0(==
f f 答案:B 5.已知f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,且其定义域为[a -1,2a ],则a =___________,b =___________.
解析:定义域应关于原点对称,故有a -1=-2a ,得a =
3
1. 又对于所给解析式,要使f (-x )=f (x )恒成立,应b =0.
答案:3
1
6.给定函数:①y =x
1
(x ≠0);②y =x 2+1;③y =2x ;④y =log 2x ;⑤y =log 2(x +12+x ).
在这五个函数中,奇函数是_________,偶函数是_________,非奇非偶函数是__________.
答案:①⑤ ② ③④
7.已知函数y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=3x -1,则=)(x f __________.
答案:⎪⎩
⎪⎨⎧<+-≥--0,130
,13x x x x
三、典例剖析
例1 已知函数y =f (x )是偶函数,y =f (x -2)在[0,2]上是单调减函数,则 A.f (0)<f (-1)<f (2) B.f (-1)<f (0)<f (2) C.f (-1)<f (2)<f (0) D.f (2)<f (-1)<f (0)
剖析:由f (x -2)在[0,2]上单调递减,∴f (x )在[-2,0]上单调递减. ∵y =f (x )是偶函数,∴f (x )在[0,2]上单调递增.又f (-1)=f (1),故应选A. 答案:A
例2 判断下列函数的奇偶性:
(1)f (x )=|x +1|-|x -1|; (2)f (x )=(x -1)·
x
x
-+11;